第三讲 个体的风险态度及其度量

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U(x) B
C A x 风险厌恶者的效用函数
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同样地，我们可以得到风险偏好者和风险中性 者的效用函数的特征。 对于风险偏好者而言，我们有：
u( px1 (1 p) x2 ) pu( x1 ) (1 p)u( x2 )
且其效用函数为凸函数。
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U(x)
B C
A x 风险偏好者的效用函数
ui (W ) G(u j (W ))
对于任意的W都成立。
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（4）普拉特定理 假设 ui (W )和u j (W ) 是两个二次可微、严格单调递增的效 用函数，则以下三种表述是等价的： i j （1）对所有的W，有 RA RA ； （2）存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函 数G(· )，使得 i (W ) G(u j (W )) ； u
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对于风险中性者而言，我们有
u( px1 (1 p) x2 ) pu( x1 ) (1 p)u( x2 )
其效用函数为线性效用函数。
U(x)
x
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4.效用函数的凸凹性的局部性质 经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是一种局 部性质。即一个经济主体可以在某些情况下是风险厌 恶者，在另一种情况下是风险偏好者。 弗里德曼-萨维奇（1948）解释了这种现象。他 们认为，效用函数是几个不同的部分组成。在人们财 富较少时，部分投资者是风险厌恶的；随着财富的增加，
u(W ) pu(W x1 ) (1 p)u(W x2 )
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由于
W p(W x1 ) (1 p)(W x2 )
所以，上述不等式可改写为：
u( p(W x1 ) (1 p)(W x2 )) pu(W x1 ) (1 p)u(W x2 )
投资者对风险有些漠不关心；而在较高财富水平阶段，投 资者则显示出风险偏好。
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V N
L V(c) K
0
c
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二、风险厌恶的度量 1.确定性等价与风险溢价 确定性等价（certainty equivalence） 是指经济行为主体对于某一博彩行为的支付意 愿。即与某一博彩行为的期望效用所对应的数学 期望值（财富价值）。 风险溢价（risk premium）是指风险厌恶者 为避免承担风险而愿意放弃的投资收益。或让一 个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的 风险补偿。

| Rn ( x ) |
M | x a |n 1 ( n 1)!
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2.风险厌恶系数
对于风险很小的公平博彩行为，也即预期收益为0且 预期收益的方差很小的博彩行为，如果效用函数是二次连 续可微的，我们可对上述等式的两边在W做泰勒级数展 开。
1 E[u (W ) u '(W ) u "(W ) 2 Re] u(W ) u '(W ) Re 2
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我们将满足下式的博彩 ( p : x1 , x2 ) ，称为一个 公平博彩：
px1 (1 p) x2 0,0 p 1
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3.风险态度的描述 公平博彩不改变个体原来的期望收益，但它 提供了个体增加或减少原来收入的机会。 风险厌恶者：如果经济主体拒绝接受公平博 彩，这说明该个体在确定性收益和博彩之间更偏 好确定性收益，我们称该主体为风险厌恶者。 风险偏好者：如果一个经济主体在任何时候都 愿意接受公平博彩，则称该主体为风险偏好者。
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基本假设
在讨论风险态度之前，我们先要将一个基本的假设： 在不确定性经济中，投资者都尽可能最大化自己的 期望效用。
U ( x) E[u ( x)] piu ( xi )
i 1
N
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投掷硬币的游戏
如果一个简单的投掷硬币的赌局，硬币的正反面不 是完全对称的，投掷结果正面朝上的概率为p，反 面朝上的概率就是1-p。如果正面朝上有正的收 益 up ，反面朝上有负的收益 down 。 而如果有 pup (1 p) down 0 ，也就是说，预期收益 （平均收益）为0，则这个赌局称为公平博彩。
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一、风险态度 1.问题的提出
现实观察： 经济行为主体对待风险的态度是 存在差异的。热衷冒险的人会在等待不确定性结 果中获得刺激而兴奋不已；大多数的行为主体则 认为风险是一种折磨，尽可能地回避风险；而另 一些人对风险可能采取一种无所谓的态度。 如何通过效用函数描述不同经济主体对待风险 的态度？
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通常可以从两个方面来刻画： （1）观察经济行为主体面对公平博彩时的行为 选择，即是愿意确定性地接受一个公平博彩的期 望价值还是宁愿接受这个博彩本身及其不确定性 的结果。 （2）经济行为主体愿意付出多少价值来避免蕴 含在这个博彩中的风险。或者说，让经济行为主 体参与这个博彩行为需要多少风险溢价补偿。
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2.公平博彩（Fair Game） 公平博彩是指不改变个体当前期望收益的赌 局，如一个博彩的随机收益为 ，其期望收益 为 E ( ) 0 ，我们就称其为公平博彩。 当然，既然是博彩，通常隐含地假设其收益 的方差大于零，即其收益不会是确定值零。 或者公平博彩是指一个博彩结果的预期收益 只应当和入局费相等的博彩。
T (W ) 1 u '(W ) RA (W ) u "(W )
T（W）越大表示个体能够容忍的风险越大，反之则
反。
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三、风险厌恶度量的性质
绝对风险厌恶系数主要考察在初始财富相同的条件 下，具有不同风险厌恶程度的经济主体的风险行为特点。 而相对风险厌恶系数，则主要考察经济行为主体随个人财 富或消费收益的变化，对风险资产投资行为的变化。

