导数的计算(求导法则)
导数计算公式
导数计算公式导数是微积分中最基本的概念之一，用于描述函数在其中一点的变化率。
在数学中，导数的计算是通过极限的概念进行的。
导数的计算公式可以根据函数的不同类型进行分类。
首先，我们来看一下基本函数的导数计算公式。
1.需知导数计算的公式：(1)常数函数的导数：如果f(x)=c，其中c是常数，则f'(x)=0。
(2)幂函数的导数：若f(x) = x^n(n为常数)，则f'(x) = nx^(n-1)。
(3)指数函数的导数：若f(x) = a^x(a>0且a≠1)，则f'(x) = ln(a) * a^x。
(4)对数函数的导数：若f(x) = logₐ(x)(a>0且a≠1)，则f'(x) = 1 / (ln(a) * x)。
(5)三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)。
(6)反三角函数的导数：sin^(-1)'(x) = 1 / √(1 - x^2)cos^(-1)'(x) = -1 / √(1 - x^2)tan^(-1)'(x) = 1 / (1 + x^2)。
2.导数的四则运算法则：导数具有以下四则运算法则，对于函数f(x)和g(x)，它们的导数可以通过以下公式计算：(1)(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)(2) (cf)'(x) = cf'(x)(3)(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)(4)(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)。
3.链式法则：链式法则是导数计算中的一个重要法则，它用于计算复合函数的导数。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = dy/du * du/dx。
3.2.2 导数的运算法则
导数的求导法则
例题
1、求下列函数的导数 3 y x sin x 1）y=x -2x+3 2） 2 x 3）y (2 x 5x 1) e
x 4）y x 4
（1） y
log2 x （2） y 2e 3 2 y 2x 3x 4 （3） y 3cos x 4sin x ln x （ 4） y （ 6 ） y x ln x （ 5） x
x
2 y = x （7） +tanx
练习 1、求下列函数的导数
例题
2、（2013年高考大纲卷（文））已知曲线
4 2
y x ax 1在点 -1，a 2 处切线的
斜率为8，a=
3、（2013年高考北京卷（文））已知函数 2 f ( x) x x sin x cos x . (Ⅰ)若曲线 y f ( x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y b 相切,求 与 的值.
b
a
练习
1、（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数 ,曲线 处切线方程为 在点 .
(Ⅰ)求
a 与b 的值.
练习
2、（2013年高考福建卷（文））已知函数 ( , 为自然 对数的底数). 处 在点 (1)若曲线 的切线平行于 轴,求 的值;
例题
1.已知 f (x) =（x2+1）2+（x+1）2+1，则 f ′ (x) 等于( ) (A) 2（x2+1）+2（x+1） (B)（2x+1）2+22 (C) 2（2x+1）+2×2 (D) 4x3+6x+2 2.设 f (x) = (2x－1)(3－x)，则 f ′(0) =________.
导数的求导
导数的求导一、导数的定义导数是微积分中的一个重要概念，是函数在某一点处的变化率，也可以说是函数在该点处的切线斜率。
导数的定义是：对于函数f(x)，如果该函数在x=a处可导，则函数f(x)在x=a处的导数为：f''(a)=lim(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)其中，lim表示极限，x→a表示当自变量x无限接近a时，式子中括号内的差值也趋向于0。
这个式子可以理解为求出函数曲线上某一点处切线斜率的公式。
二、求导法则求导法则是用来计算各种复杂函数的导数的方法。
以下列举了常见的求导法则：1. 常数规则：如果y=c，则y''=0。
2. 幂次规则：如果y=x^n，则y''=nx^(n-1)。
3. 和差规则：如果y=u+v，则y''=u''+v''；如果y=u-v，则y''=u''-v''。
4. 积法则：如果y=uv，则y''=u''v+uv''。
5. 商法则：如果y=u/v，则y''=(u''v-uv'')/v^2。
6. 复合函数求导法则（链式法则）：如果有复合函数g(f(x))，其中g 和f都可导，则g(f(x))'' = g''(f(x))f''(x)。
7. 反函数求导法则：如果y=f(x)的反函数为x=f^-1(y)，则dx/dy=1/(dy/dx)。
三、常见函数的导数1. 常数函数：f(x)=c，则f''(x)=0。
2. 幂函数：f(x)=x^n，则f''(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数：f(x)=a^x（a>0，且a≠1），则f''(x)=a^xlna。
导数的四则运算法则
这个法则可以推广到任意有限个函数， 即
( f 1 f 2 f n ) ' f 1 ' f 2 ' f n '
例 1.(1)求函 f(x) 数 x2sixn 的导 .
