立体几何基础知识

立体几何基础知识

1. 平面的概念：

平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性

2. 平面的画法及其表示方法：

①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，

当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画

②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC .

3. 空间图形是由点、线、面组成的

点、线、面的基本位置关系如下表所示：

图形 符号语言 文字语言（读法） A

a

A a ∈ 点A 在直线a 上

A

a

A a ∉ 点A 不在直线a 上

A

α

A α∈

点A 在平面α内

A

α

A α∉ 点A 不在平面α内

b a A

a b A =

直线a 、b 交于A 点

a

α

α⊂a

直线a 在平面α内

a

α

α//a 直线a 与平面α平行

a

A

α

a A α= 直线a 与平面α交于点A

l α

β= 平面α、β相交于直线l

α）和直线与平面相交（a

A α=）两种情形，统称为直线在平面外，记

为α⊄a .

4. 平面的基本性质

(1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

符号表示：ααα⊂⇒∈∈a B A ,． 如图示：

应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延

伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．

(2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这

个公共点的直线

符号表示：A l A αα

ββ∈⎫

⇒=⎬∈⎭

且A l ∈且l 唯一如图示：

应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．

(3)公理3: 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈

应用：①确定平面；②证明两个平面重合 注意:“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图

形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．

(4)推论1 :经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面

推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，α⊂l

(5)推论2: 经过两条相交直线有且只有一个平面

推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得αα⊂⊂b a ,

(6)推论3 :经过两条平行直线有且只有一个平面

推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得αα⊂⊂b a ,

5. 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形特别注意空间四边形是平面图形而不是平面图形.

6. 空间两直线的位置关系

（1）相交——有且只有一个公共点；

（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．

一个平面内，没有公共点；

7. 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行

推理模式：//,////a b b c a c ⇒．

B

A α

8. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

9. 等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相

等

10. 空间两条异面直线的画法

a

b

1

A

A

11. 异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线

推理模式：,,,

A B l B l

ααα

∉∈⊂∉⇒AB与l是异面直线

12. 异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b，经过空间任一点O作直线//,//

a a

b b

''，,a b

''所成的角的大小与点O的选择无关，把,a b

''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b所成的角（或夹角）．为了简便，点O通常取在异面直线的一条上

注:异面直线所成的角的范围：

2

,0(

π

13. 异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b垂直，

记作a b

⊥．

14. 求异面直线所成的角的方法：通过平移，把两条异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角.

15. 两条异面直线的公垂线、距离

和两条异面直线都垂直相交

．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线

理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的

距离．

注意:两条异面直线的公垂线有且只有一条

16. 直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:α

⊂

a;

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: a A

α=，

（3）直线和平面平行（没有公共点）;符号表示为: //

aα．

17. 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个

平面平行．

推理模式：α

α

α//

//

,

,a

b

a

b

a⇒

⊂

⊄．