高职高专 高等数学第一章教案
高职高等数学教案

高职高等数学教案一、教学目标1. 知识与技能:使学生掌握高职高等数学的基本概念、原理和方法,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2. 过程与方法:通过教师的引导和学生的自主学习,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生的数学思维水平。
3. 情感态度与价值观:激发学生学习高等数学的兴趣,培养学生的耐心和毅力,使学生认识到高等数学在实际生活中的重要性。
二、教学内容1. 第一章:函数与极限教学重点:函数的概念、性质,极限的定义及性质,无穷小比较,函数的极限,无穷小求极限。
教学难点:极限的运算,无穷小比较,函数的极限。
2. 第二章:导数与微分教学重点:导数的定义,基本导数公式,导数的应用,微分的概念及计算。
教学难点:导数的运算,高阶导数,隐函数求导,参数方程求导。
3. 第三章:微分中值定理与导数的应用教学重点:微分中值定理,洛必达法则,导数在函数性质分析中的应用。
教学难点:微分中值定理的证明,洛必达法则的运用,函数的单调性、凹凸性及拐点。
4. 第四章:不定积分教学重点:不定积分的概念,基本积分公式,换元积分,分部积分。
教学难点:换元积分的计算,分部积分的运用,有理函数的积分。
5. 第五章:定积分教学重点:定积分的定义,基本定积分公式,定积分的计算,定积分在实际问题中的应用。
教学难点:定积分的运算,反常积分的计算,定积分在实际问题中的应用。
三、教学方法与手段1. 教学方法:采用启发式教学,引导学生主动思考、积极参与,通过实例分析、讨论、练习等方式,巩固所学知识。
2. 教学手段:利用多媒体课件、黑板、教材等教学资源,辅助教学,提高教学效果。
四、教学评价1. 过程评价:关注学生在学习过程中的表现,如参与度、思考能力、合作精神等。
2. 结果评价:通过课后作业、课堂练习、单元测试等方式,检验学生对知识的掌握程度。
五、教学课时安排1. 第一章:10课时2. 第二章:12课时3. 第三章:10课时4. 第四章:12课时5. 第五章:10课时六、第六章:向量代数与空间解析几何教学重点:向量的概念、运算,空间直角坐标系,向量投影,空间向量的运算,线性方程组,空间解析几何的基本概念及应用。
教案高职高专高等数学

教案-高职高专高等数学一、教学目标1. 知识点:本章主要介绍高职高专高等数学的基本概念、性质和运算规则。
2. 能力点:培养学生掌握高等数学的基本运算方法,提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3. 情感态度:激发学生对高等数学的兴趣,培养学生的自信心和自主学习能力。
二、教学内容1. 基本概念:实数、整数、有理数、无理数、实数域等。
2. 性质:实数的四则运算、相反数、平方根、立方根等。
3. 运算规则:实数的加法、减法、乘法、除法、乘方等运算规则。
三、教学重点与难点1. 教学重点:实数的基本概念、性质和运算规则。
2. 教学难点:实数的运算规则,特别是乘方和除法的运算规则。
四、教学方法1. 讲授法:讲解实数的基本概念、性质和运算规则。
2. 案例分析法:通过具体的例子,让学生理解和掌握实数的运算方法。
3. 练习法:布置适量的练习题,让学生巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入新课:通过引入实际问题,激发学生对高等数学的兴趣,引出实数的概念。
2. 讲解实数的基本概念:介绍实数的概念,解释实数的分类,如整数、有理数、无理数等。
3. 讲解实数的性质:讲解实数的相反数、平方根、立方根等性质。
4. 讲解实数的运算规则:讲解实数的加法、减法、乘法、除法、乘方等运算规则。
5. 案例分析:通过具体的例子,让学生理解和掌握实数的运算方法。
6. 练习巩固:布置适量的练习题,让学生巩固所学知识。
7. 总结与反馈:对本节课的内容进行总结,回答学生的疑问,收集学生的反馈意见。
8. 布置作业:布置课后作业,巩固本节课所学知识。
教案-高职高专高等数学六、教学评价1. 形成性评价:通过课堂提问、练习和小测验,及时了解学生对实数概念、性质和运算规则的理解和掌握情况。
2. 总结性评价:通过课后作业和期中期末考试,评估学生对实数知识的掌握程度和应用能力。
七、教学资源1. 教材:选择适合高职高专学生的高等数学教材,提供系统的知识框架和实例分析。
2. 多媒体课件:制作多媒体课件,通过图形、动画等形式,生动展示实数的性质和运算规则。
