高中数学命题与条件

合集下载

高考第2课四种命题和充要条件

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第2课四种命题和充要条件【自主学习】第2课四种命题和充要条件(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-1P8习题1改编)命题：“若x2<1，则-1<x<1”的逆否命题是. 【答案】若x≥1或x≤-1，则x2≥12.(选修2-1P7练习改编)命题“若x<0，则x2>0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中正确命题的个数为.【答案】2【解析】原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若x2>0，则x<0”为假命题，所以否命题为假.3.(选修2-1P20习题改编)判断下列命题的真假.(填“真”或“假”)(1)命题“在△ABC中，若AB>AC，则C>B”的否命题为命题.(2)命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题为命题.【答案】(1)真(2)假4.(选修2-1P9习题4(2)改编)“sin α=sin β”是“α=β”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“ 充要”或“ 既不充分也不必要”)【答案】必要不充分5.(选修2-1P20习题改编)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的条件，p是q的条件.【答案】充要必要【解析】q⇒s⇒r⇒q，所以r是q的充要条件；q⇒s⇒r⇒p，所以p是q的必要条件.1.记“若p则q”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p”，逆否命题为“若非q则非p”.其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数.2.对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当它是假命题时，记作p⇒/q，称p是q的非充分条件，q是p的非必要条件.3.①若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；②若p⇒/q，且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件，记作p⇔q；④若p⇒/p，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件.4.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).【要点导学】要点导学各个击破命题真假的判断例1在△ABC中，已知命题p：若C=60°，则sin2A+sin2B-sin A sin B=sin2C.(1)求证：命题p是真命题；(2)写出命题p的逆命题，判断逆命题的真假，并说明理由.【思维引导】(1)利用正弦定理将待证式转化为a2+b2-ab=c2，然后利用余弦定理即证；(2)分清命题p的条件与结论，正确地对原命题的条件和结论进行互换或否定.【解答】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)因为C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos 60°，即c2=a2+b2-ab.由正弦定理sin a A =sin b B =sin cC ，得sin 2C=sin 2A+sin 2B-sin A sin B. 故命题p 是真命题.(2)命题p 的逆命题：在△ABC 中，若sin 2A+sin 2B-sin A sin B=sin 2C ，则C=60°. 它是真命题.证明如下：由sin 2A+sin 2B-sin A sin B=sin 2C 和正弦定理得c 2=a 2+b 2-ab.而由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，得cos C=12. 因为0°<C<180°，所以C=60°.【精要点评】对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.变式给出以下四个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤-1，则x 2+x+q=0有实数根”的逆否命题； ④若a+b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数. 其中真命题是 .(填序号) 【答案】①③【解析】①显然正确；②不全等的三角形的面积不相等，故②不正确；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确；④若a+b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数或都是奇数，故④不正确.【精要点评】对命题真假的判断，正确的命题要加以论证；不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式.在判断命题真假的过程中，要注意简单命题与复合命题之间的真假关系；要注意四种命题之间的真假关系.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.因此，四种命题中真命题的个数只能是0，2或4.充要条件的判断例2从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中，选出一种适当的填空.(1)(2015·泰安期末)已知a∈R，则“a2<a”是“a<1”的条件.(2)(2015·保定期末)若集合A={0，1}，B={-1，a2}，则“A∩B={1}”是“a=1”的条件.【思维引导】(1)找到不等式a2<a的解集为(0，1)，然后根据“小范围能推大范围，大范围推不出小范围”进行判断.(2)判断充要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足；若由结论能推出条件，则必要性满足.【答案】(1)充分不必要(2)必要不充分【解析】(1)因为由a2<a，可得0<a<1，所以“a2<a”是“a<1”的充分不必要条件.(2)若A∩B={1}，则a2=1，a=±1，所以充分性不满足，必要性满足，故“A∩B={1}”是“a=1”的必要不充分条件.【精要点评】在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个是条件，哪个是结论；其次，要从两个方面，即“充分”与“必要”分别考查.判定时，对于有关范围的问题也可以从集合观点看，如p，q对应的范围为集合A，B，若AB，则A是B 的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A，B互为充要条件.变式从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中，选出一种适当的填空.(1)“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tan x=1”的；(2)“22x y >⎧⎨>⎩，”是“44x y xy +>⎧⎨>⎩，”的；(3)“m<12”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的； (4)对于数列{a n }，“a n+1>|a n |(n ∈N *)”是“数列{a n }为递增数列”的；(5)“函数f (x )=x 3+2x 2+mx+1在(-∞，+∞)上单调递增”是“m ≥289x x +对任意的x>0恒成立”的 .【思维引导】判定p 是q 的什么条件，实际上就是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，这部分内容经常与其他知识点相结合考查.【答案】(1)充分不必要条件 (2)充分不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件 (5)充要条件【解析】(1)因为x=2k π+π4(k ∈Z )⇒tan x=1，但反过来不一定成立，即tan x=1⇒x=k π+π4(k ∈Z )，(2)因为x>2，y>2，根据不等式的性质易得x+y>4，xy>4，但反过来不一定成立，如x=13，y=24.(3)一元二次方程x 2+x+m=0有实数解⇔m ≤14，因为m ≤14⇒m<12，反之不成立，所以是必要不充分条件.(4)因为a n+1>|a n |(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a n >0，即当n ≥2时，a n+1>a n . 若a 1≥0，有a 2>|a 1|=a 1，若a 1<0，a 2>a 1显然成立，充分性得证.当数列{a n }为递增数列时，设a n =1-2n⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a 2>|a 1|不成立.(5)函数f (x )=x 3+2x 2+mx+1在(-∞，+∞)上单调递增⇔f'(x )=3x 2+4x+m ≥0恒成立⇔Δ=16-12m ≤0⇔m ≥43.m ≥289xx +对任意x>0恒成立⇔m ≥2max 89x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又289x x +=89x x +≤892x x ⋅=43，所以m ≥43. 【精要点评】在判断时注意反例的应用；在判断“若p 则q ”较繁琐时，可以利用它的逆否命题“若非q 则非p ”，判断其是否正确；有时将某些条件转化为与它等价的条件再与另一条件进行判断会更简单 .结合充要条件求参数例3 已知集合M={x|x<-3或x>5}，P={x|(x-a )(x-8)≤0}. (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的充要条件； (2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的一个充分不必要条件； (3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的一个必要不充分条件. 【思维引导】求a 的取值范围使它成为M ∩P 的不同条件，可借助集合的观点，根据要求，求出成立时a 的取值范围.【解答】(1)由M ∩P={x|5<x ≤8}，得-3≤a ≤5，因此M ∩P={x|5<x ≤8}的充要条件是-3≤a ≤5.(2)即在集合{a|-3≤a ≤5}中取一个值，如取a=0，此时必有M ∩P={x|5<x ≤8}；反之，M ∩P={x|5<x ≤8}未必有a=0，故a=0是所求的一个充分不必要条件. (3)即求一个集合Q ，使{a|-3≤a ≤5}是集合Q 的一个真子集.如果{a|a≤5}，那么未必有M∩P={x|5<x≤8}，但是M∩P={x|5<x≤8}时，必有a≤5，故a≤5是所求的一个必要不充分条件.【精要点评】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.变式(2015·南通期中)若不等式x-1x>0成立的充分不必要条件是x>a，则实数a的取值范围是.【答案】[1，+∞)【解析】由不等式x-1x>0，得(1)(-1)x xx>0，得-1<x<0或x>1.由充分不必要条件的含义可知{x|x>a}为不等式解集的真子集，进而得到a≥1.充要条件的证明例4已知a，b，c都是实数，求证：方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.【思维引导】证明充分性，由“ac<0”推出“方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”，证明必要性是由“方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”推出“ac<0”，主要根据判别式、一元二次方程的根与系数的关系进行论证.【解答】设原方程的两根分别为x1，x2.①充分性：由ac<0，得a，c异号，所以Δ=b2-4ac>0，且x1x2=ca<0.故方程ax2+bx+c=0有一正一负两个实根.所以ac<0是原方程有一正一负两个实根的充分条件.②必要性：若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，不妨设x1>0，x2<0，则x1x2<0，即ca<0，所以a，c异号，即ac<0.故ac<0是原方程有一正一负两个实根的必要条件.综上，ac<0是原方程有一正一负两个实根的充要条件.【精要点评】充要条件的证明应注意：(1)一般地，条件已知，证明结论成立是充分性，结论已知，推出条件成立是必要性.(2)有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论.