2011年河南省专升本考试高等数学真题及答案解析
数学河南专升本试题及答案
数学河南专升本试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(1)的值：A. -2B. -1C. 0D. 13. 根据题目，若a>b>0，那么下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a^3 > b^3C. a^4 > b^4D. a > b4. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5的值：A. 9B. 11C. 13D. 155. 若cosθ=0.6，0°<θ<90°，则sinθ的值是：A. 0.8C. 0.7D. 0.96. 根据题目，若x^2-5x+6=0，则x的值为：A. 2B. 3C. 1, 2D. 1, 67. 已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2,-1)，且a>0，则a的值是：A. 1/4B. 1/2C. 1D. 28. 根据题目，若sinx=1/√2，x∈[0,2π]，则x的值为：A. π/4B. 3π/4C. π/2D. 5π/49. 根据题目，若方程x^2+4x+4=0有实数根，则判别式的值为：A. 0B. 4C. 16D. -1610. 已知正弦函数y=sin(x)的周期是：A. πC. 3πD. 4π二、填空题（每题2分，共20分）11. 根据题目，若x+y=10，x-y=2，则x^2+y^2的值为________。
12. 已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第4项a4的值是________。
13. 根据题目，若直线y=3x+2与x轴的交点坐标为________。
14. 根据题目，若圆的半径r=5，圆心坐标为(0,0)，则圆的方程是________。
15. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的值为________。
【专升本】2011年数学试题及答案
绝密★启用前2011年成人高等学校招生全国统一考试数 学（文史财经类）考生注意：本试题分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共85分）一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1））函数24x y -=的定义域是( )（Ａ）]0,(-∞ （Ｂ）]2,0[（Ｃ）]2,2[- （Ｄ）),2[]2,(+∞--∞（2）已知向量)1,(),4,2(-==m b a ，且b a ⊥ ，则实数=m ( )（Ａ）2 （Ｂ）1 （Ｃ）1- （Ｄ）2-（3）设角α是第二象限角，则（ ）（Ａ）0tan ,0cos ><αα且 （Ｂ）0tan ,0cos <<αα且（Ｃ）0tan ,0cos <>αα且 （Ｄ）0tan ,0cos >>αα且（4）一个小组共有4名男同学和3名女同学，4名男同学的平均身高为1.72m,3名女同学的平均身高为1.61m ，则全组同学的平均身高为（精确到0.01m ）( )（Ａ）1.65m （Ｂ）1.66m （Ｃ）1.67m （Ｄ）1.68m（5）已知集合}4321{A ，，，=，}31{B <<-=x x ，则=B A （ ）（Ａ）}210{，，（Ｂ）}21{， （Ｃ）}321{，，（Ｄ）}2101{，，，- （6）二次函数142++=x x y ( )（Ａ）有最小值-3 （Ｂ）有最大值-3（Ｃ）有最小值-6 （Ｄ）有最大值-6（7）不等式32<-x 的解集中包含的整数共有（ ）（Ａ）8个（Ｂ）7个（Ｃ）6个 （Ｄ）5个 （8）已知函数)(x f y =是奇函数，且35(=-）f ，则=）5(f ( ) （Ａ） 5 （Ｂ） 3 （Ｃ） -3 （Ｄ）-5（9）若5)1(=m a ，则=-m a2（ ） （Ａ）251 （Ｂ）51 （Ｃ）5 （Ｄ）25 （10）若向量=21log 4 ( ) （Ａ）2 （Ｂ）=21 （Ｃ）21- （Ｄ）2- （11）已知25与实数m 的等比中项是1，则m= ( ) （Ａ）251 （Ｂ）51 （Ｃ）5 （Ｄ）25 （12）方程800253622=-y x 的曲线是 ( )（Ａ）椭圆 （Ｂ）双曲线 （Ｃ）圆 （Ｄ）两条直线（13）在首项是20，公差为-3的等差数列中，绝对值最小的一项是( )（Ａ）第5项 （Ｂ）第6项（Ｃ）第7项 （Ｄ）第8项（14）设圆048422=+-++y x y x 的圆心与坐标原点间的距离为d ，则( )（Ａ）54<<d （Ｂ）65<<d （Ｃ）32<<d （Ｄ） 43<<d（15）下列函数中，既是偶函数，又在区间），（30为减函数的是( ) （Ａ）x y cos = （Ｂ）x y 2log = （Ｃ） 42-=x y （Ｄ）x y )31(= （16）一位篮球运动员投篮两次，两投全中的概率为375.0，两投一中的概率为5.0，则他两投全不中的概率为（Ａ）6875.0 （Ｂ）625.0（Ｃ）5.0 （Ｄ）125.0（17）B A ， 是抛物线x y 82=上两点，且此抛物线的焦点在线段AB 上，已知AB 两点的横坐标之和为10，则=AB ( )（Ａ）18 （Ｂ）14（Ｃ）12 （Ｄ）10 第Ⅱ卷（非选择题，共65分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
2011年普通专升本高等数学真题汇总
2011年普通专升本高等数学真题一一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.函数()()x x x f cos 12+=是（ ）.()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（ ）.()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导()C 连续且可导 ()D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxfd ，则成立（ ）. ()A ()()0101f f dxdf dxdf x x ->>== ()B ()()0110==>->x x dx df f f dxdf()C ()()0101==>->x x dxdf f f dxdf()D ()()101==>>-x x dxdf dxdf f f4.方程22y x z +=表示的二次曲面是（ ）.()A 椭球面 ()B 柱面()C 圆锥面 ()D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 至少有一条 ()B 仅有一条().C 不一定存在 ().D 不存在二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ----------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2.设函数()x f 在1=x 可导, 且()10==x dx x df ,则()().__________121lim=-+→xf x f x .3.设函数(),ln 2x x f =则().________________________=dxx df4.曲线x x x y --=233的拐点坐标._____________________5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ._____________________6.()._________________________2=⎰xdt t f dx d7.定积分().________________________2=+⎰-ππdx x x8.设函数()22cos y x z +=,则._________________________=∂∂x z9. 交换二次积分次序().__________________________,010=⎰⎰xdy y x f dx10. 设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行，则平面∏的方程为._____________________三.计算题:(每小题6分,共60分)1.计算xe x x 1lim 0-→.2.设函数()()x x g e x f xcos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy .3.计算不定积分()⎰+.1x x dx4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x .5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f . 6. 设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰+=12dt t f e x f x，求()x f .7.求微分方程xe dx dy dxy d =+22的通解. 8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.9.设函数()yx yx y x f +-=,,求函数()y x f ,在2,0==y x 的全微分. 10.计算二重积分,()⎰⎰+Ddxdy y x22，其中1:22≤+y x D .四.综合题:(本题共30分,其中第1题12分，第2题12分，第3题6分) 1.设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所 围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积.2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.__报考专业：______________________姓名： 准考证号------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2011年普通专升本高等数学真题二一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.当0→x 时,1sec -x 是22x 的（ ）..A 高阶无穷小 .B 低阶无穷小 .C 同阶但不是等阶无穷小 D .等阶无穷小2.下列四个命题中成立的是（ ）..A 可积函数必是连续函数 .B 单调函数必是连续函数 .C 可导函数必是连续函数 D .连续函数必是可导函数 3.设()x f 为连续函数,则()⎰dx x f dx d等于( ). .A ()C x f + .B ()x f.C ()dx x dfD .()C dxx df + 4.函数()x x x f sin 3=是（ ）..A 偶函数 .B 奇函数.C 周期函数 D .有界函数5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 不存在 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 至少有一条二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)__________=a .2.()()().___________________311sin lim221=+--→x x x x3..___________________________1lim 2=++--∞→xx x x x 4.设函数()x f 在点1=x 处可导，且()11==x dx x df ，则()()._______121lim=-+→xf x f x5设函数()x x f ln 2=，则().____________________=dxx df6.设xe 为()xf 的一个原函数，则().___________________=x f 7.()._________________________2=⎰x dt t f dxd 8.._________________________0=⎰∞+-dx e x9.().________________________2=+⎰-ππdx x x10.幂级数()∑∞=-022n nnx 的收敛半径为.________________三.计算题:(每小题6分,共60分) 1.求极限()()()()()x b x a x b x a x ---+++∞→lim.2.求极限()nnnn n n 75732lim+-++∞→.3.设()b ax ey +=sin ，求dy .4.设函数xxe y =，求22=x dx yd .5.设y 是由方程()11sin =--xy xy 所确定的函数,求(1).0=x y ; (2).=x dx dy .6.计算不定积分⎰+dx x x132.7.设函数()⎩⎨⎧≤<≤≤=21,210,2x x x x x f ，求定积分()⎰20dx x f .8.计算()xdte ex t tx cos 12lim--+⎰-→.9.求微分方程022=+dxdydx y d 的通解. 10.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.四．综合题：（每小题10分，共30分）1. 设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所围成, (1)求此平面图形的面积;(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积. 2.求过曲线xxey -=上极大值点和拐点的中点并垂直于0=x 的直线方程。
河南数学专升本试题及答案
河南数学专升本试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数是整数？A. 3.14159B. 2.71828C. 1D. 0.618答案：C2. 计算下列哪个表达式的结果是负数？A. \((-3) \times (-4)\)B. \(-5 \times 2\)C. \((-2) \div 3\)D. \(-1 + 1\)答案：B3. 以下哪个选项是二次方程？A. \(x + 2 = 0\)B. \(x^2 + 3x + 2 = 0\)C. \(x^3 - 4x^2 + x = 0\)D. \(2x + 3 = 0\)答案：B4. 以下哪个选项是等差数列？A. 2, 4, 6, 8B. 1, 3, 5, 7C. 1, 1, 1, 1D. 2, 3, 5, 7答案：A5. 以下哪个选项是等比数列？A. 2, 4, 6, 8B. 1, 2, 3, 4C. 1, 3, 9, 27D. 2, 4, 8, 16答案：D6. 以下哪个函数是一次函数？A. \(y = x^2\)B. \(y = 2x + 1\)C. \(y = \frac{1}{x}\)D. \(y = x^3\)答案：B7. 以下哪个函数是二次函数？A. \(y = x^2 + 3x + 2\)B. \(y = \sqrt{x}\)C. \(y = 2x^3\)D. \(y = \frac{1}{x^2}\) 答案：A8. 以下哪个是三角函数？A. \(y = \sin(x)\)B. \(y = e^x\)C. \(y = \log(x)\)D. \(y = x^2\)答案：A9. 以下哪个是反三角函数？A. \(y = \arcsin(x)\)B. \(y = \sqrt{x}\)C. \(y = \log(x)\)D. \(y = x^2\)答案：A10. 以下哪个是复合函数？A. \(y = x^2 + 3x + 2\)B. \(y = \sin(x^2)\)C. \(y = \log(x^2)\)D. \(y = x^3\)答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 圆的面积公式为 \(A = \pi r^2\)，其中 \(r\) 是半径，如果半径为5，则面积为 ______ 。
2011年专生本(高等数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2011年专生本（高等数学二）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题1．A．0B．1C．2D．3正确答案：C2．已知函数f(x)的导函数f’(x)=3x2-x-1，则曲线y=f(x)在x=2处切线的斜率是A．3B．5C．9D．11正确答案：C3．A．B．C．D．正确答案：B4．已知函数f(x)在区间(-∞，+∞)单调增加，则使f(x)＞f(2)成立的x的取值范围是A．(2，+∞)B．(-∞，0)C．(-∞，2)D．(0，2)正确答案：A5．设函数y=cosx+1，则dy= A．(sin x+1)dxB．(cos x+1)dxC．-sin xdxD．sin xdx正确答案：C6．∫(x-sinx)dx=A．x2+cos x+CB．x2/2+cos+CC．x2-sin x+CD．(x2/2)-sin x+C正确答案：B7．A．0B．1C．2D．π正确答案：A8．A．3x2B．3x2+3y2C．y4/4D．3y2正确答案：D9．A．2y3B．6xy2C．6y2D．12xy正确答案：A10．随机事件A与B为互不相容事件，则P(AB)=A．P(A)十P(B)B．P(A)P(B)C．1D．0正确答案：D填空题11．正确答案：012．正确答案：113．曲线y=2x2在点(1，2)处的切线方程为y=____________。
正确答案：4x-214．设函数y=sinx，则y”‘____________。
正确答案：-cos x15．函数y=(x2/2)-x的单调增加区间是_____________。
正确答案：(1，+∞)16．∫x5dx=____________。
正确答案：17．正确答案：x+arctan x18．正确答案：2/319．设函数z=ex+y，则dz=__________。
正确答案：exdx+dy20．正确答案：0。
11年专升本高数真题答案
2023年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 解析:及解析一、选择题（每小题2分,共60分）1．解析:C.【解析】:202220x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩,应选C.2．解析:B.【解析】:令1,x t +=,则1x t =-,有22()(1)2(1)21f t t t t =-+-+=+,所以()f x =21x +,应选B.3．解析:A.【解析】:根据奇偶函数地结论:一奇一偶函数地乘积为奇函数,应选A. 4.解析:C.【解析】:无穷小量与有界变量之积为无穷小量,因此01lim sin0x x x→=,应选C. 5．解析:B.【解析】:0(2)(3)lim5()5h f x h f x h f x h→+--'==,应选B.6.解析:D.【解析】:00sin(sin )sin lim lim 2x x x x x xx x→→++==,应选D.7．解析:B.【解析】:0lim ()0,lim ()1x x f x f x +-→→==,应选B.8．解析:D.【解析】:(sin )cos x x '''=-,应选D.9．解析:A.【解析】:(arcsin arccos )0arcsin arccos x x x x C'+=⇒+=取0x =,得arcsin arccos x x +=π2,应选A.10．解析:B.【解析】: 根据取得极值地第二充分条件知,0x 是函数()f x 地极小值点,应选B.11.解析:A.【解析】:1lim lim arcsin0;0x x y x x →±∞→±∞==→时,1arcsin y x=无意义,因此仅有水平渐近线,应选A.12.解析:D.【解析】:110222101111dx dx dx x x x --=+⎰⎰⎰,是二个q 广义积分都发散,因此原积分发散,应选D. 13．解析:B.【解析】:设函数()sin 1f x x x =+-,则(0)1,(1)sin1f f =-=,()cos 10f x x '=+>,方程有唯一实根,应选B.14．解析:A.【解析】:()cos f x x '=,则d ()()d cos d sin f x f x x x x x C '===+⎰⎰⎰,应选A.15．解析:C.【解析】:2π2π2costcost cos ()sin d cos 0x x x txxxF x et t e d t e π+++==-=-=⎰⎰,应选C.16．解析:A.【解析】:b x t tx x bd d te dt te dt xe dx dx =-=-⎰⎰, 应选A.17．解析:B.【解析】: ππ00sin d cos 2S x x x ==-=⎰,应选B.18．解析:A.【解析】: 根据微分方程通解地概念知,通解中一定含有两个任意常数,应选A.19．解析:D.【解析】:这是一阶线性微分方程,代入通解公式有通解为3333dx dx x x y e xe dx C e xe dx C --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰,应选D.20．解析:D.【解析】: 111010i j ki k =-+,应选D.21．解析:C.【解析】:因为a b b a ⨯=-⨯,应选C.22．解析:A.【解析】:直线地方向向量与平面法向量相互垂直,则直线在平面内或直线平行于平面；而点（0,0,0）不在平面内,应有直线平行于平面,应选A.23．解析:C.【解析】:222200111limlim lim lim sin sin 2x x x x y y y xy xy xy x x →→→→→→=⨯==,应选C.24．解析:D.【解析】: 偏导数都存在不一定连续,连续也不一定偏导数存在,应选D.25．解析:B.【解析】:lnln()ln x y dx dy dydz d d x y d y y x y y ++==+-=-+11(dx dy x y x y y =+-⇒++(1,1)dz =1()2dx dy -,应选B.26．解析:C.【解析】:{(,)|01,0x y y x ≤≤≤≤={}2(,)|01,01x y x y x≤≤≤≤-,应选C.27．解析:D.【解析】:因为1,1P Q y x∂∂=-=∂∂,则 (3)d (2)d L D Q P x y x x y y dxdy x y ⎛⎫∂∂-+-=-- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 221Ddxdy S ∆=-=-=-⎰⎰,应选D.28．解析:B.【解析】: 根据二重积分地对称性可知,此积分值为零,应选B.29．解析:C.【解析】:A 、B 、D 都可以举出反例,对于C,利用反证法,假设1(||||)nn n ab ∞=+∑收敛,可得1||n n a ∞=∑收敛,从而1n n a ∞=∑是收敛,矛盾,应选C.30．解析:C.【解析】:令2x t -=,化为级数级数1nn n a t∞=∑在4t =-处收敛,问2t =处是否收敛地问题,根据阿贝尔定理绝对收敛,应选C.二、填空题（每小题2分,共20分）31.解析:1-e .【解析】:()()111100lim 1lim 1xx x x x x e ---→→⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦.32.解析:3.【解析】:()()()()f x f x f x f x ''-=-⇒-=⇒()03f x '-=.33.解析:1-=x y .【解析】:11y k x'=⇒=,所以切线方程为1y x =-.34. 解析:C xx +-1ln.【解析】:1111ln |1|ln ||ln (1)1x dx dx x x C C x x x x x -⎛⎫=-=-++=+ ⎪--⎝⎭⎰⎰.35.解析:044=+'+''y y y .【解析】:2212xx C eC xe --+为通解说明特征方程有两个相等实根-2,所以4,4p q ==,故二阶常系数齐次线性微分方程为440y y y '''++=.36.解析:()3,2,1--.【解析】:根据关于y 轴地对称点地特点知,所求对称点为（-1,2,-3）.37.解析:dy dx +.【解析】:()x ydz e dx dy +=+⇒(0,0)dz dx dy =+.38.解析:21-.【解析】:101dy y dx dy xdy ydx dx x--+++=⇒=+,当1x =时,0y =,所以(1,0)12dy dx =-.39.解析:321+.【解析】:从点（1,2）到点（）方向向量为{s = ,单位化后为012s ⎧⎪=⎨⎪⎩ ,则(1,2)1(1,2)cos (1,2)sin 212x ff f lαβ∂=+=⨯+=+∂.40.解析:()1,1-.【解析】:1lim1nn n a R a →∞+==,所以收敛区间为（-1,1）。
2011高数真题解析(2012所有考点)
绝密★启用前2011年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。
一、选择题：1～10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。
1.解析：此题是极限的运算法则题型一：将极限值代入方程如果分母不得零，就将极限值直接带入方程求解。
（直接代入法） 题型二：将极限值代入方程如果分母得零，就不能用题型一的方法！先将方程因式分解或分子有理化等方法将式子中的零因子去除再将极限值代入求解。
例：a.00型因式分解去零因子 b. 00型分子有理化去零因子c.∞∞型式子中如果有高次幂就用最高次幂除分子分母d.∞-∞型一般处理方法是通分e.切记一定是00或∞∞可以用洛必达法则上下求导和无穷小量等价代换进行求解 【特殊角的三角函数值】（1）sin 00= （2）1sin62π=（3）sin 32π= （4）sin 12π=） （5）sin 0π= （1）cos 01= （2）cos 6π= （3）1cos 32π= （4）cos 02π=） （5）cos 1π=-（1）tan 00= （2）tan 63π= （3）tan 3π=（4）tan 2π不存在 （5）tan 0π=（1）cot 0不存在 （2）cot 6π= （3）cot 33π=（4）cot 02π=（5）cot π不存在重要公式（1）0sin lim 1x xx →= （2）()10lim 1xx x e →+= （2.1）e xxx =+∞→)11(lim （3）)1n a o >= （4）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→-∞=-（7）lim arc cot 0x x →∞= （8）lim arc cot x x π→-∞= （9）lim 0xx e →-∞=（10）lim x x e →+∞=∞ （11）0lim 1xx x +→=A.B. C.D.2.设，则解析：本题考导数此题和填空14题解析相同A.B.C.D.3.设，则解析：本题考微分求导后一定要加dx 微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.C.D.4.设，则解析：本题考高阶求导， 高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦ （4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑A.B.C.D.5.解析：本题考不定积分，解析和填空16题解析相同A.B.C.D.6.解析：本题考定积分用不定积分的方法积分后将上下值代入求解A.B.C.D.7.设，则解析：本题考偏导数,题型一：分母是y就对y求导把x看做常数求导。
2011年河南专升本高数真题+答案解析
2011年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题 （每小题2 分，共60 分） 1．函数()ln(2)2f x x x =-+的定义域是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)-+∞C ．(2,2)-D ．(0,2)【答案】C【解析】202220x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故函数()f x 的定义域是(2,2)-．2．设2(1)22f x x x +=++，则()f x =（ ）A ．2xB ．21x +C ．256x x -+D ．232x x -+【答案】B【解析】22(1)22(1)1f x x x x +=++=++，故()f x =21x +．3．设函数()f x 在R 上为奇函数，()g x 在R 上为偶函数，则下列函数必为奇函数的是（ ）A ．()()f x g x ⋅B ．[]()f g xC ．[]()g f xD ．()()f x g x +【答案】A【解析】由于奇函数与偶函数的乘积为奇函数，故()()f x g x ⋅为奇函数．4．01lim sinx x x→=（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．不存在【答案】C【解析】当0x →时，x 无穷小量，1sin 1x ≤，1sin x为有界函数，由于无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，故01lim sin0x x x→=．5．设()1f x '=，则0(2)(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．4B ．5C ．2D ．1【答案】B 【解析】000(2)(3)(2)()(3)()lim2lim 3lim 5()523h h h f x h f x h f x h f x f x h f x f x h h h→→→+--+---'=+==-．6．当0x →时，下列无穷小量与x 不等价的是（ ）A ．2x x -B ．321x e x --C ．2ln(1)x x+D ．sin(sin )x x +【答案】D 【解析】000sin(sin )sin 1cos limlim lim 21x x x x x x x xx x →→→+++===，故sin(sin )x x +与x 不等价．7．11,0()10,0x x f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩，则0x =是()f x 的（ ）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．连续点D ．第二类间断点【答案】B 【解析】11lim 01x xe +→=+，101lim 11x xe -→=+，()f x 在0x =处的左、右极限存在但不相等，故0x =是()f x 的跳跃间断点．8．sin y x =的三阶导数是（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -【答案】D【解析】(sin )cos x x '=，(sin )(cos )sin x x x '''==-，(sin )(sin )cos x x x ''''=-=-．9．设[]1,1x ∈-，则arcsin arccos x x +=（ ）A ．2π B ．4π C ．0 D ．1【答案】A【解析】22(arcsin arccos )011x x x x '+=--，故arcsin arccos x x +为常数，令22x =，可得arcsin arccos 442x x πππ+=+=．10． 若0()0f x '=，0()0f x ''>，则下述表述正确的是（ ） A ．0x 是()f x 的极大值点 B ．0x 是()f x 的极小值点C ．0x 不是()f x 的极值点D ．无法确定0x 是否为()f x 的极值点【答案】B【解析】由极值的判定条件可知，0x 是()f x 的极小值点．11．方程1arcsin y x=所表示的曲线（ ）A ．仅有水平渐近线B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线【答案】A【解析】函数的定义域为(,1][1,)-∞-+∞，而1limarcsin0x x →∞=，故1arcsin y x=仅有水平渐近线． 12．1211dx x -=⎰（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．以上都不对【答案】D 【解析】10101122211011111dx dx dx x x x x x---=+=---⎰⎰⎰，积分值不存在，故选D ．13．方程sin 10x x +-=在区间(0,1)内根的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】令()sin 1f x x x =+-，()cos 1f x x '=+，所以()f x 在区间(0,1)上单调递增，又 (0)10f =-<，(1)sin10f =>，故sin 10x x +-=在区间(0,1)内只有一个根．14．设()f x 是cos x 的一个原函数，则()df x =⎰（ ）A ．sin x C +B ．sin xC -+C ．cos x C -+D ．cos x C +【答案】A【解析】由于()f x 是cos x 的一个原函数，故1()sin f x x C =+，()df x =⎰sin x C +．15．设2cos ()sin x t xF x e tdt π+=⎰，则()F x （ ）A ．为正常数B ．为负常数C ． 恒为零D ．不为常数【答案】C 【解析】2cos cos 2cos cos ()sin 0x t tx x x xxF x e tdt e e e ππ++==-=-+=⎰．16．b txd te dt dx =⎰（ ）A ．x xe -B ．x xeC ．b x e e -D ．b x be xe -【答案】A 【解析】b txd te dt dx =⎰x xe -．17．由曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴所围成的区域的面积为（ ）A ．0B ．2C 2D ．π【答案】B【解析】0sin cos 2xdx xππ=-=⎰．18． 关于二阶常微分方程的通解，下列说法正确的是（ ） A ．一定含有两个任意常数 B ．通解包含所有解C ．一个方程只有一个通解D ．以上说法都不对【答案】A【解析】微分方程的解中所含任意常数相互独立，且个数与方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解，由通解的定义可得A 正确．19．微分方程3y y x '+=的通解是（ ） A ．221x y x Ce =++ B ．1x y xe Cx =+-C ．139x y x Ce =++D ．31139x y x Ce -=+-【答案】D【解析】通解为3331139dx dxx y e xe dx C x Ce --⎛⎫⎰⎰=+=+- ⎪⎝⎭⎰，C 为任意常数．20．已知向量=++a i j k ，则垂直于a 且垂直于y 轴的向量是（ ）A ．-+i j kB ．--i j kC ．+i kD ．-i k【答案】【解析】设y 轴方向向量(0,1,0)=j ，而111()010⨯==--i j ka j i k ，与a ，j 都垂直的向量是()l =-c i k ，故选D ．21．对任意两向量a ，b ，下列等式不恒成立的是（ ） A ．+=+a b b a B ．⋅=⋅a b b aC ．⨯=⨯a b b aD ．()()2222⋅+⨯=⋅a b a b a b【答案】C【解析】由向量积运算法则可知⨯=-⨯a b b a ，故选C ．22．直线110x y z ==-与平面2x y z +-=的位置关系是（ ）A ．平行B ．直线在平面内C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】A【解析】(1,1,0)(1,1,1)0-⋅-=，得直线的方向向量与平面的法向量垂直，在直线上取一点(0,0,0)，该点不在平面2x y z +-=上，故直线与平面平行．23．20limsin x y yxy →→的值为（ ）A ．0B ．1C ．12D ．不存在【答案】C 【解析】2220011limlim lim sin 2x x x y y y y xy xy x →→→→→===．24．函数(,)f x y 在00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '都存在是(,)f x y 在该点处连续的（ ） A ．充要条件 B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分亦非必要条件【答案】D【解析】两个偏导数存在与连续没有关系，故选D ．25．函数ln 1x z y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在点(1,1)处的全微分(1,1)dz=（ ）A ．0B ．1()2dx dy -C ．dx dy -D ．11dx dy x y y-+【答案】B【解析】1111z x x y x y y∂=⋅=∂++，2211z x xxy y y xy y ⎛⎫∂=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭+，(1,1)1122dzdx dy =-，故选B ．26．设11220yI dy x y dx -=⎰，则交换积分次序后（ ） A ．11220xI dx x y dy -=⎰B ．112203yI x y dy -=⎰C ．2112203x I dx x y dy -=⎰⎰D ．2112203x I dx x y dy +=⎰⎰【答案】C【解析】201010101y x y x x y ≤≤⎧≤≤⎧⎪⎨⎨≤≤-≤≤-⎪⎩⎩，交换积分次序后为21122003x I dx x y dy -=⎰⎰．27．设L 为三个顶点分别为(1,0)A -，(0,0)O 和(0,1)B 的三角形区域的边界，L 的方向为顺时针方向，则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-【答案】 【解析】28．设(,)0,114D x y x y π⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，则cos(2)Dy xy dxdy =⎰⎰（ ）A ．12-B ．0C ．14D ．12【答案】B【解析】111411111cos(2)cos(2)sin cos 0222Dy yy xy dxdy dy y xy dx dy ππππ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰．29．若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散，则下列表述必正确的是（ ）A ．1()n n n a b ∞=+∑发散B ．1n n n a b ∞=∑发散C ．1()n n n a b ∞=+∑发散D ．221()n n n a b ∞=+∑发散【答案】C【解析】1n n a ∞=∑发散，则1n n a ∞=∑发散，n n n a b a +≥，由正项级数的比较判别法可知，1()nn n ab ∞=+∑发散．30．若级数1(2)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，则此级数在4x =处（ ）A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．敛散性不能确定【答案】C【解析】级数1(2)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，由阿贝尔定理知，对于所有满足24x -<的点x ，即26x -<<，幂级数1(2)n n n a x ∞=-∑绝对收敛，故此级数在4x =处绝对收敛．二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 31．10lim(1)xx x →-=________．【答案】1e -【解析】[]11(1)100lim(1)lim 1()xxx x x x e ⋅---→→-=+-=．32．设()f x 为奇函数，则0()3f x '=时，0()f x '-=________． 【答案】3【解析】由于()f x 为奇函数，故()f x '为偶函数，故0()f x '-=0()3f x '=．33．曲线ln y x =上点(1,0)处的切线方程为________． 【答案】1y x =- 【解析】11x y ='=，故切线方程为01y x -=-，即1y x =-．