高中数学立体几何线面角知识点

立体几何知识点整理

一．直线和平面的三种位置关系：

1. 线面平行

2. 线面相交

3. 线在面内

二．平行关系： 1. 线线平行：

方法一：用线面平行实现。

方法二：用面面平行实现。

方法三：用线面垂直实现。 若αα⊥⊥m l ,，则m l //。

方法四：用向量方法：

若向量和向量共线且l 、m 不重合，则m l //。

2. 线面平行：

方法一：用线线平行实现。

ααα////l l m m l ⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

⊄⊂

m l m l ////⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫=⋂=⋂βγαγβ

αm

l m l l ////⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫=⋂⊂βαβ

αl

α

l

方法二：用面面平行实现。

αββα////l l ⇒⎭

⎬⎫

⊂

方法三：用平面法向量实现。

若为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l ,则α//l 。

3. 面面平行：

方法一：用线线平行实现。

β

ααβ//',','

//'//⇒⎪⎪⎭⎪

⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l

方法二：用线面平行实现。

βαβαα

//,////⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫⊂且相交m l m l

三．垂直关系： 1. 线面垂直：

方法一：用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫

⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC

l ,

方法二：用面面垂直实现。

αββαβα⊥⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,

2. 面面垂直：

方法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭

⎬⎫

⊂⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直：

方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭

⎬⎫

⊂⊥αα

方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫

⎪

⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭

方法三：用向量方法：

若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。

三．夹角问题。

（一）异面直线所成的角： （1）范围：]90,0(︒︒ （2）求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理） 余弦定理：

ab

c b a 2cos 222-+=θ

（计算结果可能是其补角）

θ

c

b

a

方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：

=

θcos

（二）线面角

（1）定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 （2）范围：]90,0[︒︒

当︒=0θ时，α⊂l 或α//l ；当︒=90θ时，α⊥l （3）求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。

（三）二面角及其平面角

（1）定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。 （2）范围：]180,0[︒︒ （3）求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。

步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。

步骤2：解三角形，求出二面角。

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

步骤一：计算12

1212

cos n n n n n n ⋅<⋅>=⋅u r u u r

u r u u r u r u u r

步骤二：判断θ与12n n <⋅>u r u u r

的关系，可能相等或者互补。

四．距离问题。

1．点面距。 方法一：几何法。

步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。

步骤2：计算线段PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)

2．线面距、面面距均可转化为点面距。

3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。

如图，m 和n 为两条异面直线，α⊂n 且α//m ，则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。

如图，AD 是直线m 和n 的公垂线段，m ∥m`，则异面直线m 和n 的距离为

θcos 2222ab b a c d ±--=

m