顶点式,对称轴与顶点坐标公式.ppt
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苏教版中考复习：《二次函数的图象与性质》课件
例11.已知,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0). ⑴求该二次函数的关系
式.
⑵将该二次函数图象向右平移几个单位长度,可使
平移后所得图象经过坐标原点?请直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的
坐标.
解: ⑴设二次函数关系式为
y=a(x-1)2-4∵二次函数图象 过点B(3,0),∴0=4a-4,得a=1. ∴二次函数关系式为y=(x-1)2-4 即y=x2-2x-3.
y
0
-1
3x
⑵ 令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1. ∴图象与x (-1,0) ∴二次函数图象向右平
轴的两个交点坐标分别为(3,0) 移1个单位长度后经过坐标
原
点，平移后所得图象与x轴的y
另一个交点坐标为(4,0).
0 -1
34 x
点评:这是一个平移的变形题,求出已知抛物线与x轴的交点坐标,再将其中在原点 左侧的交点平移到原点即可.这样的题目最好的解决办法是画出草图,利用图象解 决,既快有准.
y=2x2-4x+5=2(x2-2x&1,3),对称轴是直线x=1.
点评:配方法是解二次函数问题中常用的 思想方法,利用配方法可将二次函数的一 般式化为顶点式, 从而为进一步利用二次 函数的性质解题奠定基础.
例5.(x1,y1)、(x2,y2)是抛物线y=2x2-4x-1上的 两点,且x2＜x1＜0,那么,y1、y2的大小关系是 y1 ＜ y2.
⑵ y=-x2+4x-3=-(x2-4x+4-4)-3=-(x-2)2+1 抛物线顶点为(2,1),对称轴为直线x=2,∴当 -1≤x≤0时,y随x的增大而增大. y
∴当x=-1时,y最小=-(-1-2)2+1=-8 , -1 0 当x=0时, y最大=-(0-2)2+1=-3.
二次函数课件
x=x1 或x=x2是二次不等式 的解集的端点值
第十三页，编辑于星期五：九点 三十五分。
3.二次函数在闭区间上的最值
在闭区间的端点或二次函 数的顶点处取得
y -1 0 1 x
y -1 0 1 x
y
-1 0 1
x
第十四页，编辑于星期五：九点 三十五分。
(1)抛物线与x轴的交点情况
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
x1，x2 有且仅 有一个 在(k1 ，k2)
充要条件
第三十二页，编辑于星期五：九点 三十五分。
3.一元二次方程根的分布.
(1)方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根：
一正一负 ac<0;
两正根
Δ>0
x1+x2=- b >0 x1·x2= c a>0;
a
两负根
Δ>0
b
x1+x2=-c a <0
x1·x2= a >0;
一零根 C=0
第三十三页，编辑于星期五：九点 三十五分。
设f ( x) ax2 + bx + c(a 0) 一元二次方程ax2 + bx + c 0(a 0) 的两根为x1, x2 ( x1 x2 )
( 1 ) 方 程 两 根 都 小 于 k (k 为 常 数 ）
（5）正数的负分数指数幂:
m
an
1
m
an
1 n am
（ a > 0 , m , n N 且 n > 1 ）
（6） 0的正分数指数幂等于 0 ；
0的负分数指数幂 没有意义
第十页，编辑于星期五：九点 三十五分。
二次函数的顶点式ppt课件
❖ 2.y2+3y+ （
3 ）2 2
3
=(y+ 2
)2
❖ 3.函数y=x2+6x化为顶点式是 y(x3)29 。
❖ 4.函数y=2x2-6x+9化为顶点式是y2(x23)2。92
❖ 5. 函数y=ax2+bx+c化为顶点式是
.
精选ppt课件
12
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
1y2x23x1;
点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上
a-b+c>0 a-b+c<0 a-b+c=0
练习
11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中下不正确的是 （ D ）
A、abc＞0
y
B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0
-1 o 1 x
试一试：已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总 有交点,并指出m为何值时,只有一个交点； (2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时 函数图像与x轴的另一个交点； (3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值 范围.
整理:前三项化为平方形式，后两 项合并同类项
配方后的表达 3x122. 化简:去掉中括号
式通常称为顶
点式
简单说成：一提、二配、三化简
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称 轴,顶点坐标.
y3 x1 22.
∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
新美加教育：刘德凤 .
二次函数源于生活
.
二次函数源于生活
.
二次函数源于生活
.
二次函数源于生活
.
二次函数源于生活
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二次函数源于生活
.
二次函数源于生活
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二次函数源于生活
.
打开你的记忆
函数
一次函数 反比例函数 二次函数
一次函数 :Y=KX+b (K≠0) 特别的,当b=0时,是正比例函数。 反比例函数：Y=K／X (K≠0)
D.(0，3)
5. 抛物线
A. x=-2 C. x=-4
的对称轴方程是( B)
B.x=2 D. x=4
6. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y= (x-1)2+2
.
·二次函数顶点式的对称轴和顶点坐 标。
·用配方法（九年级上册一元二次方 程时已经学过配方）推导出一般 式的对称轴及顶点的坐标。
.
, ;
, .
让 我
有只 质有
们 的量
热 爱 数
进的 步变
学 吧
化
！
才
会
有只 新有 的不 发断 现的
思 考
数 学 因 思 维 而 耐 人
数 学 因 规 律 而 不 再
才寻枯
会 燥 .
味
17
c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
.
13
一般式如何转化成顶点式呢？
由顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)可知：对称轴x=h, 顶点坐标（坐标最关键，
新美加教育：刘德凤 .
二次函数源于生活
.
二次函数源于生活
.
二次函数源于生活
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二次函数源于生活
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函数
一次函数 反比例函数 二次函数
一次函数 :Y=KX+b (K≠0) 特别的,当b=0时,是正比例函数。 反比例函数：Y=K／X (K≠0)
D.(0，3)
5. 抛物线
A. x=-2 C. x=-4
的对称轴方程是( B)
B.x=2 D. x=4
6. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y= (x-1)2+2
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·二次函数顶点式的对称轴和顶点坐 标。
·用配方法（九年级上册一元二次方 程时已经学过配方）推导出一般 式的对称轴及顶点的坐标。
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, ;
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让 我
有只 质有
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！
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会
有只 新有 的不 发断 现的
思 考
数 学 因 思 维 而 耐 人
数 学 因 规 律 而 不 再
才寻枯
会 燥 .
味
17
c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
.
13
一般式如何转化成顶点式呢？
由顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)可知：对称轴x=h, 顶点坐标（坐标最关键，
人教版九年级数学上册二次函数的图像与性质课件
解析式（a≠0）
穷人的孩子一早般当家式。
y=ax2+bx+c
让自己的内心藏着一条巨龙，既是一种苦刑，也是一种乐趣。
器大者声必闳，志高者意必远。
沧海可填山可移，男儿志气当如斯。
丈夫清万里，谁能扫一室。
丈夫四海志顶，点万里式犹比邻。
y=a(x-h)2+k
母鸡的理想不过是一把糠。
心志要坚，意趣要乐。
海纳百川有容乃大壁立千仞无欲则刚
C．当x<-1时，y 随x的增大而增大
D．当x=0时， 有最小值是3
ห้องสมุดไป่ตู้
【练习2】若 A(-4,y1)，B(-1,y2) ，C(2,y3) 为二次函数 y=-(x+2)2+3 的图象上的三点，则 y1，y2 ，y3 的关系是（ ）． A．y1<y2<y3 B． y3<y1<y2 C． y3<y2<y1 D． y2<y1<y3
【a<0】 x<-b/2a，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 x>-b/2a，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
图像与性质
y x=h
二次函数
一般式 [y=ax2+bx+c,(a≠0)]
x O a>0
y O
x
x=h
a<0
二次函数
图像与性质 一般式
【例题】点 （a,5)在 y=x2+5x-1的图象上，则a为（
ax2 a<0
图像与性质
y x=h
x O a>0
y O
x
x=h a<0
二次函数
顶点式 [y=a(x-h)2+k,(a≠0]
二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标课件
2
如何选择使用哪种形式的二次函数
根据需要确定是否需要确定顶点位置来选择使用顶点式或一般式表示二次函数。
3
顶点式与一般式的对称轴及顶点坐标总结
通过对称轴与顶点坐标的求解，可以准确定轴是二次函数图像的对 称轴线，它通过顶点，并且 与x轴垂直。对称轴的方程为 x=-b/2a。
如何求出函数的顶点坐 标
顶点坐标是二次函数图像的 最高或最低点，通过顶点的x 值和代入函数的x值得到顶点 的y值。
小结
1
二次函数顶点式与一般式的区别
顶点式通过顶点坐标确定二次函数图像的顶点位置，而一般式可以表示二次函数 的一般形式。
二次函数顶点式及一般式 的对称轴及顶点坐标课件
本课件将介绍二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标。通过本课件， 你将了解二次函数的顶点式与一般式的区别，以及如何选择使用哪种形式的 二次函数。