34．1(1)dx x x =-⎰________．【答案】1lnx C x-+【解析】1111ln 1ln ln (1)1x dx dx dx x x C C x x x x x-=-=--+=+--⎰⎰⎰．35． 以2212x x C e C xe --+为通解的二阶常系数齐次线性方程为________． 【答案】440y y y '''++=【解析】由题意可知，2r =-为二阶常系数齐次线性微分方程所对应的特征方程的二重根，满足特征方程2440r r ++=，故所求方程为440y y y '''++=．36．点(1,2,3)关于y 轴的对称点是________． 【答案】(1,2,3)--【解析】点(1,2,3)关于y 轴的对称点，即y 不变，x ，z 取其相反数，故对称点为(1,2,3)--．37．函数x y z e +=在点(0,0)处的全微分(0,0)dz =________．【答案】dx dy + 【解析】x y x y z zdz dx dy e dx e dy x y++∂∂=+=+∂∂，故(0,0)dz =dx dy +．38．由1x y xy ++=所确定的隐函数()y y x =在1x =处导数为________． 【答案】12-【解析】方程两边同时关于x 求导得，10y y xy ''+++=，当1x =时，0y =，代入得1(1)2y '=-．39．函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)A 到(2,23)B +的方向的方向导数等于________．【答案】123+【解析】(1,2)2z x∂=∂，(1,2)4z y∂=∂，与(1,3)AB =同方向的单位向量为132⎛ ⎝⎭，故方向导数为(1,2)13241232z l∂=⋅+=+∂40．幂级数1nn x n∞=∑的收敛区间为________．【答案】(1,1)- 【解析】1lim lim 11n n n n a na n ρ+→∞→∞===+，11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．三、计算题 （每小题5 分，共50 分） 41．用夹逼准则求极限222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭． 【答案】1【解析】因为2221n n nn n n k n ≤≤+++，1,2,,k n =，所以2222211nk n n n n n n k n =≤≤+++∑， 又22lim 1n n n n →∞=+，22lim 11n n n →∞=+，由夹逼准则可知，222lim 112n nn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭．42．讨论函数321sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的可导性． 【答案】【解析】3222001sin()(0)1(0)limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x →→→-'====-，故函数()f x 在0x =处可导．43．求不定积分21xx e dx e +⎰．【答案】arctan x e C +【解析】()22arctan 11x xx x x e de dx e C e e ==+++⎰⎰．第 11 页 共 13 页44．求定积分10x xe dx ⎰．【答案】1【解析】11110(1)1x x xx xe dx xde xe e dx e e ==-=--=⎰⎰⎰．45．求微分方程32x y y y e '''++=的通解．【答案】21216x x x y C e C e e --=++，其中12,C C 为任意常数【解析】特征方程为2320r r ++=，解得11r =-，22r =-，1λ=不是特征方程的根， 可设x y ke =为方程的一个特解，代入得16k =， 故方程的通解为21216x x x y C e C e e --=++，其中12,C C 为任意常数．46．设2(,)z x y x ϕ=+，且ϕ具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂．【答案】11212x ϕϕ''''+ 【解析】122zx xϕϕ∂''=+∂，211212z x x y ϕϕ∂''''=+∂∂．47．求曲面:3z e z xy ∑-+=在点0(2,1,0)M 处的切平面方程． 【答案】240x y +-=【解析】令(,,)3z F x y z e z xy =-+-，则(2,1,0)1F x∂=∂，(2,1,0)2F y∂=∂，(2,1,0)0F z∂=∂，从而所求切平面的方程为(2)2(1)0x y -+-=，即240x y +-=．48．计算二重积分x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由直线1x y +=和两条坐标轴所围成的闭区域．【答案】1【解析】{}(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故第 12 页 共 13 页111100()()1xx yx y x x De d dx e dy e e dx ex e σ-++==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰．49．计算(1)Lxdx ydy x y dz +++-⎰，其中L 是从点(1,1,1)A )到点(1,1,4)B 的直线段．【答案】3【解析】L 的参数方程为1x =，1y =，13(01)z t t =+≤≤，故1(1)33Lxdx ydy x y dz dt +++-==⎰⎰．50．将21()f x x =展开为(1)x +的幂级数． 【答案】11()(1)n n f x n x ∞-==+∑，(2,0)x ∈-【解析】011(1)1(1)n n x x x ∞=-==-+-+∑，(2,0)x ∈-，故1200111()(1)(1)(1)n n n n n n f x x x n x x x ∞∞∞-===''⎡⎤⎛⎫'⎡⎤==-=--+=+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑∑，(2,0)x ∈-．四、应用题 （每小题6 分，共 12 分）51．求点(0,1)P 到抛物线2y x =上点的距离的平方的最小值． 【答案】34【解析】2222213(1)124d x y y y y ⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，故所求最小值为34．52．求几何体22444x y z ++≤的体积． 【答案】325π 【解析】令{}22(,)4D x y x y =+≤，则几何体22444x y z ++≤的体积为第 13 页 共 13 页222224224400032212124445Dx y r V d d dr r dr πσθππ+=-=-=-=⎰⎰⎰．五、证明题 （8分）52．设函数()f x ，()g x 均在区间[],a b 上连续，()()f a g b =，()()f b g a =，且()()f a f b ≠．证明：存在一点(,)a b ξ∈，使()()f g ξξ=．【解析】令()()()F x f x g x =-，则函数()F x 也在区间[],a b 上连续，且()()()F a f a g a =-，()()()F b f b g b =-．由于()()f a f b ≠，所以()()f a f b <或()()f a f b >， 当()()f a f b <时，()()()()()0F a f a g a f a f b =-=-<，()()()()()0F b f b g b f b f a =-=->， 于是由连续函数的零点定理知存在(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()()f g ξξ=． 类似地可证()()f a f b >时结论也成立．。
[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试教育理论真题2011年
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A.劳动起源论
B.生物起源论
C.心理起源论
D.生物进化论
答案:A[解析] 马克思主义教育学在教育起源问题上坚持劳动起源论，认为教育起源于人类
所特有的生产劳动，也被称为教育的社会起源说。
问题:5. 世界上最早颁布义务教育法的国家是______
A.英国
B.美国
C.德国
D.法国
答案:C[解析] 世界上最早颁布义务教育法的国家是德国。
问题:7. “我们敢说日常所见的人中，他们之所以或好或坏，或有用或无用，都是由他们
所受的教育所决定的。”这一观点属于______的观点。
A.内发论
B.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ铄论
C.成熟论
D.多因素相互作用论
答案:B[解析] 题干所述为外铄论的观点。
问题:8. 在教育活动中涉及“教育要培养什么样的人”这一根本问题的是______
A.课程
B.教育评价
C.教学
D.教育目的
答案:D[解析] 教育目的要回答的一个根本问题是“教育要培养什么样的人”。
问题:9. 我国第一个实行的现代学制是______
A.壬寅学制
B.癸卯学制
C.壬子癸丑学制 D.壬戌学制
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[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试教育理论真题 2011 年
D.演示法 答案:D[解析] 演示法是教师通过展示实物、直观教具和通过示范性操作实验指导学生获得 知识或巩固知识的教学方法。它常与讲授法、谈话法等结合使用。张老师运用分子模型和柱 图帮助学生认识乙醛的分子结构，采用的是演示法。 问题:17. 在课堂教学中，使学生依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维。这是在贯彻______ 教学原则。 A.启发性 B.巩固性 C.系统性 D.直观性 答案:D[解析] 直观性原则，是指在教学中要通过学生观察所学事物，或教师语言的形象描 述，引导学生形成所学事物、过程的清晰表象，丰富他们的感性知识，从而使他们能够正确 理解书本知识和发展认识能力。在课堂教学中，使学生依靠形状、颜色、声音和感觉来进行 思维，这运用了直观性原则。 问题:18. 把两个及两个以上年级的儿童编在一个班级，直接教学与布置、完成作业轮流交 替进行，在一节课内由一位教师对不同年级学生进行教学的组织形式是______ A.分层教学 B.合作学习 C.复式教学 D.小班教学 答案:C[解析] 题干所述为复式教学概念。 问题:19. 为了改进和完善教学活动而对学生学习过程和结果进行的评价是______
河南省专升本高等数学真题(带答案详细讲解)
2009年省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的、座位号、考生号涂写在答题卡上。
本试卷的试卷答案在答题卡上，答试卷上无效。
一、选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.1.下列函数相等的是 （ ）A.2x y x=，y x = B. y =y x =C.x y =，2y = D. y x =，y =【答案】D.解：注意函数的定义围、解读式，应选D.2.下列函数中为奇函数的是 （ ）A.e e ()2x xf x -+= B. ()tan f x x x =C. ()ln(f x x =D. ()1x f x x=- 【答案】C.解:()ln(f x x -=-，()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-+==()()f x f x -=-，选C.3．极限11lim1x x x →--的值是( ) A.1B.1-C.0 D.不存在 【答案】D. 解：11lim 11x x x +→-=-，11lim 11x x x -→-=--，应选D.4.当0x →时，下列无穷小量中与x 等价是（ ）A.22x x - C. ln(1)x + D.2sin x【答案】C.解:由等价无穷小量公式，应选C.5.设e 1()x f x x-=，则0=x 是()f x 的 （ ）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 【答案】B.解:00e 1lim ()lim1x x x f x x→→-==⇒0=x 是)(x f 的可去间断点,应选B. 6. 已知函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '= （ ）A. 2B. -1C.1D.-2 【答案】D. 解：0(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-，应选D.7.设()f x 具有四阶导数且()f x ''=(4)()f x = （）AB ．1 D ．3214x --【答案】D. 解：1(3)21()2fx x -=，(4)()f x =3214x --，应选D.8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩在π4t =对应点处的法线方程（ ）A.2x =B.1y =C.1y x =+D.1y x =- 【答案】A.解：0d 2cos 20d sin y t k x x x t =⇒=⇒==切，应选A. 9.已知d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =（ ）A ．2e e x x + B. 2e e x x - C. 2e e x x -+ D. 2e e x x -- 【答案】B.解:由d e ()e d x x f x x -⎡⎤=⎣⎦得2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x xf x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦， 把(0)0f =代入得1C =-,所以2()e e x x f x =-,应选B. 10.函数在某点处连续是其在该点处可导的（ ）A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件 【答案】A.解:根据可导与连续的关系知，应选A.11.曲线42246y x x x =-+的凸区间为 （ ） A.(2,2)- B.(,0)-∞ C.(0,)+∞ D. (,)-∞+∞ 【答案】A.解:34486y x x '=-+，212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-，应选A.12.设e xy x=（ ）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线 【答案】B.解:e lim0x x x →-∞=，0e lim xx x→=∞，应选B. 13.下列说确的是 （ ） A. 函数的极值点一定是函数的驻点 B. 函数的驻点一定是函数的极值点C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点D. 以上说法都不对 【 答案】D.解:根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选D.14. 设函数()f x 在[,]a b 连续，且不是常数函数,若()()f a f b =，则在(,)a b （ ）A. 必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点ξ，使()0f ξ'= 【答案】A.解:根据连续函数在闭区间上的性质及()()f a f b =的条件,在对应的开区间至少有一个最值,应选A.15.若()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）A.1x B.21x- C.ln x D.ln x x 【答案】B.解:()1()ln f x x x '==⇒21()f x x'=-,应选B.16.若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ） A. 222(1)x C --+ B. 222(1)x C -+C. 221(1)2x C --+D. 221(1)2x C -+【答案】C. 解:2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰=221(1)2x C --+,应选C. 17.下列不等式不成立的是（ ）A. 22211ln (ln )xdx x dx >⎰⎰ B.220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C.22ln(1)x dx xdx +<⎰⎰ D.22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D.解:根据定积分的保序性定理，应有22(1)x e dx x dx ≥+⎰⎰，应选D.18.1ln eex dx ⎰= （ ）A.111ln ln e exdx xdx +⎰⎰ B.111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C. 111ln ln e exdx xdx -+⎰⎰ D.111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C.解:因1ln ,1|ln |ln ,1x x x ex x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩,考察积分的可加性有 1111ln ln ln eeeexdx xdx xdx =-+⎰⎰⎰，应选C.19．下列广义积分收敛的是（ ）A.lnex dx x +∞⎰B.1ln e dx x x+∞⎰ C.21(ln )e dx x x +∞⎰ D.e +∞⎰ 【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:21(ln )edx x x +∞⎰是2p =的积分,收敛的,应选C.20.方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是 （ ） A.球面 B.圆锥面C. 旋转抛物面D.圆柱面 【答案】C.解:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C.21. 设{}1,1,2a =-r ，{}2,0,1b =r，则a r 与b r 的夹角为 （ ）A ．0B ．6πC ．4πD ．2π 【答案】D.解:0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒=r r r r r r g ,应选D.22.直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的位置关系是 ( ) A.平行但直线不在平面 B.直线在平面 C. 垂直 D.相交但不垂直 【答案】A.解:因{}2,7,3s =--r ,{}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒r r r r直线在平面或平行但直线不在平面.又直线上点(3,4,0)--不在平面.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面,应选A.23.设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（ )A.0B.2(,)x f a b 'C.(,)x f a b 'D.(,)y f a b ' 【答案】B. 解:原式00(,)(,)(,)(,)limlimh h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=- 00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=- 应选B. 24．