扩频通信第三章 伪随机编码理论

i
1 Ra ( τ ) N
a a
i 1 i
N
iτ
1 1 N
τ 0 (mod N ) τ 0 (mod N )
的形式，码序列 a 称为伪随机码，又称为狭义伪随 机码。 (2) 若码序列 a 的自相关函数具有
i i
τ 0 (modN ) 1 1 N Ra (τ ) ai ai τ N i 1 α 1 τ 0 (modN )


平方剩余码序列
对于某个整数i是模N的平方剩余，是指存在某个与N互 为素数的整数i，使 i a 2 (modN ) 有解。当 N 4t 1 为一素 数(t为整数)时，模N的平方剩余构成一个差集。 例题： t 3 N 4t 1 11 ，模11的平方剩余i a 2 (modN ) ，

1、伪随机码定义以及特点：



定义：伪随机码又叫伪噪声码，简称PN码。简单 地说，伪随机码是一种具有类似白噪声性质的码。 特点：1）白噪声是一种随机过程；2）瞬时值服从 正态分布，功率谱在很宽的频带内均匀的；3）白 噪声具有优良的相关特性，但是至今无法实现。 工程上：只能用类似于白噪声统计特性的伪随机码 信号来逼近，并作为扩频通信系统的扩频码。
an-4
1 0 0 0
4
5 6
1
1 0
0
1 1
0
0 1
1
0 0
7
8 9 10
1
0 1 1
0
1 0 1
1
0 1 0
1
1 0 1
输 出
11
12 13 14 15
1
1 0 0 0
1
1 1 0 0
1
1 1 1 0
0
1 1 1 1
4. 结论 线性移位寄存器的输出序列是一个周期系列 初始状态是０时，输出序列也是零； 级数相同的线性移位寄存器的输出序列与寄存器的反 馈逻辑有关； 输出序列与初始状态有关； 序列周期p<＝2n-1（n为移位寄存器的级数）;
a : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, i: 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1
1 即 , 3, 4, 5, 9 是n=11，k=5，λ=2的差集，于 是可写出对应的伪随机序列为 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 它的自相关函数为

3.3 伪随机编码的分类及构造原理

3.3.1 几个基本定义
讨论前提：仅限等长二进制码，即码字长度(周期)相等， b 且码元都是二元域的{-1，+1}元素。设 和a 是周期为 b b，码字 和 a b a ，a N的两个码序列，即 的互相 R ( ) 关函数 定义为
2, 4
可见D内各差恰好遍取1，2，3，4，5，6各1次 ，因 而是一个差集。




通常我们用n，k和λ这3个参数来表示一个差集，记 为 ( , k , ) 。 我们可以通过差集与双值自相关码的关系来构造双值 自相关码。方法： 对于给定的差集 ( , k , ) ，可以写出 V 0, 1, 2, , 1 D d1 , d 2 , , d k A a0 , a1 , , a 1 令
3、 m序列产生器
下图给出了产生m序列的线性反馈移位寄存器的一般结构图： 1）、起始状态为： 0 a1 an2 an1 a 2）、 c
0
cn 1 ci 1表示此线接通，参与反 馈；
ci 0表示此线断开，不参与 反馈；
＋ ＋ ＋
c0 ＝1 1
c1 2
c2 n－1 a1
cn－1 n
iD iD
例题：
参照课本的64页。


3.3.3 狭义伪噪声序列
由n，k，λ所确定的差集D构成的伪随机码序 列，可能是广义的伪随机码序列，也可能是狭 义的伪随机码序列，要由具体的n，k，λ数值 来确定，当 1 4(k ) 成立时，所得到的是 狭义伪随机码序列； 否则是广义伪随机码序 列。 介绍几种狭义伪随机码序列： 平方剩余码序列；双素数序列；霍尔序列；巴 克 码。 我们仅仅需要掌握平方剩余码序列
＋
c0 ＝1
an－1
an－2
an－３
an－４
输出 ak
图 线性反馈移位寄存器
正状态（状态）：各级移位寄存器的寄存数从右至左的顺
序排列（逆着移位脉冲的方向）。
由于带有反馈，因此在移位脉冲作用下，移位寄存器各级
的状态将不断变化
通常移位寄存器的最后一级做输出，输出序列为
{ak } a0a1 an1