Var（ε/W）是公平博彩相对收益的方差，另 一部分 u "(W )W RR (W ) u '(W ) 称为个体的阿罗-普拉特相对风险厌恶系数 （Arrow-pratt relative aversion）。
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同样地，我们定义阿罗-普拉特绝对风险厌恶系 数的倒数为个体的风险容忍系数（risk tolerance）， 即
金融经济学之三 个体的风险态度及其度量
山东科技大学经济与管理学院 张建刚
本讲教学目的和要求
1.了解和掌握如何界定不确定条件下不同经济行为主体风 险态度的类型； 2.掌握三种不同风险态度的经济行为主体效用函数的性质； 3.掌握确定性等价和风险溢价的含义及其计算方法； 4.从定义和性质等各方面区分绝对风险厌恶度量和相对 风险厌恶度量； 5.掌握具有线性风险容忍系数的几个效用函数的形式及 其性质； 6.了解不同随机占优的假设及其充分必要条件。
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即如果个体为回避一项公平博彩而愿意放弃 的收益为ρ，则我们有：
E (u(W )) u(W )
这里， 为公平博彩的随机收益（即报酬的微 小增量）， W为初始禀赋，ρ被称之为马科维茨 风险溢价。其值越大表明经济主体风险厌恶的程 度越高。而W-ρ为确定性等价收益。
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泰勒级数
i (W ) j (W )
（3）效用函数的曲率 从几何上看，绝对风险厌恶系数代表了效用函数的曲率 （弯曲程度），如果经济主主体i有比经济行为主体j更加凹的效用函数。 ui (W ) 更确切地讲，经济行为主体i的效用函数 是经济行为主体j的效用函数 u j (W ) 的一个凹变换，即存在 一个递增的、严格凹的函数G(· )，使得
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对于一个具有效用函数为U和初始禀赋为W 的经济主体，如果他不参加博彩，则其效用为U （W）。如果他愿意参加博彩，则他有p的概率 消费 W x1 ，1-p的概率获得 W x2 ，因此， 他的期望效用为 pu(W x1 ) (1 p)u(W x2 ) 根据我们对风险厌恶者的定义，对于一个 风 险厌恶的经济主体而言，我们有：
这里，Re为高阶余项，由于是风险很小的公平博彩， 所以，Re可省略。由此，我们可以得到
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1 u (W ) u "(W )Var ( ) u (W ) u '(W ) 2
由风险溢价的定义可得：
1 u "(W ) Var ( ) 2 u '(W )
上式的右边由两个部分构成：u "(W ) / u '(W ) 是体现个 体偏好的因素，而Var(ε)则是公平博彩随机收益的方 差，体现不确定性风险。将随具体博彩的ε因素除去，留
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1.相同财富水平下的经济主体风险厌恶的度量 对于具有相同财富水平的经济主体，我们可以用三种 不同的方法来比较两者之间的风险厌恶程度： （1）绝对风险厌恶度量 对于任意给定的初始财富水平W，如果下式成立， 则 表明经济主体i比经济主体j更加厌恶风险：
R R
i A
j A
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（2）风险溢价度量 对于任意给定的初始财富水平W，为避免相同的风险， 如果经济主体i比经济主体j需要更多的风险溢价补偿，则 经济主体i比经济主体j更厌恶风险：
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在金融理论中，我们时常需要相对测度量，如证券投资 者关心的一般不是以多大的概率获得多少绝对收益，而是 以多大概率获得百分之几的收益。相应地，我们可以推导 出个体的相对风险测度。事实上，要得到相对意义上的风 险溢价，只需要将绝对风险厌恶系数的两边除以个体的初 始禀赋即可：
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1 u "(W )W Var ( ) W 2 u '(W ) W
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定义：u是经济主体的VNM效用函数，W为 个体的初始禀赋，如果对于任何 E ( ) 0 Var ( ) 0 的随机变量 ，有
u(W ) E[u(W )]
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则称个体是（严格）风险厌恶（risk aversion）；如果上述不等号方向相反，则称个 体是风险偏好（risk loving）；如果两边相等， 则称个体是风险中性（neutral）。
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下仅反映个体主观因素的部分，我们可以得到一个比风险 溢价更为一般的风险厌恶测度指标：