变式设数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n-a n+2，c n=a n+2a n+1+3a n+2(n=1，2，3，…)，求证：数列{a n}为等差数列的充要条件是{c n}为等差数列且b n≤b n+1(n=1，2，3，…).【解答】必要性：设{a n}是公差为d1的等差数列，则b n+1-b n=(a n+1-a n+3)-(a n-a n+2)=(a n+1-a n)-(a n+3-a n+2)=d1-d1=0，所以b n≤b n+1(n=1，2，3，…)成立.又c n+1-c n=(a n+1-a n)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1，2，3，…)，所以数列{c n}为等差数列.充分性：设数列{c n}是公差为d2的等差数列，且b n≤b n+1(n=1，2，3，…).因为c n=a n+2a n+1+3a n+2，①所以c n+2=a n+2+2a n+3+3a n+4，②①-②，得c n-c n+2=(a n-a n+2)+2(a n+1-a n+3)+3(a n+2-a n+4)=b n+2b n+1+3b n+2.因为c n-c n+2=(c n-c n+1)+(c n+1-c n+2)=-2d2，所以b n+2b n+1+3b n+2=-2d2，③从而有b n+1+2b n+2+3b n+3=-2d2，④④-③，得(b n+1-b n)+2(b n+2-b n+1)+3(b n+3-b n+2)=0.⑤因为b n+1-b n≥0，b n+2-b n+1≥0，b n+3-b n+2≥0，所以由⑤得b n+1-b n=0(n=1，2，3，…).由此不妨设b n=d3(n=1，2，3，…)，则a n-a n+2=d3(常数).由此c n=a n+2a n+1+3a n+2⇒c n=4a n+2a n+1-3d3，从而c n+1=4a n+1+2a n+2-3d3，两式相减得c n+1-c n=2(a n+1-a n)-2d3，因此a n+1-a n=12(cn+1-c n)+d3=12d2+d3(常数)(n=1，2，3，…)，所以数列{a n}为等差数列.综上，数列{a n}为等差数列的充要条件是{c n}为等差数列且b n≤b n+1(n=1，2，3，…).1.(2014·安徽卷)“x<0”是“ln(x+1)<0”的条件.【答案】必要不充分【解析】由ln(x+1)<0，得0<1+x<1，所以-1<x<0，而(-1，0)是(-∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.2.(2015·安徽卷)设命题p：1<x<2，q：2x>1，则p是q的条件.【答案】充分不必要【解析】由q：2x>1=20，解得x>0，所以p⇒q，但q p，所以p是q的充分不必要条件.3.(2015·南通模考)已知集合M={x|x-2<0}，N={x|x<a}，若“x∈M”是“x∈N” 的充分条件，则实数a的取值范围是.【答案】[2，+∞)【解析】由题意得M={x|x-2<0}={x|x<2}，因为“x∈M”是“x∈N”的充分条件，所以M⊆N，所以a≥2.4.求证：方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0<m<1 3.【解答】①充分性：因为0<m<13，所以方程mx2-2x+3=0的判别式Δ=4-12m>0，且3m>0，所以方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根.②必要性：若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根，则有124-1203mx xm∆=>⎧⎪⎨=>⎪⎩，，所以0<m<13.综上，得证.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第3~4页.【检测与评估】第2课四种命题和充要条件一、填空题1.命题“若a>b，则a+1>b”的逆否命题是.2.(2014·启东中学)若使“x≥1”与“x≥a”恰有一个成立的充要条件为{x|0≤x<1}，则实数a的值是.3.(2015·重庆卷)“x>1”是“lo12g(x+2)<0”的条件.4.设集合S={0，a}，T={x∈Z|x2<2}，则“a=1”是“S⊆T”的条件.5.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是.6.设n∈N*，则一元二次方程x2-4x+n=0有整数解的充要条件是n=.7.已知命题p：|x|>a，q：-12-1xx>0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.8.(2015·郑州质检)给定方程：12x⎛⎫⎪⎝⎭+sin x-1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数根；④若x0是方程的实数根，则x0>-1.其中正确的命题是.(填序号)二、解答题9.(2014·惠州一模)已知集合A=2331224|y y x x x⎧⎫⎡⎤=-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，，，B={x|x+m2≥1}.若命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围.10.设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.11.已知函数f(x)=4sin2π4x⎛⎫+⎪⎝⎭-23cos 2x-1，且给定命题p：x<π4或x>π2，x∈R.若命题q：-2<f(x)-m<2，且¬p是q的充分条件，求实数m的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知集合A={x|x2+2x-3≤0}，B={x|(x-2a)[x-(a2+1)]≤0}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.13.(2015·黄山质检)在平面直角坐标系中，定义两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为d(P，Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题：①已知两点P(2，3)，Q(sin2α，cos2α)，则d(P，Q)为定值；②原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O，P)的最小值为2 2；③若PQ表示P，Q两点间的距离，那么PQ≥22d(P，Q)；其中为真命题的是.(填序号) 【检测与评估答案】第2课四种命题和充要条件1.若a+1≤b ，则a ≤b2.0 【解析】由题意可得1x x a <⎧⎨≥⎩，或1x x a ≥⎧⎨<⎩，成立的充要条件为{x|0≤x<1}，所以a=0.3.充分不必要【解析】lo 12g (x+2)<0⇔x+2>1⇔x>-1，故“x>1”是“lo12g (x+2)<0”的充分不必要条件.4.充分不必要【解析】当a=1时，S={0，1}，又T={-1，0，1}，则S ⊆T ，所以充分性成立；当S ⊆T 时，a=1或-1，所以必要性不成立.5.[-3，0] 【解析】因为命题“ax 2-2ax-3>0不成立”是真命题，则有a=0或204120a a a <⎧⎨+≤⎩，，解得a ∈[-3，0].6. 3或4 【解析】由x 2-4x+n=0，得(x-2)2=4-n ，即x=2±4-n .因为n ∈N *，方程要有整数解，所以n=3或4，故当n=3或4时方程有整数解.7. (-∞，0) 【解析】由命题p ：|x|>a ⇔R 0-0x a x a x a a ∈<⎧⎨<>≥⎩，，或，，q ：-12-1x x >0⇔x<12或x>1.因为p 是q 的必要不充分条件，所以使命题q 成立的不等式的解集是使命题p 成立的不等式解集的子集，所以a<0.8.②③④ 【解析】由题意可知方程12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+sin x-1=0的解等价于函数y=1-12x⎛⎫ ⎪⎝⎭与y=sin x 的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中分别作出它们的图象如图所示.(第8题)由图象可知：①该方程存在小于0的实数解，故①错误；②该方程有无数个实数解，故②正确；③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数解，故③正确；④若x 0是该方程的实数解，则x 0>-1，故④正确.9.由y=x 2-32x+1，配方得y=23-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+716.因为x ∈324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以y min =716，y max =2，即y ∈7216⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以A=7|216y y ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 由x+m 2≥1，得x ≥1-m 2，B={x|x ≥1-m 2}. 因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，所以1-m 2≤716，解得m ≥34或m ≤-34.故实数m 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦∪34∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，.10.设m 是两个方程的公共根，显然m ≠0. 由题设知m 2+2am+b 2=0， ① m 2+2cm-b 2=0， ② 由①+②得2m (a+c+m )=0，所以m=-(a+c)，③将③代入①得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0，化简得a2=b2+c2，所以所给的两个方程有公共根的必要条件是a2=b2+c2.下面证明充分性.因为a2=b2+c2，所以方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0，它的两个根分别为x1=-(a+c)，x2=c-a.同理，方程x2+2cx-b2=0的两根分别为x3=-(a+c)，x4=a-c.因为x1=x3，所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根.综上所述，方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.11.由q可得()-2() 2. m f xm f x>⎧⎨<+⎩，因为¬p是q的充分条件，所以在π4≤x≤π2的条件下，()-2()2m f xm f x>⎧⎨<+⎩，恒成立.由已知得，f(x)=2π1cos22x⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-23cos 2x-1=2sin 2x-23cos 2x+1=4sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭+1.由π4≤x≤π2，知π6≤2x-π3≤2π3，所以3≤4sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭+1≤5.故当x=5π12时，f(x)max=5，当x=π4时，f(x)min=3，所以只需5-232mm>⎧⎨<+⎩，成立，即3<m<5.所以m的取值范围是(3，5).12.3--2∞⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】因为集合A={x|x2+2x-3≤0}={x|-3≤x≤1}，B={x|2a≤x≤a2+1}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B，所以2112-3aa⎧+≥⎨≤⎩，，且等号不能同时取得，解得a≤-32，故实数a的取值范围是3--2∞⎛⎤⎥⎝⎦，.13.①③【解析】已知两点P(2，3)，Q(sin2α，cos2α)，则d(P，Q)=|2-sin2α|+|3-cos2α|=2-sin2α+3-cos2α=4，所以①正确；设直线上任意一点为(x，x+1)，则原点O 到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O，P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1，即其最小值为1，所以命题②错误；由基本不等式a2+b2≥12(a+b)2得PQ=221212(-)(-)x x y y+≥22(|x1-x2|+|y1-y2|)=22d(P，Q)，所以命题③成立，综上所述，正确的命题为①③.。

