高职高专 高等数学第一章教案

第一章

函数、极限、连续

教学要求

1.了解分段函数、复合函数、初等函数等概念。

2.理解数列极限、函数极限的定义。

3.掌握极限的四则运算法则。

4.了解无穷大、无穷小及其比较的概念，了解函数及其极限与无穷小的关系。理解无穷小的性质。

5.了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。熟练掌握两个重要极限求极限。

6.理解函数连续与间断概念，会判断间断点类型，了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质。 教学重点

函数的概念、复合函数的概念，基本初等函数的图形和性质；极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点

函数与复合函数的概念；极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容

第一节 函数 一、函数的定义与性质

1.集合；

2.邻域；

3.常量与变量；

4.函数的定义；

5.函数的特性。 二、初等函数

1.反函数；

2.复合函数；

3.初等函数。 三、分段函数 一、 函数的定义与性质

1集合定义 具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素a 属于集 合A ，记作a A ∈, 元素a 不属于集合A, ,a A ∉ 2集合的表示法： 列举法 12{,,

,}n A a a a =

描述法 {}M x x =所具有的特征 3集合间的关系:

若,x A ∈则必,x B ∈就说A 是B 的子集,记做A B ⊂；若A B ⊂且A B,≠

A B 则称是的真子集；若A B ⊂且B A ⊂，则A B =。

4常见的数集

N----自然数集；Z----整数集；Q----有理数集；R----实数集 它们间关系: ,,.N Z Z Q Q R ⊂⊂⊂ 5例

{1,2}A =，2{320}C x x x =-+=，则A C =

不含任何元素的集合称为空集, 记作∅ 例如, 2{,10}x x R x ∈+==∅ 规定 空集为任何集合的子集. 6运算 设A 、B 是两集合, 则 1) 并 A ⋃B ⇔ {x ∣x ∈A 或x ∈B}; 2) 交 A ⋂B ⇔{x ∣x ∈A 且x ∈B} 3) 差“A \B” ⇔{x ∣x ∈A 且x ∉B} 4) 补（余）⇔S/A ,其中S 为全集 5) 其运算律

(1) A ⋂B= B ⋂A , A ⋃B =B ⋃A

(2)（A ⋃B )⋃C =A ⋃(B ⋃C) , (A ⋂B)= A ⋂(B ⋂C) (3)（A ⋃B ) ⋂ C =(A ⋂ C )⋃(B ⋂ C) （A ⋂ B ) ⋃ C =(A ⋃ C ) ⋂ (B ⋃ C) (4) (),()c

C

C

c

c

c

A B A B A B A B ⋃=⋂⋂=⋃ 注意A 与B 的直积A ⨯B ⇔{(x,y)∣x ∈A 且y ∈B} 例如：R ⨯R={(x,y)∣x ∈R 且y ∈R}

表示xoy 面上全体点的集合, R R ⨯常记为2

R

7邻域: 设a 与δ是两个实数且0δ>，称集合{}x a x a δδ-<<+为点a 的δ邻域。点a 叫做这邻域的中心，δ叫做这邻域的半径。记作(){}U a x a x a δδδ=-<<+

点a 的去心δ邻域记做0

()U a δ ，0

(){0}U a x x a δδ=<-<。 注意：邻域总是开集。 8常量与变量:

在某个过程中变化着的量称为变量，保持不变状态的量称为常量, 注意：常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的.

x

1） 常量与变量的表示方法：

用字母x, y, t 等表示变量，通常用字母a, b, c 等表示常量。 9函数的定义：

设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的非空数集。如果对于每个给定的数x D ∈，变量y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记作y=f(x). x 叫做自变量，y 叫做因变量。 数集D 叫做这个函数的定义域，

数集f R (){|(),}f D y y f x x D ===∈叫做函数的值域。

注意：

1）当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者才是同一个函数。 如2

()lg f x x =和()2lg f x x =就不是同一个函数。

2）求定义域的方法：

应用题由实际意义确定；形式题就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。如

()[1,1];()(1,1)f x D f x D ==-=

=-

如果在D 中任取一个x 对应的函数值都只有一个,这种函数称单值函数，否则称多值函数。

例如，2

y x =为单值函数

.y =

凡未作特别说明，本教材提到的“函数”都是指单值函数 10 函数的特性 1）有界性:

若()f x 在I 上有定义，0M ∃>，x I ∀∈有()f x M ≤成立则称函数()f x 在I 上有界， 否则称无界。

2）单调性

设函数()f x 在区间I 上有定义，如果对于区间I 上任意两点12x x <，恒有12()()f x f x < 则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的；恒有12()()f x f x >则称函数()f x 在区间I 上 是单调减少的

x

3）奇偶性

设D 关于原点对称，对于x D ∀∈，有()()f x f x -=，称()f x 为偶函数。

设D 关于原点对称，对于x D ∀∈，有()()f x f x -=-，称()f x 为奇函数。

4）周期性

设函数()f x 的定义域为D ()f x ，如果存在一个不为0的常数T ，对任意的x D ∈均有

()()F x T f x +=则称()f x 为周期函数，T 为()f x 的周期。（通常说周期函数的周期是

指其最小正周期） 二、初等函数

通常把常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数六种函数

称为基本初等函数．

I

偶函数