考点08 指数与指数函数(学生版)单元检测系列(基础类) 备战2021年高考
2021年新高考数学一轮专题复习第08讲-指数与指数函数(讲义版)
2021年新高考数学一轮专题复习第08讲-指数与指数函数一、 考情分析1.通过对有理数指数幂a mn (a >0，且a ≠1；m ，n 为整数，且n >0)、实数指数幂a x (a >0，且a ≠1；x ∈R )含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质； 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.二、 知识梳理1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象[微点提醒]1.画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . 2.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大.三、 经典例题考点一 指数幂的运算【例1-1】 化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5； (2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b13(a >0，b >0). 【解析】 (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝a b . 【例1-2】 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1) ÷(4a 23·b －3)12. 解 (1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫641 00015－5223－⎝⎛⎭⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫32313－1 ＝52－32－1＝0.(2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷(a 13b －23)＝－54a －12·b －23＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 考点二 指数函数的图象及应用【例2-1】若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 解析 (1)y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝⎛⎭⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1， 故函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点⎝⎛⎭⎫－1，－12. (2)在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示.∴当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点. ∴b 的取值范围是(0，2). 【例2-2】(1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0【例2-3】若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________.解析 (1)由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x－b的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)画出曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示.由图象得|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].考点三 指数函数的性质及应用【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62 C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.【解析】(1)A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.(2)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1， 则2－a <8，解之得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1. 综上知，实数a 的取值范围是(－3，1). 答案 (1)B (2)(－3，1)【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是______.(2)若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2＋2x ＋3的值域是⎝⎛⎦⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________. 【解析】 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上是增加的，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上是减少的.而y ＝2t 在R 上是增加的，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上是增加的，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]. (2)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3， 由于f (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，19， 所以g (x )的值域是[2，＋∞). 因此有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －44a ＝2，解得a ＝1，这时g (x )＝x 2＋2x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2＋2x ＋3.由于g (x )的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1].【例3－3】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________. 【解析】 令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13. 答案 3或13规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. [方法技巧]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论.4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.5.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.四、 课时作业1．（2020·榆林市第二中学高三零模（文））设0.30.6a =，0.60.3b =，0.30.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．b c a <<D ．c b a ＜＜2．（2020·四川省成都七中高一月考）设0a >且1,a ≠则函数x y a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·九台市第四中学高一期末）若()333a π=-()442b π=-+a b 的值为（ ）A ．1B ．5C ．1-D ．25π-4．（2020·天水市第一中学高二月考（文））已知函数()f x 是定义在R 的周期为2的函数，当01x <<时，()4x f x =，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．4C ．2D ．325．（2020·广西壮族自治区平桂高中高一期末）函数()23x f x a -=+恒过定点P （ ）A ．()0,1B ．()2,1C ．()2,3D ．()2,46．（2020·陕西省西安一中高二期中（文））若指数函数()xf x a =在区间[]0,2上的最大值和最小值之和为10，则a 的值为（ ） A ．13B ．3C ．3±D ．13±7．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是 ( ) A ．22y x x =+ B ．12x y += C ．31y x =+D ．(1)||y x x =-8．（2020·湖南省高三一模（理））已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>9．（2019·河南省高一月考）设函数()21,25,2xx f x x x ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ）A ．()16,32B ．()18,34C ．()17,35D ．()6,710．（2020·江西省上高二中高一期末）设函数()1xx a f x a =+，(0a >且1a ≠)，[]m 表示不超过实数m 的最大正数，则函数11()()22f x f x ⎡⎤⎡⎤-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域是（ ）A ．{}0,1,2B ．{}10-，C ．{}1,0,1-D ．{}0,111．（2020·四川省高三二模（理））函数()112122xx f x +-=++，若() 1.2f t -=，则()f t =__________.12．（2020·全国高三月考（理））定义在D 上的函数()f x ，如果满足对x D ∀∈,∃常数0M >，都有()f x M≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 成为函数()f x 的上界.若已知函数()22t tS t e me =++在(],0-∞上是以4M =为上界的有界函数，则实数m 的取值范围为_________.13．（2020·福建省高一期末）已知函数()1515xxf x -=+． （1）写出()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性；（3）已知()f x 在定义域内为单调减函数，若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．14．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知()221g x x ax =-+在区间[]13， 上的值域为[]0,4。
近年年高考数学一轮复习课时分层训练8指数与指数函数理北师大版(2021学年)
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课时分层训练(八) 指数与指数函数A组基础达标一、选择题1．函数f(x)＝2｜x－1|的大致图像是（）【导学号：７9１４０04５】B［f（x)=错误!所以f（x)的图像在[1，＋∞）上为增函数，在(－∞，1）上为减函数．］2.已知ａ＝20。
2,b=０．４0.2,ｃ＝０。
4０.6,则（)A．a＞b＞cﻩB．a＞c>ｂC．c＞a＞bﻩ D.ｂ>c＞ａA [由0.2＜０。
6,0。
4＜１,并结合指数函数的图像可知０。
40.２＞0.40。
6，即b＞ｃ。
因为ａ=２0。
2>1,b＝0.40。
2<1，所以a＞b.综上，ａ>b＞ｃ。
]３.（２01７·河北八所重点中学一模)设ａ＞0，将＼ｆ(ａ２，＼r(a·3ａ２)）表示成分数指数幂的形式，其结果是（)Ａ．a错误!ﻩ B.a错误!C．a错误! D.a错误!C［。
故选C。
］4.已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4,ｂ为常数)的图像经过点（2,1),则f(x)的值域为（)A.[9，81] Ｂ.［3,9］C.［１，9]ﻩＤ．[1，+∞)C［由f（x）过定点(2，1)可知ｂ=2，因为f(x)＝3x－２在[２,4］上是增函数,所以ｆ（ｘ)ｍｉn=f(２)=1,f(x)ｍaｘ＝ｆ（4)=9．故选C。
2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分8指数与指数函数
2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分8指数与指数函数1．[xx·山东]设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B ＝A．[0,2] B．(1,3)C．[1,3) D．(1,4)解析：|x－1|<2⇔－2<x－1<2，故－1<x<3，即集合A＝(－1,3)．根据指数函数的性质，可得集合B＝[1,4]．所以A∩B＝[1,3)．答案：C2．函数f(x)＝2|x－1|的图像是( )ABCD解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜1.故选B.答案：B3．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2x解析：∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的值域是正实数集，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数集．答案：B4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5B ．7C ．9D ．11解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a ＋2＝9， 即22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝7. 答案：B5．设函数f (x )＝2|x |，则下列结论中正确的是( ) A ．f (－1)＜f (2)＜f (－2) B ．f (－2)＜f (－1)＜f (2) C ．f (2)＜f (－2)＜f (－1) D ．f (－1)＜f (－2)＜f (2)解析：由题意，f (x )＝2|x |＝2|－x |＝f (－x )， 即f (x )为偶函数． 故⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝f (1)，f (－2)＝f (2)，f (－2)＝f (2).显然x ≥0时，f (x )＝2x 单调递增，所以f (－1)＝f (1)＜f (－2)＝f (2)＜f (－2)＝f (2)．答案：D6．已知a ＞0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1∪(1,4] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪[4，＋∞)解析：如果函数f (x )的定义域为[－1,1]，那么0＜a ＜1时f (x )在x ＝1处取得最大值，所以f (1)≤12，解得12≤a ＜1；a ＞1时，f (x )在x ＝－1处取得最大值，所以f (－1)≤12，解得1＜a ≤2，故选C.答案：C解析：答案：－23 8．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为__________．解析：∵a ＝5－12＜1，∴f (x )＝a x 是递减函数． 由f (m )＞f (n )，得m ＜n . 答案：m ＜n9．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9.则f (x )的单调递减区间是__________．解析：由f (1)＝9，得a 2＝9，∴a ＝3. 因此f (x )＝3|2x －4|.又∵g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]， ∴f (x )的单调递减区间是(－∞，2]． 答案：(－∞，2]10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ax 2－4x ＋3 .(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3 ，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.B 级 能力提升练11．