函数x yz x y+=-的全微dz =（） A ．22()()xdx ydy x y -- B ．22()()ydy xdx x y -- C ．22()()ydx xdy x y --D ．22()()xdy ydx x y --【答案】D 解：22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx z dz x y x y x y +-+-+--=⇒==---，应选D25．0(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（ ）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 20(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰【答案】D.解:积分区域{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭有(,)ady f x y dx ⎰2(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰,应选D.26.设L 是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA,则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰ÑA.-8B.0 C 8 D.20【答案】A.解:由格林公式知,(3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰Ñ，应选A.27.下列微分方程中，可分离变量的是 （ ） A ．tan dy y ydx x x=+ B ．22()20x y dx xydy +-= C ．220x y x dx e dy y ++=D ． 2x dy y e dx+= 【答案】C.解:根据可分离变量微分的特点,220x y xdx e dy y++=可化为 22y x ye dy xe dx -=-知,应选C.28.若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数收敛的是（ ）A ．110nn u ∞=∑ B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n nu ∞=∑D ．1(10)nn u∞=-∑【答案】A.解:由级数收敛的性质知,110nn u ∞=∑收敛,其他三个一定发散,应选A. 29.函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开为（ ）A ．23,1123x x x x +++-<≤LB ．23,1123x x x x -+--<≤LC ．23,1123x x x x -----≤<LD ． 23,1123x x x x -+-+-≤<L【答案】C.解:根据23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤L 可知,23ln(1),1123x x x x x -=-----≤<L ,应选C.30.级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处 （ ）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定 【答案】B.解:令1x t -=,级数1(1)nn n a x ∞=-∑化为1n n n a t ∞=∑,问题转化为:2t =-处收敛,确定1t =处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B.二、填空题（每小题2分，共30分）31.已知()1xf x x=-，则[()]______f f x =. 解：()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--.32.当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim_______sin x f x x x→=. 解：2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12lim lim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============:::. 33.若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则_______a =. 解：因2223()221lim 12lim lim 1lim 1x xa axa x a x x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以有 38a e =ln 2a ⇒=.34.设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处处连续，则_______a =.解：函数在(,)-∞+∞处处连续，当然在0x =处一定连续，又因为0sin lim ()lim1;(0)x x x f x f a x→→===，所以0lim ()(0)1x f x f a →=⇒=.35.曲线31xy x=+在（2，2）点处的切线方程为___________. 解：因2231340(1)3x y k y x y x =''=⇒==⇒-+=+. 36.函数2()2f x x x =--在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理结论中____ξ=. 解：(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-.37.函数()f x x =-的单调减少区间是 _________.解：1()100,4f x x ⎛⎫'=<⇒∈ ⎪⎝⎭,应填10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦或10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭或10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 38.已知(0)2,(2)3,(2)4,f f f '===则20()______xf x dx ''=⎰. 解：222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰.39.设向量b r 与}{1,2,3a =-r共线，且56a b ⋅=r r ,则b =r _________. 解：因向量b r 与a r共线,b r 可设为{},2,3k k k -，5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒=rr ,所以{}4,8,12b =-r . 40.设22x y z e +=，则22zx∂=∂_______.解：22222222222(12)x y x y x y z z z exe x e x x+++∂∂=⇒=⇒=+∂∂. 41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________.解：40(,)(0,0)40fx y xx y f x y y∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩.42．区域D 为229x y +≤，则2______Dx yd σ=⎰⎰.解：利用对称性知其值为0或232420cos sin 0Dx yd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰.43.交换积分次序后,10(,)_____________xdx f x y dy =⎰.解：积分区域{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y y x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤,则有21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰.44.14x y xe -=-是23x y y y e -'''--=的特解，则该方程的通解为_________.解：230y y y '''--=的通解为312x x y C e C e -=+，根据方程解的结构,原方程的通解为31214x x x y C e C e xe --=+-.45.已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，_______n u =.解：当2n ≥时,3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+.三、计算题（每小题5分，共40分）46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.解：20001111lim lim lim 1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭0011lim lim 222x x x e x x x →→-===. 47.设()y y x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dxdy . 解：方程两边对x 求导得()ln 2cos 2xy ye xy y x x x''++= 即()ln 2cos 2xy e x y xy y y x x x x ''+++=2(ln )2cos 2xy xy x e x x y x x e xy y '+=--所以dydx=22cos 2ln xy xy x x e xy y y x e x x --'=+.48.已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰. 解：方程2()x xf x dx e C -=+⎰两边对x 求导得2()2xxf x e-=-，即22()xe f x x--=，所以211()2x xe f x =-. 故22111()24x x dx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰ 222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰.49.求定积分44|(1)|x x dx --⎰.解：4014441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx ---=-+-+-⎰⎰⎰⎰01441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx -=-+-+-⎰⎰⎰14322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 641164118843323332=++-+--+=. 50.已知22x xy y z e +-= 求全微分dz .解：因222222()(2)x xy y x xy y x ze x xy y e x y x+-+-∂'=+-=+∂, 222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂, 且它们在定义域都连续，从而函数22xxy y z e +-=可微，并有z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-. 51.求(2)Dx y d σ+⎰⎰，其中区域D 由直线,2,2y x y x y ===围成.x x y =→=2yx =2解：积分区域D 如图所示： 把D 看作Y 型区域，且有(,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有22(2)(2)yy Dx y d dy x y dx σ+=+⎰⎰⎰⎰2222025()4yy x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==. 52.求微分方程22x y xy xe -'-=的通解. 解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程20y xy '-=的通解为2x y Ce =， 设原方程的解为2()x y C x e =代入方程得22()x x C x e xe -'=, 即有22()x C x xe -'=，所以222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰, 故原方程的通解为2214x x y e Ce -=-+.53.求幂级数212nn n n x ∞=∑的收敛区间（考虑区间端点）. 解：这是规缺项的幂级数，考察正项级数212nn n n x ∞=∑， 因221112limlim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯=, 当212x l =<，即||x <212n n n nx ∞=∑是绝对收敛的； 当212x l =>，即||x >212n n n nx ∞=∑是发散的； 当212x l ==，即x =212nn n n x ∞=∑化为1n n ∞=∑，显然是发散的。
2011年成人高考专升本高等数学(二)真题
2011年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）一、选择题：每小题4分，共40分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求.1. 211lim1x x x →-=-（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案：C解析：()()21lim 111lim 11lim1121=+=--+=--→→→x x x x x x x x x 2. 已知函数()f x 的导函数2'()31f x x x =--, 则曲线()y f x =在2x =处 切线的斜率是（ ）A. 3B. 5C. 9D. 11 答案：C解析：将2=x 代入()132--='x x x f ，得()9122322=--⋅='=f k3. 设函数21y x =, 则'y =（ ） A. 31x - B. 32x- C. 31x D. 1x答案：B 解析：221-==x x y ，32'--=x y 4. 已知函数()f x 在区间(,)-∞+∞单调增加，则使()(2)f x f >成立的x 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. (,0)-∞C. (,2)-∞D. (0,2)答案：A5. 设函数cos 1y x =+, 则dy =（ ）A. (sin 1)x dx +B. (cos 1)x dx +C. sin xdx -D. sin xdx答案：C6.(sin )x x dx -=⎰（ ）A. 2cos x x C ++ B. 2cos 2x x C ++ C. 2sin x x C -+ D. 2sin 2x x C -+ 答案：B解析：()()C x x dx x dx x dx x x +--=-=-⎰⎰⎰cos 2sin sin 27.sin xdx ππ-=⎰（ ）A. 0B. 1C. 2D. π 答案：A解析：对称区间上奇函数的积分为零 8. 设函数33z x y =+, 则zy∂=∂ （ ） A. 23x B. 2233x y + C. 44y D. 23y答案：D9. 设函数23z x y =, 则22zx∂=∂（ ）A. 32yB. 26xyC. 26y D. 12xy 答案：A解析：32xy xz =∂∂，3222y x z =∂∂10. 随机事件A 与B 互不相容，则 ()=AB P （ ）()()B P A P A +. ()()B P A P B . 1.C 0.D答案：D解析：A 与B 互不相容，则 ()0=AB P二、填空题：每小题4分，共40分. 11. 已知函数sin ,0()1,0x x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩，则 (0)______f =.答案：0解析：()00sin 0==f 12. 2sin(2)lim_________.2x x x →-=-答案：1 解析：()()()122sin lim 22sin lim022=--=--→-→x x x x x x13.曲线22y x =在点(1,2)处的切线方程为___________y =. 答案：42x -解析：x y 4='，41='==x y k ，()142:-=-x y l 切14. 设函数sin y x =，则 '''______y =. 答案：cos x -解析：x y cos ='，x y sin -=''，x y cos -='''15. 函数22x y x =-的单调增加区间是___________. 答案：(1,)+∞16. 5x dx =⎰_____________.答案：C x +66解析：由基本积分公式C x a dx x a a ++=+⎰111可得 17.0(arctan )________xd t t dt dx+=⎰. 答案：arctan x x + 18.1321(cos )________x x x dx -+=⎰.答案：111323211122(cos )cos 033x x x dx x xdx x dx ---+=+=+=⎰⎰⎰解析：注意前一积分为零的依据是“对称区间上奇函数的积分为零”， 19. 设函数xz e y =+, 则____________dz =. 答案：+dx e x dy解析：xe x z =∂∂，1=∂∂y z ，=dz +∂∂dx xz dy y z ∂∂ 20. 设函数(,)z f x y =可微, 且00(,)x y 为其极值点，则00(,)________x y zx∂=∂.解析：由于在可微时,极值点一定是驻点,于是在该点的偏导数为0 三、解答题：共70分.解答应写出推理、演算步骤. 21. 计算20lim(1)xx x →+.解析：()221121020111lim 111lim 1lim e x x x xx xx xx =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅∞→⋅→→22. 设函数1sin x y x+=, 求'y . 解析：2(1)'sin (1)(sin )''(sin )x x x x y x +-+=2sin (1)cos sin x x xx-+=23.计算⎰.解析：21(1)2d x =-⎰3221(1)3x C =-+24. 设函数(,)z z x y =由sin()0zx y e ++=确定，求zx∂∂. 解析：解法1：设(,,)sin()zF x y z x y e =++,cos(),z F Fx y e x z∂∂=+=∂∂, 则cos()zFz x y x F x e z∂∂+∂=-=-∂∂∂ 解法2：等式两边对x 求导得,cos()0z zx y e x∂++⋅=∂, 则cos()zz x y x e ∂+=-∂ 25. 设A ，B 为两个随机事件，且()8.0=A P ，()3.0=AB P ，求()B A P -.解析：()()()()5.03.08.0=-=-=-=-AB P A P AB A P B A P 26. 求函数31()413f x x x =-+的单调区间、极值和曲线()y f x =的凹凸区间.（2011年）解析：函数的定义域为(,)-∞+∞，2'4,''2y x y x =-=，令'0y =，得2x =±。
河南省专升本高等数学真题(带答案详细讲解)
2009年省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值60 30 40 14 6150注意事项：答题前，考生务必将自己的、座位号、考生号涂写在答题卡上。