高中数学—命题和充要条件—学生版

命题和充要条件知识梳理一、命题的概念1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。

2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出，记作βα⇒。

相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作αβ。

4、如果，并且αβ⇒，那么就说与等价，记作βα⇔。

二、四种命题形式1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。

2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。

如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。

3、命题、的否定分别记作α、β。

4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。

5、四种命题形式及其相互关系:6、常见结论的否定形式：（拓展内容）三、充要条件1、充分条件与必要条件：一般地，用α、β分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。

叫做的必要条件。

2、充要条件：如果既有，又有，即有βα⇔，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。

例题解析一、有关命题的概念【例1】判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例4】下列判断中正确的是 ( ).A. “12是偶数且是18的约数”是真命题B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题D. “三角形的三个内角的和大于或等于120︒”是假命题【例5】对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【巩固训练】1、判断命题真假：如果2a <，那么2a < （）2、若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是__________3、已知,A B 是两个集合，下列四个命题：①B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于对任意有②B A A B ⇔⋂=∅不包含于③B A A ⇔不包含于不包含B ④B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于存在，其中真命题的序号是4、下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、命题的四种形式及其关系【例6】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______【例8】写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． ⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例10】已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程24(2)10x m x +-+=无实根；若p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【巩固训练】1、有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．43、命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥4、有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =I ，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）．5．原命题的否命题是“三条边相等的三角形是等边三角形”，原命题的逆命题是三、有关等价命题【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（） A 、，，中至少有一个是正数 B 、，，全不是负数C 、，，中只有一个是负数D 、，，中至少有一个是非负数【例13】与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（ D ）A 、B 、C 、D 、【例14】命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥。