当N为奇数时，上面定义的 i 号 N
ai
正是所谓的勒让德符
i为模N的平方剩余 i 1 N 1 i为其它值
于是 因此，平方剩余序列又称为勒让德序列，简称L序列。
i ai N
3.4 m序列
一、线性反馈移位寄存器
在讲解m序列之前，首先讲讲回顾一下移位 寄存器的基本原理。 1、可由移位寄存器和反馈逻辑产生。
码元延时。
3.2 伪随机编码的基本概念
作为扩频码的伪随机信号，应具有下列特点： (1) 伪随机信号必须具有尖锐的自相关函数，而互相关函 数值应接近零值； (2) 有足够长的码周期，以确保抗侦破和抗干扰的要求； (3) 码的数量足够多，用来作为独立的地址，以实现码分 多址的要求； (4) 工程上易于产生、加工、复制和控制。
τ 0 (mod 11) 1 R( τ ) 1 11 τ 0 (mod 11)
这样得到的伪随机序列，称为平方剩余序列或平方余数序列。

若 N 4t 1 为素数，则存在一个周期为N的伪随机码 序列{a0，a1，…，aN-1}，其中，
i为模N的平方剩余 1 ai 1 i为其它值
3.4.1 m序列的定义
1、m序列：由n级线性移位寄存器产生的最大周期的序列 （最大长度序列） ，其周期为：2n-1 （经历除全零外的所 有可能状态的） 反馈移位寄存器输出序列周期越长，越接近随机序列。 2、 m序列产生的条件 找到相应的反馈逻辑 若改变起始状态，只能改变m序列的起始相位，而周期序 列排序规律不变。
1 ai 为一长度等于v的码，且 1
则 A ai ; i 0, 1, , 1 就是一个双值自相关的广义伪随机 码，可以证明其自相关函数为
1 Ra ( τ ) ν 4(k λ) ν τ 0 (modν) τ 0 (modν)
例：设 n ＝ 4，m = 24 – 1 = 15
通过穷举法，可找出所有可整除
x15 1 的多项式：
x15 1 x 4 x 1 x 4 x3 1 x 4 x3 x 2 x 1 x2 x 1 x 1
第三章 伪随机编码理论
3.1 有限域理论简介 3.2 伪随机编码的基本概念 3.3 伪随机编码的分类及构造原理 3.4 m序列 3.5 Gold序列 3.6 M序列 3.7 截短序列 3.8 其他扩频序列
3.1 有限域理论简介

自学（掌握的基本概念） 自封的或封闭； 有限域； 。。。。。。
3.1 有限域理论简介
cn ＝1
a n－1
a n－2
a0
输出 a k
1）. 线性反馈移位寄存器的递推关系式
an C1an1 C2 an2 C3an3 Cn a0 i 1 Ci ani
n
mod2
2）. 线性反馈移位寄存器的特征多项式 用多项式f(x)来描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态：
i i
N k
k
N k
k
i
i
ab
1 Rab ( τ ) N
a b
i 1
N
i iτ
若 Rab ( ) 0 ，则两码字正交。 长度为N的码序列ai 的自相关函数 R ( ) 定义为
a
1 N Ra ( τ ) ai ai τ N i 1

3.3.1 几个基本定义
计算自相关和互相关的另一种方法：
输出序列是一个周期序列
３. 举例
＋
c0 ＝1
an－1
an－2
an－３
an－４
输出 ak
假设初始状态为(an-４ an-３ an-2 an-1)＝ (1000)，其反馈逻辑为：
an1 an3 an4
时钟节拍
0 1 2 3
an-1
0 1 0 0
an-2
0 0 1 0
an-3
0 0 0 1
A D A D Rab ( τ ) A D N
Ra ( τ )
i
i
者 a 对应码元相同的数目(同为1或 同为0的数目)，D是对应码元不相同的数目。

伪随机码的具体定义： (1)若码序列a 的自相关函数具有
f ( x ) c0 c1 x cn x ci x
n i 0
n
i
f(x)是一个常数项为1的n次多项式，它反映了反馈线的状 态。
可以证明：产生m序列的特征多项式 为一个n次本原多项式。 若一个n次多项式f(x)满足下列条件 (1) f(x)为既约多项式(即不能分解因式的多项式)； (2) f(x)可整除(xp+1), p=2n-1; (3) f(x)除不尽(xq+1), q<p。 则称f(x)为本原多项式。 一般本原多项式可通过计算机穷举法来验证。
的形式，码序列 a 称为广义伪随机码。 狭义伪随机码是广义伪随机码的特例。
i

3.3.2 双值自相关序列
1、定义： 如果一个码长为N的周期序列 ai ，自相关函数满足