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，下列五个关系式：①0＜b＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：画出函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 和y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图像，如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 结合图像，可得a ＜b ＜0，或a ＞b ＞0，或a ＝b ＝0.答案：B12．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是__________．①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c；④2a＋2c<2.解析：画出函数f(x)＝|2x－1|的图像(如图)，由图像可知，a<0，b的符号不确定，c>0.故①②错；∵f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，∴|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1，故2a＋2c<2，④成立；又2a＋2c>22a＋c，∴2a＋c<1，∴a＋c<0，∴－a>c，∴2－a>2c，③不成立．答案：④13．已知函数f(x)＝b·a x(其中a，b为常数，且a＞0，a≠1)的图像经过点A(1,6)，B(3,24)．(1)求f(x)；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围.解析：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎨⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a ＞0，且a ≠1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x .(2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56.∴只需m ≤56即可．14．设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解析：∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴k －1＝0，即k ＝1. (1)∵f (1)>0，∴a －1a >0.又a >0且a ≠1， ∴a >1，f (x )＝a x －a －x ，∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0， ∴f (x )在R 上为增函数．原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， ∴x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， ∴x >1或x <－4，∴不等式的解集为{x |x >1，或x <－4}． (2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0， ∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2. 令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在[1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，∴原函数变为w (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2， ∴当t ＝2时，w (t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)． 即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.Q 27346 6AD2 櫒\44K)e S#31364 7A84 窄28601 6FB9 澹。
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第5节：指数与指数函数(学生版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第5节指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.1.根式的概念及性质(1)概念：式子na 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数.(2)性质：(na )n ＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈R .4.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫作指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，12.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究.3.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像越高，底数越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂a mn 可以理解为mn 个a 相乘.()(3)函数y ＝2x －1是指数函数.()(4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).()2.(易错题)若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝________.3.(易错题)函数y ＝21x －1的值域是________.4.函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________.5.(2021·贵阳一中月考)3213－76＋814×42－－2323________.6.已知a 35－13，b 35－14，c ＝3234，则a ，b ，c 的大小关系是________.考点一指数幂的运算1.计算：823－－780＋4（3－π）4＋[(－2)6]12＝________.2.[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________.3.(2021·沧州七校联考1412·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12(a >0，b >0)＝________.4.已知f (x )＝3x ＋3－x ，f (b )＝4，则f (2b )＝________.考点二指数函数的图像及应用例1(1)已知实数a ，b 满足等式2022a ＝2023b ，下列等式一定不成立的是()A.a ＝b ＝0B.a <b <0C.0<a <bD.0<b <a(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.训练1(1)函数f (x )＝a x －b 的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是()A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0(2)如果函数y ＝|3x －1|＋m 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________.考点三解决与指数函数性质有关的问题角度1比较指数式的大小例2(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A.a＋b≤0B.a－b≥0C.a－b≤0D.a＋b≥0角度2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a≠1，函数f(x)4x，x≥0，2a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.(2)若2x2＋114x－2，则函数y＝2x的值域是()A.18，2 B.18，2C.－∞，18 D.[2，＋∞)角度3指数函数性质的综合应用例4(1)不等式4x－2x＋1＋a>0，对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________.(2)已知定义域为R的函数f(x)＝－12＋12x＋1，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集为________.训练2(1)(2021·郑州调研)已知函数f(x)＝4x－12x，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是______.(3)函数y ＋1在区间[－3，2]上的值域是________.1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f (－1)＝()A.1B.2C.3D.32.(2021·成都诊断)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点，则这个定点的坐标是()113.(2022·哈尔滨质检)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是()4.(2020·天津卷)设a ＝30.7，b 0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b5.(2021·衡水中学检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－2，1)B.(－4，3)C.(－3，4)D.(－1，2)6.(2020·新高考山东卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.化简：（a23·b－1）－12·a－12·b136a·b5(a>0，b>0)＝________.8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是____________.9.已知函数f(x)，a≤x<0，x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________.10.已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2为奇函数.(1)求b的值；(2)任意t∈R，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.11.已知函数f(x)＝4x＋m2x是奇函数.(1)求实数m的值；(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图像有公共点，求实数a的取值范围.12.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是()A.0，12(1，＋∞) B.0，12C.12，1 D.(1，＋∞)13.(2022·邯郸模拟)设f(x)|2x－1|，x≤2，－x＋5，x>2，若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是()A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.。
2021届高考数学人教B版大一轮总复习：8 指数与指数函数
1 2－x
为单调减函
数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
14．对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，且a≠1)，下 面五个结论中正确的是 ①③④ .(填序号)
①函数f(x)的图象关于原点对称； ②函数f(x)在R上不具有单调性； ③函数f(|x|)的图象关于y轴对称； ④当0<a<1时，函数f(|x|)的最大值是0； ⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0.
5．(2019·全国卷Ⅱ)若a>b，则( C ) A．ln(a－b)>0 B．3a<3b C．a3－b3>0 D．|a|>|b|
解析：解法1：由函数y＝lnx的图象知，当0<a－b<1时， ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以 当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递 增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b<a<0 时，|a|<|b|，故D不正确．故选C.
A．(－∞，0) B．(1,2) C．(2，＋∞) D．(2,5)
解析：如图所示，画出函数y＝f(x)的图象，可知当x>1 时，函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，故选C.
二、填空题
11．已知实数a≠1，函数f(x)＝
4x，x≥0， 2a－x，x<0，
1
－1)，则a的值为 2 .
若f(1－a)＝f(a
7．(2020·福建质检)已知a＝0.50.8，b＝0.80.5，c＝0.80.8，则
( D) A．c<b<a
B．c<a<b
第9讲 指数与指数函数(达标检测)(教师版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试
《指数与指数函数》达标检测[A 组]—应知应会1．（2019秋•辽源期末）化简2115113366221(3)()3a b a b a b -÷的结果为( )A ．9aB ．9a -C ．9bD ．9b -【分析】先计算系数，然后利用同底数幂的乘除运算求解．【解答】解：2115113366221(3)()3a b a b a b -÷2111153262369a b +-+-=-431325669ab+-+-=-9a =-．故选：B ．2．（2019秋•滨海县期末）若指数函数(13)x y a =-在R 上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．1(0,)3B ．(1,)+∞C ．RD ．(,0)-∞【分析】利用指数函数的单调性即可求解．【解答】解：指数函数(13)x y a =-在R 上为单调递增函数， 131a ∴->，0a ∴<，故选：D ．3.（2019秋•临渭区期末）函数()2x f x -=在区间[2-，1]上的最小值是( ) A ．12-B ．12C ．2-D ．2【分析】利用函数的单调性，求出函数的最值．【解答】解：函数()2x f x -=在区间[2-，1]上单调递减，(2)4f -=，f （1）12=， 故函数()2x f x -=在区间[2-，1]上的最小值为12， 故选：B ．4．（2019秋•溧阳市期中）已知()(0,1)x f x a a a =>≠，且f （1）f <（3），则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(2,)+∞D ．(0，1)(1⋃，)+∞【分析】由题意利用函数的单调性，求得实数a 的取值范围． 【解答】解：()(0,1)x f x a a a =>≠，且f （1）f <（3），1a ∴>，故选：A ．5．（2019秋•黔东南州期中）已知1(0ab a =>，0b >且)a b ≠，()x f x a =，()x g x b =，则关于函数()f x ，()g x 说法正确的是( )A ．函数()f x ，()g x 都单调递增B ．函数()f x ，()g x 都单调递减C ．函数()f x ，()g x 的图象关于x 轴对称D ．函数()f x ，()g x 的图象关于y 轴对称【分析】根据题意，分析可得1()()x x x g x b a a-===，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，若1ab =，则1b a=， 则1()()x x x g x b a a-===，而()x f x a =，故函数()f x ，()g x 的图象关于y 轴对称； 故选：D ．6．