0-1型整数规划习题
用Lingo求解整数(0-1)规划模型
1、建立数学模型， 2、用lingo循环语句编写程序.
上机作业题 人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一
定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
班次
时间段
人数 班次
时间段
人数
1
6:00～9:00
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
解: 编写Lingo 程序如下:
min=(x+2)^2+(y-2)^2; @free(x); 求得结果: x=-2, y=2
二、Lingo 循环编程语句
(1) 集合的定义 包括如下参数: 1) 集合的名称.
12,8 3,0; enddata
!数据赋值;
max=@sum(bliang(i):a(i)*x(i)); !目标函数;
@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));
!约束条件;
例6：人员选拔问题
队员号码 身高 / m 位置 队员号码 身高 / m 位置
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题
min z 2 x1 5 x2 3 x3
4 x1 x2 x3 0
2
x1
4 x2
2 x3
2
x1
x2
x3
2
xi 0 且取整数, i 1, 2, 3
Lingo 程序:
min=2*x1+5*x2+3*x3; -4*x1-x2+x3>=0; -2*x1+4*x2-2*x3>=2; x1-x2+x3>=2; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
运筹学 0-1整数规划
两个值， 解：对于0－1 规划问题，由于每个变量只取 ，1两个值，一般会用穷举法来解， 对于 － 规划问题，由于每个变量只取0， 两个值 一般会用穷举法来解， 即将所有的0， 组合找出，使目标函数达到极值要求就可求得最优解。 即将所有的 ，1 组合找出，使目标函数达到极值要求就可求得最优解。但此法太繁 工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加入一定的条件， 琐，工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加入一定的条件，就能较快 的求得最优解。 的求得最优解。
每周工时(小时 月 每周工时 小时/月) 小时
B1 0.3 0.7 250
B2 0.2 0.1 100
B3 B31 0.3 0.5 150 B32 0.2 0.4 120
利润 （元/件） 件 25 40
– 解：设A1、A2产品的生产数量分别为 1、x2件，在不 产品的生产数量分别为x 考虑B 相互排斥的情况下， 考虑 31和B32相互排斥的情况下，问题的数学模型为
约束条件 x1 . x2. x3 ( 0. ( 0. ( 0. ( 0. ( 1. ( 1. ( 1. ( 1. 0. 0 ) 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1) 0) 1) 0) 1) 0) 1) Z值 0 5 －2 3 3 8 1 6 0 2 1 1 Z≥8 (1) 0 －1 (2) 0 1 (3) 0 0 0 1 (4) 过滤条件 Z≥0 Z≥5
m a x z = 2 5 x1 + 4 0 x 2
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+£ìï+£ïí+£ïï³î 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-³-ìï+£íï³î 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+£ìï-+++£íï³î4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++£ìï-+£ïí+-£ïï³î 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++£ìï+£íï³î6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 105349..528,0z x x x x s t x x x x =++£ìï+£íï³î7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）分） 12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+£ìï£ïí+£ïï³î二．对偶单纯性法二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++£ìï+³ïí£ïï³î 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++£ìï+³ïï-³íï³ïï³î4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 124123412341234min 262335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++£ìï-+-³íï³î5.运用对偶单纯形法解下列问题（共运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）分） 12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+³íï³î6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î三．0-1整数规划整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-³ìï+--+³ïí--+++³ï=î 2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+£ì++³ïí+³ïï=î 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++£ìï++++£ïí++++£ïï=î或 4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+£ìï-+-+£íï=î或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++³ì-+++³ïí+-+³ïï=î或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 123451234513451245max 325232473438..116333z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x =+--+++++£ìï+-+£ïí-+-³ï 1231231231223max 3252244..346z x x x x x x x x x s t x x x x =-++-£ìï++£ïï+£íï+£ïï=四.K-T 条件条件1.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共）条件求解以下问题（共 15 分）分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+£ìï+£íï³î2.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
0-1模型例题
0-1模型例题
以下是一个简单的0-1规划模型例题：
问题描述：某公司生产某种产品，需要经过三个阶段，每个阶段都需要投入一定数量的资源。
目标是在满足市场需求的前提下，最小化总成本。
每个阶段都有一定的生产能力限制，同时市场需求也有限制。
决策变量：
•x1：第一阶段资源投入量（0或1）
•x2：第二阶段资源投入量（0或1）
•x3：第三阶段资源投入量（0或1）
约束条件：
1.第一阶段生产能力限制：x1 <= 1
2.第二阶段生产能力限制：x2 <= 1
3.第三阶段生产能力限制：x3 <= 1
4.市场需求限制：x1 + x2 + x3 >= 1
5.总成本限制：3x1 + 2x2 + x3 <= 10
目标函数：最小化总成本，即 3x1 + 2x2 + x3
这是一个简单的0-1规划问题，可以使用整数规划方法求解。
通过求解该问题，可以得到最优的资源投入组合，从而最小化总成本，满足市场需求。
0-1整数规划模型1专题培训课件
指派问题的数学模型为：
n
n
min Z
c ij x ij
i1 j1
n
x ij 1
( i 1 .2 . .n )
j1
n
x ij 1
( j 1 .2 . .n )
i1
x
ij
取
0或
1(
i,
j
Байду номын сангаас
1 .2 .