高中数学知识点精讲精析命题及其关系

1.1 命题及其关系1.命题的构成――条件和结论定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．2．命题的分类――真命题、假命题的定义．真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。

3．定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。

4．四种命题的形式原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．5．①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

【高中数学】第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用结论1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于1．(选修1-1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是() A．“若x<y，则x2<y2”B．“若x>y，则x2>y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.2．(选修1-1P10练习T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区(1)不明确命题的条件与结论；(2)对充分必要条件判断错误；(3)含有大前提的命题的否命题易出错．1．命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．2．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：綈p：a≥0；綈q：a2≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分条件．答案：必要不充分3．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)(2020·长春质量检测(二))命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.【答案】 D(1)判断命题真假的两种方法(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是()①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题；③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是①②③④.故选B.充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．(2)b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－b sin x＝cos x＋b sin x，则2b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分必要条件，故选C.【答案】(1)B(2)C充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁U C，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q 的充分不必要条件．故选A.充分条件、必要条件的应用(典例迁移)已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m ≤x ≤1＋m }．若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围．【解】由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由p 是q 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎨⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，p 是q 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．【迁移探究1】 (变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m ，使p 是q 的充要条件．解：若p 是q 的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使p 是q 的充要条件．【迁移探究2】 (变结论)本例条件不变，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以p ⇒q 且q ⇒p .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．所以⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系来求解．[注意] (1)注意对区间端点值的处理；(2)注意条件的等价变形．设p ：－m ＋12<x <m －12(m >0)；q ：x <12或x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为______．解析：因为p 是q 的充分不必要条件，又m >0，所以m －12≤12，所以0<m ≤2. 答案：(0，2]思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为______．【解析】条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又綈p 是綈q的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎨⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，所以0<m ≤3.【答案】 (0，3]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．2．(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B.[基础题组练]1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是() A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a≠0⇒/ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．3．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是()A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件解析：选C.对于A ，当a ＝－5，b ＝1时，满足a 2>b 2，但是a <b ，所以充分性不成立；对于B ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是a 2<b 2，所以必要性不成立；对于C ，由ac 2>bc 2得c ≠0，则有a >b 成立，即充分性成立，故正确；对于D ，当a ＝－5，b ＝1时，|a |>|b |成立，但是a <b ，所以充分性不成立，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是|a |<|b |，所以必要性也不成立，故“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．故选C.4．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③解析：选 A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．5．“(x ＋1)(y －2)＝0”是“x ＝－1且y ＝2”的________条件．解析：因为(x ＋1)(y －2)＝0，所以x ＝－1或y ＝2，所以(x ＋1)(y －2)＝0⇒/ x ＝－1且y ＝2，x ＝－1且y ＝2⇒(x ＋1)(y －2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知命题p ：x ≤1，命题q ：1x <1，则綈p 是q 的______．解析：由题意，得綈p ：x >1，q ：x <0或x >1，故綈p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要条件7．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]8．已知命题p ：(x ＋3)(x －1)>0；命题q ：x >a 2－2a －2.若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：已知p ：(x ＋3)(x －1)>0，可知p ：x >1或x <－3，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，得a 2－2a －2≥1，解得a ≤－1或a ≥3，即a ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[综合题组练]1．(创新型)(2020·抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x ，y ∈R ，则“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当“x ＋y ≤1”时，如x ＝－4，y ＝1，满足x ＋y ≤1，但不满足“x ≤12且y ≤12”．当“x ≤12且y ≤12”时，根据不等式的性质有“x ＋y ≤1”．故“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的必要不充分条件．故选B.3．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4 ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a >3D ．a ≥3解析：选D.|x －1|<a ⇒－a <x －1<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4⇒⎩⎨⎧a ≥1，a ≥3⇒a ≥3.故D 正确．4．下列命题中为真命题的序号是______．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x ≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④。

高一数学条件知识点

高一数学条件知识点数学条件知识点是高中数学学习中的基础内容，对于高一学生来说尤为重要。

本文将介绍高一数学条件知识点的相关内容，帮助学生们全面了解并掌握这些知识。

一、集合与命题1. 集合的基本概念：包括元素、空集、全集、子集等。

2. 集合的运算：交集、并集、差集和补集等。

3. 命题与命题的连接词：包括合取、析取、否定等。

二、命题的真值与等值关系1. 命题的真值表：通过真值表可以确定命题的真假。

2. 命题的等值：等值命题在逻辑上等同于另一个命题。

三、充分必要条件1. 充分条件：如果A发生，则B一定发生。

2. 必要条件：如果B发生，则A一定发生。

3. 充要条件：充分条件和必要条件同时满足。

四、特殊的条件语句1. 等价命题：具有相同真值的命题。

2. 反命题：与原命题的真值完全相反的命题。

3. 逆命题：将原命题的条件和结论互换的命题。

4. 逆否命题：先对原命题取反，再将条件和结论互换的命题。

五、假设与条件证明1. 假设：在数学证明中所作的暂时性假设。

2. 条件证明：根据给定条件进行的推理与论证。

六、数学定理与条件1. 逻辑运算定理：包括交换律、结合律、分配律等。

2. 数与集合的关系：包括全等关系、包含关系等。

3. 条件命题与某一条件成立的关系：若条件成立，则命题成立。

七、条件的应用1. 数学问题中的条件转化：将问题中的条件转化为数学命题进行求解。

2. 条件的约束：利用条件对问题中的变量进行限制，缩小问题的解空间。

以上是关于高一数学条件知识点的简要介绍，通过学习和掌握这些知识，学生们将能够更好地理解数学问题中的条件关系，提高解题能力和论证能力。

希望本文对高一数学学习有所帮助。

高中数学充分条件、必要条件与命题的四种形式例题解析

§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； (2)p ：f (x )＝x ，q ：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A ； (4)p ：a >b ，q ：ac >bc . 考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．引申探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．反思感悟由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x <－1”，则实数a 的取值范围是________．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案 (2，＋∞)解析不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因为当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解集是－a <x <－1. 由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，所以－2>－a ，即a >2.(2)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案 [－1,5]解析因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件．考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件解由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4.反思感悟求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________. 考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件答案－4或0解析由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2，即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0.充要条件的证明典例求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)， ∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件答案 C解析 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件． 3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－3]解析由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件．答案充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解．当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.3．已知向量a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 |a ＋b |2＝|a －b |2⇔a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ⇔a ·b ＝0.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，则a 2＋b 2＝c 2是圆O 与直线l 相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析由直线与圆相切得|c |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切．5．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当a >0且b 2－4ac <0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a ＝0，b ＝0，且c >0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立．综上，“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的充分不必要条件．6．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)内不是单调函数的充要条件是( ) A ．0<m <12B ．0<m <1 C.12<m <1 D ．m >1答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1.f (x )的图象在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．f (x )在(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数等价于⎩⎪⎨⎪⎧m <1，2m ＋1>1⇔0<m <1. 7．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1λ2＝1 D ．λ1λ2＝－1答案 C解析依题意，知A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λ，λλ2＝1，即λ1λ2＝1.故选C.8．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ，即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ；反之，若M ＝N ＝∅，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．二、填空题9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0.得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.故n ＝3或4.10．设p ：1≤x <4，q ：x <m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 [4，＋∞)解析据题意知，p ⇒q ，则m ≥4.11．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos 2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确．三、解答题12．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件且A 为非空集合，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sinB ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )；必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B，即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B . 综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .14．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又綈q ：x ≤a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以a ≥1.15．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件。