本试卷的试卷答案在答题卡上，答试卷上无效。
一、选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.1.下列函数相等的是（）A.2xy x，y x B. 2yx ，y x C.x y，2()yx D. yx ，2yx【答案】D.解：注意函数的定义围、解读式，应选 D.2.下列函数中为奇函数的是（）A.ee ()2xxf x B. ()tan f x x xC. 2()ln(1)f x x xD. ()1x f x x【答案】C.解:2()ln(1)f x x x，22()()ln(1)ln(1)ln10f x f x x xx x()()f x f x ，选C. 3．极限11lim1xx x 的值是( ) A.1B.1C.0 D.不存在【答案】D. 解：11lim11x x x ，11lim11xx x ，应选D. 4.当0x 时，下列无穷小量中与x 等价是（）A.22xx B.3xC. ln(1)xD.2sin x【答案】C.解:由等价无穷小量公式，应选 C.5.设e1()xf x x，则0x 是()f x 的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点【答案】B. 解:0e1lim ()lim 1xx x f x x0x 是)(x f 的可去间断点,应选B.6. 已知函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12xf f x x，则(1)f （）A.2B. -1C.1D.-2【答案】D. 解：0(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x，应选D. 7.设()f x 具有四阶导数且()f x x ，则(4)()f x （）A ．12xB ．xC ．1D ．3214x【答案】D. 解：1(3)21()2fx x，(4)()fx 3214x，应选 D.8.曲线sin 2cos y t xt在π4t对应点处的法线方程（）A.22xB.1yC.1y xD.1y x 【答案】A. 解：d 2cos 220d sin 2y t k xx xt切，应选A.9.已知d e ()e d xxf x x ，且(0)0f ，则()f x （）A ．2ee xxB. 2ee xx C. 2eexxD. 2eexx【答案】B. 解:由d e ()e d x x f x x 得2d e ()d(e )e ()e()ee xxxxxxf x f x Cf x C ，把(0)0f 代入得1C ,所以2()ee xxf x ,应选B.10.函数在某点处连续是其在该点处可导的（）A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件【答案】A.解:根据可导与连续的关系知，应选 A.11.曲线42246yxxx 的凸区间为（）A.(2,2)B.(,0)C.(0,)D. (,)【答案】A.解:34486y x x，212480(2,2)y x x，应选A.12.设e xyx（）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线【答案】B.解:elim0xx x，elimxx x，应选B.13.下列说确的是（）A. 函数的极值点一定是函数的驻点B. 函数的驻点一定是函数的极值点C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点D. 以上说法都不对【答案】D.解:根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选 D.14. 设函数()f x在[,]a b连续，且不是常数函数,若()()f a f b，则在(,)a b（）A. 必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点，使()0f【答案】A.解:根据连续函数在闭区间上的性质及()()f a f b的条件,在对应的开区间至少有一个最值,应选A.15.若()f x的一个原函数为ln x，则()f x（）A.1xB.21xC.ln xD.ln x x【答案】B. 解:1()ln f x xx21()f x x,应选B.16.若2()f x dxxC ，则2(1)xf x dx（）A. 222(1)x C B. 222(1)x C C.221(1)2x CD.221(1)2x C【答案】C. 解:2221(1)(1)(1)2xf x dxf x d x =221(1)2x C ,应选C.17.下列不等式不成立的是（）A. 22211ln (ln )xdx x dx B.220sin xdxxdxC.220ln(1)x dx xdxD.220(1)xe dxx dx【答案】D.解:根据定积分的保序性定理，应有220(1)xe dxx dx ，应选D.18.1ln e ex dx = （）A.111ln ln eexdxxdx B.111ln ln e exdxxdxC.111ln ln eexdxxdx D.111ln ln eexdxxdx【答案】C.解:因1ln ,1|ln |ln ,1x x x e x xe,考察积分的可加性有1111ln ln ln e eeexdxxdxxdx ，应选C.19．下列广义积分收敛的是（）A.ln exdxxB.1ln edx x xC.21(ln )edxx x D.31ln edxxx【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:21(ln )edx x x 是2p 的积分,收敛的,应选C.20.方程220xy z 在空间直角坐标系中表示的曲面是（）A.球面B.圆锥面C. 旋转抛物面D.圆柱面【答案】C.解:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程22xyz 在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C.21. 设1,1,2a r ，2,0,1b r，则a r 与b r 的夹角为（）A ．0B ．6C ．4D ．2【答案】D.解:0(,)2a ba b a b r r r r r r g ,应选D.22.直线34273x y z 与平面4223x y z的位置关系是( )A.平行但直线不在平面B.直线在平面C. 垂直D.相交但不垂直【答案】A. 解:因2,7,3sr ,4,2,2ns nsnr r r r 直线在平面或平行但直线不在平面.又直线上点(3,4,0)不在平面.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面,应选A.23.设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h（)A.0B.2(,)x f a b C.(,)x f a b D.(,)y f a b 【答案】B. 解:原式(,)(,)(,)(,)limlimhhf a h b f a b f a h b f a b hh(,)(,)(,)(,)lim lim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b hh应选B. 24．函数x y zxy的全微dz （）A ．22()()xdx ydy x y B ．22()()ydy xdx xy C ．22()()ydx xdy xy D ．22()()xdy ydx xy 【答案】D 解：22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx zdzxyxy xy ，应选D25．22(,)a a y dyf x y dx 化为极坐标形式为（）A ．20(cos ,sin )a df r r rdr B ．2cos(cos ,sin )df r r rdrC ．sin 20(cos ,sin )a df r r rdr D ．20(cos ,sin )a d f r r rdr【答案】D. 解:积分区域22(,)|0,0(,)|0,02x y y a x ayr r a有22(,)a a y dy f x y dx20(cos ,sin )a df r r rdr ,应选D.26.设L 是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA,则(3)(2)Lx y dx xy dyA.-8B.0C 8D.20【答案】A. 解:由格林公式知,(3)(2)228LDx y dx x y dyd S，应选A.27.下列微分方程中，可分离变量的是（）A ．tandy y y dx x xB ．22()20xy dx xydyC ．220xyx dxedy y D ．2xdy y edx【答案】C.解:根据可分离变量微分的特点,220xyx dx edyy可化为22y x ye dy xe dx 知,应选C.28.若级数1n n u 收敛，则下列级数收敛的是（）A ．110n n u B ．1(10)n n u C ．110n nu D ．1(10)n n u 【答案】A.解:由级数收敛的性质知,110n n u 收敛,其他三个一定发散,应选A.29.函数()ln(1)f x x 的幂级数展开为（）A ．23,1123xxxx L B ．23,1123xxxx L C ．23,1123xxxx L D ．23,1123xxxx L 【答案】C.解:根据23ln(1),1123xxx xx L 可知,23ln(1),1123xxx xx L ,应选C.30.级数1(1)nn n a x 在1x处收敛，则此级数在2x处（）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定【答案】B. 解:令1x t ,级数1(1)nn n a x 化为1nn n a t ,问题转化为:2t处收敛,确定1t 处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B.二、填空题（每小题2分，共30分）31.已知()1x f x x，则[()]______f f x .解：()1[()](1,)1()122f x x f f x x xf x x.32.当0x时，()f x 与1cosx 等价，则0()lim_______sin x f x x x.解：2211cos ()1cos 222sin 0()1cos 12limlim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x xxx:::. 33.若2lim8xxx ax a，则_______a .解：因2223()221lim 12limlim1lim 1x xa axa xaxxaxxa axa a x a ex x e xaea a xx，所以有38aeln 2a .34.设函数sin ,0(),0xx f x xa x 在(,)处处连续，则_______a .解：函数在(,)处处连续，当然在0x 处一定连续，又因为sin lim ()lim1;(0)xxx f x f a x ，所以0lim ()(0)1xf x f a .35.曲线31xy x 在（2，2）点处的切线方程为___________.解：因2231340(1)3x yk yx y x .36.函数2()2f x xx 在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理结论中____.解：(2)(0)()2121120f f f x x .37.函数()f x x x 的单调减少区间是_________.解：11()10,42f x xx,应填10,4或10,4或10,4或10,4.38.已知(0)2,(2)3,(2)4,f f f 则20()______xf x dx . 解：22220()()()()2(2)(2)(0)7xf x dxxdf x xf x f x dxf f f .39.设向量b r 与1,2,3a r共线，且56a b rr ,则br_________.解：因向量b r 与a r共线,b r 可设为,2,3k k k ，5649564a bkkkkr r ,所以4,8,12br.40.设22xyze，则22zx_______.解：22222222222(12)x yxyx y z zzexe x exx.41．函数22(,)22f x y xxy y 的驻点为________.解：40(,)(0,0)40f xyx x y f x yy.42．区域D 为229x y，则2______Dx yd.解：利用对称性知其值为0或23242cos sin 0Dx yd d r dr.43.交换积分次序后,10(,)_____________xxdxf x y dy . 解：积分区域2(,)|01,(,)|01,D x y xx yxx y yyx y ,则有2110(,)(,)x y xy dxf x y dydyf x y dx .44.14xy xe 是23xy y ye 的特解，则该方程的通解为_________. 解：230yy y 的通解为312x xyC eC e ，根据方程解的结构,原方程的通解为31214xxxyC eC exe.45.已知级数1n n u 的部分和3nS n ，则当2n 时，_______nu .解：当2n 时,3321(1)331nnnu S S nn nn .三、计算题（每小题5分，共40分）46．求011lim1xx xe .解：21111limlimlim1(1)xxxxx xxe xe xxex e x11limlim222xxxex xx.47.设()y y x 是由方程ln sin 2xye y x x 确定的隐函数，求dxdy .解：方程两边对x 求导得()ln 2cos 2xyy e xy y x xx即()ln 2cos 2xye x yxy yy x x x x 2(ln )2cos 2xyxyx ex x y x xe xyy所以dy dx22cos 2ln xyxyx x e xyyyx ex x.48.已知2()x xf x dx eC ，求1()dx f x .解：方程2()xxf x dxeC 两边对x 求导得2()2xxf x e ，即22()xe f x x，所以211()2xxe f x .故22111()24xxdx xe dxxde f x 222211114448xxxxxee dxxeeC .49.求定积分44|(1)|x x dx .解：414441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx014401(1)(1)(1)x x dxx x dxx x dx1432233241322332xxxxxx641164118843323332.50.已知22xxy yz e求全微分dz.解：因222222()(2)xxy yxxy yxz exxy y exy x ,222222()(2)x xy y x xy y yz exxyy exy y,且它们在定义域都连续，从而函数22x xy yze可微，并有z z dzdxdyx y 22[(2)(2)]xxy yex y dx x y dy .51.求(2)Dx y d ，其中区域D 由直线,2,2yx yx y围成. y x x y22y yxxy2解：积分区域D 如图所示：把D 看作Y 型区域，且有(,)|02,2y Dx y yx y故有22(2)(2)yy Dx y ddyx y dx222225()4y y xxy dyy dy230510123y.52.求微分方程22x yxy xe 的通解.解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程20y xy 的通解为2x yCe ，设原方程的解为2()xy C x e 代入方程得22()xxC x e xe,即有22()x C x xe，所以222222211()(2)44x x x C x xedxe d x eC ,故原方程的通解为2214x x y eCe .53.求幂级数212nnn n x 的收敛区间（考虑区间端点）.解：这是规缺项的幂级数，考察正项级数212nnn n x，因221112lim lim 22nn n nnnu n xlx u n, 当212xl，即||2x 时，级数212nnn nx 是绝对收敛的；当212xl，即||2x 时，级数212nn n n x是发散的；当212xl，即2x 时，级数212nnn n x 化为1n n ，显然是发散的。
河南省专升本2010-2014年高等数学真题
2010年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值602045169150注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效.一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1.设函数()f x 的定义域为区间(-1,1]，则函数()1-x f e 的定义域为（）A.[2,2]- B.(1,1]- C.(2,0]- D.(0,2]2.若()()R x x f ∈为奇函数，则下列函数为偶函数的是（）A.()[]1,1,133-∈-=x x f x y B.()()ππ,,tan 3-∈+=x x x xf y C.()[]1,1,sin 3-∈-=x x f x x y D.()[]ππ,,sin 52-∈=x x e x f y x 3.当0→x 时，21xe -是x 3sin 的（）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶非等价无穷小4.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧<>=.0,,0,1sin 152x e x x x x f x 则0=x 是()x f 的（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.连续点D.第二类间断点 5.下列方程在区间（0,1）内至少有一个实根的是（）A.022=+x B.π-=1sin x C.02523=-+x x D.0arctan 12=++x x 6.函数()x f 在点0x x =处可导，且()10-='x f ，则()()=+-→hh x f x f h 23lim000（）A.32 B.32-C.23-D.237.曲线x x y ln =平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）A.1-=x yB.()1+-=x yC.1+-=x y D.()()11ln -+=x x y 8.设函数5sin 212π--=x y ，则='y （）A.5cos212π---x x B.21x x --C.212x x - D.5cos52122π---x x9.若函数()x f 满足()dx x x x df 2sin 2-=，则()=x f （）A.2cos xB.C x +2cos C.C x +2sin D.C x +-2cos 10.()=-⎰-dx x e dxd b a x21sin （）A.()x e x 21sin --B.()dx x e x 21sin --C.()Cx e x +--21sin D.011.若()()x f x f =-，在区间()+∞,0内，()()0,0>''>'x f x f ，则()x f 在区间()0,∞-内（）A.()()0,0<''<'x f x fB.()()0,0>''>'x f x fC.()()0,0<''>'x f x f D.()()0,0>''<'x f x f 12.若函数()x f 在区间()b a ,内连续，在点0x 处不可导，()b a x ,0∈，则（）A.0x 是()x f 的极大值点B.0x 是()x f 的极小值点C.0x 不是()x f 的极值点D.0x 可能是()x f 的极值点13.曲线x xe y -=的拐点为（）A.1=x B.2=x C.⎪⎭⎫ ⎝⎛22,2e D.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,114.曲线35arctan 2+=xxy （）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平渐近线，又有垂直渐近线D.