.n )
克尼格定理 : 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元 素中分别减去(或加上)一个常数ui，从每一列 中分别减去(或加上)一个常数vj，得到一个新 的效率矩阵[bij]，则以[bij]为效率矩阵的分配 问题与以[aij]为效率矩阵的分配问题具有相同 的最优解。
xij＝0或1
可见指派问题是0-1 型整数规划的特例。不 难发现，指派问题也是 运输问题的特例，其产 地和销地数都为n，各 产地的产量和各销地的 销量都为1。
指派问题的求解，最简便易行的方法是匈牙利法。
匈牙利法基于下面的效率矩阵：
（cij）=
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n ……………….
第三步：用最少的直线覆盖所有0元素。 (1)给无◎的行打“√”； (2)给打√行中含有0元素的列打“√”； (3)给打√列中含有◎元素的行打“√”； (4)重复(2)、(3)，直到无新的“√”打出。 (5)给没有打√的行画横线，给打√的列画纵线。
第四步：变换系数矩阵，增加0元素。在未被画线 覆盖的其它元素中找出最小元素，各打“√”行减 去最小元素，各打“√”列加上最小元素，转第二 步。
第一步：变换系数矩阵，使每行每列都出现0元素。 (1) 系 数 矩 阵 的 各 行 分 别 减 去 各 行 中 的 最 小 元 素 ； (2)所得系数矩阵的各列再分别减去各列中的最小元 素。
用Lingo求解整数(0-1)规划模型.
Lingo 程序: max=2*x1+5*x2+3*x3+4*x4;
-4*x1+x2+x3+x4>=0; -2*x1+4*x2+2*x3+4*x4>=1; x1+x2-x3+x4>=1; @bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);
温州大学城市学院
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题 min z 2 x1 5 x2 3 x3
温州大学城市学院
注意:
Lingo 默认变量的取值从0到正无穷大,
变量定界函数可以改变默认状态.
@free(x): 取消对变量x的限制(即x可取任意实数值)
例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
2 2
温州大学城市学院 例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
,8
温州大学城市学院
温州大学城市学院
上机作业题
要求：
1、建立数学模型，
2、用lingo循环语句编写程序.
温州大学城市学院
上机作业题
人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一 定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
成绩 甲 乙 丙 丁 自由泳 / s 56 63 57 55 蛙泳 / s 74 69 77 76 蝶泳 / s 61 65 63 62 仰泳 / s 63 71 67 62
甲, 乙, 丙, 丁 四名队员各自游什么姿势 , 才最有可能取得好成绩?