二次函数顶点式
什么是二次函数顶点式
二次函数顶点式是表示二次函数 顶点位置的一种形式。它形如 y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐 标。
如何将一般式转化为顶点式 什么时候使用顶点式
要将一般式y=ax²+bx+c转化为顶 点式，可以使用平方完成方法， 将其写成标准形式后提取顶点坐 标。
顶点式适用于确定二次函数的顶 点位置，计算顶点坐标以及进行 函数图像的平移。
二次函数一般式
什么是二次函数一般式
二次函数一般式是表示二次 函数的一种常见形式。它形 如y=ax²+bx+c，其中a、b和 c是常数。
顶点式,对称轴与顶点坐标公式
（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定 y随x变化的函数式．涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出（300－10x） 件，销售额为( 60＋x )( 300－10x )，买进商品需付出40 ( 300－10x )
怎样确定x的 取值范围？
y = （60＋x）(300－10x) －40 （300－10x） 即
当销售单价提高5元，即销售单价为35元时，可以获得最大利润4500 元．提示：设销售单价为x(x≥30)元，销售利润为y元，则
y = ( x－20 )[400－20(x－30)]=－20x2＋140x－20000
即 y10x210x06000(0≤X≤30)
探究
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如 果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，我们先来看涨价的情况．
解:设销售价为x元(x≥30元), 利润为y元,则
y x 2 4 0 0 2 x 0 0 2 0
2x 0214x0 20000
20 x35 245.00
练习
2、某商店经营Ｔ恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查， 销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销 售量是500件，而单价每降低１元，就可以多售出200件． 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商
品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。
涨价x元时则每星期少卖 1件0x，实际卖出 (300-件10,x销)
怎样确定x的 取值范围？
y = （60＋x）(300－10x) －40 （300－10x） 即
当销售单价提高5元，即销售单价为35元时，可以获得最大利润4500 元．提示：设销售单价为x(x≥30)元，销售利润为y元，则
y = ( x－20 )[400－20(x－30)]=－20x2＋140x－20000
即 y10x210x06000(0≤X≤30)
探究
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如 果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，我们先来看涨价的情况．
解:设销售价为x元(x≥30元), 利润为y元,则
y x 2 4 0 0 2 x 0 0 2 0
2x 0214x0 20000
20 x35 245.00
练习
2、某商店经营Ｔ恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查， 销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销 售量是500件，而单价每降低１元，就可以多售出200件． 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商
品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。
涨价x元时则每星期少卖 1件0x，实际卖出 (300-件10,x销)
人教版数学九年级上册优质课课件《二次函数的顶点式》
与y=-3x² 有 关哟
开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值= 2 (x=1);增减性与y= -3x2类似. (或最大值=-2).
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
一般地,由y=ax² 的图象便可得到二次函数y=a(x-h)² +k 的图象:y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的 图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向 右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下) 平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平 移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)² +k的图象是一条抛物线,它 的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 抛物线y=a(x-h)² +k有如下特点： （1）当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下； （2）对称轴是直线x=h； （3）顶点坐标是（h，k）。
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1
2 2
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
y 3x 1 2
X=1
y
解：如图建立直角坐标系，点（1、3）是 顶点，设抛物线的解析式为 Y=a（x-1）² +3 （0≤x≤3） 点（3、0）在抛物线上，所以有 0=a（3-1）² +3 ∴ a=-¾ 点（1、3） ∴ y=-¾（x-1）² +3 （0≤x≤3） 是顶点，知 当x=0时，y=2.25， 道h=1， 即水管应长2.25m。 k=3，求出 a就好啦!
