高三数学一轮复习精品教案3：三角函数的图象和性质教学设计
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。
2. 能够运用三角函数的图像与性质解决实际问题。
3. 提高学生的数学思维能力，培养学生的数学审美观念。
二、教学内容：1. 三角函数的定义与基本性质2. 正弦函数的图像与性质3. 余弦函数的图像与性质4. 正切函数的图像与性质5. 三角函数图像与性质的综合应用三、教学重点与难点：1. 重点：三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。
2. 难点：三角函数图像与性质的综合应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索三角函数的图像与性质。
2. 利用多媒体课件，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 结合实际例子，让学生学会运用三角函数的图像与性质解决实际问题。
4. 开展小组讨论，培养学生的合作与交流能力。
五、教学过程：1. 导入：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入本节课的学习。
2. 三角函数的定义与基本性质：讲解三角函数的定义，引导学生掌握三角函数的基本性质。
3. 正弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正弦函数的图像，讲解正弦函数的性质。
4. 余弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示余弦函数的图像，讲解余弦函数的性质。
5. 正切函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正切函数的图像，讲解正切函数的性质。
6. 三角函数图像与性质的综合应用：结合实际例子，讲解如何运用三角函数的图像与性质解决实际问题。
7. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训。
10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对三角函数图像与性质的掌握程度。
六、教学策略与资源：1. 教学策略：采用问题引导式教学，鼓励学生主动发现问题、解决问题。
利用数学软件或在线工具，让学生亲自动手绘制三角函数图像，加深对函数性质的理解。
高三数学第一轮复习 三角函数的图像与性质教学案(教师)
芯衣州星海市涌泉学校教案43三角函数的图像与性质〔1〕一、课前检测1.化简：2260cos 1︒+=___________。
答案：︒50cos2.32tan =α，那么αcos =_______。
答案：54-3.函数2sin2cos cos )(x x x x f -=的值域是_______。
答案：)2,2(-二、知识梳理〔先右侧〕函数y ＝Asin(ωx＋ϕ)的图象与函数y ＝sinx 的图象关系．1〕振幅变换：y ＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y ＝sinx 的图象上所有点的纵坐标都，(A>1)或者者(0<A<1)到原来的倍〔横坐标不变〕而得到的．2〕周期变换：y ＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点的横坐标(ω>1)或者者(0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．由于y ＝sinx 周期为2π，故y ＝sinωx(ω>0)的周期为． 3〕相位变换：y ＝sin(x ＋ϕ)(ϕ≠0)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点向(ϕ>0)或者者向(ϕ<0)平移个单位而得到的．由y ＝sinx 的图象得到y ＝Asin(ωx＋ϕ)的图象主要有以下两种方法：1．y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象．函数 y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx变换 变换 变换变换变换变换图象定义域值域奇偶性单调性周期性最大(小)值对称中心对称轴解读：三、典型例题分析例1．函数y ＝Asin(ωx＋ϕ)(A>0，ω>0) ⑴假设A ＝3，ω＝21，ϕ＝－3π，作出函数在一个周期内的简图． ⑵假设y 表示一个振动量，其振动频率是π2，当x ＝24π时，相位是3π，求ω和ϕ．解：(1)y ＝3sin(32π-x )列表(略)图象如下：(2)依题意有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅==32422πϕπωππωf ∴⎪⎩⎪⎨⎧==64πϕω 变式训练函数y=2sin )32(π+x ,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法〞作出它在一个周期内的图象； (3)说明y=2sin )32(π+x 的图象可由y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到.解〔1〕y=2sin )32(π+x 的振幅A=2,周期T=22π=π，初相ϕ=3π.〔2〕令X=2x+3π,那么y=2sin )32(π+x =2sinX.列表，并描点画出图象：〔3〕方法一把y=sinx 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到y=sin )3(π+x 的图象，再把y=sin )3(π+x 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍〔纵坐标不变〕，得到y=sin )32(π+x 的图象，最后把y=sin )32(π+x 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍〔横坐标不变〕，即可得到y=2sin )32(π+x 的图象.方法二将y=sinx 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y=sin2x 的图象； 再将y=sin2x 的图象向左平移6π个单位；得到y=sin2)6(π+x =sin )32(π+x 的图象；再将y=sin )32(π+x 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin )32(π+x 的图象.小结与拓展：例2．如图为y=Asin(ωx+ϕ)的图象的一段，求其解析式. 解方法一以N 为第一个零点， 那么A=-3，T=2)365(ππ-=π， ∴ω=2，此时解析式为y=-3sin 〔2x+ϕ〕. ∵点N )0,6(π-，∴-6π×2+ϕ=0，∴ϕ=3π，所求解析式为y=-3sin )32(π+x . ①方法二由图象知A=3，以M )0,3(π为第一个零点，P )0,65(π为第二个零点.列方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+πϕπωϕπω65·03·解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==322πϕω.∴所求解析式为y=3sin )322(π-x .② 变式训练3：函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜2π,x∈R)的部分图象如图，那么函数表达式为()A.y=-4sin )48(ππ-x B.y=-4sin )48(ππ+xC.y=4sin )48(ππ-x D.y=4sin )48(ππ+x答案B 小结与拓展：四、归纳与总结〔以学生为主，师生一一共同完成〕 1.知识： 2.思想与方法： 3.易错点：4.教学反思〔缺乏并查漏〕：。
三角函数的图象与性质教案
三角函数的图象与性质教案一、教学目标1. 理解三角函数的定义和基本性质。
2. 学会绘制和分析三角函数的图象。
3. 掌握三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。
4. 能够应用三角函数的性质解决问题。
二、教学内容1. 三角函数的定义和基本性质。
2. 三角函数的图象绘制方法。
3. 三角函数的周期性性质。
4. 三角函数的奇偶性性质。
5. 三角函数的单调性性质。
三、教学重点与难点1. 三角函数的定义和基本性质的理解。
2. 三角函数图象的绘制和分析。
3. 三角函数周期性、奇偶性、单调性的理解和应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，展示三角函数的图象和性质。
2. 利用数学软件或图形计算器进行图象绘制和分析。
3. 引导学生通过观察、分析和归纳三角函数的性质。
4. 利用例题和练习题巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：三角函数的定义和基本性质。
2. 第二课时：三角函数的图象绘制方法。
3. 第三课时：三角函数的周期性性质。
4. 第四课时：三角函数的奇偶性性质。
5. 第五课时：三角函数的单调性性质。
六、教学目标1. 理解正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 学会应用周期性解决实际问题。
3. 掌握正弦函数、余弦函数的相位变换。
七、教学内容1. 正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 周期性在实际问题中的应用。
3. 正弦函数、余弦函数的相位变换。
八、教学重点与难点1. 周期性的理解和应用。
2. 相位变换的理解和应用。
九、教学方法1. 通过实例讲解周期性在实际问题中的应用。
2. 利用数学软件或图形计算器进行相位变换的演示。
3. 引导学生通过观察、分析和归纳正弦函数、余弦函数的周期性和相位变换。
十、教学安排1. 第六课时：正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 第七课时：周期性在实际问题中的应用。
3. 第八课时：正弦函数、余弦函数的相位变换。
十一、教学目标1. 理解正切函数的图象和性质。
2. 学会应用正切函数解决实际问题。
3. 掌握正切函数的周期性和奇偶性。
高三数学一轮复习三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
6．对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图： 五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
二．典例分析考点一：三角函数的定义域与值域典题导入(1)(2013·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ． B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，试求其值域．解：令t ＝sin x ，则t ∈．∴y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54.∴y ∈．∴函数的值域为．由题悟法1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法1． (1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________．(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析：(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2k ∈Z .利用数轴可得 函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4 (2)B考点二：三角函数的单调性典题导入(2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求：(1)函数的周期；(2)求函数在上的单调递减区间．由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间．(2)形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．(3)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似．以题试法2．(1)函数y ＝|tan x |的增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：(1)作出y ＝|tan x |的图象，观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z . (2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，而c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7， 所以c <a <b .答案：(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z (2)B考点三：三角函数的周期性与奇偶性典题导入(2012·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题：①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C.C由题悟法1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|； (3)利用图象． 3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．以题试法3．(1)(2013·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2(2)(2012·遵义模拟)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0B ．(0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 解析：(1)选A 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数．(2)选C 由条件得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a＝2π，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0.板书设计 三角函数的图像与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间3．函数Bx A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 4．对称轴与对称中心 5．五点法作图教学三角函数的图像与性质是三角函数的重点知识之一，复习时，要让学生熟练记忆三角函数的图。
高中数学一轮复习三角函数的图象与性质优秀教案
例1解答 学生解答区域 计算区域
变式解答
教学后记
本节课能按照学校的“学-讲-练”教学模式推进教学，学生在整个教学中参与度高，参与面广，在教师的引导下对高考重点考点掌握较好。根据当前的内容，设置情景材料和生动的PPT进行配合教学，增强学生对知识的理解，提高学生数学计算能力。师
授课班级
高三
授课时间
教学流程安排
学生活动设计
教学目标：1.理解三角函数的性质。2。掌握常规题的做法。3培养学生的观察，分析，理解，探索能力。
教学重难点：.掌握单调性和周期及最值的性质
温故知新：对于考试的知识进行回顾
教学流程设计
学生活动设计
学生动手操作
探究与实践：根据例题进行变式研究，自己探究和总结。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义和基本概念。
2. 学会绘制和分析三角函数的图像。
3. 掌握三角函数的性质，并能应用于实际问题。
二、教学重点：1. 三角函数的定义和图像。
2. 三角函数的性质。
三、教学难点：1. 三角函数图像的绘制和分析。
2. 理解和应用三角函数的性质。
四、教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 三角函数图像的示例。
3. 练习题和解答。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如温度、声音等，引入三角函数的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解三角函数的定义和基本概念，引导学生理解三角函数的周期性和奇偶性。
3. 演示：使用课件或黑板，展示三角函数的图像，让学生观察和分析图像的形状和特点。
4. 练习：让学生绘制一些简单的三角函数图像，并分析其性质。
5. 讲解：讲解三角函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，引导学生理解和应用。
6. 练习：让学生解决一些实际问题，运用三角函数的性质进行计算和分析。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调三角函数的图像和性质的重要性。
8. 作业：布置一些练习题，让学生巩固所学内容。
六、教学反思：本节课通过实例引入三角函数的概念，激发学生的兴趣。
通过讲解和演示，让学生理解和掌握三角函数的图像和性质。
通过练习和实际问题解决，让学生应用所学知识。
整个教学过程中，注意引导学生主动参与，培养学生的动手能力和思维能力。
作业的布置有助于巩固所学内容。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
六、教学目标：1. 能够运用三角函数的性质解决简单的三角方程和不等式问题。
2. 理解正弦、余弦和正切函数的图像是如何由基础函数通过平移、伸缩等变换得到的。
3. 能够分析实际问题，选择合适的三角函数模型进行求解。
七、教学重点：1. 三角函数图像的变换规律。
2. 三角方程和不等式的求解方法。
八、教学难点：1. 理解三角函数图像的变换规律及其对函数性质的影响。
2. 解决实际问题中三角函数的应用。
三角函数的图象与性质教案
三角函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 让学生理解三角函数的定义和基本概念，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质。
2. 培养学生运用数形结合的思想方法研究三角函数的图象与性质。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学审美能力。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图象与性质。
2. 教学难点：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质的推导和应用。
三、教学方法与手段：1. 教学方法：采用讲练结合、师生互动、分组讨论等教学方法。
2. 教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。
四、教学过程：1. 导入新课：通过复习三角函数的定义和基本概念，引导学生关注三角函数的图象与性质。
2. 讲解与示范：讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质，并通过多媒体课件展示图象，让学生直观地感受三角函数的性质。
五、课后作业：1. 绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图象，并分析它们的性质。
2. 练习题：选择适当的函数，分析它们的图象与性质，解决实际问题。
3. 思考题：探讨三角函数图象与性质的内在联系，提出自己的见解。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对三角函数图象与性质的理解和掌握程度。
2. 观察学生在课堂讨论和练习中的表现，评估他们的逻辑思维能力和数学审美能力。
3. 收集学生对思考题的解答，评价他们的思考深度和创新能力。
七、教学反思：1. 反思本节课的教学内容和方法，评估学生对新知识的接受程度。
2. 思考如何改进教学手段，提高课堂教学效果。
3. 探讨如何引导学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的应用能力。
八、教学拓展：1. 介绍三角函数在实际生活中的应用，如测量、信号处理等。
2. 引入高级三角函数的概念，如双曲函数、反三角函数等。
3. 探讨三角函数与其他数学领域的联系，如微积分、线性代数等。
九、教学资源：1. 多媒体课件：三角函数图象与性质的动态展示。
2. 练习题库：涵盖各种难度的练习题。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案三角函数的图象与性质
第三节 三角函数的图象与性质三角函数的图象及性质能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性． 知识点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 和性质 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图 象定义域RR⎩⎨⎧x ⎪⎪ x ≠π2 } ＋k π，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：⎣⎡ 2k π－π2， ⎦⎤2k π＋π2(k ∈Z )递减区间：⎣⎡2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2(k ∈Z )递增区间： [2k π－π，2k π](k ∈Z ) 递减区间： [2k π，2k π＋π] (k ∈Z )递增区间：⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2(k ∈Z )最 值x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值奇偶性 奇函数偶函数 奇函数 对称性对称中心(k π，0)，k ∈Z对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0，k∈Z对称中心⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z对称轴l ：x ＝k π＋π2，k ∈Z对称轴l ：x ＝k π，k ∈无对称轴Z周期性 2π2ππ易误提醒1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 必记结论 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测练习]1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z 解析：由3x ≠π2＋k π，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点． 答案：B4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：53π4＋2k π(k ∈Z ) 考点一 三角函数的定义域、值域|1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 答案：C2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎨⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． (3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二 三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin t 在区间⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减．∴π2ω＋π4≥π2，且ωπ＋π4≤32π，解之得12≤ω≤54.答案：A2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调区间． 解：把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： 1．三角函数的周期性． 2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心． 4．三角函数性质的综合应用． 探究一 三角函数的周期性1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为________． 解析：∵y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期T ′＝π， ∴T ＝T ′2＝π2.答案：π22．(2015·高考湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝⎛⎭⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2. 答案：π2探究二 三角函数的奇偶性3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.答案：C探究三 三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.答案：C探究四 三角函数性质的综合应用6．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 解析：∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称． 答案：C7．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． (2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题．[解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]． 又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组 考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0， ∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， ∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2πω≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2. 答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，故选D. 答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk<2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题． 答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12，即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12. B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：由周期公式T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x 解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。
三角函数的图像与性质复习教案
三角函数的图像与性质复习教案一、教学目标：1. 回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念和公式。
2. 提高学生对三角函数图像与性质的理解和运用能力。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 三角函数的图像与性质的基本概念和公式。
2. 三角函数的周期性及其图像。
3. 三角函数的奇偶性及其图像。
4. 三角函数的单调性及其图像。
5. 三角函数的极值及其图像。
三、教学重点与难点：1. 三角函数的周期性及其图像。
2. 三角函数的奇偶性及其图像。
3. 三角函数的单调性及其图像。
4. 三角函数的极值及其图像。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念和公式。
2. 采用案例分析法，分析三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的图像特点。
3. 采用练习法，让学生通过练习题目的形式，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：通过复习三角函数的图像与性质的基本概念和公式，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解三角函数的周期性及其图像，引导学生理解周期性的含义和周期函数的图像特点。
3. 分析：分析三角函数的奇偶性及其图像，引导学生理解奇偶性的含义和奇偶函数的图像特点。
4. 讲解：讲解三角函数的单调性及其图像，引导学生理解单调性的含义和单调函数的图像特点。
5. 分析：分析三角函数的极值及其图像，引导学生理解极值的含义和极值函数的图像特点。
6. 练习：布置练习题目，让学生通过练习的形式，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调三角函数的图像与性质的重要性。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解和掌握三角函数的图像与性质的基本概念和公式，提高他们对三角函数图像与性质的理解和运用能力。
要关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导，帮助他们解决学习中的问题。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对三角函数图像与性质的基本概念和公式的掌握程度。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）学会分析三角函数图像的变化规律；（3）能够运用三角函数的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角函数图像的特性；（2）利用数形结合的方法，研究三角函数的性质；（3）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对三角函数的兴趣，培养学习的积极性；（2）引导学生感受数学的美丽和实用性，提高学生的数学素养；（3）培养学生合作、探究的精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）能够运用三角函数的性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）三角函数图像的变换规律；（2）三角函数性质的深入理解。