温州大学城市学院
0-1型整数规划
最优结果为总支付报酬每周727.5元 值班方案为：
学生代号 1 2 3 4 5 6 一 6 4 8 5 3 2 6 2 二 三 6 6 5 2 6 四 五 7
3
例B 清远市下设八个区，下表给出救护车从一个区至另一 个区的车程时间（min）该市拟建救护中心，要求各区离救 护中心的车程时间必须在8min之内，是为该市提供决策建 议：至少建多少个救护中心，建于何处？
(x1,x2,x3) Z值 a
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1)
0 5 -2 3
√ √
b √ √
c √ √
d 过滤条件 √ Z≥0 Z≥5 √
(1,0,0)
(1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
3 8 1
6
√
√
√
√
Z≥8
按目标函数中各变量系数的大小重新排列各变量 最大化问题：由小到大 最小化问题：由大到小
max z 5 x3 3 x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 2 ① x3 x1 4 x 2 4 ② st x1 x 2 3 ③ x 4 x 6 ④ 2 3 xi 0或1, i 1， 3 2，
2．相互排斥的约束条件
如果有m个互相排斥的约束条件（<=型）：
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
i 1, 2,, m
为了保证这个约束条件只有一个起作用，我们引
入m个0－1变量 yi i 1,2,..., m 和一个充分大的 常数M，而下面这一组m+1个约束条件 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi yi M i 1, 2,, m
整数线性规划及0-1规划
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
57.5, 方案是否调整？ 敏感性分析？ IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINDO 输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。 c43, c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
约束 条件
4
Min
Z
c
j 1 i 1
4
5
ij
x ij
每人最多入选泳姿之一
每种泳姿有且只有1人
x ij 1, i 1, 5
5
x ij 1, j 1, 4
j 1
i 1
模型求解
输入LINDO求解
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件
先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
x 3 x1 , x 3 x 2
2 x 3 x1 x 2 0
x4 x7
应用统计 微积分；线性代数
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 方法3：化为非线性规划
x1=0 或 80
x2=0 或 80 x3=0 或 80
x 1 ( x 1 80 ) 0
x 2 ( x 2 80 ) 0
x 3 ( x 3 80 ) 0
非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP） NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时，才能得到正确的结果。
奥鹏[北京交通大学]《管理运筹学》在线作业二-0001满分参考1
![奥鹏[北京交通大学]《管理运筹学》在线作业二-0001满分参考1](https://img.taocdn.com/s3/m/009ba76c1fd9ad51f01dc281e53a580216fc50e6.png)
北交《管理运筹学》在线作业二-0001
若原问题是一标准型，则对偶问题的最优解值就等于原问题最优表中松弛变量的
（）
A:值
B:个数
C:机会费用
D:检验数
参考选项：C
在灵敏度分析中，某个非基变量的目标系数的改变，将引起某变量的检验数的变化，这个变量是（）
A:基变量
B:非基变量
C:决策变量
D:该非基变量自身
参考选项：D
求解0—1整数规划的方法是（）
A:割平面法
B:分枝定界法
C:隐枚举法
D:匈牙利法
参考选项：C
一般讲，对于某一问题的线性规划与该问题的整数规划可行域的关系存在（）A:前者大于后者
B:后者大于前者
C:二者相等
D:二者无关
参考选项：A
关于图论中的图，以下叙述不正确的是（）
A:图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。
B:图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。
C:图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。
D:图论中的图，可以改变点与点的相互位置。
只要不改变点与点的连接关系。
参考选项：C
对偶求目标函数最小值的线形规划问题，有m个变量n个约束条件，它的约束条件都是______不等式
A:小于
B:大于
C:小于等于
D:大于等于
参考选项：D
1。
运筹学01整数规划
第四节 0-1整数规划
• 问题的提出：
0-1整数规划是线性规划及整数规划的一种特殊形式。 模型结构和形式是线性规划，只是决策变量取0或1。 例1：投资场所的选定——相互排斥的计划 某公司拟在城市的东、西、南三区建立分公司，拟议中有七 个位置Ai（i=1, 2,…,7), 规定在东区A1,A2,A3个点中至多选二个; 在 西区A4,A5两点中至少选一个; 在南区A6,A7中至少选一个, 如选用Ai 点,设备投资估计为bi元, 每年可获利润估计为ci元, 但投资总额不能 超过B元, 问应选择哪几个点可年利润最大?
解：求解过程见下表
(x1,x2,x3) （0,0,0）
(0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值 0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件
过滤条件 Z0 Z5
Z8
所以，最优解为（x1，x2，x3)T=(1,0,1)T, 最优值为8.