（2019秋•滁州期末）如图所示，二次函数2y ax bx =+与指数函数()x ay b=的图象只可为( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次函数的对称轴首先排除B 、D 选项，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．【解答】解：根据指数函数()x ay b=可知a ，b 同号且不相等则二次函数2y ax bx =+的对称轴02ba-<可排除B 与D ， 又因为二次函数2y ax bx =+过坐标原点，C ∴正确． 故选：C ．7．（2019秋•南充期末）设111()()1333b a <<<，则( )A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【分析】根据指数函数1()3x y =是减函数，得01a b <<<，结合指数函数x y a =的单调性，得a b a a >，最后根据幂函数a y x =是(0,)+∞上的增函数，得a a b a >，即得本题的答案． 【解答】解：111()()1333b a <<<，且1(0,1)3∈ 01a b ∴<<<，因此a b a a >，排除A 、B 两项又函数a y x =是(0,)+∞上的增函数 a a b a ∴>，可得b a a a a b <<故选：C ．8．（2019秋•朝阳区期末）通过科学研究发现：地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为1E ，2E ，则1E 和2E 的关系为( ) A ．1232E E =B ．1264E E =C ．121000E E =D ．121024E E =【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出． 【解答】解：根据题意得： 1 4.8 1.59lgE =+⨯①， 2 4.8 1.57lgE =+⨯②，①-②得123lgE lgE -=，12()3E lg E =， 所以31210E E =， 即121000E E =， 故选：C ．9．（2019秋•清江浦区校级期末）若2525x y y x --++，则有( ) A ．0x y +B ．0x y +C ．0x y -D ．0x y -【分析】根据题意，构造函数()25x x f x -=-，由导数()f x '判断()f x 在定义域R 上是增函数， 得出()()f x f y -，化为x y -即可． 【解答】解：2525x y y x --++， 2525x x y y --∴--，设函数()25x x f x -=-， 则()22550x x f x ln ln -'=+>， ()f x ∴在定义域R 上是增函数；又2525x x y y ----， 即()()f x f y -，x y ∴-，即0x y +． 故选：B ．10．（多选）（2019秋•济南期末）若实数a ，b 满足2332a b a b +=+，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．01a b <<<B ．0b a <<C ．1a b <<D ．a b =【分析】构造()23x f x x =+，()32x g x x =+，易知()f x ，()g x 是递增函数，结合函数的图象，得出结论． 【解答】解：由2332a b a b +=+，设()23x f x x =+，()32x g x x =+，易知()f x ，()g x 是递增函数， 画出()f x ，()g x 的图象如下：绿色，蓝色的分别是()f x ，()g x 的图象，根据图象可知：当0x =，1时，()()f x g x =， 01a b <<<，f （a ）f =（b ）可能成立；故A 正确；当0b a <<时，因为()()f x g x ，所以f （a ）f =（b ）可能成立，B 正确； 当a b =时，显然成立，当1a b <<时，因为f （a ）g <（b ），所以不可能成立， 故选：ABD ．11．（2019秋•青云谱区校级月考）计算：2102329273()(9.6)()()482-+--⨯= ．【分析】按照分数指数幂的运算法则算得即可．【解答】解：22113()20223322927333333()(9.6)()()()1()()1148222222-⨯-⨯+--⨯=+-⨯=+-=．故答案为：32． 12．（2020•龙凤区校级一模）函数1()1x f x a +=+，(0,1)a a >≠的图象恒过定点P ，则P 点坐标为 ． 【分析】解析式中的指数10x +=，求出x 的值，再代入解析式求出y 的值，即得到定点的坐标． 【解答】解：由于函数x y a =经过定点(0,1)，令10x +=，可得1x =-，求得(1)2f -=， 故函数1()1(0,1)x f x a a a +=+>≠，则它的图象恒过定点的坐标为(1,2)-， 故答案为(1,2)-13．（2019秋•张家口期中）关于x 的不等式1122(1)(32)x x +<-的解集为 ． 【分析】由题意利用函数的单调性，根式的性质，可得0132x x +<-，由此求得x 的范围． 【解答】解：关于x 的不等式1122(1)(32)x x +<-，即0132x x +<-， 求得213x -<， 故答案为：[1-，2)3．14．（2019秋•南关区校级期中）已知实数a ，b 满足等式20192020a b =，下列五个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤a b =．其中可能成立的关系式有 ．【分析】分别画出函数2019x y =，2020x y =的图象．根据实数a ，b 满足等式20192020a b =，即可判断出下列五个关系式中正确的结论．【解答】解：分别画出函数2019x y =，2020x y =的图象． 根据实数a ，b 满足等式20192020a b =，下列五个关系式： ①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤a b =． 其中可能成立的关系式有①②⑤． 故答案为：①②⑤．15．（2019秋•石景山区期末）已知函数()f x 是指数函数，如果f （3）9f =（1），那么f （8） f （4）（请在横线上填写“>”，“ =”或“<” )【分析】由f （3）9f =（1）可求a ，然后代入求值即可比较大小． 【解答】解：设()(0x f x a a =>且1)a ≠， f （3）9f =（1）， 39a a ∴=，3a ∴=，f （8）83=，f （4）43=，f ∴（8）f >（4）， 故答案为：>16．（2020春•城关区校级月考）已知点(2,9)在函数()(0x f x a a =>且1)a ≠图象上，对于函数()y f x =定义域中的任意1x ，212()x x x ≠，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=； ②1212()()()f x x f x f x =+；③1212()()0f x f x x x -<-；④1212()()()22x x f x f x f ++<上述结论中正确结论的序号是 ．【分析】求出指数函数的解析式，利用指数的基本运算性质判断①、②，根据函数的单调性判断③，根据指数的运算法则和基本不等式判断④．【解答】解：点(2,9)在函数()(0x f x a a =>且1)a ≠图象上， 29a ∴=，解得：3a =，()3x f x ∴=，∴①12121212()333()()x x x x f x x f x f x ++===，故①正确；②121212()3()()x x f x x f x f x =≠+，故②错误；③31a =>，()f x 在R 递增，故1212()()0f x f x x x ->-，故③错误；④12121212122()()332333()222x xx x x x fx f x x x f ++++=== 故④正确； 故答案为：①④．17．（2019秋•河西区期中）计算下列各式（式中字母均是正数）． （Ⅰ）3 （Ⅱ）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-．【分析】利用有理数指数幂的运算性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）原式111111111111112236336333236223233()(32)233323222323182--++++=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯=；（Ⅱ）原式75156666(3)(3)a b a b a =-÷-=．18．（2019秋•浦东新区期末）已知函数()(1)x f x a a =>在区间[1，2]上的最大值比最小值大2，求实数a 的值．【分析】对于指数函数1a >时，函数()x f x a =在区间[1，2]上是增函数，求出最值，作差求出a 即可．【解答】解：当1a >时，函数()x f x a =在区间[1，2]上是增函数， ()min f x f ∴=（1）a =，()max f x f =（2）2a =，由题意知22a a -=，解得2a =，1a <-（舍弃）， 故a 的值为：2．19．（2019秋•温州期末）设函数()42()x x f x m m R =-∈．（Ⅰ）当1m 时，判断函数()f x 在区间(0,1)内的单调性，并用定义加以证明； （Ⅱ）记()()g x lgf x =，若()g x 在区间(0,1)上有意义，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当1m 时，函数()f x 在区间(0,1)内为单调增函数．运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（Ⅱ）由于()g x 在区间(0,1)上有意义，则()0f x >，即420x x m ->在(0,1)上恒成立，运用参数分离和指数函数的单调性求出值域，即可得到m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）当1m 时，函数()f x 在区间(0,1)内为单调增函数． 设1201x x <<<，则112212()()42(42)x x x x f x f x m m -=---12121212(44)(22)(22)(22)x x x x x x x x m m =---=-+-．由于1201x x <<<，则121222x x <<<， 又1m ，则12220x x m +->， 则1212(22)(22)0x x x x m -+-<，即有12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 则函数()f x 在区间(0,1)内为单调增函数； （Ⅱ）由于()g x 在区间(0,1)上有意义， 则()0f x >，即420x x m ->在(0,1)上恒成立， 即2x m <在(0,1)上恒成立， 由于2(1,2)x ∈， 则有1m ．20．（2019秋•红塔区校级期末）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围． （Ⅲ）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由函数()f x 的解析式以及4(0)102f a=-=+，求得a 的值． （Ⅱ）由题意可得，函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，故有10k ->，求得k 的范围． （Ⅲ）由题意可得当(0,1)x ∈时，212221xx m ->-+恒成立．令2x t =，则(1,2)t ∈，且121m t t <++．利用单调性求得12716t t +>+，从而可得m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）对于函数4()1(0,1)2x f x a a a a =->≠+，由4(0)102f a=-=+，求得2a =，故42()1122221x x f x =-=-++． （Ⅱ）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =++=+-+=-+ 有零点， 则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，求得1k <．（Ⅲ）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，即212221x xm ->-+恒成立． 令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++．由于121t t ++ 在(1,2)∈上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，76m∴． 21．（2019秋•舒城县期末）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气后4分钟测得车库内的一氧化碳浓度为64(ppm ppm 为浓度单位，一个ppm 表示百万分之一），再过4分钟又测得浓度为32ppm ．由检验知该地下车库一氧化碳浓度()y ppm 与排气时间t （分钟）存在函数关系1()(2mt y c c =，m 为常数）．（1）求c ，m 的值（2）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？【分析】（1）利用待定系数法，解得即可． （2）由题意，构造不等式，解得即可．【解答】解：（1）函数1()(2mt y c c =，m 为常数）经过点(4,64)，(8,32)，∴48164()2132()2m m c c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得14m =，128c =， （2）由（1）得141128()2t y =，1411128()22t ∴， 解得32t ．故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．[B 组]—强基必备1．（2019春•浙江期中）设函数2()(x f x e ax bx c a =+++，b ，c 为非零实数），且f （a ）a e =，f （b ）b e =，若1a <-且0c <，则b 的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据f （a ）a e =，f （b ）b e =得到a ，b 的关系，即可得到b 的最小值． 【解答】解：由f （a ）ae =，f （b ）be =，得322a a b be a ab c e e ab b c e ⎧+++=⎨+++=⎩， 两式相减，得()()()0a a b a b b a b +-+-=， 所以2()()0a b a ab b -++=，若a b =，则f （a ）a e =，f （b ）b e =成立时，320a a c ++=，与1a <-且0c <矛盾，不符合条件，当20a ab b ++=时，212(1)11a b a a a =-=--+++，因为10a +<，所以(1)0a -+>，所以212(1)11a b a a a =-=--+++1224a ++， 当且仅当2(1)1a +=，即2a =-时b 取得最小值． 故选：D ．2．（2019•西湖区校级模拟）已知函数()2x f x =（1）试求函数()()(2)F x f x af x =+，(x ∈-∞，0]的最大值；（2）若存在(,0)x ∈-∞，使|()(2)|1af x f x ->成立，试求a 的取值范围；（3）当0a >，且[0x ∈，15]时，不等式2(1)[(2)]f x f x a ++恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）把()f x 代入到()F x 中化简得到()F x 的解析式求出()F x 的最大值即可；（2）可设2x t =，存在(0,1)t ∈使得2||1t at ->，讨论求出解集，让a 大于其最小，小于其最大即可得到a 的取值范围；（3）不等式2(1)[(2)]f x f x a ++2x a+恒成立即要(2max a x -+，根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于a 的不等式，求出解集即可．【解答】解：（1）(x ∈-∞，0]，()()(2)24x x F x f x af x a =+=+，令2x t =，(01)t <， 即有2()F x at t =+，当0a =时，()F x 有最大值为1；当0a ≠时，对称轴为12t a =-，讨论对称轴和区间的关系， 若112a->，即102a -<<，()max F x F =（1）1a =+； 若1012a <-，即12a -，11()()24max F x F a a =-=-； 若102a-<，即0a >，()max F x F =（1）1a =+． 综上可得，11,2()11,42maxa a F x a a ⎧+>-⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩． （2）令2x t =，则存在(0,1)t ∈使得2||1t at ->所以存在(0,1)t ∈使得21t at ->，或21t at -<-．即存在(0,1)t ∈使得11()()max min a t a t t t-+或，0a ∴<，或2a >； （3）由2(1)[(2)]f x f x a ++得21(2)x x a ++恒成立 因为0a >，且[0x ∈，15]2x a +恒成立，∴(2max a x -+．设()2m x x =-[]2,1,1,4t x t t ==-∈则，∴22117()2(1)2()48m t t t t =--+=--+． 所以，当1t =时，()1max m x =，1a ∴．。