《公式法求顶点坐标》学生用
当 x 2时， y最大值＝0
（ 4）
1 2 y x 4x 3 2
4 0.5 3 (4) y小 5 4 0.5
2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x对 4 2 0 .5
顶点坐标：（4 , - 5）
对称轴： x 对 4
当 x 4时， y最小值＝ -5
4 3 0 2 1 y小 43 3
《公式法求顶点坐标》步骤:
1、从二次函数一般式中找出a b c的值； 2、把a b c的值代入顶点坐标公式；
1 1 顶点坐标为 , 3 3
1 1 当x 时，y最小值＝3 3
1 对称轴x 3
x对
b 2a
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝ 1
（ 3）
y 2 x 8x 8
2
2
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
4 （ 2） （ 8） 8 8 x对 2 y大 0 2 (2) 4 （ 2）
顶点坐标为 2, 0
对称轴x 2
4ac b y大（小） 4a
2
3、按题的要求写出结果。 注意：a>0有小值；a<0有大值。
（ 2）
y x 2x
2
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 x对 1 2 (1)
4 （ 1 ） 0 （ 2） y大 1 4 （ 1 ）
2
顶点坐标为 1,1
注意：一般式化成顶点式的步骤。 二次函数的一般式：y＝ax2 +bx+c化成顶点式：y=a(x-h)2 +k
三、用配方法:求二次函数y＝－2x2－4x＋1 的对称轴、顶点坐标、大（小）值．
（ 4）
1 2 y x 4x 3 2
4 0.5 3 (4) y小 5 4 0.5
2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x对 4 2 0 .5
顶点坐标：（4 , - 5）
对称轴： x 对 4
当 x 4时， y最小值＝ -5
4 3 0 2 1 y小 43 3
《公式法求顶点坐标》步骤:
1、从二次函数一般式中找出a b c的值； 2、把a b c的值代入顶点坐标公式；
1 1 顶点坐标为 , 3 3
1 1 当x 时，y最小值＝3 3
1 对称轴x 3
x对
b 2a
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝ 1
（ 3）
y 2 x 8x 8
2
2
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
4 （ 2） （ 8） 8 8 x对 2 y大 0 2 (2) 4 （ 2）
顶点坐标为 2, 0
对称轴x 2
4ac b y大（小） 4a
2
3、按题的要求写出结果。 注意：a>0有小值；a<0有大值。
（ 2）
y x 2x
2
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 x对 1 2 (1)
4 （ 1 ） 0 （ 2） y大 1 4 （ 1 ）
2
顶点坐标为 1,1
注意：一般式化成顶点式的步骤。 二次函数的一般式：y＝ax2 +bx+c化成顶点式：y=a(x-h)2 +k
三、用配方法:求二次函数y＝－2x2－4x＋1 的对称轴、顶点坐标、大（小）值．
二次函数顶点式及平移法则
左加右减
1.开口方向
向上
向下
向上
2.对称轴
3.顶点 4.增减性 5.最值
相同
低
小
高 大
左加右减
上加下减，左加右减
下2
右1
左4上3
1.开口方向
向上
向下
2.对称轴 3.顶点
4.增减性
5.最值
向上
向下
二次函数顶点平移
经典分析
二次函数顶点式及平移法则
平移法则：上加下减、左加右减
回顾
1.开口方向 2.对称轴
3.顶点
4.增减性 5.最值
-3
-2 5 3
-1 2 0
0
1 2 0
2 5 3
3 10 8
1.开口方向 2.对称轴 3.顶点
10 8
向上
-1
1
上加下减
4.增减性 5.最值
上加下减
向下平移 7 个单位
向上平移 1 个单位 向下平移 5 个单位 向下平移 3 个单位
上加下减
1.开口方向
2.对称轴 3.性
5.最值
相同
0 向上 向下 上 下 上加下减 低 高 k 小 k k
大
1.开口方向
v
向下
2.对称轴 3.顶点
左加右减
4.增减性 5.最值
左加右减
向左平移 7 个单位
向右平移 1 个单位 向左平移 5 个单位 向右平移 4 个单位
二次函数的一般式化为顶点式(课堂PPT)
y
···
· ·0
x
··
·
·
如何画出
y
1x2 2
6x21的图象呢?