高等数学教程高职高专规划教材教学设计

高等数学教程高职高专规划教材教学设计背景简述高等数学是大学数学的重要组成部分,同时也是高职高专学生必修的学科之一。
由于高职高专学生的学习和就业需求与本科生存在差异,因此需要一份专门为高职高专学生打造的高等数学教程。
目标学生本教程针对高职高专学生,特别注重实用性。
学生主要从事实用型专业,因此本教程将注重理论与实际相结合,让学生更好地掌握高等数学知识,提高实际解决实际问题的能力。
教学设计本教程分为六个章节,每个章节分别介绍高等数学中的重要知识点,内容设置如下:第一章函数与极限本章介绍高等数学的基础知识 - 函数与极限,包含以下内容:•函数的概念与性质•极限的概念与性质•极限存在准则•函数的连续性与间断点第二章导数与微分本章介绍导数与微分,具体包含以下内容:•导数的概念、性质与计算方法•导数与函数的图像、单调性•微分的概念与应用第三章数列与级数本章介绍数列与级数的基本概念,内容如下:•数列的概念与性质•数列极限的概念与性质•级数的概念与性质•收敛级数的判别法第四章一元函数的微积分学本章介绍一元函数的微积分学,具体内容包括以下方面:•高阶导数、微分中值定理•泰勒公式、泰勒多项式•不定积分与定积分•牛顿-莱布尼兹公式第五章多元函数的微积分学本章介绍多元函数的微积分学,内容如下:•多元函数的概念与性质•偏导数的概念与计算方法•最值与最优化问题•重积分的概念与性质第六章常微分方程本章介绍常微分方程的基本理论,内容如下:•常微分方程的概念、基本概念•一阶微分方程•高阶微分方程•常微分方程的应用教学方法本教程采用问题导向的教学法,重点突出实际应用问题,强化实践操作。
同时,在讲解重点概念时,也注重解释其数学本质,提高学生的抽象思维能力。
总结本教程是为高职高专学生打造的高等数学教程,力求贴近学生的实际需求,让学生更好地掌握数学知识,提高实用性。
希望教师们能够根据自己的实际情况,灵活运用本教程,让学生学有所成。
教案高职高专高等数学

教案高职高专高等数学第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质理解函数的定义掌握函数的性质,如单调性、奇偶性、周期性等学会运用函数的性质解决问题1.2 极限的概念与性质理解极限的定义掌握极限的性质,如保号性、传递性等学会运用极限的性质解决问题1.3 函数的极限理解函数的极限定义掌握函数极限的性质,如保号性、存在性等学会运用函数极限的性质解决问题第二章:导数与微分2.1 导数的概念与性质理解导数的定义掌握导数的性质,如保号性、单调性等学会运用导数的性质解决问题2.2 微分的概念与性质理解微分的定义掌握微分的性质,如微分与导数的关系等学会运用微分解决问题2.3 求导法则掌握常见函数的求导法则,如幂函数、指数函数等学会运用求导法则求解函数的导数第三章:积分与微分方程3.1 不定积分与定积分的概念与性质理解不定积分与定积分的定义掌握不定积分与定积分的性质,如保号性、可加性等学会运用不定积分与定积分的性质解决问题3.2 常见积分公式掌握常见积分公式,如幂函数、指数函数等学会运用积分公式求解不定积分与定积分3.3 微分方程的概念与解法理解微分方程的定义掌握微分方程的解法,如常系数线性微分方程等学会运用微分方程的解法解决问题第四章:级数4.1 数列的概念与性质理解数列的定义掌握数列的性质,如收敛性、发散性等学会运用数列的性质解决问题4.2 级数的概念与性质理解级数的定义掌握级数的性质,如收敛性、发散性等学会运用级数的性质判断级数的收敛性4.3 常见级数求和法掌握常见级数求和法,如等比级数、等差级数等学会运用求和法求解级数的和第五章:向量与线性方程组5.1 向量的概念与运算理解向量的定义掌握向量的运算,如加法、减法、数乘等学会运用向量的运算解决问题5.2 线性方程组的概念与解法理解线性方程组的定义掌握线性方程组的解法,如高斯消元法等学会运用线性方程组的解法解决问题5.3 矩阵的概念与运算理解矩阵的定义掌握矩阵的运算,如加法、减法、数乘等学会运用矩阵的运算解决问题第六章:概率论与数理统计6.1 随机事件与概率理解随机事件的概念掌握概率的计算方法,如古典概率、条件概率等学会运用概率论解决问题6.2 随机变量及其分布理解随机变量的概念掌握随机变量的分布,如均匀分布、正态分布等学会运用随机变量的分布解决问题6.3 数理统计的基本概念理解数理统计的基本概念,如样本、总体等掌握数理统计的基本方法,如描述性统计、推断性统计等学会运用数理统计的方法解决问题第七章:线性代数7.1 线性空间与线性变换理解线性空间的概念掌握线性变换的定义与性质学会运用线性变换解决问题7.2 