2021版新高考数学：指数与指数函数含答案
图象定义域 R 值域(0、＋∞) 性质过定点(0、1)当x ＞0时、y ＞1； 当x ＜0时、0＜y ＜1 当x ＞0时、0＜y ＜1； 当x ＜0时、y ＞1 在R 上是增函数在R 上是减函数[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a ＞0、且a ≠1)的图象、应抓住三个关键点：(1、a )、(0、1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a ．2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x 、(2)y ＝b x 、(3)y ＝c x 、(4)y ＝d x 的图象、底数a 、b 、c 、d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内、指数函数y ＝a x (a ＞0、a ≠1)的图象越高、底数越大．3．指数函数y ＝a x (a ＞0、a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关、要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．A [f (x )＝21－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1、又f (0)＝2、f (1)＝1、故排除B 、C 、D 、故选A.] 2．若函数f (x )＝a x (a ＞0、且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，12、则f (－1)＝________．2 [由题意知12＝a 2、所以a ＝22、所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x 、所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＝2.]3．化简416x8y4(x ＜0、y ＜0)＝________． [答案] －2x 2y4．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－13、b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－14、c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34、则a 、b 、c 的大小关系是________．c ＜b ＜a [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x是减函数、∴⎝ ⎛⎭⎪⎫35－13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35－14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫350、 则a ＞b ＞1、又c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34＜⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1、∴c ＜b ＜a .](对应学生用书第30页)考点1 指数幂的运算85[原式＝2×23·a32·b－3210·a32·b－32＝21＋3×10－1＝85.]2．计算：⎝⎛⎭⎪⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝________．－1679[原式＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－2＋50012－10（5＋2）（5－2）（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.]运算结果不能同时含有根号和分数指数幂、也不能既有分母又含有负指数、形式力求统一．考点2指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究、往往利用相应指数函数的图象、通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数方程、不等式问题的求解、往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图、其中a、b为常数、则下列结论正确的是()A.a＞1、b＜0B.a＞1、b＞0C.0＜a＜1、b＞0D.0＜a＜1、b＜0(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点、则实数m的取值范围是________．(1)D(2)(0、1)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出、函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减、所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的、所以b＜0.故选D.(2)曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后、再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的、而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线、它的图象如图所示、由图象可得、如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点、则m的取值范围是(0、1).][母题探究]1．(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根、则实数m 的取值范围是________．(0、＋∞)[作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示、数形结合可得m 的取值范围是(0、＋∞).]2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限、则实数m的取值范围是________．(－∞、－1][作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．C DA [f (x )＝1－e |x |是偶函数、图象关于y 轴对称、又e |x |≥1、∴f (x )≤0、符合条件的图象只有A.]2．[一题两空]函数y ＝a x －b (a ＞0、且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限、则b 的取值范围是________、a b 的取值范围是________．(1、＋∞) (0、1) [因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限、所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0、则y＝a 0－b ＝1－b 、由题意得⎩⎨⎧0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎨⎧0＜a ＜1，b ＞1，故a b ∈(0、1).] 3．已知实数a 、b 满足等式2 019a ＝2 020b 、下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________(填序号).③④ [作出y ＝2 019x 及y ＝2 020x 的图象如图所示、由图可知a ＞b ＞0、a ＝b ＝0或a ＜b ＜0时、有2 019a ＝2 020b 、故③④不可能成立．]考点3 指数函数的性质及应用。
第05讲 指数与指数函数(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练
第05讲指数与指数函数 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：指数与指数幂的运算高频考点二：指数函数的概念高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象；②根据指数型函数图象求参数③指数型函数图象过定点问题；④指数函数图象应用高频考点四：指数（型）函数定义域高频考点五：指数（型）函数的值域m n上的值域；②指数型复合函数值域①指数函数在区间[,]③根据指数函数值域（最值）求参数高频考点六：指数函数单调性①判断指数函数单调性；②由指数（型）函数单调性求参数③判断指数型复合函数单调性；④比较大小⑤根据指数函数单调性解不等式高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域②根据指数函数最值求参数③含参指数（型）函数最值第四部分：高考真题感悟第五部分：第05讲指数与指数函数（精练）1、根式的概念及性质（1）概念：叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （2）性质：①n a =(n N *∈且1n >)；②当n a =；当n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是mna =0a >，,m n N *∈，且1n >)；②正数的负分数指数幂的意义是m na-=(0a >，,m n N *∈，且1n >)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s +=>∈R ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈R ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈R .4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ．（2）指数函数()xf x a =的图象和性质定义域为R ，值域为(0,)+∞一、判断题1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象必过定点()1,2( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）11121321a ba( ) 二、单选题1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））函数()e 1x f x =+在[1,1]-的最大值是（ ） A ．eB ．e 1-+C ．e 1+D ．e 1-2．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数()x f x a -=（0a >，且1a ≠），且()()23f f ->-，则a 的取值范围（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0∞-3．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(0,1)-4．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,1--B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()1,25．（2022·北京·高三专题练习）若函数()21x y m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（ ）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12高频考点一：指数与指数幂的运算1．（2022·广东肇庆·高一期末）设62m =，63n =，则222m n mn ++=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．32．（2022·上海杨浦·高一期末）设0a >，下列计算中正确的是（ ） A ．4334a a a ⋅= B ．4334a a a ÷= C ．4334a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4 334a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭3．（2022·广东深圳·高一期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A ．()12x -B ．)340xx ->C 13y =D ．()31420x x ⎤=<4．（2022·全国·高三专题练习）化简2112333324()3a b a b --⋅÷-的结果为（ ）A ．－23ab B ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab高频考点二：指数函数的概念1．（2022·浙江·高三专题练习）函数()(0x f x a a =>，且a ≠1)的图象经过点13,27P ⎛⎫⎪⎝⎭，则f (-2)= （ ）A ．19B C ．13D ．92．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数()2()253xf x a a a =-+在R 上单调递增，则a的值为（ ） A ．3B ．2C ．12D ．323．（2022·全国·高一课时练习）函数()2xy a a =-是指数函数，则（ ） A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠4．（2022·浙江·高三专题练习）若指数函数x y a =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于A B CD 高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象1．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）函数3x y -=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知0＜m ＜n ＜1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为（ ）．A ．B ．C ．D ．4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．②根据指数型函数图象求参数1．（2022·全国·高三专题练习）函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b <D ．01a <<，0b >2．（2022·全国·高三专题练习）函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0a b >B ．0a b +>C ．log 2a b >D ．1b a >3．（2021·全国·高一专题练习）函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <4．（2021·全国·高一专题练习）若函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（ ）A ．1a >，1b >B ．1a >，01b <<C ．01a <<，1b >D ．01a <<，01b <<③指数型函数图象过定点问题1．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）函数()21(0x f x a a +=->且1)a ≠的图象恒过定点（ ）A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(－1，－2)2．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ）A ．