三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用问题驱动法，引导学生探究三角函数的图像与性质；（2）运用数形结合的方法，帮助学生直观地理解三角函数的性质；（3）采用小组合作、讨论的方式，培养学生的团队合作能力。
2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，展示三角函数的图像和性质；（2）利用数学软件，进行函数图像的动态演示；（3）提供充足的练习题，巩固所学知识。
四、教学内容与步骤1. 导入新课：（1）复习已知三角函数的图像和性质；（2）引出本节课要学习的内容：三角函数的图像与性质。
2. 探究正弦函数的图像与性质：（1）展示正弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析正弦函数的性质；3. 探究余弦函数的图像与性质：（1）展示余弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析余弦函数的性质；4. 探究正切函数的图像与性质：（1）展示正切函数的图像；（2）引导学生观察、分析正切函数的性质；五、课堂练习与拓展1. 课堂练习：（1）根据给定的函数式，绘制函数图像；（2）根据函数图像，分析函数的性质；（3）解决实际问题，运用三角函数的性质。
高三 一轮复习 三角函数的图象及性质 教案
三角函数图像与性质正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图像定义域 R R{x |x ∈R ，且x ≠ k π＋π2，k ∈Z }值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性⎣⎡2k π－π2，2k π＋⎦⎤π2为增；[ 2k π＋⎦⎤π2，2k π＋3π2为减[2k π，2k π＋π]为 减；[2k π－π，2k π]为增⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2为增对称 中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴x ＝k π＋π2x ＝k π无1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． [试一试]1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是________．2．函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫－π4≤x ≤3π4的值域是________．1．三角函数单调区间的求法先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 2．求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图像写出函数的值域； (2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． [练一练]1．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是________．2．(2013·天津高考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．考点一三角函数的定义域与值域1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．2．(2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．3．(1)函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解． 2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．考点二三角函数的单调性[典例] 求下列函数的单调递减区间： (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4；(2)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x .若将本例(1)改为“y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4”，如何求解？[类题通法]三角函数的单调区间的求法(1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． [针对训练]1．(2013·盐城二模)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．2．(2013·苏北四市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．考点三三角函数的对称性与奇偶性正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有：(1)求三角函数的对称轴或对称中心； (2)由三角函数的对称性求参数值； (3)三角函数对称性的应用.角度一 求三角函数的对称轴或对称中心1．(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．角度二 由三角函数的对称性求参数值2．(2014·连云港期末)若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.3．已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．角度三 三角函数对称性的应用4.(2014·辽宁五校联考)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．[类题通法]1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．[课堂练通考点]1．(2014·常州统考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的单调增区间是________．2．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为________．3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________．4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________．5．(2013·南京二模)对函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题： (1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )的最小正周期是2π；(3)点(π，0)是函数f (x )的图像的一个对称中心；(4)函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递减． 其中是真命题的是________(填序号)．。
高三数学一轮复习精品教案2：三角函数的图象和性质教学设计
第三节三角函数的图象与性质1．周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝tan 3x 的定义域为( ) A ．{x |x ≠32π＋3k π，k ∈Z} B ．{x |x ≠π6＋k π，k ∈Z}C ．{x |x ≠－π6＋k π，k ∈Z}D ．{x |x ≠π6＋k π3，k ∈Z}『解析』 由3x ≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠π6＋k π3，k ∈Z ，故选D.『答案』 D2．函数f (x )＝2cos(x ＋5π2)是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的偶函数『解析』 f (x )＝2cos(x ＋52π)＝2cos(x ＋π2)＝－2sin x ，故f (x )是最小正周期为2π的奇函数．『答案』 A3．(2012·福建高考)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2『解析』 法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z.取k ＝－1，则x ＝－π4.法二 x ＝π4时，y ＝sin(π4－π4)＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin(π2－π4)＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin(－π4－π4)＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y ＝sin(－π2－π4)＝－22，不合题意，故D 项也不正确．『答案』 C4．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10)．『解析』 ∵－π2＜－π10＜－π18＜0，∴sin(－π18)＞sin(－π10)．『答案』 ＞5．函数y ＝2－3cos(x ＋π4)的最大值为________，此时x ＝________．『解析』 当cos(x ＋π4)＝－1时，函数有最大值5，此时，x ＋π4＝π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝34π＋2k π，k ∈Z.『答案』 5 34π＋2k π，k ∈Z三角函数的定义域和值域(1)(2012·山东高考)函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．『思路点拨』 (1)先确定πx 6－π3的范围，再数形结合求最值；(2)由tan x －1≠0且x ≠k π＋π2，k ∈Z 求解． 『尝试解答』 (1)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin(π6x －π3)∈『－32，1』．∴y ∈『－3，2』，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z}．『答案』 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z},1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域(最值)的常见类型及方法．(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求解．(1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．(2)当x ∈『π6，7π6』时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．『解析』 (1)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，故函数的定义域为『2k π＋π6，2k π＋56π』(k ∈Z)．(2)∵x ∈『π6，76π』∴－12≤sin x ≤1，又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2(sin x －14)2＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.『答案』 (1)『2k π＋π6，2k π＋5π6』(k ∈Z) (2)782三角函数的单调性(2012·北京高考)已知函数f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．『思路点拨』 (1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f (x )解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx ＋φ当作一个整体放入正弦的增区间内解出x 即为增区间，不要忽略定义域．『尝试解答』 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z)， 故f (x )的定义域为{x ∈R|x ≠k π，k ∈Z}．因为f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 『2k π－π2，2k π＋π2』(k ∈Z)．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为『k π－π8，k π)和(k π，k π＋3π8』(k ∈Z)．,1．求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．2．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2013·武汉模拟)已知函数y ＝sin(π3－2x )，求：(1)函数的周期；(2)求函数在『－π，0』上的单调递减区间． 『解析』 由y ＝sin(π3－2x )可化为y ＝－sin(2x －π3)．(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.所以x ∈R 时，y ＝sin(π3－2x )的减区间为『k π－π12，k π＋5π12』，k ∈Z.取k ＝－1，0可得函数在『－π，0』上的单调递减区间为『－π，－7π12』和『－π12，0』.三角函数的奇偶性、周期性和对称性设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形；③它的图象关于点(π3，0)成中心对称图形；④在区间『－π6，0)上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．『思路点拨』 本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．『尝试解答』 若①、②成立，则ω＝2ππ＝2；令2·π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，∴φ＝π3.此时f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π3时，sin(2x ＋π3)＝sin π＝0，∴f (x )的图象关于(π3，0)成中心对称；又f (x )在『－5π12，π12』上是增函数，∴在『－π6，0)上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.『答案』 ①②⇒③④或①③⇒②④,1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解． 2．求三角函数的周期主要有三种方法：(1)周期定义；(2)利用正(余)弦型函数周期公式；(3)借助函数的图象．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列说法正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数『解析』 周期T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cos πx －1，因此函数f (x )是偶函数，故选B.