特征值与特征向量理解特征值与特征向量的概念掌握特征值与特征向量的计算方法学会运用特征值与特征向量解决问题7.3 矩阵的特殊类型理解对称矩阵、正交矩阵等特殊矩阵的概念掌握特殊矩阵的性质与运算学会运用特殊矩阵解决问题第八章:微分几何8.1 微分几何的基本概念理解微分几何的基本概念,如曲线、曲面等掌握微分几何的基本方法,如切线、法线等学会运用微分几何的方法解决问题8.2 微分几何的方程理解微分几何方程的概念掌握微分几何方程的求解方法学会运用微分几何方程解决问题8.3 微分几何的应用理解微分几何在现实生活中的应用,如曲面拟合等学会运用微分几何解决实际问题第九章:常微分方程9.1 常微分方程的基本概念理解常微分方程的定义掌握常微分方程的解法,如分离变量法、积分因子法等学会运用常微分方程的解法解决问题9.2 常微分方程的应用理解常微分方程在现实生活中的应用,如人口增长模型等学会运用常微分方程解决实际问题9.3 常微分方程组的解法理解常微分方程组的概念掌握常微分方程组的解法,如消元法、矩阵法等学会运用常微分方程组的解法解决问题第十章:复变函数与积分变换10.1 复变函数的基本概念理解复变函数的定义掌握复变函数的性质,如解析性、奇偶性等学会运用复变函数的性质解决问题10.2 积分变换的概念与方法理解积分变换的定义掌握常见积分变换的方法,如傅里叶变换、拉普拉斯变换等学会运用积分变换解决问题10.3 复变函数的应用理解复变函数在现实生活中的应用,如信号处理等学会运用复变函数解决实际问题重点和难点解析重点环节1:函数的极限性质需要重点关注函数极限的保号性和传递性。
《高等数学》第一章课程教案

《高等数学》第一章课程教案《高等数学》第一章课程教案《高等数学》第一章课程教案一.课程名称:高等数学 \Calculus 二.学时与学分:72学时4学分三.适用专业:教育技术,计算机,人体,康复四.课程教材:《高等数学》,第四版. 同济大学数学教研室编,高等教育出版社五.上课教师:刘蓉老师六.课程的性质、目的和任务:高等数学是工科大学生最重要的基础理论课之一,它作为工程教育中的一个重要内容,目的在于培养工程技术人员必备的基本数学素质。
任务:通过本课程的学习,使学生理解微积分中极限、导数、积分等基本概念;掌握基本的运算技巧;使学生能用所学的知识去解决各种领域中的一些实际问题;训练学生数学推理的严密性,使学生具有一定的数学修养和对实际问题具有抽象、归纳、推广的能力,能用数学的语言描述各种概念和现象,能理解其它学科中所用的数学理论和方法;培养学生学习数学的兴趣,帮助学生养成自学数学教材和其它数学知识的能力,为以后学习其它学科打下良好的基础。
七、教学方式(手段):主要采用讲授新课的方式第一章函数极限与连续一、教学目标与基本要求 1、理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值,并会作出简单的分段函数图像,掌握函数的表示方法。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、会建立简单应用问题中的函数关系式。
6、理解极限的概念,理解函数在极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。
7、掌握极限的性质及四则运算法则。
8、掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。
10、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。
11、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值、最小值定理和介值定理),并会应用这些性质。
高职高专高等数学教案

高职高专高等数学教案第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标:理解函数的概念,掌握函数的性质,如单调性、奇偶性、周期性等。
教学内容:介绍函数的定义,讨论函数的性质,举例说明。
教学方法:通过讲解和示例,让学生掌握函数的基本概念和性质。
1.2 极限的概念与性质教学目标:理解极限的概念,掌握极限的性质,如保号性、夹逼性等。
教学内容:介绍极限的定义,讨论极限的性质,举例说明。
教学方法:通过讲解和示例,让学生理解极限的概念和性质。
第二章:导数与微分2.1 导数的定义与计算教学目标:理解导数的定义,掌握基本函数的导数计算。
教学内容:介绍导数的定义,讲解基本函数的导数计算法则。