()236f x x x =-+ B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =-3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数5()4x f x a +=+(0a >，1a ≠)恒过定点(,)M m n ，则函数()x g x m n =+的图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限④指数函数图象应用1．（2021·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）函数1()(0,1)x f x a a a a=->≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国·高一课时练习）函数()(0x f x a a =>，且1a ≠）与()g x x a =-+的图像大致是A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国·高一课时练习）若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图像一定经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限高频考点四：指数（型）函数定义域1．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x = ） A ．[)1,+∞B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),1-∞-D ．(),2-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）函数()22f x x =-的定义域为（ ） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞3．（2021·江苏·高一专题练习）函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1D ．a ≠14．（2021·广西河池·高一阶段练习）设函数()f x 2x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．(],4∞-B ．(],1-∞C ．(]0,4D ．(]0,1高频考点五：指数（型）函数的值域①指数函数在区间[,]m n 上的值域1．（2022·全国·高一）当x ∈[-1，1]时，函数f (x )=3x -2的值域为________2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2421x x f x a =⋅--.当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域；4．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax x g x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围.②指数型复合函数值域1．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,22．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为______．3．（2022·全国·高三专题练习）函数1()41(0)2xxf x x -⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭的值域是___________.4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()24x x f x =-.（1）求()y f x =在[]1,1-上的值域；③根据指数函数值域（最值）求参数1．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=（ ） A ．32-B ．1-C ．1D ．322．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数()f x =的值域为[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[0,)+∞3．（2022·全国·高一）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠在区间[]1,2上的最大值比最小值大2a ,求a 的值.4．（2022·湖南·高一期末）已知函数()245x xf x a a =+-.(1)求()f x 的值域；(2)当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为7，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．高频考点六： 指数函数单调性①判断指数函数单调性1．（2022·广西南宁·高一期末）设函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增B ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减C ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增D ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减2．（2022·福建宁德·高一期末）已知()21x b f x a =-+是R 上的奇函数，且()113f =． (1)求()f x 的解析式；(2)判断()f x 的单调性，并根据定义证明．3．（2021·贵州·六盘水红桥学校高一阶段练习）若函数()(3)3(1)x f x k a b a =++->是指数函数 (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式(27)(43)f x f x ->-4．（2021·全国·高一期末）设函数2()12xx f x a =++，(1)判断()f x 的单调性，并证明你的结论；②由指数（型）函数单调性求参数1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））若函数()33,0,0xx a x f x a x -+-<⎧=⎨⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是___．3．（2022·河北张家口·高一期末）已知函数()()2,1,32,1x a x x f x a x -⎧-<=⎨⋅-≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是______.4．（2022·湖南·高一课时练习）若函数2()2535xm y m m ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m =________.5．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()()28xf x a =-是区间(),-∞+∞上的减函数，求实数a 的取值范围．③判断指数型复合函数单调性1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ） A ．(1,)+∞B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一开学考试）已知函数()24,18,1x x ax x f x a x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且对于任意的12,x x ，都有()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．(]1,3C ．[)1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数2251()2x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),a +∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数2()21x x af x +=+是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性.④比较大小1．（2022·广东汕尾·高一期末）若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1412c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c >>2．（2022·陕西·略阳县天津高级中学高三阶段练习（文））设233a =，1413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．a c b >>3．（2022·福建三明·高一期末）已知0.20.30.30.30.2,2,a b c ===，则它们的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（2022·海南·模拟预测）设0.22e a -=，0.2e b =， 1.2c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<⑤根据指数函数单调性解不等式1．（2022·全国·高一）若1()273x >，则x 的取值范围是______．2．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知不等式124x ->的解集是__________.3．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数a 满足()(212a f f ->，则a 的取值范围是______．4．（2022·福建福州·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()23x f x =+．(1)求()f x 的解析式； (2)解不等式()()22f x f x ≥．高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域1．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞2．（2022·北京·高三学业考试）已知函数()2x f x =，[0,)x ∈+∞，则()f x （ ） A ．有最大值，有最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值3．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数1()422x x f x +=-+，则(1)f =________；函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为_________．4．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数2()35,()2x f x x x g x a =-++=+，若12[0,2],[2,3]x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x <，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________.②根据指数函数最值求参数1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）若函数()213ax a f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有最大值19，则实数a的值为（ ） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1或1-2．(多选）（2022·江苏常州·高一期末）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ）A ．13B CD ．33．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2的最大值与最小值之差等于2a，则实数a 的值为______．4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]2,3上的最大值是最小值的2倍，则=a ______．5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()0,1xy a a a =>≠在区间[]1,2上的最大值和最小值之和为6，则实数=a ______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()22x x f x a a =+-（0a >且1a ≠）在区间[]1,0-上的最小值为54-，求a 的值．③含参指数（型）函数最值1．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y =a 2x +2ax -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知函数()1423x x f x a +=⋅--．（1）当1a =时，求函数()f x 的零点；（2）若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+． （1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．4．（2022·全国·高一课时练习）求函数2()2x x f x e e =-的最值.1．（2020·山东·高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·湖南·高考真题）已知函数()2,0282,24x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（1）画出函数()f x 的图象； （2）若()2f m ≥，求m 的取值范围.一、单选题1．（2022·江苏江苏·一模）设全集U =R ，集合{}21A x x =-≤，{}240x B x =-≥，则集合()UAB =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,22．（2022·河南·模拟预测（文））已知58a =，45b =，则ab =（ ） A ．2B ．32C ．43D ．13．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）已知函数()x x f x ππ-=-，若32(2)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．（2022·四川宜宾·二模（文））物理学家和数学家牛顿（IssacNewton ）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是1T （单位：℃），环境温度是0T （单位：℃），且经过一定时间t （单位：min ）后物体的温度T （单位：℃）满足10e kt T T T T -=-（k 为正常数）.现有一杯100℃热水，环境温度20℃，冷却到40℃需要16min ，那么这杯热水要从40℃继续冷却到30℃，还需要的时间为（ ） A ．6minB ．7minC ．8minD ．9min5．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数211()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()f x ≥（ ） A ．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦6．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞7．（2022·云南玉溪·高一期末）函数||()2x f x =，4()g x x =，则函数()()y f x g x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2022·全国·高三专题练习）已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<二、填空题9．（2022·江苏连云港·二模）函数()1293x x f x -=+的最小值是___________.10．（2022·全国·高一）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是________. （填序号）①()12f x x =；②()3f x x =；③()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④f （x ）＝3x11．（2022·江西宜春·高三期末（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设R x ∈，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[][]3.74 2.32-=-=，.已知()112x x e f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为_________.12．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x的取值范围是________ 三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）已知1x >，且13x x -+=，求下列各式的值： (1)1122x x -+； (2)1122x x --； (3)3322x x -+．14．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且(]0,2x ∈时，()21x f x =-，()22g x x x m =-+.(1)求()f x 在区间[)2,0-上的解析式；(2)若对[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.15．（2022·河南·高一阶段练习）已知函数()24x m x f x +=-.(1)当0m =时，求关于x 的不等式()2f x >-的解集；(2)若对[]0,1x ∀∈，不等式()22xf x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数()22x x af x a-=+是奇函数．(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域．。