新教材高中数学第2章常用逻辑用语1命题定理定义2

判断下列各命题中p是q的什么条件: (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:t≠2,q:t2≠4; (3)p:0<x<3,q:|x-1|<2.
解析 (1)x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0, (x-2)(x-3)=0⇒x-2=0或x-3=0. ∴“x-2=0”是“(x-2)(x-3)=0”的充分不必要条件. (2)t≠2 t2≠4(当t=-2时,t2=4), t2≠4⇒t≠2且t≠-2. ∴“t≠2”是“t2≠4”的必要不充分条件. (3)令A={x|0<x<3},B={x||x-1|<2}={x|-1<x<3}. 易知A⫋B,∴p是q的充分不必要条件.
探求充分条件、必要条件的步骤 (1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向; (2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条件; (3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成立的必要不充分条件或充分不必要条件.
求方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0有一个公共实数根的充要条件. 思路点拨设两个方程的公共实数根为x0,列方程组求出k的值,再检验k取此值时两个方程是否有一个公共实数根,从而解决问题.
1 | 命题、定理、定义的概念 1.命题在数学中,我们将① 可判断真假的陈述句叫作命题.许多命题可表示为“如果p, 那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的② 条件 ,q叫作命题的③ 结论 . 2.定理在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理. 3.定义定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
2 | 充分条件、必要条件的证明与探求

高中数学充分必要条件10例题

高中数学充分必要条件10例题例题1：命题：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个内角相等。

分析：- 充分性：如果三角形是等边三角形（条件），根据等边三角形的定义，三条边都相等，那么它的三个内角肯定都是60°，所以三个内角相等（结论），充分性成立。

- 必要性：如果一个三角形的三个内角相等（条件），根据三角形内角和是180°，每个角就是60°，这个三角形的三条边肯定相等，也就是等边三角形（结论），必要性成立。

所以“一个三角形是等边三角形”是“这个三角形的三个内角相等”的充分必要条件。

例题2：命题：若x > 5，则x > 3。

分析：- 充分性：当x > 5的时候（条件），5比3大，那肯定x > 3（结论），充分性是妥妥的。

- 必要性：当x > 3（条件），比如说x = 4，它满足x > 3，但不满足x > 5，所以必要性不成立。

所以“x > 5”是“x > 3”的充分不必要条件。

例题3：命题：若a = 0且b = 0，则ab = 0。

分析：- 充分性：要是a = 0并且b = 0（条件），那按照乘法规则，ab肯定等于0（结论），这充分性没毛病。

- 必要性：如果ab = 0（条件），有可能a = 0而b不等于0，或者b = 0而a 不等于0，或者a和b都等于0，所以由ab = 0不能必然推出a = 0且b = 0，必要性不成立。

所以“a = 0且b = 0”是“ab = 0”的充分不必要条件。

例题4：命题：若四边形是正方形，则四边形是矩形。

分析：- 充分性：正方形的四个角都是直角，对边平行且相等，这完全符合矩形的定义啊。

所以如果四边形是正方形（条件），那它肯定是矩形（结论），充分性成立。

- 必要性：四边形是矩形（条件），但是矩形不一定四条边都相等，也就是不一定是正方形（结论），必要性不成立。

所以“四边形是正方形”是“四边形是矩形”的充分不必要条件。

【高中数学】命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一四种命题及其真假判断[典例](2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题是()A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③[解析]①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案]D [题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是()A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P |x ＝k ＋12，k ∈Z|x ＝k2，k ∈Zx ∈P ，则x ∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 因为P ＝|x ＝k ＋12，k ∈Z＝|x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝|x ＝k2，k ∈Z 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二充分、必要条件的判断[典例](1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“|x －12|＜12”是“x 3＜1”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析](1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由|x －12|＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“|x －12|＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，|x －12|≥12，即“x 3＜1”“|x －12|＜12”．所以“|x －12|＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．(3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q⇒非p但非p非q，所以非q是非p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[答案](1)B(2)A(3)A[提醒]判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若x2<1，则－1<x<1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cosθ<0，则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：xy≠1，q：x≠1或y≠1，则非p：xy＝1，非q：x＝1且y＝1.可知非q⇒非p，非p非q，即非q是非p的充分不必要条件．故p是q的充分不必要条件，即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要条件．考点三根据充分、必要条件求参数的范围[典例]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x ∈S的必要条件，则m的取值范围是________．[解析]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.－m≤1＋m，－m≥－2，＋m≤10，所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．[答案][0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以{1－m＝－2，1＋m＝10，解得{m＝3，m＝9，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵非P是非S的必要不充分条件，∴S是P的必要不充分条件，∴P⇒S且S P.∴[－2,10][1－m,1＋m]．－m≤－2，＋m>10－m<－2，＋m≥10.∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．[课时跟踪检测]1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：选B当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .因为a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以BA .于是“x ≠y ”是“cosx ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是()A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8)．答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．。

高中数学命题知识点

高中数学命题知识点在高中数学的学习中，命题是一个重要的概念。

它不仅是逻辑推理的基础，也是我们解决各种数学问题的关键工具。

首先，我们来理解一下什么是命题。

命题是可以判断真假的陈述句。

这意味着它要么是真的，要么是假的，不能既真又假，也不能不真不假。

比如“2+3=5”，这是一个真命题；而“3 ＞5”，这就是一个假命题。

但像“明天会下雨吗？”这样的疑问句，或者“快点做作业！”这样的祈使句，就不是命题，因为它们无法判断真假。

命题通常由条件和结论两部分组成。

条件是命题中给出的前提信息，结论则是根据条件得出的结果。

例如，命题“如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的角也相等”，其中“一个三角形的两条边相等”就是条件，“这两条边所对的角也相等”就是结论。