教学方法:通过讲解和练习,让学生掌握导数的定义和计算方法。
2.2 微分的概念与计算教学目标:理解微分的概念,掌握微分的计算方法。
教学内容:介绍微分的定义,讲解微分的计算法则。
教学方法:通过讲解和练习,让学生理解微分的概念和计算方法。
第三章:积分与微分方程3.1 定积分的定义与计算教学目标:理解定积分的概念,掌握定积分的计算方法。
教学内容:介绍定积分的定义,讲解定积分的计算法则。
教学方法:通过讲解和练习,让学生掌握定积分的概念和计算方法。
3.2 微分方程的基本概念与解法教学目标:理解微分方程的概念,掌握基本的微分方程解法。
教学内容:介绍微分方程的定义,讲解常见的微分方程解法。
教学方法:通过讲解和练习,让学生理解微分方程的概念和解法。
第四章:级数与常微分方程4.1 数项级数的概念与收敛性教学目标:理解数项级数的概念,掌握级数的收敛性判断。
教学内容:介绍数项级数的定义,讲解级数的收敛性判断方法。
教学方法:通过讲解和练习,让学生掌握数项级数的概念和收敛性判断。
4.2 常微分方程的解法与应用教学目标:理解常微分方程的概念,掌握常见的解法及其应用。
教学内容:介绍常微分方程的定义,讲解常见的解法及其应用。
教学方法:通过讲解和练习,让学生理解常微分方程的概念和解法及其应用。
高等数学教案第一章

第一章函数与极限一、教学内容1.函数:常量与变量、函数的定义;2.函数的表示方法:解析法、图示法、表格法;函数的性质:单调性、奇偶性、有界性和周期性;3.初等函数:基本初等函数、反函数、复合函数、初等函数、分段表示的函数,并会建立函数关系;4.极限:数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算法则、两个重要极限、无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质;5.连续:连续、间断、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
二、教学目的1.理解函数的概念及其性质,熟练掌握求函数定义域和函数值的方法;2.掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形;3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象之间的关系;理解复合函数、分段函数的概念;了解初等函数的概念;会建立函数关系;4.了解数列极限与函数极限的概念(描述性定义);会求左右极限;5.掌握极限四则运算法则;掌握用两个重要极限求极限的方法;能熟练进行极限运算;6.理解无穷小量、无穷大量的概念及相互关系;7.理解函数连续概念;掌握由初等函数的连续性求极限的方法;了解闭区间上连续函数的性质。
三、教学重点1.函数的概念及其性质、基本初等函数、复合函数;2.极限的运算。
3.无穷小量、无穷大量的概念及相互关系;4.函数连续概念、闭区间上连续函数的性质。
四、教学难点1.极限的概念;2.无穷小量、无穷大量的概念及相互关系; 3.函数连续概念。
第一节 函数一、集合 1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。
表示方法:用A ,B ,C ,D 表示集合;用a ,b ,c ,d 表示集合中的元素1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系:A a ∉ A a ∈一个集合,若它只含有有限个元素,则称为有限集;不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集:N ,Z ,Q ,R ,N + 元素与集合的关系:A 、B 是两个集合,如果集合A 的元素都是集合B 的元素,则称A 是B 的子集,记作B A ⊂。
教案高职高专高等数学

教案高职高专高等数学一、教学目标1. 知识点:本章主要介绍高职高专高等数学的基本概念、性质和运算方法。
2. 能力点:培养学生掌握基本的数学运算能力,提高逻辑思维和解决问题的能力。
3. 情感态度:激发学生对高等数学的兴趣,培养学生的耐心和自信心。
二、教学内容1. 第一节:函数的概念与性质教学重点:函数的定义、图像、性质及其应用。
教学难点:函数的连续性和导数的应用。
2. 第二节:极限与无穷小教学重点:极限的定义、性质和运算方法。
教学难点:无穷小的概念及其比较。
3. 第三节:导数与微分教学重点:导数的定义、计算方法和应用。
教学难点:高阶导数和隐函数的导数。