令
xi
1
0
当Ai点被选用 当Ai点未被选用
i=1, …,7
7
max Z c i x i
i1
7
bixi
B
i1
x1 x 2 x 3 2
s .t
x
4
x5
1
x
0 or 1
例2: 相互排斥的约束条件
0-1整数规划
0-1整数规划整数规划是线性规划的一个特殊情况，其决策变量是整数。
在0-1整数规划中，决策变量只能取0或1的整数值。
0-1整数规划是一类NP-hard问题，通常以优化问题的形式出现。
0-1整数规划在实际生活中有广泛的应用。
它可以用于资源分配、生产计划、物流运输等方面。
下面将通过一个具体的例子来说明0-1整数规划的应用：假设某公司生产两种产品A和B，分别需要使用两种原材料X和Y。
每个单位的产品A需要消耗1个单位的原材料X和3个单位的原材料Y；每个单位的产品B需要消耗2个单位的原材料X和2个单位的原材料Y。
该公司每天可以获得100个单位的原材料X和150个单位的原材料Y。
假设产品A的利润为5元，产品B的利润为8元。
问如何安排生产，使得利润最大化。
首先，我们定义决策变量：设产品A的生产数量为x，产品B 的生产数量为y，决策变量为整数。
则可以列出目标函数和约束条件。
目标函数：maximize 5x + 8y约束条件：1x + 2y ≤ 100 （原材料X的限制）3x + 2y ≤ 150 （原材料Y的限制）x，y为0或1的整数根据上述目标函数和约束条件，可以构建0-1整数规划模型。
然后，可以使用相应的算法求解该模型，确定最优的生产方案，使得利润最大化。
对于这个例子来说，通过计算可以得到最优解为x=25，y=37，即生产25个单位的产品A和37个单位的产品B时，利润最大，为325元。
总结起来，0-1整数规划是一种重要的优化工具，可以应用于各种实际问题中。
通过明确决策变量的整数限制，可以获得最优解，实现最大化或最小化的目标。
在实际应用中，需要结合具体问题的特点和约束条件，构建相应的数学模型，并运用适当的算法求解。
这样可以有效地解决实际问题，提高效率和经济效益。
0-1规划
6
3
6
5
然后划去所在的列的其他0元素， 记作Ø。
5 2 0 3 10 8 2 0 5 0 0 0 7 0 2 0 2 4
9
Ø
6
3
6
5
从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
5 2
3 10 8
2 0 5 0
0 0 7 0
2 0 2 4
9
Ø
6
3
6
5
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
任务 人员 甲 乙
E 2 10
J 15 4
G 13 14
R 4 15
丙
丁
9
7
14
8
16
11
13
9
匈牙利算法的步骤：
第一步：使分配问题的系数矩阵经 变换，在各行各列中都出现0元素： 从系数矩阵的每行元素减去该行的 最小元素。 再从所得系数矩阵的每列元素减去 该列的最小元素。 若某行已经有0元素，就不必再减了。
称为过滤性条件。初看起来，增 加约束条件需增加计算量，实际 减少了计算量。
最优解（1，0，1） Z=8
循环 1 2
(X1,X2,X3)
s.t. 0 0 5
s.t. s.t. s.t. s.t. 1 2 3 4 -1 1 1 0 2 1 5 1 2 6 1 1 0 1 0 1
满 足 no yes
Z 值 5
注意：
改进过滤性条件，在计算 过程中随时调整右边常数。
价值系数按递增排列。
以上两种方法可减少计算量。
循 环 1 2
(X2,X1,X3) s.t. s.t. s.t s.t s.t 满
(0,0,0) (0,0,1)
0-1选址法例题
0-1选址法例题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：0-1选址法是一种运用动态规划思想解决最优选址问题的方法。
它的基本思想是根据不同位置的成本和收益来选择最优的位置，从而使得整体收益最大化。
在实际应用中，0-1选址法被广泛应用于各种领域，如城市规划、生产布局等。
为了更好地理解0-1选址法的应用，下面我们来看一个例题。
假设有一个城市需要建设若干个服务站，且每个服务站的成本和收益都不相同。
现在要求选择其中的几个位置建设服务站，以达到整体收益最大化的目标。
给定的问题是：总共有n个潜在的服务站位置，每个位置的成本和收益分别为Ci和Pi。
现在需要选择k个位置建设服务站，求这k个位置的成本加上收益的总和的最大值。
为了解决这个问题，我们可以使用动态规划的思想进行求解。
具体的步骤如下：1. 定义状态：我们可以用dp[i][j]来表示在前i个位置选择j个位置建设服务站时，总成本加收益的最大值。
0<=i<=n，0<=j<=k。
2. 状态转移方程：对于dp[i][j]，我们可以分为两种情况来考虑：选择第i个位置建设服务站和不选择第i个位置建设服务站。
具体的转移方程如下：dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]+Pi-Ci}Pi-Ci表示在第i个位置建设服务站的收益减去成本。
3. 边界条件：当i=0或j=0时，dp[i][j]都为0，即没有位置可选或建设的服务站数量为0时，总成本加收益为0。
通过以上步骤，我们可以得到在给定的n个位置中选择k个位置建设服务站时，总成本加收益的最大值。
这个问题可以通过动态规划的方式高效求解，对于大规模的问题也可以有效处理。
0-1选址法是一种非常实用的方法，能够帮助我们在实际应用中做出最优的选择。