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函 数 y1x2 6x21也能化成这样的形式吗
2
?
y=ax2+bx+c
b
=a(x2+ x)+c
a
= a[x2+
Hale Waihona Puke b ax+
(
b 2a
) 2 ]-
y3x212x7，那么如何将抛物线 y 3 x 2的图 像移动，得到的 y3x212x7 图像呢？
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
开口方 对称轴 顶点坐标 向
向上 直线x=–3 （－3，5）
向下 直线x=1 （1，－2）
向上 直线x=3 （3，7 ） 向下 直线x=2 （2，－6）
你能说出二次函数y=-2x 2－8x-7图 像的特征吗？
如何画出 y-2x28x-7 的图象呢?
我们知道,像y=a(x+h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(-h,k), 二次 函数y-2x28x-7 也能化成这样的形式 吗?
(
b 2a
)2
a
+c
=a(x+ b )2+ 4 a c b 2
2a
4a
2020/7/10
14
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
①y=2x2-5x+3②y=－ 1 x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)
演示版二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标课件.ppt
o
x
·（h,k）
2、a ﹤ 0时， a(x-h)2 ≤ 0,即 － ∞ ～0 故当X=h时，a(x-h)2有最大值0，
y
· （h,k）
即当X=h时,y=a(x-h)2+k (a≠0)有最大值K
即顶点坐标（h,k）
o
x
对称轴：x=h
顶点坐标:（h,k）.精品课件.
12
1.抛物线y=2(x-4)2 +8的顶点在第(一 )象限
才寻枯
会 .精品课件.
味
燥17
2a 4a
2a
4a .精品课件.
14
4. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( C )
A .(1，-4)
B.(-1，2)
C. (1，2)
D.(0，3)
5. 抛物线
A. x=-2 C. x=-4
的对称轴方程是( B)
B.x=2 D. x=4
6. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y= (x-1)2+2
2. 抛物线y=2(x+3)2 -1的顶点在( B)
A. 第二象限
B. 第三象限
C. x轴上
D. y轴上
c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
.精品课件.
13
一般式如何转化成顶点式呢？
由顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)可知：对称轴x=h, 顶点坐标（h,k).
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
.精品课件.
1
顶点式图像和性质
8
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
问题1 从二次函数 y 1 x2, y x2 , y 2x2
2
开口大小与a的绝对值大小有什
8
么关系？
6
当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减.
二 二次函数y=ax2+k的性质
探究归纳
把抛物线y = 2x2向上平移5个单位， 会得到哪条抛物线？向下平移2个单
8
位呢？
6
4
2
－4 －2 －2 －4
24
想一想 1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象， 再向上（或向下）平移︱k ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. 2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什 么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
三 抛物线y=ax2与y=-ax2的关系
情境引入
导入新课
复习引入
问题1 二次函数 y=ax2+k（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？
二次函数中的顶点轴对称与像变换
二次函数中的顶点轴对称与像变换二次函数是高中数学常见的一种函数形式，它的图像通常呈现出一条平滑的弧线。
在学习二次函数时，我们会关注到其中的顶点轴对称性质以及通过变换对图像进行调整的像变换。
本文将详细介绍二次函数中的顶点轴对称性质以及像变换的概念和实际应用。
一、顶点轴对称性质顶点轴对称是指二次函数图像关于某一垂直直线对称。
而这条垂直直线就是二次函数的对称轴。
对称轴可以通过函数表达式中的 x 部分来确定。
1. 一般式二次函数一般来说，一般式的二次函数表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
当a ≠ 0 时，二次函数的图像是一个抛物线。
对于一般式的二次函数，其对称轴可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)2. 顶点式二次函数另一种常见的二次函数表达式为顶点式：f(x) = a(x - h)^2 + k。
其中a、h、k 是常数，a ≠ 0。
a 决定了二次函数的开口方向，h、k 则决定了图像的平移。
顶点式的二次函数表达式已经将顶点的坐标(h, k)直接体现出来。
顶点是二次函数的图像中的一个重要点，它也是二次函数的对称轴上的一个点。
二、像变换通过对二次函数的变换，我们可以对其图像进行平移、伸缩、翻转等操作，从而改变原始函数的形状和位置。
1. 平移对于一般式的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，平移的变换形式为：f(x) = a(x - h)^2 + k。
其中 (h, k) 表示平移的横向和纵向距离。
平移后的二次函数图像在坐标平面上的位置相对于原来的位置发生了变化，但形状不发生改变。
2. 伸缩伸缩是指通过改变二次函数图像的开口程度，将图像的形状进行改变。
伸缩的变换形式为：f(x) = a * b(x - h)^2 + k。
其中 a 和 b 是常数，a 代表纵向方向上的伸缩因子，b 代表横向方向上的伸缩因子。
当 |a| > 1 时，图像在纵向上被拉长；当 |a| < 1 时，图像在纵向上被压缩。
26[1].3.1实际问题与二次函数 (上课)
![26[1].3.1实际问题与二次函数 (上课)](https://img.taocdn.com/s3/m/0e68418b83d049649b66588d.png)
如图，用长20米的篱笆围成一个一面靠 墙的长方形的菜园，设菜园的宽为x米，面 积为y平方米。 D A (1)求y与x的函数关系式及 自变量的取值范围； B C
(2)怎样围才能使菜园的面积最大？ 最大面积是多少？
变式：如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，
围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
寄语
生活是数学的源泉， 探索是数学的生命线.