4. 第四节:积分与面积教学重点:积分的定义、计算方法和应用。
教学难点:不定积分和定积分的计算。
5. 第五节:级数与方程教学重点:级数的概念、收敛性和应用。
教学难点:级数求和的方法和级数解方程。
三、教学方法1. 采用讲授法,系统地讲解高职高专高等数学的基本概念、性质和运算方法。
2. 利用多媒体辅助教学,展示函数图像、极限和积分计算等,增强学生的直观理解。
3. 提供适量习题,引导学生进行自主学习和合作交流,巩固所学知识。
四、教学评估1. 课堂问答:通过提问学生,了解学生对教学内容的理解和掌握程度。
2. 习题练习:布置课堂习题,评估学生对基本概念和运算方法的掌握情况。
3. 单元测试:进行定期的单元测试,全面评估学生的学习成果和不足之处。
五、教学资源1. 教材:选用合适的高职高专高等数学教材,为学生提供系统的学习材料。
2. 多媒体课件:制作精美的多媒体课件,辅助教学,提高学生的学习兴趣。
3. 习题库:提供丰富的习题库,供学生进行自主练习和巩固所学知识。
教案高职高专高等数学(续)六、第六节:多元函数与微分教学重点:多元函数的定义、图像和性质。
教学难点:多元函数的偏导数和全微分。
七、第七节:重积分与向量分析教学重点:二重积分、三重积分的定义和计算方法。
教学难点:向量场的概念、散度和平移旋度。
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第一章函数、极限、连续教学要求1.了解分段函数、复合函数、初等函数等概念。
2.理解数列极限、函数极限的定义。
3.掌握极限的四则运算法则。
4.了解无穷大、无穷小及其比较的概念,了解函数及其极限与无穷小的关系。
理解无穷小的性质。
5.了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。
熟练掌握两个重要极限求极限。
6.理解函数连续与间断概念,会判断间断点类型,了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质。
教学重点函数的概念、复合函数的概念,基本初等函数的图形和性质;极限概念,极限四则运算法则;函数的连续性。
教学难点函数与复合函数的概念;极限定义,两个重要极限;连续与间断的判断。
教学内容第一节 函数 一、函数的定义与性质1.集合;2.邻域;3.常量与变量;4.函数的定义;5.函数的特性。
二、初等函数1.反函数;2.复合函数;3.初等函数。
三、分段函数 一、 函数的定义与性质1集合定义 具有某种特定性质的事物的总体;组成这个集合的事物称为该集合的元素,元素a 属于集 合A ,记作a A ∈, 元素a 不属于集合A, ,a A ∉ 2集合的表示法: 列举法 12{,,,}n A a a a =描述法 {}M x x =所具有的特征 3集合间的关系:若,x A ∈则必,x B ∈就说A 是B 的子集,记做A B ⊂;若A B ⊂且A B,≠A B 则称是的真子集;若A B ⊂且B A ⊂,则A B =。
4常见的数集N----自然数集;Z----整数集;Q----有理数集;R----实数集 它们间关系: ,,.N Z Z Q Q R ⊂⊂⊂ 5例{1,2}A =,2{320}C x x x =-+=,则A C =不含任何元素的集合称为空集, 记作∅ 例如, 2{,10}x x R x ∈+==∅ 规定 空集为任何集合的子集. 6运算 设A 、B 是两集合, 则 1) 并 A ⋃B ⇔ {x ∣x ∈A 或x ∈B}; 2) 交 A ⋂B ⇔{x ∣x ∈A 且x ∈B} 3) 差“A \B” ⇔{x ∣x ∈A 且x ∉B} 4) 补(余)⇔S/A ,其中S 为全集 5) 其运算律(1) A ⋂B= B ⋂A , A ⋃B =B ⋃A(2)(A ⋃B )⋃C =A ⋃(B ⋃C) , (A ⋂B)= A ⋂(B ⋂C) (3)(A ⋃B ) ⋂ C =(A ⋂ C )⋃(B ⋂ C) (A ⋂ B ) ⋃ C =(A ⋃ C ) ⋂ (B ⋃ C) (4) (),()cCCcccA B A B A B A B ⋃=⋂⋂=⋃ 注意A 与B 的直积A ⨯B ⇔{(x,y)∣x ∈A 且y ∈B} 例如:R ⨯R={(x,y)∣x ∈R 且y ∈R}表示xoy 面上全体点的集合, R R ⨯常记为2R7邻域: 设a 与δ是两个实数且0δ>,称集合{}x a x a δδ-<<+为点a 的δ邻域。
点a 叫做这邻域的中心,δ叫做这邻域的半径。
记作(){}U a x a x a δδδ=-<<+点a 的去心δ邻域记做0()U a δ ,0(){0}U a x x a δδ=<-<。
