线性代数计算方法

xn bn / ann
xi (bi
k i 1
xn1 (bn1 an1n xn ) / an1n1
aik xk ) / aii , i n, n 1, ,1

n
第3章
线性代数计算方法
《 计 算 方 法 》
a11 a12 0 a22 0 0 0 0
(0) (0) a11 a12 (1) 0 a 22 (1) 0 a n2 (0) x ... a1(0) b 1 n 1 (1) x ... a2(1) n 2 b2 ... ... ... (1) (1) ... ann xn bn
105 x1 x2 0.6 99999 x2 59999
x1=105(0.6-0.6000)=0
而方程组的解应为
x1=0.4000 x2=0.6000
第3章
线性代数计算方法
显然用上述方法求出的解 x1 与方程组的实际解相差 很大。若改变两个方程的顺序,即 x1+x2=1 10-5 x1+x2=0.6
第2 行 - l21 第1行，得到：
(1) (0) (0) a2 a l a j 2j 21 1 j (1) (0) (0) b b b 2 2 21 1
j 2,3, , n
第3章
线性代数计算方法
-1
-1
《 计 算 方 法 》
第3章
线性代数计算方法
第2行：
(1) (0) (0) a2 a l a j 2j 21 1 j (1) (0) (0) b b l b 2 2 21 1
( k 1) bi( k ) bi( k 1) lik bk
（2）回代过程：
(0) (0) (0) a11 x1 b1(0) a12 ... a1 第3章 线性代数计算方法 n (1) (1) (1) x a ... a 22 2n 2 b2 . . . . ... . . . . . ( n 1) ( n 1) ann xn bn
的基本思想是在逐次消元时总是选绝对值最大的元素
《 计 算 方 法 》
(称之为主元)做除数，按顺序消去法的步骤消元。 这里主要介绍求解线性方程组最常用的列主元素 消去法和全主元素消去法。
第3章
线性代数计算方法
列主元消去法
所谓列主元素消去法就是在每一步消元过程中取 系数子矩阵的第一列元素中绝对值最大者作主元。对 线性方程组进行n-1次消元后，可得到上三角形方程组
第3章
线性代数计算方法
高斯消去法
思 首先将方程组Ax=b 化为上三角方程组， 路 此过程称为消去过程，再求解上三角方程
《 计 算 方 法 》
组，此过程称为回代过程.
第3章
线性代数计算方法
例：
x1 4 x2 7 x3 1 2 x1 5 x2 8 x3 1 3 x 6 x 11x 1 2 3 1
(0) an 2
(0) (0) x a1 b 1 n 1 (0) (0) x a2 b2 n 2 ... ... (0) (0) x ann n bn
, xn1
(0) a21 第2行：计算比例因子 l21 (0) a11
B
且aii≠0,i=1,2,…,n
第3章
线性代数计算方法
《 计 算 方 法 》
a11 a21 an 11 a n1
0 a22 an 12 an 2
... ... ...
0 0
... an 1n 1 ... an 1n 1
0 x1 0 x 2 ... 0 xn 1 x ann n
a 1n x n b 1 a 2n x n b 2 a nn x n b n
矩阵表示记为 AX b 这里 A [a ij ]nn , X (x , 1
, xn )
T
, b (b , 1
, bn )
T
第3章
线性代数计算方法
解线性方程组的两类方法: 直接法:
《 计 算 方 法 》
②-①×2 ③-①×3
《 计 算 方 法 》
x1 4 x2 7 x2 1 3 x2 6 x2 1 6 x2 10 x3 2
③- ②×2
x1 4 x2 7 x3 1 3 x2 6 x3 1 2 x3 0
... ... ...
a1n 1 a2 n 1
... an 1n 1 ... 0
a1n a2 n an 1n ann
x1 x2 ... xn 1 x n
A
X
b1 b 2 ... bn 1 b n
1 1 T x ( , , 0) 3 3
消去法的数值计算过程：
(0) a11 (0) a21 (0) an1 (0) a12 (0) a22
第3章
线性代数计算方法
... ... ... ...
《 计（1）消去过程： 消去 x , x , 1 2 算 方 (0) 法 第一步：消 x1 ，设 a11 0 》
第3章
线性代数计算方法
第3章 线性代数计算方法
§1 高斯消去法
《 计 算 方 法 》
§2 高斯―约当消去法
§3 解实三对角线性方程组的追赶法
§4 §5 §6 §7 §8 矩阵的三角分解 行列式和逆矩阵的计算 迭代法 迭代法的收敛性 矩阵的特征值与特征向量的计算
第3章
线性代数计算方法
在自然科学和工程技术中很多问题的解决 常常归结为解线性代数方程组。
( n 1) ( n 1) xn bn / ann
b xi
( i 1) i