作业:
P51 1. 2.
1 答：定价为 57 元时，利润最大，最大利润为6125元 2 由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?
总结 ：
运用函数来决策定价的问题:
构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式. 求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最大(或最小值)
归纳小结：
3．类比引入，探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地 的面积 S 最大？ 60 l ， 解： S （ l） 2 整理后得 S l 2 30l（0＜l＜30）．
b 30 ∴ 当l 15 时， 2a 2 （1） 4ac b 2 225 ． S 有最大值为 4a 当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．
即定价_________ 元时，利润最大，最大利润是___________. 65 6250
y \元
6250 6000
(5,6250)
何时获得最大利润4ppt
x/棵 y/个 x/棵 y/个
1 2 3 4 5 6 7
60095
8 60480
60180
9 60495
60255
10 60500
60320
11 60495
60375 60420 60455
12 13 14
60480 60455 60420
当增种10棵橙子树时，可以使果园橙子总产量最多。
例2：某果园有100棵橙子树,每一棵 树平均结600个橙子.现准备多种一些 橙子树以提高产量, 据经验估计,每 多种2棵树,平均每棵树就会少结10个 橙子. （1）种多少棵橙子树,可以使果园橙 子的总产量最多？最多为多少？ （2）增种多少棵橙子,可以使橙子的 总产量在60400个以上?
y=(40-x)(28+1.2x) (0 ≤ x ≤10) . y=-1.2(x-25／3)2+3610／3 当x= 25／3时,最大面积3610／3
D N P
F Q A
M E
解:在AB上取一点P,过点P作CD、DE的垂线， 得矩形PNDM。延长NP、MP分别与EF、CF 交于Q、S.设PQ=x厘米（0≤x≤10）, 那么PN=40-x。由△APQ∽△ABF，得 AQ=1.2x，PM=EQ=EA+AQ=28+1.2x. C B S 那么矩形PNDM的面积:
例3：龙城公园要建造圆形喷水池.在水池中 央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心, OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在 各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状 较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到 最大高度2.25m.
(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少 要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？ (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水 池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流 的最大高度应达到多少m(精确0.1m)？
1 2 3 4 5 6 7
60095
8 60480
60180
9 60495
60255
10 60500
60320
11 60495
60375 60420 60455
12 13 14
60480 60455 60420
当增种10棵橙子树时，可以使果园橙子总产量最多。
例2：某果园有100棵橙子树,每一棵 树平均结600个橙子.现准备多种一些 橙子树以提高产量, 据经验估计,每 多种2棵树,平均每棵树就会少结10个 橙子. （1）种多少棵橙子树,可以使果园橙 子的总产量最多？最多为多少？ （2）增种多少棵橙子,可以使橙子的 总产量在60400个以上?
y=(40-x)(28+1.2x) (0 ≤ x ≤10) . y=-1.2(x-25／3)2+3610／3 当x= 25／3时,最大面积3610／3
D N P
F Q A
M E
解:在AB上取一点P,过点P作CD、DE的垂线， 得矩形PNDM。延长NP、MP分别与EF、CF 交于Q、S.设PQ=x厘米（0≤x≤10）, 那么PN=40-x。由△APQ∽△ABF，得 AQ=1.2x，PM=EQ=EA+AQ=28+1.2x. C B S 那么矩形PNDM的面积:
例3：龙城公园要建造圆形喷水池.在水池中 央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心, OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在 各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状 较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到 最大高度2.25m.