『答案』 B两条性质1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．从近两年高考试题看，三角函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等是高考的热点内容，常与三角变换等知识交汇，在考查三角函数图象与性质的同时，注重考查三角变换的技能，及数形结合、转化与化归等数学思想．创新探究之四 三角函数单调性的创新应用(2012·课标全国卷)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．『12，54』B ．『12，34』C ．(0，12』 D ．(0，2』『解析』 由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆『π2，3π2』，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.『答案』 A创新点拨：(1)题目背景创新，已知三角函数在给定区间上的单调性，求参数的取值范围，考查了学生的逆向思维．(2)解法创新，本题有多种解法，但每种解法都是建立在对三角函数的单调性深刻理解基础之上的．应对措施：(1)此类题目不管背景如何新颖，都是考查对基础知识的理解与掌握，求解时可从基础知识、基本方法入手．(2)解答本题时，可根据x 的范围求出ωx ＋π4的范围，再与单调减区间『π2，3π2』相比较求解；也可先求f (x )的单调减区间，然后根据(π2，π)与单调减区间的关系求解．1．(2013·沈阳模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间『－π3，π4』上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A ．(－∞，－92』∪『6，＋∞)B ．(－∞，－92』∪『32，＋∞)C ．(－∞，－2』∪『6，＋∞)D ．(－∞，－2』∪『32，＋∞)『解析』 当ω＞0时，由－π3≤x ≤π4得－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知，－π3ω≤－π2，∴ω≥32， 当ω＜0时，由－π3≤x ≤π4得π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知，π4ω≤－π2，∴ω≤－2，综上知ω∈(－∞，－2』∪『32，＋∞)．『答案』 D2．(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．『解析』 (1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2. ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，∴sin(α－π6)＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.。
高三数学一轮复习讲义 三角函数的图像与性质教案
芯衣州星海市涌泉学校三角函数的图象与性质根底梳理1．“五点法〞描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)(π，0)(2π，0)(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数性质y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域R R {x|x≠kπ＋，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：__x＝kπ＋(k∈Z)___；对称中心：_(kπ，0)(k∈Z)___对称轴：x＝kπ(k∈Z)___；对称中心：_(kπ＋，0)(k∈Z)__对称中心：_(k∈Z)__周期2π_ 2ππ单调性单调增区间_[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)___；单调减区间[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)__单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)____；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)______单调增区间_(kπ－，kπ＋)(k∈Z)___奇偶性奇函数偶函数奇函数3.＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.假设只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或者者找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，所以1叫做y＝sinx，y＝cosx的上确界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sinx或者者cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，那么y ＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据根本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分以下两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)(1)y＝sin；(2)y＝sin.热身练习:1．函数y＝cos，x∈R()．A．是奇函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．函数y＝tan的定义域为()．A. B.C.D.3．函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程可能是()A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝【解析】令2x＋＝kπ＋，那么x＝＋(k∈Z)∴当k＝0时，x＝，选D.4．y＝sin的图象的一个对称中心是()．A．(－π，0) B.C. D.解析∵y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k∈Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin的一个对称中心是.答案B5．以下区间是函数y＝2|cosx|的单调递减区间的是()A.(0，π)B.C.D.6．函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，假设f(x)≤|f()|对任意x∈R恒成立，且f()>f(π)，那么f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)B．[kπ，kπ＋](k∈Z)C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)D．[kπ－，kπ](k∈Z)【解析】当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，∴f()＝sin(＋φ)＝±1可得φ＝2kπ＋或者者φ＝2kπ－，k∈Z∵f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ∴sinφ<0∴φ＝2kπ－由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ得x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，选C.7.函数f(x)＝cos x∈R的最小正周期为___4π_____．8..y＝2－3cos的最大值为___5_____，此时x＝_____π＋2kπ，k∈Z_________.9．函数y＝(sinx－a)2＋1，当sinx＝1时，y取最大值；当sinx＝a时，y取最小值，那么实数－1≤a≤0.10．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间[，]上的最大值是.【解析】∵f(x)＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin(2x－)＋，又≤x≤，∴≤2x－≤.∴当2x－＝即x＝时，f(x)取最大值.题型一与三角函数有关的函数定义域问题例1求以下函数的定义域：(1)y＝lgsin(cosx)；(2)y＝.解(1)要使函数有意义，必须使sin(cosx)>0.∵－1≤cosx≤1，∴0<cosx≤1.利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0<OM≤1， ∴OM 只能在x 轴的正半轴上，∴其定义域为{x|－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z}. (2)要使函数有意义，必须使sinx －cosx≥0.利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sinx 和y ＝cosx 的图象，如下列图. 在[0,2π]内，满足sinx ＝cosx 的x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π， 所以定义域为.变式训练1(1)求函数y lg(2sin 1)tan 1cos()28x x x π-+--=+的定义域；解(1)要使函数有意义，那么 ⇒图①如图①利用单位圆得：∴函数的定义域为{x|2kπ＋<x<2kπ＋，k∈Z}. (2)求函数y 122log tan x x =++的定义域.要使函数有意义 那么⇒利用数轴可得图②图②∴函数的定义域是{x|0<x<或者者π≤x≤4}. 题型二、三角函数的五点法作图及图象变换 例2函数f(x)＝4cosxsin(x ＋)－1. (1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图；(2)该函数图象可由y ＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？ 【解析】(1)y ＝f(x)＝4cosxsin(x ＋)－1 ＝4cosx(sinx ＋cosx)－1＝sin2x ＋2cos2x －1 ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋)2x＋0π2πx－y020－20∴函数y＝f(x)在[－，]上的图象如下列图．【点评】“五点法作图〞应抓住四条：①化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或者者y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点．当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．题型三三角函数图象与解析式的互相转化例3函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如下列图．(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．【解析】(1)由图可知A＝2，＝，那么＝4×∴ω＝.又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0∴sin(φ－)＝0∵0<φ<，∴－<φ－<∴φ－＝0，即φ＝∴f(x)＝2sin(x＋)．(2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x＋)∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×＝2－2cos(3x＋)∵x∈[－，]∴－≤3x＋≤，∴当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.【点评】根据y＝Asin(ωx＋φ)＋K的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A确实定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；②K确实定：根据图象的最高点和最低点，即K＝；③ω确实定：结合图象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)来确定ω；④φ确实定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx ＋φ＝0，x＝－)确定φ.例4假设方程sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数根x1，x2，求a的取值范围，并求此时x1＋x2的值．【解析】∵sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0,2π]，作出y＝2sin(x＋)在[0,2π]内的图象如图．由图象可知，当1＜a＜2或者者－2＜a＜1时，直线y＝a与y＝2sin(x＋)有两个交点，故a的取值范围为a∈(－2,1)∪(1,2)．当1＜a＜2时，x1＋＋x2＋＝π.∴x1＋x2＝.当－2＜a＜1时，x1＋＋x2＋＝3π，∴x1＋x2＝.【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形〞的特征．例4函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的间隔为，且图象上一个最低点为M(，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，并求满足g(x)≥且x∈[0，π]的实数x的取值范围．【解析】(1)由函数图象的最低点为M(，－2)，得A＝2，由x轴上相邻两个交点间的间隔为，得＝，即T＝π，∴ω＝＝2.又点M(，－2)在图象上，得2sin(2×＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，故＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－，又φ∈(0，)，∴φ＝.综上可得f(x)＝2sin(2x＋)．(2)将f(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位，得到f1(x)＝2sin[2(x－)＋]，即f1(x)＝2sin2x的图象，然后将f1(x)＝2sin2x的图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin(2·2x)，即g(x)＝2sin4x.由得.那么即.故≤x≤或者者≤x≤.题型四、三角函数的奇偶性与周期性及应用例1函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜.(1)假设cos cosφ－sin sinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，假设函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的间隔等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．【解析】(1)由cos cosφ－sin sinφ＝0得cos(＋φ)＝0.∵|φ|<，∴φ＝.(2)由得＝，∴T＝，ω＝3∴f(x)＝sin(3x＋)．