通过以上例题的介绍，希望读者能更好地理解和掌握这种方法，进而在实际问题中灵活运用。
【2000字】第二篇示例：0-1选址法是一种常用的数学方法，用来解决一些优化问题，特别是在选址问题上。
0-1规划的应用案例
0-1规划的应用
一、投资场所的选择 例1、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建 立销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j＝1，2，3，…， 10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密 集度，规定： 在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两 个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。 Aj 各点的设备投资及每 A A A A A A A A A A 年可获利润由于地点不 投 资 额 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180 同都是不一样的，预测 利 润 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61 情况见右表所示 (单位： 万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪几个销售 点，可使年利润为最大?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0-1规划的应用(4)
四、分布系统设计 例6．某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱，为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中再 选择几个地方建厂。已知在 A2 ， A3，A4，A5地建厂的固 定成本分别为175千元、300千元、375千元、500千元，另 外， A1产量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量，那时销地 的销量以及产地到销地的单位运价(每千箱运费)如下表所示。 a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和 总的运输费用之和最小? b) 如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂?
整数规划
概念
整数规划
（整数线性规划）
分枝定界解法
0-1型整数规划 指派问题 应用
第一节 概念
整数规划是一类要求变量取 整数值的数学规划，可分成线性 和非线性两类。
根据变量的取值性质，又可 以分为纯整数规划，混合整数规 划，0-1整数规划等。
整数规划是数学规划中一 个较弱的分支，目前只能解中 等规模的线性整数规划问题， 而非线性整数规划问题，还没 有好的办法。
第三节
0-1型整数规划
0-1变量的引入 1 采取方案j Xj＝
0
不采取方案j
例1：相互排斥的决策参量
某公司要建立门市部，有七个备选地点： 东区：A1A2A3中至多选两个； 西区：A4A5中至少选一个 南区：A6A7中至少选一个 若选用Aj，投资费为bj，年获利为cj，投资总额不超 过B。如何定夺方案？
车运 5 4
船运 7 3 45
利润 20 10
乙
托运限制 24
0
y＝
采用车运
采用船运
1
5X1+4X2≤24+yM (1’) 7X1+3X2 ≤ 45+(1-y)M (2’) y＝0或1
当y＝0采用车运，(1’)＝ (1)；(2’)显然成立，是多余条件。 当y＝1采用船运，(2’)＝ (2)；(1’)显然成立，是多余条件。
例2 背包问题( Knapsack
Problem)
一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要 在背包内装一些最有用的东西,但有个限 制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品 只能整个携带,这样旅行者给每件物品规 定了一个“价值”以表示其有用的程度, 如果共有n件物品,第j件物品aj公斤,其价 值为cj.问题变成:在携带的物品总重量不 超过b公斤条件下,携带哪些物品,可使总 价值最大?
0-1整数规划解法
人员
A
B
C
D
E
甲
7
5
9
8
11
乙
9
12
7
11
9
丙
8
5
4
6
8
丁
7
3
6
9
6
戊
4
6
7
5
11
指派问题与匈牙利法
解：1）变换系数矩阵，增加0元素。
7 5 9 8 11 5
9
12
7
11
9
7
8 5 4 6 9 4
7 3 6 9 6 3
4 6 7 5 11 4
11 6
3
8 14 17
6
4
5
3 2 1
5 9 10 0 0
11 6 3 0 0
8 14 17 0 0
6
4
5 0 0
3 2 1 0 0
当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如
15 20 10 9
6
5
4
7
10 13 16 17
15 20 10 9
6
5
4
7
10 13 16 17
0
0
0
0
指派问题与匈牙利法
3. 一个人可做几件事的指派问题
