高等数学教案第十一章

第十一章无穷级数

教学目的：

1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。

2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。

4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。

5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。

6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。

7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。

8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性

质。

9、会利用幂级数的性质求和。

10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。教学重点：

1、级数收敛的定义及条件

2、判定正项级数的收敛与发散

3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

4、泰勒级数

教学难点：

1、级数收敛的定义及条件

2、判定正项级数的收敛与发散

3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

4、泰勒级数；

§1常数项级数的概念和性质、教学目的与要求:

1 •理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。

2 •理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

二、重点（难点）：级数收敛的定义及条件

三、教学方式：讲授式教学结合多媒体

讲授内容：

一、常数项级数的概念

常数项无穷级数：一般地，给定一个数列

U l U2 .U3 ,.： ... ；.：Un .

则由这数列构成的表达式

U1 U2 U3 亠亠Un : “ “ “

Q Q

叫做（常数项）无穷级数.简称（常数项）级数.记为x u n.即

nV

Q0

u n =5 u2 U3 亠亠u n….

n =1

其中第n项U n叫做级数的一般项■

Q0

级数的部分和：作级数' U n的前n项和

nT

n

s n =二U^U i U2 U3 亠亠U n

i =1

□0

称为级数二:U n的部分和

n =1

QO

级数敛散性定义：如果级数''U n的部分和数列｛S n｝有极限S

n 4

即lim Si = s .

n心

QO

则称无穷级数7 Un收敛.这时极限S叫做这级数的和.

n=1

并写成

oO

S 八比二 U i U 2 U 3E

= Un ?

nJ

如果｛Sn ｝没有极限.则称无穷级数 二U n 发散

n=1

QO QO

余项：当级数a U n 收敛时.其部分和Sn 是级数U n 的和S 的近似值.它们之间的差值

n =1

nd

「n ~S -Sn Fn 2・‘---

Q O

叫做级数V U n 的余项

n =1

例1讨论等比级数（几何级数）

O0

' aq n = a aq aq 2：】 …aq n

n =0

的敛散性.其中a=0 q 叫做级数的公比

解：如果q=1 .则部分和

oO

当|q| ：：1时.因为lim S n —.所以此时级数、aq n 收敛.其和为戶-

n

护 1-q

心

1-q

00

当|q|>1时.因为lim % -：：所以此时级数aq n 发散

n

Td n=0

oO

如果|q|m .则当q=1时.sn=na •：：.因此级数■- aq n 发散- n=0

00 当q--1时.级数a aq n

成为

n£

a-a a-a

时|q| W 时•因为Sn 随着n 为奇数或偶数而等于

a 或零

oO

所以Sn 的极限不存在.从而这时级数x aq n 也发散

n=0

2

n -1 S n =a aq aq 亠 亠aq

_ a _aq

n

i-q

a i-q

Q Q

5 / 27

cO

仅当q|：：1时.几何级数v aq n a=O ）收敛.其和为

n4

例2证明级数

1 3 5；；（ 2n-1） •…

是发散的，

证 此级数的前n 项部分和为

s n =1 3 5圧 ........ 圧(2n -1) = n(n 1).

显然.lim 片「：因此所给级数是发散的

n ＞：:

例3判别无穷级数

因此

（扛）（＞古十活

从而

1

一)=1 lim s^ =lim (1n 「 所以这级数收敛

n （n 1） n n 1

二、收敛级数的基本性质

QO

QO

性质1如果级数u n 收敛于和S.则它的各项同乘以一个常数

k 所得的级数7 ku n 也收敛

n m

n =1

和为ks .

综上所述 Q Q

.如果|q|：：：1.则级数「aq n

收敛.其和

为

a i-q

•如果|q| 1 .则级数7 aq n 发散

2

丄.丄. 1 2 23 34

1 1 ..…

n(n +1)

由于

Un

n(n 1) n n 1

n —" n 1

提示：u n -