(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少 要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？ (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水 池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流 的最大高度应达到多少m(精确0.1m)？
第2课时《公式法求顶点坐标》
1 1
3 2
1 配方：加上 一次项系数一半平方 2) 减去一次项系数一半平方；
整理：中括号里前部分写成完全 平方，后部分是一个常数；
y＝－2〖(x+1)2y＝－2(x+1)2+ 3
〗
化成：去掉中括号化成了二的函数的顶点式。
x对 1
y大 3
顶点坐标（-1，3）
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c图象和性质
知识回顾：
一、抛物线（顶点式）y=a(x-h)2+k图象的性质:
抛物线（顶点式） 系数 开口 a﹥0 向上 a﹤0 向下 对称轴 X对=h X对=h 顶点坐标
y=a(x-h)2+k
（h，k）
（h，k）
二、填空（顶点式：y=a(x-h)2+k）:
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(x-2)2 - 6 开口方向 向上 向下 向上 向下 对称轴 直线x=-3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 顶点坐标 ( -3, 5 ) ( 1 , -2 )( 3 , 7) ( 2 , -6
2
2
求：二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标？
配方:
提取：各项提取二次项系数；
2
2 b b b c a x x a 2 a 2 a a 2 b 4ac b 2 整理：中括号里前部分写 a x 2 成完全平方，后部 2 a 4 a 这个结果通常 分是一个常数；
4 （ 2） （ 8） 8 8 x对 2 y大 0 2 (2) 4 （ 2）
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y = －10x2+100x+6000
其中，0≤x≤30.
y10x210x06000(0≤X≤30)
x2ba5时， y最大值 1052 100560006250
当x = ____5____时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价__5__元，
即定价___6_5_____元时，利润最大，最大利润是___6_2_5_0_____.
（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定 y随x变化的函数式．涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出（300－10x） 件，销售额为( 60＋x )( 300－10x )，买进商品需付出40 ( 300－10x )
怎样确定x的 取值范围？
y = （60＋x）(300－10x) －40 （300－10x） 即
1x 0214x 04000100x70 290.00
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
50 1 00 5 550 245 . 0 5 010 450 67.50
使利润最大了吗?
总结 ：
运用函数来决策定价的问题:
构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式. 求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最大(或最小值)
练 习 日用品何时获得最大利润
1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销 售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会 导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少 20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
设销售单价为 x（ x ≤13.5）元，那么
（1）销售量可以表示为____3_2_0_0_－__2_0_0_x_____; （2）销售额可以表示为____3_2_0_0_x_－__2_0_0_x_2_____； （3）所获利润可以表示为__－__2_0_0_x_2＋__3_7_0_0_x_－__8_0_0_0； （4）当销售单价是____9_.2_5_元______元时，可以获得最大利润， 最大利润是______9_1_1_2_.5_元________．
练习
旅行社何时营业额最大
3.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行 社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价 就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行 社可以获得最大营业额？
解： 设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
y x 80 1 0 x 0 30
即 y10x210x06000(0≤X≤30)
探究
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如 果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，我们先来看涨价的情况．
回味无穷:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
yaxb24acb2.
2a
4a
对称轴:直线x b
2a
顶点坐标:
b 2a
,
4acb2 4a
利润=售价-进价.
总利润=每件利润×销售数量.
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
y \元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
部分，这条抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐
标的横坐标时，这个函
数有最大值。由公式可
30
x \ 元 以求出顶点的横坐标.