设函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)，那么g(x)＝sin[3(x＋m)＋]＝sin(3x＋3m＋)g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)即m＝＋(k∈Z)∴最小正实数m＝.题型五三角函数的单调性与周期性例2写出以下函数的单调区间及周期：(1)y＝sin；(2)y＝|tanx|.解(1)y＝ sin，它的增区间是y＝sin的减区间，它的减区间是y＝sin的增区间.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的减区间为，k∈Z；增区间为，k∈Z.最小正周期T＝＝π.(2)观察图象可知，y＝|tanx|的增区间是，k∈Z，减区间是，k∈Z.最小正周期：T＝π.探究进步(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或者者y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原那么是：①把“ωx＋φ(ω>0)〞视为一个“整体〞；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y ＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向一样(反).(2)对于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)，其周期T＝，单调区间利用ωx＋φ∈，解出x的取值范围，即为其单调区间.(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象断定.变式训练2(1)求函数y＝sin＋cos的周期、单调区间及最大、最小值；(2)函数f(x)＝4cosxsin －1.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)在区间上的最大值和最小值.解:y ＝sin ＋cos 11cos 4sin 4cos 4sin 42222x x x x =+++ (1)周期为T=242,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈函数的递增区间为(k∈Z)；3242,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈函数的递减区间为(k∈Z) ymax ＝2；ymin ＝－2 (2)f(x)＝4cosxsin －114cos cos )12x x x =+-2cos 2cos 1x x x =+-2cos 22sin(26)x x x π=+=+x ∈,22[,]663x πππ+∈-最大值为2；最小值为－1题型六、三角函数的对称性与单调性及应用例2向量m ＝(sin2x －1，cosx)，n ＝(1,2cosx)，设函数f(x)＝m n ⋅，x∈R. (1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)求函数f(x)的单调递增区间． 【解析】(1)f(x)＝m·n＝sin2x －1＋2cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋) ∴对称轴方程为：2x ＋＝kπ＋，即x ＝＋(k∈Z)． (2)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得－＋kπ≤x≤kπ＋ ∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)． 【点评】对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)：①假设求y ＝f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求出x ； 假设求y ＝f(x)的对称中心的横坐标，只零令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求出x ； ②假设求y ＝f(x)的单调增区间，只需令2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x ； 假设求y ＝f(x)的单调减区间，只需令2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x. 题型七三角函数的对称性与奇偶性例3(1)f(x)＝sinx ＋cosx(x∈R)，函数y ＝f(x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，那么φ的值是________. (2)假设函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为() A.B.C.D.(1)f (x)＝2sin π()3x +，y ＝f(x ＋φ)＝2sin ()3x πϕ++图象关于x ＝0对称， 即f(x ＋φ)为偶函数．∴＋φ＝＋kπ，k∈Z， 即φ＝kπ＋，k∈Z，所以当k ＝0时，φ＝. (2)A 3cos 4(2)3πϕ⨯+＝3cos 2π(2π)3ϕ++＝3cos 2()0,3πϕ+= ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z， 取k ＝0，得|φ|的最小值为.应选探究进步假设f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，那么当x ＝0时，f(x)获得最大或者者最小值.假设f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，那么当x ＝0时，f(x)＝0. 假设求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x. 假设求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.变式训练3(1)函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴是x ＝，那么函数g(x)＝asinx ＋cosx 的最大值是()A.B.C.D.由题意得f(0)＝f 10()3π，∴a＝－－.∴a＝－,g(x)＝－sinx ＋cosx ＝sin 2()3x π+， ∴g(x)max＝.(2)假设函数f(x)＝asinωx＋bcosωx(0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝，函数f′(x)的图象的一个对称中心是，那么f(x)的最小正周期是________.(1)B(2)π 由题设，有π()4f ω＝±，即(a ＋b)＝±，由此得到a ＝b. 又()08f π'=，所以aω(cos sin )88πωπω-＝0，从而tan ＝1，＝kπ＋，k∈Z，即ω＝8k ＋2，k∈Z，而0<ω<5，所以ω＝2， 于是f(x)＝a(sin2x ＋cos2x)＝asin (2)4x π+故f(x)的最小正周期是π.题型八三角函数的值域与最值的求法及应用 例3(1)求函数y ＝的值域；(2)求函数y ＝sinxcosx ＋sinx ＋cosx 的最值；(3)假设函数f(x)＝1cos 24sin()2x x π++－asin ·cos(π－)的最大值为2，试确定常数a 的值．【解析】22sin (1sin )11sin x x x-+（）y=＝2sinx(1－sinx)＝2sinx －2sin2x ＝－2(sinx －)2＋. ∵1＋sinx≠0，∴－1＜sinx≤1.∴－4＜y≤.故函数y ＝的值域为(－4，]．(2)令t ＝sinx ＋cosx ，那么sinxcosx ＝，且|t|≤. ∴y＝(t2－1)＋t ＝(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，ymin ＝－1；当t ＝时，ymax ＝＋. (3)f(x)＝＋asincos ＝cosx ＋sinx ＝sin(x ＋φ)，(其中tanφ＝) 由得＝2，解得a ＝±.【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法． (1)y ＝asinx ＋bcosx 型，可引用辅角化为y ＝sin(x ＋φ)(其中tanφ＝)．(2)y ＝asin2x ＋bsinxcosx ＋ccos2x 型，可通过降次整理化为y ＝Asin2x ＋Bcos2x ＋C. (3)y ＝asin2x ＋bcosx ＋c 型，可换元转化为二次函数． (4)sinxcosx 与sinx±cosx 同时存在型，可换元转化．(5)y ＝(或者者y ＝)型，可用别离常数法或者者由|sinx|≤1(或者者|cosx|≤1)来解决，也可化为真分式去求解．(6)y ＝型，可用斜率公式来解决．例4函数f(x)＝sin2x ＋acos2x(a∈R，a 为常数)，且是函数y ＝f(x)的一个零点． (1)求a 的值，并求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．【解析】(1)由是y＝f(x)的零点得f()＝sin＋acos2＝0，求解a＝－2，那么f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝sin(2x－)－1，故f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由x∈[0，]得2x－∈[－，]，那么－≤sin(2x－)≤1，因此－2≤sin(2x－)－1≤－1，故当x＝0时，f(x)取最小值－2，当x＝时，f(x)取最大值－1.设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2(－x)满足f(－)＝f(0)，求函数f(x)在[，]上的最大值和最小值．【解析】f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x由f(－)＝f(0)得－·＋＝－1，解得a＝2.∴f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)当x∈[，]时，2x－∈[，]，f(x)为增函数．当x∈[，]时，2x－∈[，]，f(x)为减函数．∴f(x)在[，]上的最大值为f()＝2又∵f()＝，f()＝∴f(x)在[，]上的最小值为f()＝.题型九分类讨论及方程思想在三角函数中的应用例题：函数f(x)＝－2asin＋2a＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，(1)求a和b的值.(2)假设a＞0，设g(x)＝f且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．点评①求出2x＋的范围，求出sin(2x＋)的值域.②系数a的正、负影响着f(x)的值，因此要分a>0，a<0两类讨论.③根据a>0或者者a<0求f(x)的最值，列方程组求解.解(1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈，∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin－1，g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1，又由lgg(x)＞0得g(x)＞1，∴4sin－1＞1，∴sin＞，∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.三角函数的图象与性质练习一一、选择题1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，以下选项正确的选项是()A．f(x)在(，)上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2【解析】f(x)＝sin2xf(x)在(，)上是递减的，A错；f(x)的最小正周期为π，C错；f(x)的最大值为1，D错；选B.2．假设α、β∈(－，)，那么“α＜β〞是“tanα＜tanβ〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】α、β∈(－，)，tanx在此区间上单调递增．当α＜β时，tanα＜tanβ；当tanα＜tanβ时，α＜β.应选C.3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，那么f(x)的图象()A．关于点(，0)对称B．关于直线x＝对称C．关于点(，0)对称D．关于直线x＝对称【解析】由得ω＝2，那么f(x)＝sin(2x＋φ)设平移后的函数为g(x)，那么g(x)＝sin(2x＋＋φ)(|φ|<)且为奇函数∴φ＝－，f(x)＝sin(2x－)∴图象关于直线x＝对称，选B.4．f(x)＝sinx，x∈R，g(x)的图象与f(x)的图象关于点(，0)对称，那么在区间[0,2π]上满足f(x)≤g(x)的x的取值范围是()A．[，] B．[，]C．[，] D．[，]【解析】设(x，y)为g(x)的图象上任意一点，那么其关于点(，0)对称的点为(－x，－y)，由题意知该点必在f(x)的图象上．∴－y＝sin(－x)，即g(x)＝－sin(－x)＝－cosx，由得sinx≤－cosx⇒sinx＋cosx＝sin(x＋)≤0又x∈[0,2π]∴≤x≤.5．函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cos(ωx＋φ)，假设对任意x∈R，都有f(＋x)＝f(－x)，那么g()＝____.【解析】由f(＋x)＝f(－x)，知y＝f(x)关于直线x＝对称，∴sin(ω·＋φ)＝±1.∴g()＝3cos(ω·＋φ)＝3＝0.6．设函数f(x)＝2sin(＋)，假设对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，那么|x2－x1|的最小值为____.【解析】由“f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立〞，可得f(x1)、f(x2)分别是f(x)的最小值、最大值．∴|x2－x1|的最小值为函数f(x)的半周期，又T＝＝4.∴|x2－x1|min＝2.7．函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，]时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．【解析】(1)f′(x)＝cosx－sinx＝－sin(x－)∴y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin(2x＋)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]∴sin(2x＋)∈[－，1]，∴函数F(x)的值域为[0,1＋]．8．设函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)－1，将函数f(x)的图象向左平移α个单位，得到函数y＝g(x)的图象．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)假设0＜α＜，且g(x)是偶函数，求α的值．【解析】(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)g(x)＝f(x＋α)＝sin[2(x＋α)＋]＝sin(2x＋2α＋)，g(x)是偶函数，那么g(0)＝±＝sin(2α＋)，∴2α＋＝kπ＋，k∈Z.α＝＋(k∈Z)，∵0＜α＜，∴α＝.三角函数的图象与性质练习二1.