若某人可做几件事，则将该人化作相同的几个“人”来接受指派，且费用系数 取值相同。
例如：丙可以同时任职A和C工作，求最优指派方案。
6 7 11 2 2
0—1 型整数规划
例5 求解maxZ=3x1-2x2+5x3 解：调整x1,x2的顺序，使目标函数 x1+2x2-x3≤2 中变量的系数呈递增（不减）的顺 x1+4x2+x3≤4 序,则问题变为： maxZ=-2x2+3x1+5x3 x1+ x2 ≤3 2x2+x1-x3≤2 ① 4x2+x3≤6 4x2+x1+x3≤4 ② x1,x2,x3=0或1 x2+x1 ≤3 ③ 解 约束条件 目 4x2 +x3≤6 ④ 标 ① ② ③ ④ （x2，x1，x3） 值 x1,x2,x3=0或1 0 √ √ √ √ （0 0 0） 按二进制数码从小到大的顺序排列 5 √ √ √ √ （0 0 1） 并检查各个解，先计算解的目标值， 若目标值小于目前可行解最好的目 （0 1 0） - - - 标值，则不必检查是否满足约束条 8 √ √ √ √ （0 1 1） （1 0 0） - - - - 件，当所有解被检查完毕，就可判 （1 0 1） - - - - 断出最优解。计算结果可列表表示， 见左表。 （1 1 0） - - - 最终得到最优解：x1=1，x2=0， （1 1 1） - - - 6 x3=1，最优值：Z=8
x =
1 ,是 0 ,否
4.1 引入 引入0—1 变量的实例 1.确定投资方案——相互排斥的计划 例4 某市工商银行拟抽调a万元资金对小五金、小百货和洗 涤剂三个行业给予低息贷款。由于资金有限，只能在四个小五金 企业A1、A2、A3、A4 中至多选两个；在五个小百货企业A5、A6、 A7、A8 中至多选三个；在四个洗涤剂企业A9、A10、A11、A12 中 至多选两个给予低息贷款。已知企业Ai得到贷款ai万元后，可获 利bi万元。问工商银行应如何发放贷款，可使总利润最大？ 解：因为本问题只要求解决是否给企业贷款，因此可用0—1 变量描述所求方案。设 1, 给A 贷款 i xi = ,i =1,2,L,12 不给A 贷款 0, i 于是，根据题意，本问题可描述为： 12 maxZ= ∑bi xi
整数线性规划及0-1规划
x1(x1 80) 0 x2 (x2 80) 0
x1, x2 , x3为非负整数
IP 结果输出
280x1+250x2+400x3< 60000 end
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
632.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1
64.000000
-
2.000000
X2
168.000000
-
“gignin3 3”表示“前3个变 量为整数”，等价于： gin x1 gin x2 gin x3
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记
Max z 2x1 3x2 4x3
IPIP可) 用LINDO直接求解
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3<600
模型建立
令xj表示对第j个发展项目的投资数量
n
Max z cj x j j 1 n
s. t. a j xj b j 1
xj 0或1(j=1,2, ,n)
整数 线性 规划 0－ 1模 型 (IP)
整数线性规划及0－1规划
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
x1,x2,, x3=0 或 80 方法1：分解为8个LP子模型
其中3个子模型应去掉，然后 逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解：
0-1型整数规划
货物
体 积 每箱（米3） 重 量 每箱（百公斤）
利 润 每箱（百元）
甲
乙
托运限制
5 2
4 5
24 13
20 10
第五章：0 -1整数规划
互相排斥的约束条件： 5x1 4 x2 24 用车运的体积约束 用船运的体积约束 7 x1 3x2 45
0 用车运 y 1 用船运
至 从
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7
8
9 10
11 12 7
13 13 7 8
14 11 8 7 8
8 17 12 10 14 10
15 14 10 9 16 7 12
解：先根据表整理出若救护中心建于该区时，救护车程 8min内所能覆盖的区，见于下表
救护中心设于该区 救护车程8min内所能覆盖的区
不起作用
用船运时y 1 5 x1 4 x 2
7 x1 3x 2 45
不起作用
例：某公司有5个项目列入投资计划，各项目的投 资额和期望的投资收益见下表：
项目 投资额 投资收益
1
2 3 4 5
210
300 150 130 260
160
210 60 80 180
该公司只有600万元可用于投资，由于技术上的原因， 投资受到以下约束： 1.在项目1、2和3中必须只有一项被选中； 2.在项目3和4中只能选中一项； 3.项目5选中的前提是项目1必须被选中。 如何在上述条件下选择一个最好的投资方案，是投资收益 最大？
4 3 6 200 12
300 200
解：设xj是第j种产品的产量，j=1，2，3；再设 1, 若生产第j种产品（即xj>0） j=1，2，3 y 0, 若不生产第j种产品（即xj=0） 则问题的模型为