正交编码与伪随机序列

(1)q
j / 2
wal
j,
2
t
1 4
(1)
jq
wal
j,
2
1 4
其中，j = 0,1,2, …, q = 0或1，[j/2]表示j/2的整数部分。
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10.2.2 常见的正交编码(续)
为了便于理解，做以下几点说明： (1) 当把Wal(j, t)改成Wal(j, 2t)时，表示保持波形相对形状 不变，只是将时基从-1/2 ≤ t ≤ 1/2压缩到-1/4 ≤ t ≤ 1/4； (2) 当把Wal(j, 2t)改成Wal[j, 2(t ± 1/4)]时，表示保持波形 相对形状不变，只是将波形向左(对应“+”号)或向右(对应 “-”号)平移 1/4。
且其任意两行(列)之间是互相正交的，简记为H矩阵。H
矩阵的最低阶数为2，即
1 1 H2 1 1
为了简便起见，把上式中的＋1和－1简写为＋和
－，上式就表示为
H2
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10.2.2 常见的正交编码(续)
阶 数为2k的高阶H矩阵从下列递推关系得出
Hk = Hk/2 H2
其中，k为正整数， 是直积运算。上式的直积运算是
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10.2.1 正交编码的基本概念(续)
一个长为n的码组x的自相关系数被定义为
x (
j)
1 n
n i 1
xi xi + j,
j 0, 1, , n 1
其中，x的下标按模n运算，即xn＋k xk。举例：如果数组
x = (x1, x2, x3, x4) = (1, 1, -1 , -1)，则
指将矩阵Hk / 2中的每一个元素用矩阵H2代替，比如，
H4
H2
H2
H2
H
2
H2 H2
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10.2.2 常见的正交编码(续)
H8
H4
H2
H4
H
4
H4 H4
H2矩阵、H4矩阵和H8矩阵都是对称矩阵，而且第一 行和第一列的元素全为“＋”，我们把这样的H矩阵称为
通信原理
第10章 正交编码与伪随机序列
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10.2 正交编码的基本概念和常见的正交编码
10.2.1 正交编码的基本概念
设码长为n的编码中码元只取值+1和-1。如果x和y是其
中的两个码组：x = (x1, x2, …, xn)，y = (y1, y2, …, yn)，其中，
xi, yi ∈ {+1, -1}，i = 1, 2, …, n，则码组x和y的互相关系数
1
x (3)
1 4
4 i 1
xi xi3
1 4
( x1 x4
x2 x1
x3 x2
x4 x3 )
1 4
(1 1 1 1)
0
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10.2.1 正交编码的基本概念(续)
在二进制编码理论中，常采用二进制数字“0”和 “1”表示码元的可能取值。若规定用二进制数字“0”代 替上述码组中的“-1”，用二进制数字“1”代替“+1”， 则码组x和y的互相关系数被定义为
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10.2.2 常见的正交编码(续)
2.Walsh矩阵 Walsh函数的定义常用三角函数法、拉德马赫函数乘
积表示法、Hadamard矩阵表示法和递推公式法等。这里介
绍Walsh函数的递推公式形式，其定义为
wal(0,
t)
1
0
1 t 1 22 Others
wal(k, t)=wal(2 j q, t)
(x, y) a b
ab
其中，a表示码组 x和y中对应码元相同的个数，b表示码 组x和y中对应码元不同的个数。
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10.2.1 正交编码的基本概念(续)
若两个码组间的互相关系数 < 0，则称这两个码组
互相超正交。如果一种编码中任意两码组之间均超正交， 则称这种编码为超正交码。例如，对于3个码组：x1 = (+1, +1, +1)，x2 = (+1, -1, -1)，x3 = (-1, -1, +1)，由它们构成的 编码是超正交码。
例如，Wal(5, t)应该根据Wal(2, t)递推出来，此时，k = 5, j = 2, q = 1, [j/2] = 1。
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10.2.2 常见的正交编码(续)
Wal(5, t) Wal(2 2 1, t)
(1)11
Wal
x (0)
1 4
4 i 1
xi2
1 4
(1 1 1 1)
1
x (1)
1 4
4 i 1
xi xi1
1 4
( x1 x2
x2 x3
x3 x4
x4 x1)
1 4
(1 1 1 1)
0
x (2)
1 4
4 i 1
xi xi2
1 4
( x1 x3
x2 x4
x3 x1
x4 x2 )
1 (1111) 4
Leabharlann Baidu
由正交编码和其反码构成的编码就是双正交编码。
10.2.2 常见的正交编码
常见的正交编码有Hadamard码矩阵、Walsh矩阵
和伪随机序列等。
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10.2.2 常见的正交编码(续)
1. Hadamard码矩阵
Hadamard码矩阵是法国数学家M. J. Hadamard于1893
年首先构造出来的一种方阵，仅由元素+1和-1构成，而
被定义为
( x,
y)
1 n
n i 1
xi yi
如果码组x和y正交，则(x, y) = 0。
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10.2.1 正交编码的基本概念(续)
x1(t)
x2(t)
1
1
0
t0
t
-1
x3(t)
x4(t)
1
1
0
t0
t
-1
-1
图10-1 4个数字信号的波形图
这4个码组中任意两者之间的相关系数都为0，即这4个码 组两两正交。我们把这种两两正交的编码称为正交编码。
Hadamard码矩阵的正规形式，或称为正规Hadamard码矩
阵。
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10.2.2 常见的正交编码(续)
按照递推关系式可以构造出所有2k阶的H矩阵。可以证 明，高于2阶的H矩阵的阶数一定是4的倍数。
H矩阵是正交方阵。如果把其中每一行看作是一个码 组，则这些码组也是互相正交的，而整个H矩阵就是一种码 长为n的正交编码，它包含n个码组。因为长度为n的编码共 有2n个不同码组，如果只将这n个码组作为许用码组，其余 (2n - n)个为禁用码组，则可以将其多余度用来纠错。这种编 码在纠错编码理论中称为Reed-Muller码。