函数f(x)＝sin 图象的对称轴方程可以为() A.x ＝ B.x ＝C.x ＝ D.x ＝解析令2x ＋＝kπ＋(k∈Z)，得x ＝＋(k∈Z)，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x ＝.此题也可用代入验证法来解．答案D2.y ＝sin 的图象的一个对称中心是() A.(－π，0) B.C. D.3.函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝对称，那么φ的可能取值是() A. B.－C. D.二、填空题4.函数y ＝lg(sinx)＋的定义域为____(2k ,2k ]3πππ+(k∈Z)_________. 5.函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全一样.假设x∈[0，]，那么f(x)的取值范围是____32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，3___________. 4．函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于________．解析因为f(x)＝2sinωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin ω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.答案6.关于函数f(x)＝4sin (x∈R)，有以下命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y ＝4cos ；③y＝f(x)的图象关于点对称；④y＝f(x)的图象关于直线x ＝－对称.其中正确命题的序号是___________.②③解析函数f(x)＝4sin 的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的间隔是＝知①错．利用诱导公式得f(x)＝4cos ＝4cos ＝4cos ，知②正确．由于曲线f(x)与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－代入得f(x)＝4sin ＝4sin0＝0，因此点是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或者者最低点，且与y 轴平行，而x ＝－时y ＝0，点不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．答案②③三、解答题7.设函数f(x)＝sin(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间.解(1)－(2)由(1)得：f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.8.(1)求函数y＝2sin(－<x<)的值域；(2)求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域.解(1)∵－<x<，∴0<2x＋<，∴0<sin≤1，∴y＝2sin的值域为(0,2].(2)y＝2cos2x＋5sinx－4＝2(1－sin2x)＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝－22＋.∴当sinx＝1时，ymax＝1，当sinx＝－1时，ymin＝－9，∴y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为[－9,1].三角函数的图象与性质练习三一、选择题1.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，假设f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，那么f的值是()A.－B.C.－D.2.函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，那么ω的最小值等于()A. B. C.2 D.33.函数f(x)＝cos2x＋sin是()A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.有最大值又有最小值的偶函数二、填空题4.设定义在区间(0，)上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，那么线段P1P2的长为___________.5.函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω＝___________.解析因为f(x)＝2sinωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sinω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.答案6.给出以下命题：①函数y＝cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα＝；③假设α、β是第一象限角且α<β，那么tanα<tanβ；④x＝是函数y＝sin的一条对称轴；⑤函数y＝sin的图象关于点成中心对称图形.其中正确的序号为___________.三、解答题7.假设函数f(x)＝sin2ax－sinax·cosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列.(1)求m的值；(2)假设点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标.7.解(1)f(x)＝(1－cos2ax)－sin2ax＝－(sin2ax＋cos2ax)＋＝－sin＋.∵y＝f(x)的图象与y＝m相切，∴m为f(x)的最大值或者者最小值，即m＝或者者m＝.(2)∵切点的横坐标依次成公差为的等差数列，∴f(x)的最小正周期为.T＝＝，a>0，∴a＝2，即f(x)＝－sin＋.由题意知sin＝0，那么4x0＋＝kπ(k∈Z)，∴x0＝－(k∈Z).由0≤－≤(k∈Z)得k＝1或者者2，因此点A的坐标为，.三角函数的图象与性质练习四一、选择题1．函数f(x)＝2sinxcosx是()．A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数解析f(x)＝2sinxcosx＝sin2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．答案C2．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()．A．[－1,1]B.C.D.解析(数形结合法)y＝sin2x＋sinx－1，令sinx＝t，那么有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图象如下列图，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.答案C3．假设函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么ω＝()．A.B.C．2D．3解析由题意知f(x)的一条对称轴为x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，那么f(x)的周期T＝，从而ω＝.答案B4．函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为()．A．2πB.C．πD.解析依题意，得f(x)＝cosx＋sinx＝2sin.故最小正周期为2π.答案A5．以下函数中，周期为π，且在上为减函数的是()．A．y＝sin B．y＝cosC．y＝sin D．y＝cos解析(挑选法)∵函数的周期为π.∴排除C、D，∵函数在上是减函数，∴排除B.答案A【点评】此题采用了挑选法，表达了挑选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.6．函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的选项是()．A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数解析∵y＝sin ＝－cosx ，∴T＝2π，在上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数．答案D二、 填空题7.y=－|sin 〔x+4π〕|的单调增区间为___［kπ+π4，kπ+3π4］〔k∈Z〕_____. 8.要得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 3πx y 的图象，可以将函数y=3sin2x 的图象向左平移_8π__单位. 9.假设动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，那么MN 的最大值为____.10函数(02x π≤≤)的值域是_____[-1,0]_____. 11.()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，那么ω＝__________．14312、给出下面的3个命题：〔1〕函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；〔2〕函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；〔3〕45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是． 13．假设函数f(x)＝cosωxcos(ω＞0)的最小正周期为π，那么ω的值是________．解析f(x)＝cosωxcos＝cosωxsinωx＝sin2ωx，∴T＝＝π.∴ω＝1.答案114．函数y ＝tan 的图象与x 轴交点的坐标是______．解析由2x ＋＝kπ，k∈Z，得：x ＝－，k∈Z，故交点坐标为(k∈Z)．答案(k∈Z)15．函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋cos(x ＋θ)是偶函数，那么θ的值是________．解析(回忆检验法)据可得f(x)＝2sin ，假设函数为偶函数，那么必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．答案三、解答题16．f(x)＝sinx ＋sin.(1)假设α∈[0，π]，且sin2α＝，求f(α)的值；(2)假设x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．解(1)由题设知f(α)＝sinα＋cosα.∵sin2α＝＝2sinα·cosα＞0，α∈[0，π]，∴α∈，sinα＋cosα＞0.由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinα·cosα＝，得sinα＋cosα＝，∴f(α)＝.(2)由(1)知f(x)＝sin ，又0≤x≤π，∴f(x)的单调递增区间为.17．设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝.(1)求φ；(2)求函数y ＝f(x)的单调增区间．解(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，又－π＜φ＜0，那么－＜k ＜－，k∈Z，∴k＝－1，那么φ＝－.(2)由(1)得：f(x)＝sin ，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，因此y ＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.18、设函数2()sin()2cos 1468x x f x πππ=--+．〔1〕求()f x 的最小正周期． 〔2〕假设函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值． 解：〔Ⅰ〕()f x =sin cos cos sin cos 46464x x x πππππ--=3cos 424x x ππ-sin()43x ππ- 故()f x 的最小正周期为T=24ππ=8(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x -.由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而=sin[]243x πππ--cos()43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为 解法二： 因区间4[0,]3关于x=1的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于x=1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值由〔Ⅰ〕知()f x sin()43x ππ-当223x ≤≤时，6436ππππ-≤-≤因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max 6g π== 19、设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)m x =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 〔1〕务实数m 的值；〔2〕求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合．(3)求函数的单调区间；(4)函数图象沿向量c 平移得到x y 2sin 2=的图象,求向量c 。
三角函数图像与性质教学设计(优秀4篇)
三角函数图像与性质教学设计（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角函数的图像与性质复习教案
三角函数的图像与性质复习教案一、教学目标1. 回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念。
2. 提高学生对三角函数图像与性质的理解和应用能力。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 三角函数的图像与性质的基本概念。
2. 三角函数图像的绘制方法。
3. 三角函数性质的推导和应用。
三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的图像与性质的基本概念和应用。
2. 难点：三角函数性质的推导和应用。
四、教学方法与手段1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。
五、教学过程1. 导入：通过复习已学过的三角函数图像与性质的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解三角函数图像与性质的基本概念，结合实际例子进行解释和演示。
3. 练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学的知识。
4. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自的解题方法和思路。
六、教学评估1. 课堂练习：及时给予学生反馈，指出其错误，帮助学生纠正。
2. 课后作业：布置相关的作业，巩固所学知识，并及时批改，给予评价和建议。
3. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，了解其对知识的理解和应用能力。