2021高三数学(文)人教版一轮复习专练8 指数与指数函数 Word版含解析
专练8 指数与指数函数命题范围：指数的意义与运算、指数函数的定义图象与性质．[基础强化]一、选择题1．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠12．已知函数g (x )＝3x ＋t 的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－3]D ．[－3，＋∞)3．若a 2x ＝2－1，则a 3x ＋a －3x a x ＋a －x等于( ) A ．22－1 B ．2－2 2C ．22＋1 D.2＋1 4．[2020·山东临沂高三测试]函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝( ) A.12 B ．2C ．4 D.145．[2020·郑州一中高三测试]函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <06．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a7．函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)8．[2020·浙江杭州一中高三测试]函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221x －的单调减区间为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－1,1)9．[2020·安庆一中高三测试]已知函数f (x )＝e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数，则关于x 的不等式f (2x －1)＋f (－x －1)>0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43∪(2，＋∞) D ．(－∞，2) 二、填空题10.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2782-3＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0的值为________．11．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.12．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．[能力提升] 13．[2019·天津卷]已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b14．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型： I (t )＝K 1＋e －0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．6915．已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65、Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________.。
指数与指数函数图像及性质(学生版)
指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。
（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。
(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。
,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。
2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。
(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b >.【变式1】 求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）；（2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为（ ）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________.题型二 根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时，0;b a > 2. 0a ≠时， 01a =； 3. 若,r s a a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=，求33221122a aa a----的值.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。
2020年高考数学一轮复习考点08指数与指数函数必刷题(含解析)(2021-2022学年)
考点0８指数与指数函数１、不等式(错误!未定义书签。
）ｘ2-8>３－２x的解集是__＿_＿___．【答案】{ｘ|-2〈ｘ〈４}【解析】原不等式为（错误!未定义书签。
)x2－８〉(错误!)２x，∴ｘ２-8<2x，解之得-２〈x<4.２、设a＝4０.９,b＝80。
48，c=(错误!)-１。
5，则ａ、ｂ、c从大到小排列的顺序为_＿_____＿.【答案】a>ｃ>b【解析】∵ａ＝４０．9＝２1。
８,ｂ=８0.48=21．4４,ｃ＝(错误!）－１。
5=２1.5，∴２1。
8>21。
５〉２１。
44，即a〉c>b。
3、已知f(x）=2ｘ＋2－x，若f(ａ）＝3，则ｆ(2a）等于__＿_____．【答案】7【解析】由f（a）=3得２a＋2－a＝3,∴(2a+2-a)2＝9,即2２a＋２-2ａ+２=9。
所以22a+2－2a＝7，故f(2a)＝22a+2－2a＝７．４、若a〉1，ｂ〈0，且a b+a－b=2错误!,则a b-a-b的值等于___＿＿__＿.【答案】－２【解析】∵ａ〉1,b〈0，∴0〈a b〈1,a-b〉1.又∵(a b+a-b)2=a2b＋ａ－2b＋2=８，∴ａ2b＋a-2b＝６,∴(ａb-a－b)２=ａ2b＋a-２b－２=4，∴aｂ-a－ｂ＝-2。
5、若f（x)=a-x与ｇ(x）=a x－ａ(ａ>0且ａ≠１)的图象关于直线x=1对称，则a=__＿_＿_＿_。
【答案】2【解析】函数ｆ(x)＝a-x上任意一点(ｘ0，ｙ0）关于直线x=1对称的点为（2－x0，y0）,即有g(2－x0)＝a2－x0-a＝f（ｘ0)=a-x0，故a＝２。
6、若直线ａx－by＋2＝0(a＞0，b>0）和函数f(x)=a x+1+１（a＞０且a≠1）的图象恒过同一个定点，则当错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
取最小值时，函数f(ｘ）的解析式是_＿＿___＿＿．【答案】(22-2)x＋１+1【解析】函数f（x)＝a x＋1＋1(a＞0且ａ≠1)的图象恒过点(-１，２）,故12ａ+b=１，错误!未定义书签。
2021高考北师版(理科)数学一轮复习： 第2章 第5节 课时分层训练8 指数与指数函数
课时分层训练(八) 指数与指数函数A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．函数f (x )＝2|x －1|的大致图像是( )A B C DB [f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜1.所以f (x )的图像在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．] 2．(2021·山东德州一模)a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，那么( )【导学号：57962055】A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aD [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，35＞25，∴b ＜c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35＞25，∴a ＞c ，∴b ＜c ＜a ，应选D.]3．(2021·河南安阳模拟)函数f (x )＝a x ，其中a ＞0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2A [∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2∵f (x )＝a x ， ∴f (x 1)·f (x 2)＝a x1·a x2＝ax 1+ x 2＝a 0＝1，应选A.]4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]A [∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 在R 上为减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，假设f (a )＜1，那么实数a 的取值范围是( )【导学号：57962056】A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) C [当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0； 当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．] 二、填空题6．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 2 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.]7．函数f (x )＝4＋a x －1的图像恒过定点P ，那么点P 的坐标是________.【导学号：57962057】(1,5) [由f (1)＝4＋a 0＝5知，点P 的坐标为(1,5)．]8．函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x ＜0，那么函数g (x )的最小值是________．0 [当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x＜0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )＞g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.]三、解答题9．求不等式a 2x －7＞a 4x －1(a ＞0，且a ≠1)中x 的取值范围． [解] 设y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 假设0＜a ＜1，那么y ＝a x 为减函数， ∴a 2x －7＞a 4x －1⇔2x －7＜4x －1， 解得x ＞－3；5分假设a ＞1，那么y ＝a x 为增函数，∴a 2x －7＞a 4x －1⇔2x －7＞4x －1，解得x ＜－3. 9分 综上，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－3，＋∞)； 当a ＞1时，x 的取值范围是(－∞，－3). 12分 10．函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数． (1)求a 的值和函数f (x )的定义域；(2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0. [解] (1)因为函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝11－2x －a ，即(1－a )2x ＋a 1－2x ＝a ·2x ＋1－a 1－2x ，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12. 3分 又2x －1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).5分(2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0，得f (－m 2＋2m －1)＜－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)＜f (－m 2－3).8分由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m 2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，解得m ＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，以下五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图像如下图．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．]2．(2021·安徽江淮十校第一次联考)max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．假设f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，那么f (x )的最小值为________.【导学号：57962058】e [由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x ＜1.当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x ＜1时，f (x )＞e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e.]3．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． [解] (1)由于a x －1≠0，那么a x ≠1，得x ≠0， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 2分对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数.5分(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况． 当x ＞0时，要使f (x )＞0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＞0，即1 a x－1＋12＞0，即a x＋12(a x－1)＞0，9分即a x－1＞0，a x＞1，a x＞a0.又∵x＞0，∴a＞1.因此a＞1时，f(x)＞0. 12分。
近年届高考数学一轮复习第二章函数考点规范练8指数与指数函数文新人教A版(2021学年)
２019届高考数学一轮复习第二章函数考点规范练8 指数与指数函数文新人教A版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2０19届高考数学一轮复习第二章函数考点规范练8 指数与指数函数文新人教Ａ版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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考点规范练８指数与指数函数基础巩固1.化简(x<0,ｙ<0)得()A.2xﻩB.2xC．—2xﻩD。
—2x2.函数f(ｘ)=2|x-1|的大致图象是（)3．（201７河南南阳一模)已知f(ｘ)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=３x＋m(m为常数),则ｆ(—log３5）的值为（）A。
4 B。
－４ﻩＣ。
６Ｄ．-64。
函数y=(０〈ａ<1）的图象的大致形状是(）5.(２０1７河南南阳一模）已知x〉0,且1〈bｘ〈a x，则（）A。
０〈ｂ<a<１ B.0〈ａ〈b<1C。
1〈b＜aＤ。
1<a〈b6。
若函数f（x）＝a|2ｘ-４|(ａ＞0,a≠1)满足f(1)=,则f（x)的单调递减区间是（）A.(-∞,2］ﻩ B.［2,+∞)C.[-2,+∞)ﻩD.（—∞,—2]7。
函数y=２ｘ－２-x是()Ａ.奇函数，在区间(0，+∞)内单调递增B.奇函数,在区间（0，＋∞)内单调递减Ｃ.偶函数,在区间(-∞，０)内单调递增D。
偶函数，在区间(—∞，0）内单调递减8.已知偶函数ｆ(x）满足f(x)＝２x—4(ｘ≥０），则{ｘ|f（x-２）>０}=（)Ａ.{x｜x〈—2或x〉4}Ｂ。
2021年高考数学考点08指数与指数函数必刷题理含解析
考点8 指数与指数函数1．已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，故，选D.2．已知,则a,b,c的大小关系正确的一项是=A． a<c<b B． c<a<b C． b<a<c D． a<b<c【答案】D【解析】由，可得，所以，由指数函数的性质可得，所以，故选D．3．设实数，则（）A． a＞c＞b B． b＞c＞a C． c＞b＞a D． c＞a＞b【答案】D4．已知下列不等式①②③④⑤中恒成立的是( )A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个【答案】C【解析】①取a=-1，b=-2，虽然满足-1＞-2，但是（-1）2＞（-2）2不成立，因此a2＞b2不正确；②考察指数函数y=2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b，因此正确；③取a=1，b=-2，虽然满足1＞-2，但是不成立，因此不正确④考察幂函数在R上单调递增，∵a＞b，∴正确；⑤考察指数函数在R上单调递减，∵a＞b，∴，正确，故选：C．5．已知x＝log23－log2，y＝log0.5π，z＝0.9－1.1，则( )A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．y＜x＜z【答案】D6．下列命题中的假命题是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】当x∈（0，+∞）时，3x＞2x成立，A为真；设f（x）=e x-1-x，∵∀x∈（0，+∞），∴f′（x）=e x-1＞0，∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上是增函数，∴∀x∈（0，+∞），有f（x）＞f（0）=0，即e x＞1+x，B为真；D.显然为真，故选C.7．已知，则A． B．C． D．【答案】D8．设，，，则a，b，c的大小关系是A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，b，c的大小关系是．故选：C．9．设,则的大小顺序是( )A． B． C． D．【答案】D10．已知实数，，，，则（）A．B． C． D．【答案】C【解析】∵实数a，b，c，2a=﹣log2a，，，∴a是函数y=2x与y=log x的交点的横坐标，b是函数y=（）x与y=log2x的交点的横坐标，c是y=（）x与y=的交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系中，作出函数y=2x，y=log x，y=（）x，y=log2x，y=的图象，结合图象，得：b＞a＞c．故选：C．11．已知的值域为集合A，定义域为集合B，其中．（1）当，求；（2）设全集为R，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）12．已知函数（a,b为常数且）的图象经过A(1,8)，B(3,32).（1）试求a,b的值；（2）若不等式在x∈(-∞,1]时恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】 (1)由题意，解得.所以.(2)设,所以在上是减函数.所以当时, .若不等式在时恒成立,则在时恒成，则.所以,的取值范围为 .13．（1）计算：；（2）已知用，表示．【答案】（1）3 （2）14．（1）求值（2）函数是定义在上的奇函数，求的值。
指数与指数函数——2021年高考文科数学一轮复习热点题型(附解析)
2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题2.6 指数与指数函数目录一、题型全归纳 (1)题型一指数幂的化简与求值 (1)题型二指数函数的图象及应用 (2)题型三指数函数的性质及应用 (3)命题角度一比较指数幂的大小 (3)命题角度二解简单的指数方程或不等式 (4)命题角度三研究指数型函数的性质 (5)题型四换元法求解指数型函数的有关问题 (6)二、高效训练突破 (7)一、题型全归纳题型一指数幂的化简与求值【题型要点】【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．【例1】计算：(1)32-833-⎪⎭⎫ ⎝⎛＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a -13b 13(a >0，b >0)．题型二 指数函数的图象及应用【题型要点】1.指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1. (2)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点判断所给图象是否过这些点，若不满足则排除． (3)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用最基本的指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象，特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大． 【例1】(2020·河北武邑中学调研)函数y ＝e－|x －1|的大致图象是( )【例2】．若直线y＝2a与函数y＝|a x－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是．题型三指数函数的性质及应用命题角度一比较指数幂的大小【题型要点】比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．【例1】(2020·陕西榆林一中模拟)已知a＝3221⎪⎭⎫⎝⎛，b＝2－43，c＝3121⎪⎭⎫⎝⎛，则下列关系式中正确的是()A．c<a<b B．b<a<cC．a<c<b D．a<b<c【例2】已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1<b x<a x，则()A．0<b<a<1 B．0<a<b<1C．1<b<a D．1<a<b命题角度二解简单的指数方程或不等式【题型要点】解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．【例3】不等式2221212-++⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛a xaxx恒成立，则a的取值范围是．命题角度三研究指数型函数的性质【题型要点】求指数型复合函数的单调区间和值域的方法(1)形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y ＝a u的单调性求出y＝a f(x)的值域．(2)形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝a f(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；当0<a<1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝a f(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反．【例4】已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是．题型四换元法求解指数型函数的有关问题【题型要点】对于同时含有a x与a2x(a>0且a≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t＝a x进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数型函数的类似问题，也要用换元法【例1】已知函数f(x)＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，求m的取值范围．【例2】已知函数f(x)＝ax⎪⎭⎫⎝⎛21，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)．(1)求a的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．二、高效训练突破 一、选择题1．若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．(a －14)4＝1a2．函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )3．若函数f (x )＝(2a －5)·a x 是指数函数，则f (x )在定义域内( ) A ．为增函数 B ．为减函数 C ．先增后减D ．先减后增4．设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝1.01⎪⎭⎫ ⎝⎛a 的大小关系是( ) A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N5.设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝ 2.521⎪⎭⎫⎝⎛，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．a >b >cD ．b >a >c6．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )7.已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9，81] B ．[3，9] C ．[1，9]D ．[1，＋∞)8.已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)内单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)内单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减 10.(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)函数y ＝2x2x ＋1(x ∈R )的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D.⎪⎭⎫ ⎝⎛210，二、填空题1.化简：（a 23·b －1）-12·a -12·b 136a ·b 5＝ ．2.(2020届陕西宝鸡中学月考)如果函数f (x ＋1)定义域为[0，3]，则函数f (2x )的定义域为________．3.不等式2－x 2＋2x>421+⎪⎭⎫ ⎝⎛x 的解集为 ．4.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ．5．设偶函数g (x )＝a |x ＋b |在(0，＋∞)上单调递增，则g (a )与g (b －1)的大小关系是 ．6.已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[－1，2]上的最大值为8，最小值为m .若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调递增函数，则a ＝ ． 三、解答题1.(2020·福建养正中学模拟)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋2ax (－3≤x ≤3)． (1)若g (x )在[－3，3]上是单调函数，求a 的取值范围； (2)当a ＝－1时，求函数y ＝f (g (x ))的值域．2.已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题2.6 指数与指数函数目录一、题型全归纳 (1)题型一指数幂的化简与求值 (1)题型二指数函数的图象及应用 (2)题型三指数函数的性质及应用 (3)命题角度一比较指数幂的大小 (3)命题角度二解简单的指数方程或不等式 (4)命题角度三研究指数型函数的性质 (5)题型四换元法求解指数型函数的有关问题 (6)二、高效训练突破 (7)一、题型全归纳题型一指数幂的化简与求值【题型要点】【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．【例1】计算：(1)32-833-⎪⎭⎫ ⎝⎛＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a -13b 13(a >0，b >0)．【答案】（1）－1679；（2）ab －1【解析】 (1)原式＝(－1)－23×32-833-⎪⎭⎫ ⎝⎛＋32-5001⎪⎭⎫ ⎝⎛－105－2＋1＝32-827⎪⎭⎫⎝⎛＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a -13b 13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab －1. 题型二 指数函数的图象及应用【题型要点】1.指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1. (2)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点判断所给图象是否过这些点，若不满足则排除． (3)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用最基本的指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象，特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大．【例1】(2020·河北武邑中学调研)函数y ＝e－|x －1|的大致图象是( )【答案】B.【解析】：因为－|x －1|≤0，所以0<e－|x －1|≤e 0，即0<y ＝e－|x －1|≤1，故选B.【例2】．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 ．【答案】：⎪⎭⎫ ⎝⎛210，【解析】：(1)当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图①.因为y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，所以0<2a <1，所以0<a <12.(2)当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图②，而y ＝2a >1不可能与y ＝|a x －1|有两个交点．综上，0<a <12.题型三 指数函数的性质及应用命题角度一 比较指数幂的大小【题型要点】比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．【例1】(2020·陕西榆林一中模拟)已知a＝3221⎪⎭⎫⎝⎛，b＝2－43，c＝3121⎪⎭⎫⎝⎛，则下列关系式中正确的是()A．c<a<b B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 【答案】B【解析】把b化简为b＝3421⎪⎭⎫⎝⎛，而函数y＝x⎪⎭⎫⎝⎛21在R上为减函数，又43>23>13，所以3421⎪⎭⎫⎝⎛<3221⎪⎭⎫⎝⎛<3121⎪⎭⎫⎝⎛，即b<a<c.【例2】已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1<b x<a x，则() A．0<b<a<1 B．0<a<b<1C．1<b<a D．1<a<b【答案】C.【解析】：因为x>0时，1<b x，所以b>1.因为x>0时，b x<a x，所以x>0时，xba⎪⎭⎫⎝⎛>1.所以ab>1，所以a>b.所以1<b<a.故选C.命题角度二解简单的指数方程或不等式【题型要点】解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．【例3】不等式2221212-++⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛a xaxx恒成立，则a的取值范围是．【答案】(－2，2)【解析】由题意，xy⎪⎭⎫⎝⎛=21x是减函数，因为2221212-++⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛a xaxx恒成立，。