按照命题的真假情况，我们可以将命题分为真命题和假命题。

真命题就是经过推理证明为正确的命题，而假命题则是经过推理证明为错误的命题。

在命题的研究中，还有原命题、逆命题、否命题和逆否命题这几个重要的概念。

原命题就是我们最初给出的那个命题。

比如“若 a ＞ 0，则 a^2 ＞0”是原命题。

逆命题是把原命题的条件和结论互换得到的命题，对于上面的例子，逆命题就是“若 a^2 ＞ 0，则 a ＞0”。

否命题是既否定原命题的条件，又否定原命题的结论得到的命题，相应的否命题是“若 a ＜＝ 0，则 a^2 ＜＝0”。

逆否命题则是把逆命题再进行否命题操作得到的，即“若 a^2 ＜＝ 0，则 a ＜＝0”。

这里有一个很重要的逻辑关系，那就是原命题和逆否命题的真假性是相同的，逆命题和否命题的真假性也是相同的。

再来说说充分条件和必要条件。

如果条件 A 成立能推出结论 B 成立，那么 A 就是 B 的充分条件；如果结论 B 成立能推出条件 A 成立，那么 A 就是 B 的必要条件。

比如说“如果一个数是偶数，那么这个数能被 2 整除”，这里“一个数是偶数”是“这个数能被 2 整除”的充分条件，“这个数能被 2 整除”是“一个数是偶数”的必要条件。

高中数学命题及其关系_充分条件与必要条件

(4“) q p”“p q”“ ; p q”“q p”.
3.反证法证明命题的一般步骤 (1)否定结论,(2)从假设出发,经过推理论证得出矛盾,(3)断定
假设错误,肯定结论成立. 反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或
结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中含有“至多”､“至少”､“惟一”､“不可能”､“不都” 等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.
四种命题的结构不明致误
【典例2】写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.
[剖析] 解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命题､否命题､逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b 不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.
[正解] 逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命题;
否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题; 逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题.
[评析]四种命题的结构与等价关系
如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则 A”,否命题是“若¬A,则¬B”,逆否命题是“若¬B,则¬A”. 这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系.
x2
x2
1,
2,

m m

2, 3
1,

m

2;
又≥0,即: m2 4m 12≥0;解之得m 6或m≤ 2;

高中数学数学命题知识点总结

高中数学数学命题知识点总结一、命题的基本概念命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。

也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。

真命题：判断为真的语句叫做真命题。

假命题：判断为假的语句叫做假命题。

命题的否定：就是对命题的结论加以否定。

二、四种命题的概念：原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。

一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。

其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。

四种命题的相互关系图三、充分条件和必要条件的概念1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。

2、一般地，如果既有，又有，就记作。

此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。

3、一般地，若p⇒q，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠＞q，但q ⇒ p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。