解： f(x)(x2sinx)
(x2)(sixn)2xcoxs
(2)求函 g(x)数 x33x26x2的导 . 2
4 x (3 x 2 ) (2 x 2 3 )3 1x828x9
法二： y(6x34x29x6)
1x828x9
3. y x2 的导数 sinx
解y： ' (x2)'sisxn i2n xx2(sx i)n '
2xsinxx2coxs sin2 x
例5:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切 线的方程.（备选）
yax(a0,a1),yloagx(a0,a1), ysinx,ycoxs,ytanx,ycoxt.
3.导数应用的注意事项：
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数 的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在 求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构 特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导 数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的 要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形 式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时 速度等问题.
解： f (x) (x3 3x 8) 3x2 3， k f (2) 3 22 3 15， 又 切 线 过 点(2,6)， 切线方程为: y 6 15(x 2)， 即：15x y 24 0．
1.导数的四则运算法则是什么? 2.几个常用的函数的导数是什么?
yc(c是常),y数 x(为实),数
高中求导公式运算法则
高中求导公式运算法则
在高中求导过程中，常用的公式和运算法则包括：
1. 基本导数公式：
-常数导数：常数的导数为零。
-幂函数导数：对于函数y = x^n，其中n是实数常数，其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
-指数函数导数：对于函数y = e^x，其导数为dy/dx = e^x。
-对数函数导数：对于函数y = ln(x)，其中x > 0，其导数为dy/dx = 1/x。
2. 基本运算法则：
-和差法则：对于函数y = u(x) ± v(x)，其导数为dy/dx = u'(x) ± v'(x)，其中u'(x)和v'(x)分别表示u(x)和v(x)的导数。
-常数倍法则：对于函数y = ku(x)，其中k为常数，其导数为dy/dx = k * u'(x)。
-乘积法则：对于函数y = u(x) * v(x)，其导数为dy/dx = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)。
-商法则：对于函数y = u(x) / v(x)，其导数为dy/dx = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v(x)^2，其中v(x) ≠ 0。
3. 链式法则：对于复合函数y = f(g(x))，其导数为dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
这些是高中求导过程中常用的公式和运算法则。
当然，导数的计算还涉及到其他公式和技巧，具体问题具体分析。
对于更高级的求导
技巧和运算法则，可能需要在大学或高等数学课程中学习。
函数求导公式大全法则
函数求导公式大全法则
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算口诀
常为零，幂降次
对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）
指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）
正变余，余变正
切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）
割乘切，反分式
三角函数求导公式
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=sec²x=1+tan²x
(cotx)'=-csc²x
(secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx.
(tanx)'=(sinx/cosx)'=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=sec ²x。
导数的运算法则及复合函数的导数公式
x y yu u， x
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（
A. y′=2xcosx-x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx
）
B. y′=2xcosx+x2sinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数 2 1 x 3. 求y= sin x 的导数
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
思考？
如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 函数y=ln(3x+2)的导数呢？
拆分下列复合函数
1. 2. 3. 4.