既无水平渐近线，又无垂直渐近线15.若x cos 是()x f 的一个原函数，则()=⎰x df （）A.C x +-sinB.C x +sinC.C x +-cosD.Cx +cos 16.设曲线()x f y =过点(0,1)，且在该曲线上任意一点()y x ,处切线的斜率为xe x +，则()=xf （）A.22xx e - B.xe x +22C.xe x +2D.xex -217.dx x xx ⎰-+ππ421sin =（）A.2B.0C.1D.1-18.设()x f 是连续函数，则()dt t f x ⎰2是（）A.()x f 的一个原函数B.()x f 的全体原函数C.()22x xf 的一个原函数D.()22x xf 的全体原函数19.下列广义积分收敛的是（）A.dxx⎰+∞11 B.dx x xe ⎰∞+2ln C.dx xx e⎰+∞2ln 1D.dx x x e⎰+∞+2120.微分方程422('')'0x y y x y +-=的阶数是（）A.1B.2C.3D.421.已知向量}{5,,2a x =- 和}{,6,4b y =平行，则x 和y 的值分别为（）A.5,4- B.10,3-- C.10,4-- D.3,10--22.平面1=++z y x 与平面2=-+z y x 的位置关系是（）A.重合B.平行C.垂直D.相交但不垂直23.下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是（）A.122=+z yB.22y x z +=C.222y x z += D.22y x z -=24.关于函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=.0,0,0,,222222y x y x y x xy y x f 下列表述错误的是（）A.()y x f ,在点(0,0)处连续B.()00,0=f C.()00,0='y f D.()y x f ,在点(0,0)处不可微25.设函数()y x y x z -=ln ，则=∂∂yz（）A.()y x y x- B.()2ln y y x x --C.()()y x y xy y x -+-ln D.()()y x y xy y x x ----2ln 26.累次积分()dy y x f dx x x x x ⎰⎰---22222,写成另一种次序的积分是（）A.()dx y x f dy yy⎰⎰-1, B.()dx y x f dy y y y y ⎰⎰---202222,C.()dxy x f dy y y ⎰⎰----111122, D.()dxy x f dy y y ⎰⎰--+--11111122,27.设(){}2,2|,≤≤=y x y x D ，则⎰⎰=Ddxdy （）A.2B.16C.12D.428.若幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为R ，则幂级数()∑∞=-022n nn x a 的收敛区间为（）A.()RR - B.()R R +-2,2C.()R R ,- D.()RR +-2229.下列级数绝对收敛的是（）A.()∑∞=-111n nn B.()∑∞=-12231n nnnC.()∑∞=-+-11211n nn n D.()∑∞=--12121n nn n 30.若幂级数()∑∞=-03n nn x a 在点1=x 处发散，在点5=x 收敛，则在点0=x ，2=x ，4=x ，6=x 中使该级数发散的点的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（每小题2分，共20分）31.设()x f 23-的定义域为(3,4]-，则()x f 的定义域为________32.极限()=--++∞→32limx x xx ________33.设函数()()()()()4321--++=x x x x x f ，则()()=x f 4________34.设参数方程⎩⎨⎧-=+=.13,122t y t x 所确定的函数为()x y y =，则=22dx yd _______35.()⎰=+dx x 1ln ________.36.点(3,2,1)-到平面01=-++z y x 的距离是________37.函数()xy z +=1在点(1,1)处的全微分=dz ________38.设L 为三个顶点分别为(0,0)，(1,0)和(0,1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则()()=-+-⎰dy xy y x dx y xyL22323________39.已知微分方程x e ay y =+'的一个特解为x xe y =，则=a ________40.级数∑∞=0!3n nn 的和为________三、计算题（每小题5分，共45分）41.求极限()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎰→4002sin cos 1sin 1lim xtdt x x e x x x42.设由方程22e xy e y =-确定的函数为()x y y =，求.|0=x dx dy 43.求不定积分dxe e xx ⎰+1244.求定积分().222dx x x x ⎰-+45.求过点(1,2,-5)且与直线⎩⎨⎧=-=+-,33,12y x z y x 平行的直线方程.46.求函数()x xy y x y x f 823,22+-+=的极值47.将()1232-+=x x xx f 展开成x 的幂级数.48.计算二重积分σd y x D⎰⎰+22，其中D 是由圆322=+y x 所围成的闭区域.49.求微分方程069=+'-''y y y 的通解.四、应用题（每小题8分，共16分）50.要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时用料最省？51.平面图形D 由曲线2x y =直线x y -=2及x 轴所围成.求：（1）D 的面积；（2）D 绕x 轴旋转形成的旋转体的体积.五、证明题（9分）52.设函数()x f 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且()().21,00==f f 证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()21f ξξ'=+成立.2011年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值602050128150注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效.一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1.函数()()22ln ++-=x x x x f 的定义域是（）A.()2,∞- B.()+∞-,2 C.()2,2- D.(0,2)2.设()2212++=+x x x f ，则()=x f （）A.2xB.12+x C.652+-x x D.232+-x x 3.设函数()()+∞∞-∈,,x x f 为奇函数，()()+∞∞-∈,,x x g 为偶函数，则下列函数必为奇函数的是（）A.()()f x g x ⋅B.()[]x g fC.()[]x f gD.()()x g x f +4.=→xx x 1sinlim 0（）A.1- B.1C.0D.不存在5.设()1='x f ，则()()=--+→hh x f h x f h 32lim（）A.4B.5C.2D.16.当0→x 时，下列无穷小量与x 不等价的是（）A.22x x -B.123--x e xC.xx )1ln(2+ D.)sin sin(x x +7.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=000111x x e x f x，则0x =是()x f 的（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.连续点D.第二类间断点8.x y sin =的三阶导数是（）A.xsin B.xsin - C.xcos D.xcos -9.设[]1,1-∈x ，则=+x x arccos arcsin （）A.2π B.4π C.0D.110.若()()0,000>''='x f x f ，则下述表述正确的是（）A.0x 是()x f 的极大值点B.0x 是()x f 的极小值点C.0x 不是()x f 的极值点D.无法确定0x 是否为()x f 的极值点11.方程xy 1arcsin =所表示的曲线（）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平渐近线，又有垂直渐近线D.既无水平渐近线，又无垂直渐近线12.dx x ⎰-1121=（）A.0B.2C.2- D.以上都不对13.方程01sin =-+x x 在区间()1,0内根的个数是（）A.0B.1C.2D.314.设()x f 是x cos 的一个原函数，则()=⎰x df （）A.C x +sinB.C x +-sinC.C x +-cosD.Cx +cos 15.设()tdt e x F x xt sin 2cos ⎰+=π，则()x F （）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数16.设=⎰dt te dxd b x t（）A.xxe- B.xxeC.xbee - D.xb xebe -17.由曲线()π≤≤=x x y 0sin 与x 轴所围成的区域的面积为（）A.0B.2C.2D.π18.关于二阶常微分方程的通解，下列说法正确的是（）A.一定含有两个任意常数B.通解包含所有解C.一个方程只有一个通解D.以上说法都不对19.微分方程x y y =+'3的通解是（）A.122++=x Ce x yB.1-+=Cx xe y xC.913++=xCe x y D.91313-+=-xCe x y 20.已知向量a i j k =++ ，则垂直于a且垂直于y 轴的向量是（）A.i j k-+ B.i j k -- C.i k+D.i k- 21.对任意两个向量a ，b，下列等式不恒成立的是（）A.a b b a+=+ B.a b b a⋅=⋅ C.a b b a⨯=⨯ D.()()2222a b a ba b⋅+⨯=⋅ 22.直线011z y x =-=与平面2=-+z y x 的位置关系是（）A.平行B.直线在平面内C.垂直D.相交但不垂直23.xy yy x sin lim2→→的值为（）A.0B.1C.21D.不存在24.函数()y x f ,在点()00,y x 处的两个偏导数()00,y x f x '，()00,y x f y '都存在是()y x f ,在该点连续的（）A.充要条件B.必要非充分条件C.充分非必要条件D.既非充分亦非必要条件25.函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=y x z 1ln 在点()1,1处的全微分()=|1,1dz （）A.0B.()dy dx -21C.dy dx -D.dy ydx y x 11-+26.设1220I dy x y dx =⎰，则交换积分次序后（）A.dyy x dx I x⎰⎰-=1010223 B.dyy x dx I y⎰⎰-=1010223C.dyy x dx I x ⎰⎰-=21022103 D.dyy x dx I x ⎰⎰+=210221327.设L 为三个顶点分别为(1,0),O(0,0)A -和(0,1)B 的三角形区域的边界，L 的方向为顺时针方向，则()=-+-⎰dy y x dx y x L )2(3（）A.0B.1C.2D.1-28.设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-≤≤=11,40|,y x y x D π，则=⎰⎰dxdy y x y D)2cos(（）A.21-B.0C.41 D.2129.若级数∑∞=1n na与∑∞=1n nb都发散，则下列表述必正确的是（）A.()∑∞=+1n n nb a发散 B.∑∞=1n nn ba 发散C.()∑∞=+1n n nb a发散D.()∑∞=+122n n nb a发散30.若级数()nn n x a 21-∑∞=在2-=x 处收敛，则此级数在4=x 处（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定二、填空题（每小题2分，共20分）31.()=-→xx x 11lim ________.32.设()x f 为奇函数，则()30='x f 时，()=-'0x f ________.33.曲线x y ln =上点)0,1(处的切线方程为________.34.()=-⎰dx x x 11_______.35.以x x xe C e C 2221--+为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为________.36.点(1,2,3)关于y 轴的对称点是________.37.函数yx ez +=在点(0,0)处的全微分=|)0,0(dz________.38.由1=++xy y x 所确定的隐函数()x y y =在1=x 处导数为________.39.函数22y x z +=在点（1，2）处沿从点1(1,2)P到2(2,2P +的方向的方向导数等于________.40.幂级数1nn x n ∞=∑的收敛区间为________.三、计算题（每小题5分，共50分）41.用夹逼准则求极限.21lim 222⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn 42.讨论函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 23x x xx x f 在0=x 处的可导性.43.求不定积分dxe e x x⎰+1244.求定积分.1dx xex⎰45.求微分方程x e y y y =+'+''23的通解.46.设()2,x y x z +=ϕ，且ϕ具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2.47.求曲面：:3z e z xy ∑-+=在点0(2,1,0)M 处的切平面方程.48.计算二重积分σd e Dy x ⎰⎰+，其中D 是由直线1=+y x 和两条坐标轴所围成的闭区域.49.计算()dz y x ydy xdx L⎰-+++1．L 是从点()1,1,1A )到点)4,1,1(B 的直线段.50.将21()f x x =展开为(1)x +的幂级数.四、应用题（每小题6分，共12分）51.求点()1,0P 到抛物线2x y =上点的距离的平方的最小值.52.求几何体44422≤++z y x 的体积.五、证明题（8分）53.设函数()()x g x f ,均在区间[]b a ,上连续，()()()()a g b f b g a f ==,，且()().b f a f ≠证明：存在一点()b a ,∈ξ，使()().ξξg f =2012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值602050128150注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效.一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1.函数xx y 1arctan4++=的定义域是（）A.[4,)-+∞B.(4,)-+∞C.[4,0)- (0,)+∞D.(4,0)- (0,)+∞2.下列函数为偶函数的是（）A.()x x y -+=1log 32B.x x y sin =C.()xx ++1ln D.xey =3.当0→x 时，下列无穷小量中与)21ln(x +等价的是（）A.xB.x 21 C.2xD.x24.设函数()xx f 1sin 2=，则0=x 是()x f 的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5.函数3x y =在0=x 处（）A.极限不存在B.间断C.连续但不可导D.连续且可导6.设函数()()x x x f ϕ=其中()x ϕ在0=x 处连续且的()00≠ϕ则()0f '（）A.不存在B.等于()0ϕ'C.存在且等于0D.存在且等于()0ϕ7.若函数()u f y =可导，xe u =，则=dy （）A.()dxe f x' B.()()xxed e f 'C.()xf x e dx¢× D.()[]()xxe d ef '8.曲线()x f y 1=有水平渐近线的充分条件是（）A.()0lim =∞→x f x B.()∞=∞→x f x lim C.()0lim 0=→x f x D.()∞=→x f x 0lim 9.设函数x x y sin 21-=，则=dydx （）A.y cos 211-B.x cos 211-C.ycos 22- D.xcos 22-10.曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()0,1处的切线斜率是（）A.0B.1C.2D.311.方程033=++c x x （其中c 为任意实数）在区间()0,1内实根最多有（）A.4个B.3个C.2个D.1个12.若()x f '连续，则下列等式正确的是（）A.()[]()x f dx x f ='⎰ B.()()x f dx x f ='⎰C.()()x f x df =⎰ D.()[]()x f dx x f d=⎰13.如果()x f 的一个原函数为x x arcsin -，则()=⎰dx x f （）A.C x +++2111 B.Cx +--2111C.Cx x +-arcsin D.Cx +-+211114.设()1='x f ，且()10=f ，则()=⎰dx x f （）A.Cx + B.C x x ++221C.Cx x ++2D.C x +22115.=-⎰dt t dx d x2012sin 2)cos (（）A.2cos x - B.()xx cos sin cos 2C.2cos x x D.()2sin cos x16.=-⎰dx e x x 2132（）A.1B.0C.121--eD.11--e17.下列广义积分收敛的是（）A.⎰10ln 1xdxxB.⎰1031dxxx C.⎰+∞1ln 1xdx xD.dxe x ⎰+∞--3518.微分方程122=+dx dyy dxy d 是（）A.二阶非线性微分方程B.二阶线性微分方程C.一阶非线性微分方程D.一阶线性微分方程19.微分方程yxx dx dy cos sin =的通解为（）A.C x y +=22cos B.C x y +=22sin C.Cx y +=2sin D.Cx y +=2cos 20.在空间直角坐标系中，若向量a 与ox 轴和oz 轴正向的夹角分别为045和060，则向量a 与oy 轴正向的夹角为（）A.030B.060C.045D.060或012021.直线32211:+=-=-z y x L 与平面02:=+y x π的位置关系是（）A.直线L 在平面π内B.平行C.垂直D.相交但不垂直22.下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是（）A.12322=+z x B.22yx z -=C.22z x y -= D.2222yx z =-23.()()=--→11lim1,1,xy xy y x （）A.0B.21 C.31 D.224.函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微是()y x f ,在该点处两个偏导数x z ∂∂和yz ∂∂存在的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件25.已知()xy y x z sin ++=，则=∂∂∂yx z2（）A.()xy sinB.()()xy xy +1sinC.()()xy xy xy sin cos - D.()xy xy cos -26.幂级数02(1)!n nnn x n ∞=-∑的和函数()x s 为（）A.xe- B.xe2- C.2xe- D.xe22-27.