四、重要结论1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。

2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。

3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。

典型例题知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。

高中专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题02命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.基础知识融会贯通1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念【知识拓展】从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⊆B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A⊇B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⊊B且A⊊B，则p是q的既不充分也不必要条件．重点难点突破【题型一】命题及其关系【典型例题】原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A．0个B．1个C．2个D．4个【解答】解：原命题：若c＝0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．故选：C．【再练一题】下列命题：①∀x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3成立；②若log2x+log x2≥2，则x＞1；③命题“”的逆否命题；④若命题p：∀x∈R，x2+1≥1，命题q：∃x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，则命题p∧¬q是真命题．其中真命题只有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：不等式x2+2x＞4x﹣3可化为x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＞0由实数的性质我们易得该不等式恒成立，故①为真命题；log2x+log x2≥2，则log2x＞0，即x＞1，故②为真命题；根据不等式的性质，成立，由原命题和其逆否命题真假性一致，故③为真命题；根据实数的性质，命题p：∀x∈R，x2+1≥1为真命题，命题q：∃x∈R，x2﹣2x﹣1≤0也为真命题，则¬q是假命题则命题p∧¬q也是假命题，故④为假命题；综上，①②③为真命题故选：A．思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【题型二】充分必要条件的判定【典型例题】“a＝2”是“复数z（a∈R）为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：复数z a﹣2+（a+2）i（a∈R）为纯虚数，则a﹣2＝0，a+2≠0．∴“a＝2”是“复数z（a∈R）为纯虚数”的充要条件．故选：C．【再练一题】已知命题p：“”，命题q：2019x＞2019，则p是q的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：解分式不等式得：x＜0或x＞1，即命题p：x＜0或x＞1，解指数不等式2019x＞2019得：x＞1，即命题q：x＞1，即p是q的必要不充分条件，故选：B．思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．【题型三】充分必要条件的应用【典型例题】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．（1）当m＝0时，求A∩B；（2）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，…B＝{x|（x+1）（x﹣1）≥0}＝{x|x≥1或x≤﹣1}．…∴A∩B＝{x|1≤x＜3}．…（2）由于命题p为：（﹣1，3），…而命题q为：（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞），…又q是p的必要不充分条件，即p⇒q，…所以m+1≤﹣1或m﹣1≥3，解得m≥4或m≤﹣2即实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．…【再练一题】．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由|x﹣3|＜1，得﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，设A＝{x|￢p}，B＝{x|￢q}，则A⊊B，又A＝{x|￢p}＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|￢q}＝{x|x≥4或x≤2}，则0＜a≤2，且3a≥4∴实数a的取值范围是．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．基础知识训练1．有如下命题：①函数中有三个在上是减函数；②函数有两个零点；③若，则其中真命题的个数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题①函数中，根据函数的单调性易知，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故①正确；②令函数=0化简：=x+2，作出图像有两个交点，故由两个零点；②正确；③若，因为为单调递减函数，所以故③正确.故选D2．下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C．命题“，使得”的否定是“，均有”D．“若的极值点，则”的逆命题为真命题【答案】D【解析】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系,可知A正确；B,当a=2>1时,函数在定义域内是单调递增函数，当函数定义域内是单调递增函数时，a>1.所以B正确；C,由于存在性命题的否定是全称命题,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正确；D,的根不一定是极值点，例如:函数,则=0，即x=0就不是极值点,所以“若的极值点，则”的逆命题为假命题,故选D.3．下列命题中真命题的是A．若为假命题，则p，q均为假命题B．“”是“”的充要条件C．命题：若，则的逆否命题为：若，则D．对于实数x，y，p：，q：，则p是q的充分不必要条件【答案】D【解析】若为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故A错误；若，则，可得，反之不成立，故B错误；命题：若，则的逆否命题为：若，则，故C错误；对于实数x，y，p：，q：，由，可得，即p可得q，反之由q推不到p，则p是q的充分不必要条件，故D正确．故选：D．4．下列有关命题的叙述错误的是A．命题“”的否定是“”B．已知向量，则“”是“”的充分不必要条件C．命题“若，则的逆否命题为“若，则”D．“”是的充分不必要条件【答案】B【解析】命题“”的否定是“”，故正确；向量，则，则“”是“”的必要不充分条件，故错误；“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故正确；，可得的充分不必要条件，故正确．故选B．5．设是方程的两个不等实根，记.下列两个命题：①数列的任意一项都是正整数；②数列第5项为10. ( )A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误【答案】A【解析】因为是方程的两个不等实根，所以1，，因为，所以，即当时，数列中的任一项都等于其前两项之和，又1，，所以，以此类推，即可知：数列的任意一项都是正整数，故①正确；②错误；因此选A6．下面命题正确的是A．若，则B．命题“”的否定是“”C．若向量满足，则的夹角为钝角D．“”是“”的必要不充分条件【答案】D【解析】对于A选项，当为负数时，不成立，故为假命题.对于B选项，特称命题的否定是全称命题，故B 选项错误.对于C选项，当两个向量可能反向，夹角为，不是钝角，故C选项错误.“”不能推出“”，“”则一定满足“”，故“”是“”的必要不充分条件，故D选项是真命题.故选D.7．下列命题中正确的是（）A．在中，为等腰三角形的充要条件B．“”是“”成立的充分条件C．命题“”的否定是“”D．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”【答案】B【解析】当时，三角形为等腰三角形，但是，排除A选项.构造函数，故函数上单调递增，所以当时，，即，故B选项正确.特称命题的否定是全称命题，不需要否定，故C选项错误.“”的否定应该是“”，故D选项错误.综上所述，本小题选B.8．“是“直线与圆相切的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与圆，则圆心到直线得距离，即，即，即，即是“直线与圆相切的充分不必要条件，故选：A．9．函数上不单调的一个充分不必要条件是A．B．C．D．【答案】A【解析】所以令因为函数上不单调即上由实数根a=0时，显然不成立，a≠0时，只需，解得即a∈它的充分不必要条件即为一个子集所以选A10．“”是“对任意恒成立”的A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：对任意恒成立，推不出，，”是“对任意恒成立”的必要不充分条件．故选：C．11．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是A．B．C．D．【答案】B【解析】方程表示双曲线，选项是的充分不必要条件，选项范围是的真子集，只有选项符合题意，故选B．12．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，则，所以，即“”不能推出“”，反之也不成立，因此“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D13．设：关于的方程有解；：函数在区间上恒为正值，则的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意知：即方程有解，，所以，上恒成立，则，解得，所以的必要不充分条件.故选C.14．设，直线，直线，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意，当时，两直线，此时两直线不平行，当时，若，则满足，由，解得，当时，成立，当时，成立，即两直线是重合的（舍去），故所以的充要条件，故选C.15．若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由，由，若“”是“”的充分而不必要条件，则，得.故选：B．16．已知其中a为常数，且若p为真，求x的取值范围；若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】，得，即命题p是真命题是x的取值范围是，，若，则，若，则，若p是q的必要不充分条件，则q对应的集合是p对应集合的真子集，若，则满足，得，若，满足条件．即实数a的取值范围是．17．已知命题；命题（1）若的必要条件，求实数的取值集合；（2）当时，若为真，为假，求实数的取值集合【答案】（1）（2）【解析】（1）时，舍时，舍时，得实数的取值集合为（2）由题意可知一真一假时，真时对应集合为假时对应集合为，真时对应集合为假时对应集合为假时得真时得综上得实数的取值集合18．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足.(Ⅰ) 若命题中椭圆的长轴长为短轴长的2倍，求实数的值；(Ⅱ) 命题是命题的什么条件？【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）充分不必要条件【解析】(Ⅰ)若命题A为真命题，则，解得：，若椭圆的长轴长为短轴长的2倍，即，解得：，又，∴实数的值为.（Ⅱ）命题成立的条件为.由，得，∴命题成立的条件为，，∴命题是命题的充分不必要条件.19．已知.（1）是否存在实数，使的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）是否存在实数，使的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）不存在实数，使的充要条件（2）当实数时，的必要条件【解析】（1）.要使的充要条件，则，即此方程组无解，则不存在实数，使的充要条件；（2）要使的必要条件，则，当时，，解得；当时，，解得要使，则有，解得，所以，综上可得，当实数时，的必要条件．20．已知命题对数式）有意义；命题实数满足不等式.（1）若为真，求实数的取值范围；（2）若的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）由对数式有意义得：，解得：，即实数的取值范围是.（2）∵的充分不必要条件，∴是不等式解集的真子集.令，∴，故只需，即，解得.即的取值范围是能力提升训练1．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合题意可知,而,得到解得,故可以推出结论,而当得到,故由结论推不出条件,故为充分不必要条件.2．给出下列说法：①“”是“”的充分不必要条件；②定义在上的偶函数的最大值为30；③命题“”的否定形式是“”.其中正确说法的个数为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】对于①，当时，一定有，但是当时，，所以“”是“”的充分不必要条件，所以①正确；对于②，因为为偶函数，所以，因为定义域为，所以，所以函数的最大值为，所以②正确；对于③，命题“”的否定形式是“”，所以③是错误的；故正确命题的个数为2，故选C. 3．角是△的两个内角.下列六个条件中，“”的充分必要条件的个数是 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】逐一考查所给的条件：由正弦定理可知；在△ABC 中，故；函数在区间上单调递减，故；当时，易知，则，当时，由于，故，据此可得：，据此可得：，综上可得：；当时，无意义，则⑤⑥均不是“”的充分必要条件.综上可得：“”的充分必要条件的个数是4.本题选择D 选项.4．已知抛物线C: 24x y =，直线:1l y =−，PA,PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为A,B ，则“点P 在直线l 上”是“PA ⊥PB ”的( )条件A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】（1）若PA PB ⊥,设(),P m n ，切线斜率显然存在且不为0，设方程为()y n k x m −=−代入24x y=中得到： 224440,00x kx km n k mk n −+−=∴∆=⇒−+=，所以，由韦达定理可得1PA PB k k n ==−，故P 在直线l 上；（2）若P 在直线l 上，设(),1P m −，切线方程为()1y k x m +=−代入24x y =，可得224440,010x kx km k mk −++=∴∆=⇒−−=，所以1PA PB k k =−，故PA PB ⊥，“点P 在直线l 上”⊥”的充要条件，故选C.是“PA PB5．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可以推出成立”，给出以下四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中真命题的个数为（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，由于f(3)=9时，可以使得f(4)<16，这并不与题设矛盾，所以当f(3)≥9时，由题设不一定得到f(4)≥16成立，所以①为假命题．对于②，∵f(3)=10>9，∴f(4)>4²，∴f(5)>5²=25，所以②为真命题；对于③，若f(4)>16，则f(5)>25，这与f(5)=25矛盾，所以f(4)≤16，所以③为真命题；对于④，∵f(x)≥(x+1)²>x²，∴f(x+1)>(x+1)²>x²，即有f(x+1)≥x²，所以④为真命题．综上可得②③④为真命题．故选C．6．给出以下命题，其中真命题的个数是（）①若“”是假命题，则“”是真命题；②命题“若，则”为真命题；③若，则！④直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有3条；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①命题“”是假命题，所以为真命题，是假命题。

