圆锥曲线的焦半径公式及其应用
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圆锥曲线的焦半径公式及其应用
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。
1.椭圆的焦半径公式
(1)若P(x
0,y
)为椭圆2
2
x
a
+2
2
y
b
=1(a>b>0)上任意一点，F
1
、F
2
分
别为椭圆的左、右焦点，则
1
PF=a+e x0,2PF=a-e x0.
(2) 若P(x
0,y
)为椭圆2
2
y
a
+2
2
x
b
=1(a>b>0)上任意一点，F
2
、F
1
分别为椭圆的上、下焦点，则
1
PF=a+e y0,2PF=a-e y0.
2.双曲线的焦半径公式
(1)若P(x
0,y
)为双曲线2
2
x
a
-2
2
y
b
=1(a>0，b>0)上任意一点，F
1
、
F
2
分别为双曲线的左、右焦点，则
①当点P在双曲线的左支上时，
1
PF=-e x0-a,2PF= -e x0+a.
②当点P在双曲线的右支上时，
1
PF=e x0+a,2PF= e x0-a.
(2)若P(x
0,y
)为双曲线2
2
y
a
-2
2
x
b
=1(a>0，b>0)上任意一点，F
2
、
F
1
分别为双曲线的上、下焦点，则
①当点P在双曲线的下支上时，
1
PF=-e y0-a,2PF= -ey0+a.
②当点P在双曲线的上支上时，
1
PF=ey0+a,2PF= ey0-a.
3.抛物线的焦半径公式
(1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2
p
(2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF = -x 0+2
p
(3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF = y 0+2
p
(4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF = -y 0+2
p
下面举例说明上述各公式的应用
例1．求椭圆2
16x +225
y =1上一点M(2.4,4)与焦点F 1、F 2的距离.
解：易知a=5,e=3
5且椭圆的焦点在轴上，∴1MF = a+ey 0=5+35
×4=
375,2MF = a-e y 0=5-35×4=13
5
。 例2.试在椭圆2
25
x +29y =1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它
到右焦点的距离的两倍．
解：由
1212
210
{
PF PF PF PF =+=，得1220
3103{
PF PF =
=
。
设P(x 0, y 0),则1PF =a+ex 0,即5+45
x 0=203，解之得x 0=2512
，所以P(
25
12
, 119
4
±
). 例3.在双曲线216x -2
9
y =1上求一点M ，使它到左、右两焦点的距
离 的比为3：2，并求M 点到两准线的距离。
解：设点M 的坐标为（x 0，y 0）, 左、右两焦点分别为F 1、F 2，
则由1MF ：2MF =3：2，知1MF >2MF ,所以点M 在双曲线216x -2
9
y =1
的右支上，∴1MF =ex 0+a,2MF = ex 0-a ，即(ex 0+a):( ex 0-a)=3:2，∴ 2(ex 0+a)=3(ex 0-a),把a=4, e=5
4
代入，得x 0=16, ∴y 0=315±,
即M （16，315±）。故双曲线的准线方程为x=±2a c =±165
,∴M 点到
两准线的距离分别为
965和645
。 例4． (1994年全国高考题) 设F 1、F 2是双曲线
2
4
x -y 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90︒，则⊿F 1PF 2的面积是 （ ）
A ．1
B ．
5
2
C ．2
D ．5 解：根据对称性，可设点P(x 0,y 0)在双曲线的右支上，则1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a.由∠F 1PF 2=90︒，得2
1PF +2
2PF =2
12F F ，即(e
x 0+a)2+(e x 0-a)2=4c 2,∴e 2x 02+a 2=2 c 2,即e 2x 02=2 c 2-a 2= a 2+2b 2,∴S=
121PF 2PF =12
( e 2x 02- a 2
)= b 2=1,故选(A). 练习： (2001年全国高考题)双曲线29x -2
16
y =1的左、右两个焦
点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为______.
提示：仿照例2可求出x P
2
=419
25
⨯，代入双曲线29x -216y =1，得