七、教学拓展1. 邀请相关领域的专家或企业人士进行讲座或实践操作，让学生了解三角函数在实际生活中的应用。
2. 组织学生进行实地考察，如测量物体的高度等，运用三角函数解决实际问题。
3. 开展三角函数主题的研究性学习，培养学生的独立思考和探究能力。
八、教学反思1. 在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。
2. 反思教学内容，确保涵盖了三角函数图像与性质的重点和难点。
3. 思考如何激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度和积极性。
九、教学计划与进度安排1. 制定详细的教学计划，明确每个阶段的教学目标和内容。
2. 根据学生的学习情况，合理调整教学进度，确保教学效果。
3. 定期进行教学评价，了解学生的学习进展，为后续教学提供参考。
高中数学 高三一轮 3.3 三角函数的图象和性质【教案】
高三一轮（理） 3。
3 三角函数的图象和性质【教学目标】1。
能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间错误!内的单调性。
【重点难点】1.教学重点：函数y＝sin x,y＝cos x，y＝tan x的图象和性质；2。
教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】真题再现2.【2014上海】 函数 的最小正周期是________ 【解析】由题意13.(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________.学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。
(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象 如图所示，则f (x )的单调递减区间为()A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，典例 (1)(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x解析 (1)选项A 中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意.6.(2016高考新课标1)已知函数为的零点, 为 图像的对称轴, 且在单调，则的最大值为（）环节二：知识梳理:知识点1 用五点法作图正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：（0,0)，错误!，(π，0),错误!,(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π］的图象中，五个关键点是:(0,1)，错误!,(π，－1），错误!，(2π,1）．知识点2 周期函数与最小正周期引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握三角函数的图像与性质，能够运用三角函数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索三角函数的图像与性质。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作能力。
二、教学内容：1. 三角函数的定义与图像2. 三角函数的周期性3. 三角函数的奇偶性4. 三角函数的单调性5. 三角函数的极值三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图像与性质的掌握。
2. 教学难点：三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的图像与性质。
2. 利用多媒体手段，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入高中阶段的学习。
2. 探究三角函数的图像与性质：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点，归纳出性质。
3. 讲解与示范：教师讲解三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断方法，并进行示范。
4. 练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
教案编写完毕，仅供参考。
如有需要，请根据实际情况进行调整。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，评价学生的学习态度和团队协作能力。
2. 作业评价：对学生的课后作业进行批改，评价学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 单元测试评价：在单元结束后进行测试，评价学生对三角函数图像与性质的掌握情况。
七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使所有学生都能跟上教学进度。
【学科精品】高考数学一轮复习 3.3三角函数的图象与性质 教案.doc
第三节 三角函数的图象与性质[考纲传真] (教师用书独具)1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．(对应学生用书第42页)[基础知识填充]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sinx ，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cosx ，x∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (2)y ＝sin |x |是偶函数．( )(3)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称．( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(2018·昆明模拟)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．直线x ＝5π2对称D ．直线x ＝－5π2对称A [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝－sin 2x 是奇函数，则图象关于原点对称，故选A ．]3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( ) A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x≠kπ＋π4，k ∈Z B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠kπ2＋π8，k ∈ZC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠kπ＋π8，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x≠kπ2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠kπ2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠kπ2＋π4，k ∈Z.] 4．(2018·长沙模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－5π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πC [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k ∈Z )，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3，故选C ．]5．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．【导学号：79170091】2 {x |x ＝6k π，k ∈Z } [f (x )min ＝4－2＝2，此时，13x ＝2k π(k ∈Z )，x ＝6k π(k ∈Z )，所以x 的取值集合为{x |x ＝6k π，k ∈Z }．](对应学生用书第43页)(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos(2－x )的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x2的定义域为________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [(1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B ． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x2≥0，得⎩⎨⎧kπ＜x ＜kπ＋π2，k ∈Z ，－3≤x≤3，∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2， ∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.][规律方法] 1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求解． [变式训练1] (1)已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．3＋2D ．2－ 3(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x|≤π4的最大值与最小值．(1)B [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，∴b －a ＝3.](2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22，3分∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22， 7分 ∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x|≤π4的最大值为54，最小值为1－22.12分(1)(2018·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin⎝ ⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) 【导学号：79170092】 A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2](2)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z ) [(1)由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.(2)由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z )．] [规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法(1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x 的系数为正数，以防止把单调性弄错．2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．[变式训练2] (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．(2)若函数f (x )＝sinωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ2－π12，kπ2＋5π12(k ∈Z ) (2)32 [(1)由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z )，得kπ2－π12＜x ＜kπ2＋5π12(k ∈Z )．(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.](1)(2018·大连模拟)在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )【导学号：79170093】A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③(2)函数y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数(1)C (2)A [(1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.(2)y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin 2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数．]角度2 求三角函数的对称轴、对称中心(2016·安徽江南十校3月联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且对任意x∈R ，都有f (x )≤f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0A [由f (x )＝sin (ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，由|φ|＜π2， 得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的一个对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A ．]角度3 三角函数对称性的应用(1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33 C ． 2D ．22(1)A (2)B [(1)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π3，解得a ＝－33.][规律方法] 1.对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． 2．求三角函数周期的方法： (1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (3)借助函数的图象．。