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得 出答案。
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出 （300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付 40(300-10x)元，因此，得利润
10x21பைடு நூலகம்0x0
10 x55 2302.50
练习
水产品何时利润最大
4.某商店销售一种销售成本为40元的水产品,若按50元/千克销售,
一月可售出5000千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;
y ( x 4 ) 5 0 0 1 x 0 0 5 0
y 6 0 x30 1 0 x 8 43 00 1 0 x 8
1x 8 2 6x 0 60(00 ≤x≤0 20)
当 答x：定价2ba为5358时1 ， y元最时大 ，利1润8最53大，2最6大0利53润为66005000元6050 3
由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
构建二次函数模型解决 一些实际问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
解:设销售价为x元(x≥30元), 利润为y元,则
y x 2 4 0 0 2 x 0 0 2 0
2x 0214x 020000
20x35 245.00
练习
2、某商店经营Ｔ恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查， 销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销 售量是500件，而单价每降低１元，就可以多售出200件． 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商
品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。
涨价x元时则每星期少卖 1件0x，实际卖出 (300-件10,x销)
额为
(60+x)(300-10x元) ，买进商品需付
40(300-元10x)
因此，所得利润为 y=(60怎取+样x值)确(范3定0围0x？-的10x)-40(300-10x) 元
其中，0≤x≤30.
y10x210x06000(0≤X≤30)
x2ba5时， y最大值 1052 100560006250
当x = ____5____时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价__5__元，
即定价___6_5_____元时，利润最大，最大利润是___6_2_5_0_____.
（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定 y随x变化的函数式．涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出（300－10x） 件，销售额为( 60＋x )( 300－10x )，买进商品需付出40 ( 300－10x )
怎样确定x的 取值范围？
y = （60＋x）(300－10x) －40 （300－10x） 即
1x 0214x 04000100x70 290.00
(2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利润;
50 1 00 5 550 245 . 0 5 010 450 67.50
使利润最大了吗?
总结 ：
运用函数来决策定价的问题:
构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式. 求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最大(或最小值)
练 习 日用品何时获得最大利润
1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销 售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会 导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少 20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
设销售单价为 x（ x ≤13.5）元，那么
（1）销售量可以表示为____3_2_0_0_－__2_0_0_x_____; （2）销售额可以表示为____3_2_0_0_x_－__2_0_0_x_2_____； （3）所获利润可以表示为__－__2_0_0_x_2＋__3_7_0_0_x_－__8_0_0_0； （4）当销售单价是____9_.2_5_元______元时，可以获得最大利润， 最大利润是______9_1_1_2_.5_元________．
练习
旅行社何时营业额最大
3.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行 社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价 就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行 社可以获得最大营业额？
解： 设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
y x 80 1 0 x 0 30
即 y10x210x06000(0≤X≤30)
探究
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如 果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，我们先来看涨价的情况．
回味无穷:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
yaxb24acb2.
2a
4a
对称轴:直线x b
2a
顶点坐标:
b 2a
,
4acb2 4a
利润=售价-进价.
总利润=每件利润×销售数量.
某商品现在的售价为每件60元， 每星期可卖出300件，市场调查反 映：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
y \元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
部分，这条抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐
标的横坐标时，这个函
数有最大值。由公式可
30
x \ 元 以求出顶点的横坐标.
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得 出答案。
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出 （300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付 40(300-10x)元，因此，得利润
10x21பைடு நூலகம்0x0
10 x55 2302.50
练习
水产品何时利润最大
4.某商店销售一种销售成本为40元的水产品,若按50元/千克销售,
一月可售出5000千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;
y ( x 4 ) 5 0 0 1 x 0 0 5 0
y 6 0 x30 1 0 x 8 43 00 1 0 x 8
1x 8 2 6x 0 60(00 ≤x≤0 20)
当 答x：定价2ba为5358时1 ， y元最时大 ，利1润8最53大，2最6大0利53润为66005000元6050 3
由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
构建二次函数模型解决 一些实际问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出18件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
解:设销售价为x元(x≥30元), 利润为y元,则
y x 2 4 0 0 2 x 0 0 2 0
2x 0214x 020000
20x35 245.00
练习
2、某商店经营Ｔ恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查， 销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销 售量是500件，而单价每降低１元，就可以多售出200件． 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商
品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。
涨价x元时则每星期少卖 1件0x，实际卖出 (300-件10,x销)
额为
(60+x)(300-10x元) ，买进商品需付
40(300-元10x)
因此，所得利润为 y=(60怎取+样x值)确(范3定0围0x？-的10x)-40(300-10x) 元