注意:邻域总是开集。
8常量与变量:在某个过程中变化着的量称为变量,保持不变状态的量称为常量, 注意:常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的.x1) 常量与变量的表示方法:用字母x, y, t 等表示变量,通常用字母a, b, c 等表示常量。
9函数的定义:设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的非空数集。
如果对于每个给定的数x D ∈,变量y 按照一定法则总有确定的数值和它对应,则称y 是x 的函数,记作y=f(x). x 叫做自变量,y 叫做因变量。
数集D 叫做这个函数的定义域,数集f R (){|(),}f D y y f x x D ===∈叫做函数的值域。
注意:1)当两个函数的定义域和对应法则都相等时,两者才是同一个函数。
如2()lg f x x =和()2lg f x x =就不是同一个函数。
2)求定义域的方法:应用题由实际意义确定;形式题就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。
如()[1,1];()(1,1)f x D f x D ==-==-如果在D 中任取一个x 对应的函数值都只有一个,这种函数称单值函数,否则称多值函数。
例如,2y x =为单值函数.y =凡未作特别说明,本教材提到的“函数”都是指单值函数 10 函数的特性 1)有界性:若()f x 在I 上有定义,0M ∃>,x I ∀∈有()f x M ≤成立则称函数()f x 在I 上有界, 否则称无界。
2)单调性设函数()f x 在区间I 上有定义,如果对于区间I 上任意两点12x x <,恒有12()()f x f x < 则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的;恒有12()()f x f x >则称函数()f x 在区间I 上 是单调减少的x3)奇偶性设D 关于原点对称,对于x D ∀∈,有()()f x f x -=,称()f x 为偶函数。
设D 关于原点对称,对于x D ∀∈,有()()f x f x -=-,称()f x 为奇函数。
4)周期性设函数()f x 的定义域为D ()f x ,如果存在一个不为0的常数T ,对任意的x D ∈均有()()F x T f x +=则称()f x 为周期函数,T 为()f x 的周期。
(通常说周期函数的周期是指其最小正周期) 二、初等函数通常把常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数六种函数称为基本初等函数.I偶函数由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除、复合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.初等函数以外的函数,称为非初等函数,最常见的是分段函数.(1) 初等函数的几个特例 设)(x f 和)(x g 都是初等函数,则① 绝对值函数 |()|y f x :是初等函数,因为2,[()]y u uf x .② 最大值函数 ()max{(),()}M x f x g x :是初等函数.因为1()max{(), ()}[()()|()()|]2M x f x g x f x g x f x g x .③ 最小值函数 ()min{(),()}m x f x g x :是初等函数.因为(1) 1()min{(), ()}[()()|()()|]2m x f x g x f x g x f x g x .④ 幂指函数 ()[()] (()0, ()1)g x yf x f x f x :是初等函数,因为()()ln ()[()]g x gx f x f x e .(2)非初等函数的几个特例① 符号函数 1, 0sgn : sgn 0,01,0x y x xx x .显然 ||sgn x x x . ② 取整函数 []yx :表示“小于或等于x 的最大整数”,即 [3.1]3,[3.8]3,[3]3,[ 3.2] 4.y y y y取小数函数 ()[]y x x x :表示“x 的非负小数部分”,即 (3.1)0.1,(3.8)0.8,(3)0,( 3.2)0.8y yy y .显然,对于任意x R ,有[]11x x x .