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第4课时 三角函数的图象和性质1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间『0，2π』上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．『梳理自测』1．(教材改编)函数y ＝|sin x|的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 2．(教材习题改编)设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数3．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 4．(教材精编题)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为________． 5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的值域为________． 『答案』1.C 2.B 3.B 4.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4(k ∈Z) 5.⎣⎡⎦⎤12，1◆以上题目主要考查了以下内容：(1)三角函数的图象和性质(2)周期性①一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．③函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 及函数y ＝A cos(ωx ＋φ)；x ∈R(其中A 、ω、φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝2πω．『指点迷津』1．一点提醒求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y ＝sin x ，x ∈『0，2π』，y ＝cos x ，x ∈『0，2π』的五点是：零点和极值点(最值点)． 3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f (x ＋T )＝f (x )②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图象．图象重复的x 的长度．考向一 三角函数的定义域、值域(1)函数y ＝1tan x －3的定义域为________．(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 『审题视点』 (1)使分母及tan x 都有意义的x 值． (2)换元，设t ＝sin x 转化二次函数最值． 『典例精讲』 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Ztan x ≠3，∴⎩⎨⎧x ≠k π＋π2x ≠k π＋π3，k ∈Z.∴所求函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π3，k ∈Z .(2)函数变为y ＝1－sin 2x ＋sin x . 设t ＝sin x ，⎝⎛⎭⎫|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. 函数变为f (t )＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54 ∴当t ＝12，即sin x ＝12，x ＝π6时，y max ＝54.当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝12－22. 『类题通法』 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．1．(2014·北京市海淀区高三调研)已知函数f (x )＝2－(3sin x －cos x )2. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π4的值和f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间『－π6，π3』上的最大值和最小值．『解析』(1)因为f (x )＝2－(3sin x －cos x )2 ＝2－(3sin 2x ＋cos 2x －23sin x cos x ) ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)，所以f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2sin 2π3＝3，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)当x ∈『－π6，π3』时，2x ∈『－π3，2π3』，(2x ＋π6)∈『－π6，5π6』，所以当x ＝－π6时，函数取得最小值f (－π6)＝－1，当x ＝π6时，函数取得最大值f (π6)＝2.考向二 三角函数的单调性(1)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为________； (2)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，求函数在『－π，0』上的单调递减区间．『审题视点』 把sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3视2x ＋π6、2x －π3为一个整体，(并注意定义域)使之落在正、余弦的单调区间内求x 的区间．『典例精讲』 (1)设u ＝2x ＋π6，则y ＝cos u ，当2k π－π≤u ≤2k π(k ∈Z)时， y ＝cos u 随u 的增大而增大．又∵u ＝2x ＋π6随x 的增大而增大(x ∈R)，6即k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z)时，y 随x 的增大而增大，∴y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为： ⎣⎡⎦⎤k π－712π，k π－π12(k ∈Z)． (2)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z.从而x ∈『－π，0』时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－7π12，⎣⎡⎦⎤－π12，0. 『类题通法』 (1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．(2)图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观明了了．2．(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为________． (2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝ f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a『解析』(1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π－π6＜2x ＜k π＋5π6(k ∈Z)，212212故函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，无单调减区间．(2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π7＜f ⎝⎛⎭⎫π6，而c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)＜f ⎝⎛⎭⎫π7， 所以c ＜a ＜b .『答案』(1)⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) (2)B考向三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性(1)(2014·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6 D ．－π3(2)(2014·湖南六校联考)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0＜ω＜5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________．『审题视点』 (1)利用f (－x )＝f (x )恒成立求φ. (2)利用对称轴、对称中心及周期公式求解． 『典例精讲』 (1)由已知得f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3， 则2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤－3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3恒成立，展开得sin 3x sin(φ＋π3)＝0恒成立，故sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3＝0恒成立，只有选项D 符合． (2)由题设，有f ⎝⎛⎭⎫π4ω＝±a 2＋b 2， 即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，由此得到a ＝b . 又f ′⎝⎛⎭⎫π8＝0，所以aω⎝⎛⎭⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0， 从而tan ωπ8＝1，ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，即ω＝8k ＋2，k ∈Z ，而0＜ω＜5，所以ω＝2，于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x ) ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 故f (x )的最小正周期是π. 『答案』 (1)D (2)π『类题通法』 (1)三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．(2)三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴通过它们的极值点，对称中心是图象的零点．y ＝tan x 的对称中心是它的零点或间断点．3．(1)(2014·石家庄高三模拟)已知函数f (x )＝|sin(2x －π6)|，下面说法正确的是( )A ．函数的周期为π4B ．函数图象的一条对称轴方程为x ＝π3C ．函数在区间『2π3，5π6』上为减函数D ．函数是偶函数『解析』选B.若x ＝π3，则f (x )＝1，∴x ＝π3是函数图象的一条对称轴，故选B.(2)(2014·荆州市高三质检)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(－3π8，0)对称，则函数的解析式为________．『解析』由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，2×(－3π8)＋φ＝k π，∴φ＝k π＋3π4，又0＜φ＜π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin(2x ＋3π4)．『答案』y ＝sin(2x ＋3π4)三角函数单调性忽视x 的系数致错求函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3的单调区间为________． 『正解』 原函数变形为y ＝－12sin ⎝⎛⎭⎫2x 3－π4，令u ＝2x 3－π4，则只需求y ＝sin u 的单调区间即可．∴y ＝sin u 在2k π－π2≤u ＝2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，即3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z)上单调递增；y ＝sin u 在2k π＋π2≤u ＝2x 3－π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即3k π＋9π8≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z)上单调递减．故y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3的递减区间为⎣⎡⎦⎤3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z)，递增区间为⎣⎡⎦⎤3k π＋9π8，3k π＋21π8(k ∈Z)．『答案』 递减区间为⎣⎡⎦⎤3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z)，递增区间为⎣⎡⎦⎤3k π＋9π8，3k π＋21π8(k ∈Z)『易错点』 由于受思维定式影响，本题容易出现仍然按照函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间的判断方法进行，如认为当x 满足2k π－π2≤π4－23x ≤2k π＋π2(k ∈Z)时函数单调递增，就会求错函数的单调区间．『警示』 (1)对于其它形式的三角函数，首先要变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)才可．(2)求单调区间要注意定义域．1．(2013·高考浙江卷)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B.先判断由f (x )是奇函数能否推出φ＝π2，再判断由φ＝π2能否推出f (x )是奇函数．若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z)，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．2．(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2』 『解析』选A.由π2＜x ＜π得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin α在⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤32π，解得12≤ω≤54，故选A.3．(2013·高考全国大纲卷)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 『解析』选C.逐项分析检验，确定答案． A 项，因为f (2π－x )＝cos(2π－x )sin(4π－2x ) ＝cos(－x )sin(－2x )＝－cos x sin 2x ＝－f (x )， 所以y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称，故正确． B 项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin(2π－2x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故正确．C 项，f (x )＝cos x sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝－2sin 3x ＋2sin x ，令sin x ＝t ，则高三数学一轮复习教案11 t ∈『－1，1』，f (x )的最大值问题转化为求h (t )＝－2t 3＋2t 在t ∈『－1，1』上的最大值．h ′(t )＝－6t 2＋2，令h ′(t )＝0，得t ＝－33或33，经计算比较得最大值为h ⎝⎛⎭⎫33＝439，故错误． D 项，由f (－x )＝cos(－x )sin(－2x )＝－cos x sin 2x ＝－f (x )知其为奇函数，综合选项A 、B 知f (x )为周期函数，故正确．4．(2013·高考江西卷)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 『解析』由于y ＝sin 2x ＋23sin 2x＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝2π2＝π. 『答案』π。