下列级数发散的是（）A.)2)(1(43)1(21++--∑∞=n n nn nB.11)1(1+-∑∞=n n nC.n n n 31)1(11∑∞=-- D.()∑∞=+123121n n 28.若级数∑∞=-0)2(n n n x a 在点0=x 处条件收敛，则在1-=x ，2=x ，3=x ，4=x ，5=x 中使该级数收敛的点有（）A.0个B.1个C.2个D.3个29.若L 是曲线3x y =上从点()1,1A 到点()1,1--B 的一条连续曲线段，则曲线积分()()dy y x xe dx y ey Ly32-++-+⎰的值为（）A.41-+-e eB.41----e e C.41+---e e D.030.设()dy y x f dx I x ⎰⎰=1002,221(,)xdx f x y dy -+⎰⎰，则交换积分次序后，I 可化为（）A.()dxy x f dy yy⎰⎰-102, B.()dxy x f dy x x ⎰⎰-2022,C.()dxy x f dy ⎰⎰12, D.()dxy x f dy x x ⎰⎰-122,二、填空题（每小题2分，共20分）31.已知()x x x f -=-21，则()=x f32.设函数2()lim 1(0)tt x f x x t →+∞⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，则(ln 2)f =33.如果函数()x f 在点a 处可导，且()a f 为()x f 的极大值，则()='a f 34.曲线xxe y -=的拐点是35.不定积分()=-⎰dx xx 11236.微分方程22x e xy dxdy-=+满足()00=y 的特解为37.向量{}2,1,1-=a 在{}4,3,0=b 上的投影为38.设方程0=++yz xz xy 所确定的隐函数是()y x z z ,=，则=∂∂==|10y x x z39.设积分区域D 为y y x 422≤+，则⎰⎰=Ddxdy 40.若)0(lim >=∞→k k nu n n ，则正项级数∑∞=1n nu的敛散性为三、计算题（每小题5分，共50分）41.1sin tan lim3--→x x ex x 42.已知参数方程()()⎩⎨⎧-=-=,cos 1,sin 1t a y t a x （t 为参数），求22dx yd .43.求不定积分dxex ⎰+144.求⎰-→xt xx dte e x 0221lim45.求微分方程222dxy d 430dyy dx ++=的通解.46.求函数()10126,23+-+-=y x x y y x z 的极值.47.求过点()1,3,2--A 且与直线⎩⎨⎧=+=-+,12,532:z x z y x L 平行的直线方程.48.求函数22ln arctany x yxz ++=的全微分.49.计算dxdy y x D⎰⎰+22sin，其中D 为圆环：22224ππ≤+≤y x .50.求幂级数()∑∞=+-012n nn x 的收敛域.四、应用题（每小题6分，共12分）51.求函数()xx x f 1=在0>x 时的最大值，并从数列1，2，33， ，nn).52.求过点()0,3M 作曲线)3ln(-=x y 的切线，该切线与此曲线及x 轴围成一平面图形D .试求平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、证明题（8分）53.证明不等式：nnm n m m n m -<<-ln ，其中m n <为正整数.2013年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值602050128150注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效.一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1.函数1)1arcsin(--=x x y 的定义域是（）A.]20[，B.),1(+∞ C.]2,1( D.]2,1[2.设xx f -=11)(，那么=)]}([{x f f f （）A.x1 B.11-x C.211x - D.x3.函数()()01ln 12≠-+=x xx y 是（）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数4.设xxx f 2sin )(=，则0=x 是)(x f 的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点5.当0→x 时，下列无穷小量中与x x --+11等价的是（）A.xB.x2 C.2xD.22x6.已知=--=='='→xx g x f g f b g a f x )()(lim ),0()0(,)0(,)0(0则且（）A.b a -B.ba +2 C.ba + D.ab -7.曲线),0,0(sin cos >>⎩⎨⎧==b a tb y ta x 则4π=t 对应点处的法线斜率为（）A.a b B.ba C.ab - D.ba -8.设)()(x g x f ='，则=)(sin d 2x f （）A.xdx x g sin )(2B.xdx x g 2sin )(C.dxx g )2(sin D.xdxx g 2sin )(sin 29.设函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （）A.)1()]([!+n x f n B.)1()]([+n x f n C.)1()]()[1(++n x f n D.)1()]([)!1(++n x f n 10.由方程yx exy +=确定的隐函数)(y x 的导数=dy dx （）A.)1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x y D.)1()1(-+x y y x 11.若）（a x x f <<>''00)(，且0)0(=f ，则下面成立的是（）A.0)(>'x fB.)(x f '在],0[a 上单调增加C.0)(>x f D.)(x f 在],0[a 上单调增加12.点)1,0(是曲线c bx x y ++=23的拐点，则（）A.1,0==c bB.0,1=-=c bC.1,1==c bD.1,1=-=c b 13.曲线6212--++=x x x y 的垂直渐近线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条14.函数xxe e xf --=)(的一个原函数是（）A.xxe e x F --=)( B.xxee x F -+=)(C.x x e ex F -=-)( D.xx ee x F ---=)(15.若)(xf '连续，则下列等式正确的是（）A.)()(x f x df =⎰ B.)()(x f dx x f d =⎰C.)()(x f dx x f ='⎰ D.dxx f dx xf d)()(22=⎰16.2sin =x xdx ππ-⎰（）A.π B.π- C.1 D.017.设x xxe dt t f ++=⎰221)(，则=')(x f （）A.xxeB.xex )1(- C.xex )2(+ D.2+x xe18.下列广义积分收敛的是（）A.⎰+∞1xdxB.⎰+∞1xdx C.⎰+∞12x dx D.⎰∞+13ln xxdx 19.微分方程0)()(22=+''+'y y y y 的阶数是（）A.1B.2C.3D.420.微分方程022=-dx xy dy 满足条件1)1(-=y 的特解是（）A.21x y =B.21x y -=C.2x y = D.2xy -=21.下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（）A.344πππ，， B.346πππ，，C.433πππ，， D.234πππ，，22.直线143221:-=-+=-z y x L 与平面0432:=-+-z y x π的位置关系是（）A.L 在π上B.L 与π垂直相交C.L 与π平行D.L 与π相交，但不垂直23.下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（）A.22237y z x =+ B.44122y x z -=-C.91614222z y x --= D.0222=-+x y x24.00x y →→=（）A.0B.1C.41-D.不存在25.设)32,(22y x y x f z +-=，则=∂∂yz（）A.2132f f y '+'B.2132f f y '+'-C.2122f f x '+'D.2122f f x '-'26.设dy y x f dx dy y x f dx I xx ⎰⎰⎰⎰-+=22802222020),(),(，则交换积分次序后，I 可以化为（）A.dx y x f dy y y⎰⎰-2822),( B.dxy x f dy y x ⎰⎰-22822),(C.dxy x f dy y x ⎰⎰-2282220),( D.dxy x f dy ⎰⎰2222),(27.积分=⎰⎰1212ydy x dx （）A.2B.31 C.21 D.028.设L 是抛物线2y x =上从)0,0(到)1,1(A 的一段弧，则曲线积分=+⎰dy x xydx L22（）A.0B.2C.4D.129.幂级数nn xn ∑∞=+1)1(的收敛区间为（）A.)1,0( B.),(+∞-∞ C.)1,1(- D.)0,1(-30.下列级数收敛的是（）A.()∑∞=+-1111n n n B.∑∞=+111ln(n n C.∑∞=11sinn n D.∑∞=1!n nn n 二、填空题（每小题2分，共20分）31.函数)(x f 在点0x 有定义是极限)(lim 0x f x x →存在的条件.32.已知231lim -∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-e x pxx ，则=p .33.函数⎩⎨⎧>+≤-=0,2cos 0,)(x x x a x a e x f ax 是连续函数，则=a .34.设函数421x x f =⎪⎭⎫⎝⎛，则=')(x f .35.不定积分=++⎰dx x x x sin 2cos 2.36.向量}{1,0,1a = 与向量}{1,1,0b =-的夹角是.37.微分方程0=-+'x y y 的通解是.38.设方程022=-++xyz z y x 所确定的隐函数为),(y x z z =，则=∂∂==10y x xz .39.曲面22y x z +=在点)5,2,1(处的切平面方程是.40.将xx f 1)(=展开成)4(-x 的幂级数是.三、计算题（每小题5分，共50分）41.求极限011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢+⎣⎦42.已知函数)(y x x =由方程22ln arctany x x y +=所确定，求.dydx43.求不定积分.arctandx x ⎰44.设,0,0,1)(2⎩⎨⎧>≤+=x e x x x f x求.)2(31dx x f ⎰-45.求微分方程xe y y y 32=-'+''的通解.46.设xye y x u ++=2sin 2，求全微分du .47.一平面过点)1,0,1(-且平行于向量{}1,1,2-=a 和{}2,1,1-=b ，求此平面的方程.48.计算dxdy eDyx ⎰⎰，其中D 是由0,2,,1====x y x y y 所围成的闭区域.49.计算积分dy y xy x dx y xy x L)152()102(2222+--++-+⎰，其中L 为曲线x y cos =上从⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πA 到点⎪⎭⎫⎝⎛-0,2πB 的一段弧.50.求幂级数∑∞=+-0)1(2)1(n n nn x 的收敛域.四、应用题（每小题6分，共12分）51.某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？52.曲线)0(3≥=x x y ，直线2=+y x 以及y 轴围成一平面图形D ，试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、证明题（8分）53.设)(x f 在区间]1,0[上连续，且1)(<x f ，证明：方程1)(20=-⎰dt t f x x在区间)1,0(内有且仅有一个实根.2014年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值602050128150注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效.一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1.函数2()sin 9ln(1)f x x x =-+-的定义域是（）A.(1,3]B.(1,)+∞ C.()3,+∞ D.[3,1)-2.已知2(2)2f x x x =-,则()f x =（）A.2114x + B.2114x - C.214x x - D.114x +3.设()f x 的定义域为R ，则()()()g x f x f x =--（）A.是偶函数B.是奇函数C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数4.已知224lim 42x ax x →+=--,则（）A.1a =- B.0a = C.1a = D.2a =5.1x =-是函数2212x y x x -=--的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.连续点D.第二类间断点6.当0x →时，比1cos x -高阶的无穷小是（）A.211x +- B.2ln(1)x + C.sin xD.3arctan x7.已知()ln f x x =，则220()()lim 2h f x h f x h→+-=（）A.2ln xx -B.ln x xC.-21x D.1x8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩(t 为参数），在2t π=对应点处切线的方程为（）A.1x = B.1y = C.1y x =+ D.1y x =-9.函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则方程'()0f x =实根的个数为（）A.2B.3C.4D.510.设()y y x =是由方程xy xy e =+确定的隐函数，则dy dx=（）A.11x y x+-- B.21y xy x-- C.11y x+- D.12x x xy---11.已知函数()f x 在区间[]0,a ()0a >上连续，()00f>且在()0,a 上恒有()0>'x f ,设10()aS f x dx =⎰,2(0)S af =,1S 与2S 的关系是（）A.12S S < B.12S S = C.12S S > D.不确定12.曲线31y x =+（）A.无拐点 B.有一个拐点C.有两个拐点D.有三个拐点13.曲线y =12x -的渐近线的方程为（）A.0,1x y ==B.1,0x y ==C.2,1x y == D.2,0x y ==14.设()F x 是()f x 的一个原函数，则()xx ef e dx --⎰=（）A.()xF e c-+ B.()xF e c--+ C.()xF e c+ D.()xF e c-+15.设()f x 在[,]a b 上连续，则由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围成平面图形的面积为（）A.()baf x dx⎰B.()baf x dx⎰ C.()baf x dx⎰D.()()()f b f a b a --16.设()f x 是连续函数，满足()f x =21sin 1x x++()11f x dx --⎰则lim ()x f x →∞=（）A.0B.6π-C.3π D.6π17.设()f x =(1)sin ,xt tdt -⎰则'()f x =（）A.sin cos x x x +B.(1)cos x x- C.sin cos x x x- D.(1)sin x x-18.下列广义积分收敛的是（）A.2ln x dx x+∞⎰B.1+∞⎰C.21⎰D.1cos xdx+∞⎰19.微方程0dx dyy x+=的通解是（）A.2225x y += B.34x y c+= C.22x y c+= D.227y x -=20.解常微方程''2'xy y y xe -+=的过程中，特解一般应设为（）A.*2=)xy Ax Bx e +（ B.*=xy AxeC.*=xy AeD.*2=()xy x e Ax B +21.已知,,a b c 为非零向量，且0a b ⋅= ，0b c ⨯=则（）A.a b b c ⊥ 且B.a b b c ⊥ 且C.a c b c⊥ 且 D.a c b c⊥ 且22.直线L:==3-25x y z与平面π：641010x y z -+-=的位置关系是（）A.L 在π上B.L 与π平行但无公共点C.L 与π相交但不垂直D.L 与π垂直23.在空间直角坐标系内，方程2221x y -=表示的二次曲面是（）A.球面B.双曲抛物面C.圆锥面D.双曲柱面24.极限0y 0x →→=（）A.0B.4C.14D.14-25.点（0,0）是函数z xy =的（）A.驻点B.极值点C.最大值点D.间断点26.设{}(,)21D x y x y =≤≤，则()+Dxy y dxdy⎰⎰=（）A.0B.1- C.2D.127.设(),f x y 为连续函数,()()122-01,+,xxdx f x y dy dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰交换积分次序后得到（）A.()212,yy dy f x y dx⎰⎰ B.()2,ydy f x y dx⎰⎰C.()12-0,y ydy f x y dx⎰⎰D.()2022,yy dy f x y dx⎰⎰28.L 为从（0,0）经点（0，1）到点（1,1）的折线，则2+Lx dy ydx ⎰=（）A.1B.2C.0D.1-29.下列级数条件中收敛的是（）A.2n=12n-1n +1∞∑ B.nnn=11-3∞∑（1）C.22n=1n +n+1n -n+1∞∑D.nn=1-∞∑（30.级数2n=114n -1∞∑的和是（）A.1B.2C.12D.14二、填空题（每小题2分，共20分）31.设-1=-1x x f x x x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭（0,1），则()f x =__________.32.设连续函数()f x 满足22()()f x x f x dx =-⎰,则2()f x dx ⎰=__________.33.已知,1()ln ,1x a x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，若函数()f x 在1x =连续，a =______.34.设33'(1)12f x x +=+且()01f =-，则()f x =__________.35.不定积分cos 2xdx ⎰=__________.36.若向量{}{}{}0,1,1;1,0,1;1,1,0a b c ===，则()a b c ⨯= __________.37.微分方程"4'40y y y -+=的通解()y x =__________.38.设arctan222(,)ln()cos y xf x y ex y xy =+，则'(1,0)x f =__________.39.函数()222,,f x y z x y z =++在点()1,1,1处方向导数的最大值为__________.40.函数()112f x x=-的幂级数展开式是__________.三、计算题（每小题5分，共50分）41.求极限2x x →42.设n a 为曲线n y x =与1(1,2,3,4...)n y x n +==所围的面积，判定级数1n n ∞=的敛散性43.求不定积分.44.计算定积分42x dx -⎰.45.解微分方程3xy y x '-=.46.已知函数(,)z f x y =由方程20xyz ez e --+=所确定，求dz .47.已知点(4,1,2),(1,2,2),(2,0,1)A B C --求ΔABC 的面积.48.计算二重积分ln D⎰⎰,其中22{(,)14}D x y x y =≤+≤.49.计算曲线积分()()2211Ly x dx x y dy ++-⎰ 其中L 是圆221x y +=（逆时针方向）.50.试确定幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域并求出和函数.四、应用题（每小题7分，共14分）51.欲围一个面积150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面每平方米6元，其余三面是每平方3元，问场地的长，宽各为多少时，才能使造价最低？52.已知D 是抛物线L:22y x =和直线12x =所围成的平面区域，试求：（1）区域D 的面积（2）区域D 绕ox 轴旋转所形成空间旋转体体积.五、证明题（6分）53.设2e a b e <<<，证明2224ln ln ()b a b a e ->-.。