a
j i 1 ( i 1) ii
( i 1) a ij x j
n
(i n 1, ...,1)
第3章
线性代数计算方法
二、 选主元消去法

( k 1) 在高斯消去法消去过程中可能出现akk 0 的情 况，这时高斯消去法将无法进行；
第 n 行：消去 x1
第3章
线性代数计算方法
第k步：消去 xk
( k 1) 设 akk
且计算
《Βιβλιοθήκη Baidu计 算 方 法 》
( k 1) aik 0，计算因子 lik ( k 1) akk
(k ) ( k 1) ( k 1) aij aij lik akj (k ) ( k 1) ( k 1) b b l b i ik k i (i, j k 1, ..., n)
a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
a11 a21 A an 11 a n1 a12 a22 ... ... ... an 12 ... an 1n 1 an 2 ... an 1n 1 a1n 1 a2 n 1 a1n a2 n an 1n ann
10 5 x1 x2 0.6 x1 x2 1
《 计 算 方 法 》
①
②
②-①×10 5
105 x1 x2 0.6 99999 x2 59999
x2=0.5999959999
第3章
线性代数计算方法
化简可得
x2=0.6000
《 计 算 方 法 》
回代求得
《 计 算 方 法 》
( n 1) ( n 1) xn bn / ann
(i 1) (i 1) aii xi aii 1 xi 1
( i 1) ain xn
(i 1) ain xn bi(i1)
( i 1) bi(i 1) aii 1 xi 1 xi ( i 1) aii
b1 b 2 ... bn 1 b n
x1 b1 / a11
xi (bi aik xk ) / aii , k 1,3, , i 1, i 2
k 1 i 1
第3章
线性代数计算方法
《 计 算 方 法 》
《 计 算 方 法 》
例如:
电学中的网络问题， 船体数学放样中建立三次样条函数问题， 用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题等
第3章
线性代数计算方法
n 阶线性方程组：
《 计 算 方 法 》
a 11 x1 a 12 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a n1 x1 a n 2 x 2
经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法 (不计舍入误差!)
迭代法：
从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列 去逼近精确解的方法(一般有限步内得不到精确 解)
第3章
线性代数计算方法
§1 高斯消去法
一、高斯消去法
《 计 算 方 法 》
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a22 x2 a2 n xn b2 an 1n 1 xn 1 an 1n xn bn 1 ann xn bn
j 2,3, , n
第 i 行： 计算因子
《 计 算 方 法 》
ai(0) 1 li1 (0) a11
第 i 行 - li1 第1行，得到：
(1) (0) aij aij li1a1(0) j (1) (0) (0) b b l b i i1 1 i
i, j 2,3, , n
《 计 算 方 法 》
① ②
②-①×10-5得
(1.000-1.000×10-5)x2=0.6-1.000×10-5
0.99999x2=0.59999 x2=0.5999959999 x2=0.6000 回代求得
化简得
x1=(1-0.6000)=0.4000
第3章
线性代数计算方法
高斯主元素消去法是顺序消去法的一种改进。它
( k 1) a 即使主因素 kk 0 但很小，其作除数 ，也会导 致其它元素数量级的严重增长和舍误差的扩散。
《 计 算 方 法 》
为避免这种情况的发生，可通过交换方程的次序， 选取绝对值大的元素作主元。 基于这种思想导出了主元素法
第3章
线性代数计算方法
例如：用高斯消去法求解下列方程组(用四位有效数字计算):
第3章
线性代数计算方法
消元过程总体流程：
对于
《 计 算 方 法 》
k 1, 2,
, n 1 做 ,n 做
对于
i k 1,
(k ) aik 0
( k 1) aik lik ( k 1) akk
对于
j k 1,
,n做
(k ) ( k 1) ( k 1) aij aij lik akj
(i k 1, ..., n)
共进行 n 1步，得到
(0) a11 (0) a12 (1) a22
... ... ...
(0) (0) x a1 b 1 n 1 (1) (1) x a2 n 2 b2 . . . . . . . . . ( n 1) ( n 1) ann xn bn