复杂电路化简
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第14讲 复杂电路化简
1. 对称电路化简。
2. 含容电路。
3. 无穷的处理方法。
本讲一堆奇思妙想的题,希望能启发大家的思维,希望大家不要当知识学了。尽量多想一下为什么可以这么做。
例题精讲
回顾:
【例1】 如图所示的网络中,仅知道部分支路上电流值及其方向、某些元件参数和支路交点的电势值
(有关数值及参数已标在图上).请你利用所给的有关数值及参数求出含有电阻x R 的支路上的电流值x I 及其方向.
1.对称性原理
在一个复杂电路中,如果能找到一些完全对称的点,(以两端连线为对称轴),那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开(即去掉),也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来,且不影响电路的等效性。
本讲提纲
【例2】 用导线连接成如图所示的框架,ABCD 和ABCE 是正四面体,每段导线的电阻都是1Ω。求AB
间的总电阻。
【例3】 N 个点之间每两个之间都连接有电阻为r 的电阻,求两点间的等效电阻。
2.电流分布法
设有电流I 从A 点流入、B 点流出,应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想,(即基耳霍夫定理),建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组,解出各支路电流与总电流I 的关系,然后经任一路径计算A 、B 两点间的电压AB U ,再由I U R AB
AB =
即可求出等效电阻。
【例4】 用基尔霍夫定律解右图的等效电阻R AB ,再用“Δ→Y 型”等效法验证你的结论。
A
B
D
C
【例5】 有一个无限平面导体网络,它由大小相同的正六边形网眼组成,如图所示。所有六边形每边
的电阻为0R ,求: (1)结点a 、b 间的电阻。
(2)如果有电流I 由a 点流入网络,由g 点流出网络,那么流过de 段电阻的电流 I de 为多大。
4. 无穷的处理方法
数学上对于无穷集合的定义是:存在到自己的真子集的一一映射的集合。就是说自己的一部分和自己是一样的。我们正是利用这样的性质来解决无穷问题。先恰当的描述无穷体系对外界的响应性质,然后将其和自己的一部分关联起来,计算出响应性质。或者这个步骤可能叫递推关系…或者叫XXX(某个编者记不住的人名)方程…不论怎样,反正数学定义如此,不这么做实在是逆天而行…
若
,⋯++++=a a a a x (a >0)
在求x 值时,x 注意到是由无限多个
a 组成,所以去掉左边第一个+a 对x 值毫无影响,即
剩余部分仍为x ,这样,就可以将原式等效变换为x a x +=,即
02
=--a x x 。所以 1
2
3
4
567
89a
b c d e g
2411a
x ++=
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。 【例6】 如图,每段导线间的电阻都是r ,计算AB 间的电阻。
【例7】 如图所示,框架是用同种金属丝制成的,单位长度的电阻为
ρ,一连串内接等边三角形的
数目可认为趋向无穷,取AB 边长为a ,以下每个三角形的边长依次减小一半,则框架上A 、B 两点间的电阻为多大? 立体电路
【例8】 六个相同的电阻(阻值均为R )连成一个电阻环,六个接点依次为1、2、3、4、5和6,如图
所示。现有五个完全相同的这样的电阻环,分别称为1D 、2D 、┅5D 。
现将2D 的1、3、5三点分别与1D 的2、4、6三点用导线连接,如图所示。然后将3D 的1、3、5三点分别与2D 的2、4、6三点用导线连接,┅ 依此类推。最后将5D 的1、3、5三点分别连接到4
D
A
B
A
B
的2、4、6三点上。
1.证明全部接好后,在1D 上的1、3两点间的等效电阻为
724
627
R 。 2.求全部接好后,在5D 上的1、3两点间的等效电阻。(16界复赛)
【例9】 十个电容为C 的电容器按图个方式连接,求AB 间等效电容AB C 。
【例10】 如图,每边电阻都是r ,计算R AB
B
A
A
B
【例11】 由单位长度电阻为r 的导线组成如图所示的正方形网络系列.1n =时,正方形网络边长为L ;
2n =时,小正方形网络的边长为/3L ;3n =时,最小正方形网络的边长为/9L .当1n =、2、3
时,各网络上A 、B 两点间的电阻分别为多少?
【例12】 如图所示,电阻121k R R ==Ω,电动势6V =E ,两个相同的二极管D 串联在电路中,二
极管D 的D D I U -特性曲线如图所示。试求:通过二极管D 的电流。电阻
1R 消耗的功率。
趣味知识
Mandelbrot 集
曼德勃罗特集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰丽的几何图形.曾被称为“上帝的指纹”。 这
个点集均出自公式: 2
1n n Z Z C +=+。如果C 使得存在非空集合J ,使得对于任意n Z J ∈,有
1n Z J +∈,则令C M ∈;M 即为Mandelbrot 集,其中J 为C 对应的Julia 集。左图为某个Julia
集
Mandelbrot 集是曼德勃罗特教授在二十世纪七十年代发现的.你看上图中,有的地方象日冕,有的地方象燃烧的火焰,只要你计算的点足够多,不管你把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽的细节和自相似性.曼德勃罗特教授称此为"魔鬼的聚合物".为此,曼德勃罗特在1988年获得了"科学为艺术大奖". 图形是由美国数学家曼徳勃罗特教