2011年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2011年河南省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数f(x)=ln(2-x)+的定义域是( )A．(-∞，2)B．(-2，+∞)C．(-2，2)D．(0，2)正确答案：C解析：由得-2＜x＜2．2．设f(x+1)=x2+2x+2，则f(x)= ( )A．x2B．x2+1C．x2-5x+6D．x2-3x+2正确答案：B解析：由f(x+1)=x2+2x+2=(x+1)2+1，令x+1=t，得f(t)=t2+1，则f(x)=x2+1．3．设函数f(x)(-∞<x<+∞)为奇函数，g(x)(-∞<x<+∞)为偶函数，则下列函数必为奇函数的是( )A．f(x).g(x)B．f[g(x)]C．g[f(x)]D．f(x)+g(x)正确答案：A解析：奇函数与偶函数之积仍为奇函数，A为正确的选项．4．( )A．-1B．1C．0D．不存在正确答案：C解析：根据无穷小量与有界函数之积仍为无穷小量的性质可知C为正确选项．5．设函数f’(x)=1，则= ( )A．4B．5C．2D．1正确答案：B解析：6．当x→0时，下列无穷小量与x不等价的是( )A．x-B．ex-2x3-1C．D．sin(x+sinx)正确答案：D解析：=2，所以sin(x+sinx)与x不等价．7．设函数f(x)=则x=0是f(x)的( )A．可去间断点B．跳跃间断点C．连续点D．第二类间断点正确答案：B解析：=1，即左右极限均存在但不相等，故x=0是f(x)的跳跃间断点．8．函数sinx的三阶段是( )A．sinxB．-sinxC．cosxD．-cosx正确答案：D解析：由y=sinx的n阶导数为y(n)=sin(x+)可得y(3)=sin(x+)=-cosx 9．设x∈[-1，1]，则arcsinx+arccosx=( )A．B．C．0D．1正确答案：A解析：令f(x)=arcsinx+arccosx，则f’(x)=，得f(x)=C，当x=0时，f(0)=C=10．若f’(x0)=0，f’(x0)＞0，则下列表述正确的是( )A．x0是函数f(x)的极大值点B．x0是函数f(x)的极小值点C．x0不是函数f(x)的极值点D．无法确定x0是否为f(x)的极值点正确答案：B解析：由f’(x0)=0，f’’(x0)＞0知f(x)为非常数函数，且在x0处取得极值，又f’’(x0)＞0，知f(x)为凹的，故x0为f(x)的极小值点．故选B.11．函数y=arcsin所表示的曲线( )A．仅有水平渐近线B．仅有垂直渐近线C．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D．既无水平渐近线，又无垂直渐近线正确答案：A解析：因=0，所以有水平渐近线．因arcsin的定义域为≤1，即｜x｜≥1，所以x不可能接近于零，故没有垂直渐近线．12．= ( )A．0B．2C．-2D．以上都不对正确答案：D解析：=-∞，发散，故选D.13．方程sinx+x-1=0在区间(0，1)内根的个数是( )A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：令f(x)=sinx+x-1，因在区间(0，1)内f’(x)=1+cosx＞0，所以函数是严格单调递增的，又因f(0)=-1＜0，f(1)=sin1＞0，由零点定理可知B为正确选项．14．设函数f(x)是cosx的一个原函数，则∫df(x)= ( )A．sinx+CB．-sinx+CC．-cosx+CD．cosx+C正确答案：A解析：函数f(x)是cosx的一个原函数，则f(x)=sinx，从而∫df(x)=sinx+C15．设F(x)=sintdt，则F(x) ( )A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：C解析：因为正弦sint与余弦cost均为以2π为周期的周期函数，所以ecosxsinx 也是以2π为周期的周期函数，又因周期函数在一个周期内的积分与积分的上下限无关，所以F(x)=，由积分区间的对称性和被积函数为奇函数，知C为正确选项．16．= ( )A．-xexB．xexC．eb-exD．beb-xex正确答案：A解析：根据f(t)dt=f[u(x)].u’(x)-f[v(x)，显然=0-xex=-xex17．由曲线y=sinx(0≤x≤π)与x轴所围成的区域的面积为( )A．0B．2C．D．π正确答案：B解析：y=sinx(0≤x≤π)与x轴所围成的区域面积为=-(cos π-cos0)=2．18．关于二阶常微分方程的通解，下列说法正确的是( )A．一定含有两个任意常数B．通解包含所有解C．一个方程只有一个通解D．以上说法都不对正确答案：A解析：由微分方程通解的定义易知A为正确选项．19．微分方程y’+3y=x的通解是( )A．y=2x+Ce2x+1B．y=xex+Cx-1C．y=3x+Cex+D．y=+Ce-3x-正确答案：D解析：由齐次微分方程y’+3y=0，可得其通解为y=Ce-3x，结合选项知D正确．20．已知向量a=i+j+k，则垂直于a且垂直于y轴的向量是( )A．i-j+kB．i-j-kC．i+kD．i-k正确答案：D解析：因y轴的方向向量为{0，1，0)，所求的垂直于y轴的向量必有第2个分量为0，从而可以排除选项A和B；又因所求向量垂直于a，则二者对应分量乘积之和必为0，但a的第1和第3个分量均为1，则所求向量的第1和第3个分量必为相反数，故选D.21．对任意向量a，b，下列等式不恒成立的是( )A．a+b=b+aB．a-b=b.aC．a×b=b×aD．(a.b)2+(a×b)2=a2b2正确答案：C解析：向量加法满足交换律，故A恒成立；向量的内积为一固定常数，与顺序无关，故B恒成立；选项D中的左右两侧均为常数，也恒成立；而选项C 左右两侧是向量的外积，与顺序有关，一般情况下并不相等，仅当a，b平行时才成立，故C为正确选项．22．直线与平面x+y-z=2的位置关系是( )A．平行B．直线在平面内C．垂直D．相交但不垂直正确答案：A解析：直线的方向向量为={1，-1，0｝，平面的法向量为={1，1，-1)，因为=0，即，从而可知直线与平面平行，又因直线过定点M0(0，0，0)，该点显然不在平面内，所以选A.23．的值为( )A．0B．1C．D．不存在正确答案：C解析：24．函数f(x，y)在(x0，y0)处两个偏导数fx(x0，y0)，fy(x0，y0)都存在是f(x，y)在该点处连续的( )A．充要条件B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．既非充分又非必要条件正确答案：D解析：函数f(x，y)在(x0，y0)处两个偏导数都存在是f(x，y)在该点连续的既非充分又非必要条件，D为正确选项．25．函数z=ln(1+)在点(1，1)处的全微分出dz｜(1,1)= ( )A．0B．(dx-dy)C．dx-dyD．正确答案：B解析：因z=lim(x+y)-liny，则26．设I=，则交换积分次序后( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由知，积分区域为D={(x，y)｜0≤y≤1，0≤x≤)，该区域又可表示为D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1-x2｝，所以选C.27．设L为三个顶点分别为(-1，0)，(0，0)和(0，1)的三角形区域的边界，L的方向为顺时针方向，则∮L(3x-y)dx+(x-2y)dy= ( )A．0B．1C．2D．-1正确答案：D解析：P(x，y)=3x-y,Q(x，y)=x-2y，则=1，因为L的方向为顺时针方向，由格林公式得∮L(3x-y)dx+(x-2y)dy==(-2)××1×1=-128．设D={(x,y)｜0≤x≤，-1≤y≤1}，则cos(2xy)dxdy=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因为在[-1，1]上，ycos(2xy)为关于y的奇函数，所以ycos(2xy)dy=0，从而cos(2xy)dxdy=ycos(2xy)dy=029．若级数都发散，则下列表述必正确的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：对于选项A，取都发散，但其和(an+bn)收敛；对于选项B，取都发散，但收敛；对于选项D，取都发散，但收敛，故选C30．若级数(x-2)n在n=-2处收敛，则此级数在x=4处( ) A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．收敛性不能确定正确答案：C解析：令t=x-2，则，当x=-2时，t=-4，即级数在t=-4处收敛，从而级数在[-4，4)内绝对收敛，当x=4时，t=2，该点落在收敛域内，故选C.填空题31．=_______正确答案：e-1解析：32．设f(x)为奇函数，则f’(x0)=3时，f’(-x0)=________正确答案：3解析：因为奇函数f(x)的导函数为偶函数，所以f’(-x)=f’(x)，又f’(x0)=3，故f’(-x0)=3．33．曲线y=lnx上点(1，0)处的切线方程为_______正确答案：y=x-1解析：曲线y=lnx上点(1，0)处的切线的斜率为k=y’==1，又切线过点(1，0)，所以切线方程为y=x-1。
2011年高考数学及参考答案(河南卷)
2011理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii+-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A 2 （B 3 （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2008-2012年成人考试教育专升本高数一真题及答案
绝密★启用前2011年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．。
一、选择题：1～10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上．．．．．．．．．．．．。
1.2211lim 33x x x x x →++=-+ A. 0 B. 1 C.2 D. 32.设4y x =，则'y = A. 515x B. 314x C. 34x D. 4ln x x 3.设ln y x x =+，则dy =A. (1)x e dx +B.1(1)dx x+ C. 1dx xD. dx 4.设sin y x =，则''y =A. sin x -B. sin xC. cos x -D. cos x 5.31dx x =⎰ A. 22C x -+ B. 212C x -+ C. 212C x + D. 22C x+6.151x dx -=⎰ A. 12 B. 13 C.16 D. 0 7.设arcsin y z x e =+，则z y∂∂y e +C.y e8.在空间直角坐标系中，方程221x y +=表示的曲面是 A. 柱面 B. 球面 C. 锥面 D. 旋转抛物面9.设23z x y =-，则dz =A. 23xdx ydy -B. 23x dx dy - C. 23xdx dy - D. 23x dx ydy - 10.微分方程'2y y =的通解为y =A. 2x CeB. 2x Ce C. x Cxe D. 2x Cxe二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。
将答案填写在答题卡相应题号后。
11.4lim(1)x x x→∞+=______. 12.设函数21,0()2,0x x f x a x x ⎧+≤=⎨+>⎩，在0x =处连续，则a =______. 13.曲线22y x =在点(1,2)处的切线方程为y =______.14.设2xy e =，则1'x y ==______.15.函数313y x x =-的单调减少区间为______. 16.211dx x =+⎰______.17.120)x dx =⎰______.18.过点(1,1,2)--且与平面2230x y z -+=垂直的直线方程为______.19.设函数(,)z f x y =可微，00(,)x y 为其极值点，则00(,)x y zx ∂=∂______.20.微分方程'1y x =+的通解为y =______.三、解答题：21～28题，共70分。
河南2011高考数学真题
河南2011高考数学真题一、选择题1. 设f(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) (a ≠ 0)，若f(1) = f(2) = f(3)，则实数x 满足的关系是（）。
A．x =1或2或3B．x ≠ 1．2．3C．x = 2或3D．X = ±1或±2或±32. 已知函数f(x) = |2x - 1| - |3x + 1|，则不等式f(x) ≥ 0 的解集是（）。
A．( - ∞， -1]∪[1.1)B．( - ∞， -1 ]∪[0，1]C．( - 1.1]∪[ + 1 , + ∞ )D．[ - 0∞ )3. 若sin2Φ - cos2Φ = a．则10cot2ΦcotΦ的值为（）A．3B．4C．5D．64. 三角形ABC中，∠A = 90°，C为斜边AB的中点，则tanB的值为（）A．1B．3C．2D．45. 设A是3阶方阵，|A| = -2，则|3At|的值为（）A．-8B．-27C．-54D．-26. 已知数列{a｝满足an + 1 = |2an - 3|，且a1 =1，则数列{an}的通项公式为（）A．-2nB．2n+1C．2nD．-2n+17. 已知集合A = {-5，-3，4}，集合B = { -4， 1， 3}，集合C = {2，4， 6}，则(A ∪ B) ∩ C =(）A．{3}B．{6}C．{-5， -3， 4}D．{-3}8. 函数f(x)对x的增量Δx的增量Δf(x)的比值f'(x)应用于判定函数的(）增减性。
A．平均B．瞬时C．最大D．最小9. 设曲线y = f(x)与x轴相交于A、B两点，称A、B两点在f(x)上对称于x = c处，其中c ∈ R，若f(3) = 6，点(3，6)在f(x)上对称于x = - 4处，则c的值是（）A．6B．-7C．7D．-610. 已知f(x) =x + 3cos(x + π/6)，则f(x)的最大值为（）A．4B．2C．3D．511. 已知梯形的上底和下底(不相等)长度分别是7cm,9cm，梯形的高是4cm，则梯形的面积为(）。
2001-2013年河南专升本高数真题及答案
2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ）A. xB.2xC. x 2D. 22x 解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程yx e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为（ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n C. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xe y 1-=（ ）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线 解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ）A.t a b 2sinB.t a b32sin - C.t a b 2cos D.tt a b22cos sin -解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22t a bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （ ）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aa dx x f )( （ ）A.0B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a adx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰ba dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰axdt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 解：n s n s ⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数xz∂∂和y z ∂∂存在是它在该点处可微的 （ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件 解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln = ，则=)2,1(dz （ ）A.dx x y 2B.dy dx 2121-C.dy dx 21-D.dy dx 21+ 解：dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰202),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ）A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C. ⎰⎰4022),(xdx y x f dy D. ⎰⎰42),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A.25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f dC.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d 解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -1解：L ：,2⎩⎨⎧==xy xx x 从0变到1 , 142221041031332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n nn D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B.28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数)(212n n nv u +∑∞=收敛 C ．若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D ．若级数∑∞=1n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解：正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒ ∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛，而)(2)(222nnn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ，应选C 。