2021年高考数学一轮复习 8指数与指数函数限时检测 新人教A版
2021年高考数学一轮复习 8指数与指数函数限时检测 新人教A 版考查知识点及角度 题号及难度基础 中档 稍难 指数幂的运算 1,7,10指数函数的图象4 指数函数的性质 2,35,6 综合应用8,9,1112【解析】 由图可知0＜a ＜1，－2＜b ＜－1. 又函数y ＝1x ＋a ＋b ＋1的图象是由y ＝1x向左平移a 个单位，向下平移|b ＋1|单位而得到的．结合四个选项可知C 正确．【答案】 C5．(xx·济南模拟)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1e x －1cos x 是奇函数，则常数a 的值等于( )A ．－1B ．1C ．－12D.12【解析】 设g (x )＝a ＋1e x －1，t (x )＝cos x ，∵t (x )＝cos x 为偶函数，而f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1e x－1cos x 为奇函数，∴g (x )＝a ＋1e x －1为奇函数．又∵g (－x )＝a ＋1e －x －1＝a ＋ex1－ex ，∴a ＋e x1－e x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1e x－1对定义域内的一切实数都成立，解得：a ＝12. 【答案】 D6．(xx·课标全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x(x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)【解析】 ∵2x(x －a )＜1，∴a ＞x －12x .令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－xln 2＞0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1，∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．(xx·珠海一中等六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2，x ＜2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＞2则f (－3)的值为________．【解析】 ∵f (－3)＝f (－3＋2)＝f (1)，f (1)＝f (1＋2)＝f (3)，f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，∴f (－3)＝18.【答案】 188．(xx·山东高考)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.【解析】 若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．【答案】 149．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值为________．【解析】 令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， 又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4， ∴t ＝1时，y max ＝52.【答案】 52三、解答题(本大题共3小题，共35分) 10．(10分)(1)计算：⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫5490.5＋0.008－23÷0.02－12×⎦⎥⎤0.3212÷0.062 50.25； (2)化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －23－23b a ×a ·3a25a ·3a(式中字母都是正数)． 【解】 (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫82723－⎝ ⎛⎭⎪⎫49912＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000823÷50×4210÷⎝⎛⎭⎪⎫62510 00014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－179＋2×2＝29. (2)原式＝a 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 133－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 133⎝ ⎛⎭⎪⎫a 132＋a 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 132÷a 13－2b13a×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·a 2312⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12·a 1315 ＝a 13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13－2b 13×aa 13－2b 13×a56a 16＝a 13×a ×a 23＝a 2.11．(12分)(xx·安徽省涡阳四中月考)已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1. (1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1＝2(2x )2－2x－1，令t ＝2x，x ∈[－3,0]，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1.故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x－1＝0有解，等价于 方程2ax 2－x －1＝0在(0，＋∞)上有解． 解法一：记g (x )＝2ax 2－x －1， 当a ＝0时，解为x ＝－1＜0，不成立．当a ＜0时，开口向下，对称轴x ＝14a ＜0，过点(0，－1)，不成立．当a ＞0时，开口向上，对称轴x ＝14a ＞0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以，a ＞0.解法二：方程2ax 2－x －1＝0可化为a ＝x ＋12x 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－18， ∴a 的范围即为函数g (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－18在(0，＋∞)上的值域所以，a ＞0.12．(13分)(xx·吉林模拟)设函数f (x )＝ka x －a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数；(1)若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．【解】 ∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1.(1)∵f (1)＞0，∴a －1a＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，f (x )＝a x －a －x，而当a ＞1时，y ＝a x 和y ＝－a －x在R 上均为增函数， ∴f (x )在R 上为增函数，原不等式化为：f (x 2＋2x )＞f (4－x )， ∴x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0， ∴x ＞1或x ＜－4，∴不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－4}． (2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g (x )＝22x ＋2－2x－4(2x －2－x)＝(2x－2－x )2－4(2x－2－x)＋2. 令t ＝2x －2－x(x ≥1)，则t ＝h (x )在[ 1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，即h (x )≥h (1)＝32.∴g (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2， ∴当t ＝2时，g (x )min ＝－2， 此时x ＝log 2(1＋2)，当x ＝log 2(1＋2)时，g (x )有最小值－2.s39443 9A13 験28812 708C 炌 C38188 952C 锬34170 857A 蕺V36318 8DDE 跞 39528 9A68驨28450 6F22 漢D。
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考点08 指数与指数函数
1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则()
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
2.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则()
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.b>c>a
3．函数y＝2x－2－x是()
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于()
A.5
B.7
C.9
D.11
5．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为()
A．[9，81] B．[3，9]
C．[1，9] D．[1，＋∞)
6.已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,则下列各式正确的是()
A.x-y>0
B.x+y<0
C.x-y<0
D.x+y>0
7．已知函数f(x)＝a x，其中a＞0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于()
A．1 B．a
C．2 D．a2
8.若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-3)> 0}=()
A.{x|x<-3或x>5}
B.{x|x<1或x>5}
C.{x|x<1或x>7}
D.{x|x<-3或x>3}
9．若x log52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为()
A．－4 B．－3
C ．－1
D ．0
10．已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( )
A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
C ．2－a ＜2c
D ．1＜2a ＋2c ＜2 11．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭
⎫13b ，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .
其中不可能成立的关系式有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19
，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．(－∞，－2]
D ．[1，＋∞)
13.已知函数f (x ),若在其定义域内存在实数x 满足f (-x )=-f (x ),则称函数f (x )为“局部奇函数”,若函数f (x )=4x -m ·2x -3是定义在R 上的“局部奇函数”,则实数m 的取值范围是( )
A.[-)
B.[-2,+∞)
C.(-∞,2)
D.[-2)
14．设a ＞0，b ＞0( )
A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞b
B ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＜b
C ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＞b
D ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＜b
15．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－2，1)
B ．(－4，3)
C ．(－3，4)
D ．(－1，2)
16.当x ∈(-∞,-1]时,不等式(m 2-m )·4x -2x <0恒成立,则实数m 的取值范围是 .
17．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m ，3)，则f (0)＋f (－m )＝________．
18．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．
19．已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．
20.已知函数f (x )=是奇函数.
(1)求m 的值;
(2)设g (x )=2x+1-a ,若函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点,求实数a 的取值范围.
21．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x ＜1，2x －12，x ≥1，若a ＞b ≥0，且f (a )＝f (b )，则bf (a )的取值范围是________． 22.已知函数f (x )=3x -.
(1)若f (x )=2,求x 的值;
(2)判断x>0时,f (x )的单调性;
(3)若3t f (2t )+mf (t )≥0对于t ∈恒成立,求m 的取值范围.
23．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x ，则( )
①2是函数f (x )的一个周期；
②函数f (x )在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；
③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；
④当x ∈(3，4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.
其中所有正确命题的序号是________．。