③ 狄利克雷(Dirichlet )函数:1, ()0,x D x x 为有理数为无理数.④ 黎曼(Riemann )函数(定义在]10[,):1, (, , )()0, 0,1,p px p q q q q R x x当为正整数为既约分数当无理数.高等数学主要的研究对象是初等函数.1.初等函数、复合函数的关系与分解(1)初等函数与复合函数的关系复合函数与初等函数是并列的概念.是复合函数,可以是初等函数,也可以不是初等函数;是初等函数,可以是复合函数,也可以不是复合函数.一个函数,可属于多种函数分类.(2)函数的分解函数的分解形式依分解要求不同而不同.一般地,高等数学中要求掌握两类函数的分解.①复合函数的分解:把一个复合函数(一层或多层)分拆成几个函数,称为复合函数的分解.②初等函数的分解:把一个初等函数分拆成几个函数,称为初等函数的分解.或y sin u,u tv,t x3,v sin w,wls,l x2,s sin x.(许康P61)【注意问题】①对于由两个函数构成的函数,可以讨论它是否为复合函数.对一个复杂函数笼统地问是否复合函数是没有意义的,应具体地问这个复杂函数的哪一层是否复合关系.复合关系只是针对所论层的内函数与外函数两个函数之间的相互关系,而不涉及该层以外的函数是否复合函数.如函数y x x x可化为y f(u) u g(x) x x x,按复合函数的定义,f(u)和u g(x)可以复合成复合函数;但u x x x中既有四则运算,又有复合运算,是初等函数,而无法说它是不是复合函数.②又如问y 2x是否复合函数,因为复合函数是两个函数间的复合,如果不指明问是否某两个函数的复合函数,如何回答呢?要是指明问y 2x是否由y u和u 2x复合而成的复合函数,则可以回答是两者的复合函数(当然这种复合无实际意义.对于简单函数不再讨论其复合性).2.三角函数(1)基本三角函数关系①对角线两端二函数的乘积为1(倒数关系).②周界上任一函数等于它相邻两函数的乘积.③阴影三角形中两上顶角函数的平方和等于下角函数的平方.(2)任意三角函数的诱导公式(可记为:奇变偶不变,正负看象限.)sin(90˚ α) cosα,sin(180˚ α) sinα,sin(270˚ α) cosαsin(90˚ α) cos α, sin(180˚ α) sin α, sin(270˚ α) cos α (3) 两角和的三角函数sin(x ±y ) sin x cos y ±cos x sin y , cos(x ±y ) cos x cos y ∓sin x sin y tan(x ±y )tan tan 1tan tan x y x y , cot(x ±y ) cot cot 1cot cot x y y x(4) 倍角的三角函数sin2x 2sin x cos x,cos2x cos 2x sin 2x 1 2sin 2x 2cos 2x 1tan2x 22tan 1tan xx , cot2x 2cot 12cot x x(5) 三角函数的和、差化积公式sin x siny 2sin ()2x ycos ()2x y,sin x siny 2cos ()2x ysin ()2x ycos x cos y 2cos ()2x y cos()2x y,cos x cosy 2sin ()2x ysin ()2x ytan x ±tan ysin()cos cos x y x y , cot x ±cot y ±sin()sin sin x y x ysin x ±cos x sin(x ±4π) ±cos(x ∓4π) (6) 三角函数的积化和、差公式2sin x ·cos y sin(x y ) sin(x y ), 2cos x ·sin y sin(x y ) sin(x y ) 2cos x ·cos y cos(x y ) cos(x y ), 2sin x ·sin y cos(x y ) cos(x y ) (7) 反三角函数的运算公式arcsin()arcsin ,arccos()arccos ,[1,1];arctan()arctan ,arccot()arccot ,(,);sin(arcsin ),cos(arccos ),[1,1];tan(arctan ),cot(arccot ),(,);arcsin(sin ),[,2x x x πx x x x x πx x x x x x x x x x x x πx x x ];arctan(tan ),(,);222arccos(cos ),[0,];arccot(cot ),(0,).πππx x x x x x πx x x π。