高中数学疑难解析第二讲命题及其关系、充要条件

第二讲命题及其关系、充要条件一知识回扣1．命题（1）定义，（2）分类，2．四种命题及其关系（1）原命题，表述形式。

（2）逆命题，表述形式。

（3）否命题，表述形式。

（4）逆否命题，表述形式。

互为逆否命题真假的判定。

3．充要条件p 是q 的充分不必要条件⇔ 。

p 是q 的必要不充分条件⇔ 。

p 是q 的充要条件⇔ 。

p 是q 的既不必要也不充分条件⇔ 。

4．用反证法证明的一般步骤是：、、。

二基础再现考点1：命题及其关系1．给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是．2．“在△ABC 中，若∠C =090，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为。

3．命题“若ab =0,则a =0或b =0”的逆否命题是。

．4．命题中说法正确的个数是。

①．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真②“a b >”与“ a c b c +>+”不等价③“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0,则220a b +≠”④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真考点2：充要条件5．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的。

6．命题:p 2{|0}a M x x x ∈=-<；命题:q {|||2}a N x x ∈=<，p 是q 的条件．7．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是。

8．直线ax +2y +3a =0和直线3x +（a －1）y =a －7平行且不重合的充要条件为。

9．已知,,a b ∈R 则“0a b >>”是“11()()22a b<”的条件考点3：反证法10．用反证法证明：“已知x 、y ∈R ，x +y ≥2，求证x 、y 中至少有一个大于1”. 则所作的反设是。

高中数学命题与充要条件练习题附答案

高中数学命题与充要条件练习题附答案1.已知x∈R，命题“若x2＞，则x＞”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是2个。

其中，命题“若x2＞，则x＞”的逆命题是“若x＞，则x2＞”，为真命题；否命题是“若x2≤，则x≤”，为真命题；逆否命题是“若x≤，则x2≤”，为假命题。

综上，以上3个命题中真命题的个数是2个，因此选C。

2.已知命题p：“正数a的平方不等于”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于”，则q是p的否命题。

命题p：“正数a的平方不等于”可以写成“若a是正数，则它的平方不等于”，因此命题q是p的否命题。

因此选B。

3.(2018·陕西质量检测(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2＜”是“a＜b”的充分不必要条件。

由“(a－b)a2＜”可知a2≠，则一定有a－b＜，即a＜b；但是a＜b即a－b＜时，有可能a＝，所以(a－b)a2＜不一定成立，故“(a－b)a2＜”是“a＜b”的充分不必要条件。

因此选A。

4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的充要条件。

设△ABC外接圆的半径为R，若sinA＞sinB，则2RsinA＞2RsinB，即a/Rb；若a＞b，则a/R＞b/R，即sinA＞sinB。

因此在△ABC中，“sinA＞sinB”是“a＞b”的充要条件。

因此选C。

5.有下列命题：①“若x＋y＞，则x＞且y＞”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题。

其中正确的是①③④。

①的逆命题为“若x＞且y＞，则x ＋y＞”，为真命题，因此否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3＞的解集为R，则m＞1”，为真命题；④原命题为真，逆否命题也为真。

因此选C。

高中数学命题知识

高中数学命题知识在高中数学的学习中，命题知识是一个重要的组成部分。

它不仅是数学理论的基础，也是我们解决数学问题和进行逻辑推理的关键工具。

首先，我们来了解一下什么是命题。

简单来说，命题就是能够判断真假的陈述句。

比如，“2 加 3 等于5”，这是一个真命题；而“地球是方的”，这就是一个假命题。

但需要注意的是，像“明天会下雨吗？”这样的疑问句，或者“快过来！”这样的祈使句，都不是命题。

命题通常可以分为简单命题和复合命题。

简单命题就是不能再分解为更简单命题的命题，像“3 大于2”。

而复合命题则是由简单命题通过逻辑连接词组合而成的，常见的逻辑连接词有“且”“或”“非”。

比如，“2 是偶数且 3 是奇数”，这就是一个复合命题。

对于命题，我们还要关注它的条件和结论。

在“如果一个数能被 2整除，那么这个数是偶数”这个命题中，“一个数能被2 整除”就是条件，“这个数是偶数”就是结论。

了解了命题的基本概念后，我们再来看看命题的四种形式：原命题、逆命题、否命题和逆否命题。

原命题就是我们最初给出的那个命题，比如“若 a＞b，则 a+c＞b+c”。

逆命题则是将原命题的条件和结论互换位置得到的，上述例子的逆命题就是“若 a+c＞b+c，则 a＞b”。

否命题是对原命题的条件和结论都进行否定，这个例子的否命题是“若a≤b，则a+c≤b+c”。

逆否命题是将逆命题再进行否定，即“若a+c≤b+c，则a≤b”。

这里有一个重要的性质，原命题和逆否命题的真假性是相同的，逆命题和否命题的真假性也是相同的。

在判断命题的真假时，我们需要依靠已有的数学定义、定理和公理。

比如，根据三角形内角和定理，我们可以判断“一个三角形的内角和等于 180 度”是真命题。

命题的等价性也是一个重要的知识点。

两个命题如果在任何情况下真假性都相同，那么它们就是等价命题。

通过等价命题的转换，我们常常可以更方便地解决问题。

在解决与命题相关的问题时，我们要仔细分析命题的结构和含义，明确条件和结论之间的关系。