y= sin(-3x+5) y=sin2x 2x y=cos x y=cos
3
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
1.2.2
导数的运算法则及复合函 数的导数公式
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
基本初等函数的导数公式：
原函数 y＝C y＝xn 导函数
y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) x y′＝ex y＝e 1 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝ln x
导数的求导
导数的求导概述导数是微积分的重要概念之一，它描述了函数在某一点的变化率或斜率。
求导是求函数的导数的过程，它在解决实际问题中具有广泛的应用，例如物理学、经济学和工程学等领域。
在本文中，我们将对导数的求导进行详细的介绍和讨论。
一阶导数对于一个给定的函数f(x)，其一阶导数表示函数在某一点x处的斜率，通常用f′(x)或df(x)dx表示。
导数的求导规则可根据函数的性质和运算法则进行计算，以下是一些常见的求导规则：1.常数规则：对于常数c，其导数为零，即ddx(c)=0；2.变量规则：对于一个自变量x，其导数为1，即ddx(x)=1；3.基本函数规则：对于一些基本的函数，如幂函数、指数函数和对数函数等，其导数也有相应的计算方法。
幂函数的导数幂函数f(x)=x n的导数可以通过幂函数的求导公式来计算。
根据幂函数的求导公式，幂函数的导数为n乘以x的n−1次方。
换句话说，对于幂函数f(x)=x n，其导数为f′(x)=nx n−1。
指数函数的导数指数函数g(x)=a x的导数可以通过指数函数的求导公式来计算。
根据指数函数的求导公式，指数函数的导数为常数a的x次方乘以自然对数的底数e。
换句话说，对于指数函数g(x)=a x，其导数为g′(x)=a x⋅ln(a)。
对数函数的导数对数函数ℎ(x)=log a(x)的导数可以通过对数函数的求导公式来计算。
根据对数函数的求导公式，对数函数的导数为x的倒数乘以底数a的自然对数的导数。
换句话说，对于对数函数ℎ(x)=log a(x)，其导数为ℎ′(x)=1x⋅ln(a)。
高阶导数除了一阶导数外，函数还可以计算二阶、三阶或更高阶的导数，称为高阶导数。
高阶导数描述了函数变化的更多信息，可以通过对一阶导数反复求导来得到。
例如，函数f(x)的二阶导数表示一阶导数的导数，通常用f″(x)或d 2f(x)dx2表示。
高阶导数的计算可以利用求导规则进行递推，直到达到所需的阶数。
例如，计算函数f(x)的二阶导数可以先计算一阶导数f′(x)，然后再对一阶导数求导，即可得到f″(x)。
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a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例10 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
h0
h
lim u( x h)v( x) u( x)v( x h)
h0
v( x h)v( x)h
lim [u( x h) u( x)]v( x) u( x)[v( x h) v( x)]
h0
v( x h)v( x)h
u( x h) u( x) v( x) u( x) v( x h) v( x)
解 dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
例9 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
a (a 0)
解
y ( x
a2
x2
)
a2 (
arcsin
x )
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
例7 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dy du 1 cos x cos x cot x
dx du dx u
sin x
例8 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
((aarcsin x)
1 (sin y)
1 cos
y
1 1 sin2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(
arccot
x)
1
i 1
f1( x) f2 ( x) fn( x)
n
n
fi( x) fk ( x);
i 1
k 1
ki
例1 求 y x3 2x2 sin x 的导数 .
解 y 3x 2 4x cos x.
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 .
解 y 2sin x cos x ln x
2008／11／10
§3.2 导数的计算(求导法则)
一、求导的四则运算
定理 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
sin x
x(cos
x)
cos2 x sin2 x cos2 x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
例4 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x
(cos cos 2
x) x
sin x cos2 x
由y f ( x)的单调性可知 y
,
y
y 0 (x 0),
f ( x)连续,
又知 ( y) 0
f ( x) lim y lim 1 1
x0 x y0 x ( y)
即 f ( x) 1 .
y
( y)
例5 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点
x0可导, 且其导数为
dy dx
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
证
由y
f (u)在点u0可导 ,
lim y u0 u
f (u0 )
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
证(1)、(2)略.
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0),
v( x)
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
u( x h) u( x)
lim v( x h) v( x)
故 y u
f (u0 )
( lim 0) u0
则 y f (u0 )u u
lim x 0
y x
lim [
x0
f
(
u0
)
u x
u] x
f
(u0
)
lim
x 0
u x
lim
x 0
lim
x 0
u x
f (u0 )( x0 ).
推广 设 y f (u), u (v), v ( x),
lim
h
h
h0
v( x h)v( x)
u(
x)v( x) u( [v( x)]2
x)v(
x)
f ( x)在x处可导.
推论
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
(3)
n
[
fi ( x)] f1 ( x) f2 ( x) fn ( x)
1 x2
.
例6 求函数 y log a x 的导数.
解 x a y在I y (,)内单调、可导 ,
且 (a y ) a y ln a 0, 在I x (0,)内有,
(loga
x)
1 (a y
)
a
y
1 ln
a
1. x ln a
三、复合函数的求导法则
定理 如果函数u ( x)在点 x0可导 , 而y f (u)
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin
x)
cos x cos2
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
二、反函数的导数
定理
如果函数
x
(
y)在某区间
I
内单调、可导
y
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内也可导
x
,
且有
f
(
x)
1 ( y)
.
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )