几何组成分析
建筑力学第八章 结构体系的几何组成分析
第一节 几何组成分析的基本概念 第二节 平面体系的自由度 第三节 几何不变体系的组成规则 第四节 几何组成的分析方法 第五节 体系的几何组成与静定性的关系
第一节 几何组成分析的基本概念
几何组成分析，是以几何不变体系的组成规则为根据，确定体系的几何形状和空 间位置是否稳定的一种分析方法
分析时可针对体系的具体情况，从以下几个方面入手： ①、依次撤除体系上的一元片及二元片，使体系的组成简化，再根据基本组成 规则进行分析 ②尽可能地将体系中几何不变的局部归结为两个或三个刚片，然后考察刚片间 的连接方式是否满足几何不变体系的组成规则； ③体系仅用不共点的三根链杆与地基相连时，可先拆除这三根链杆，再由体系 的内部可变性确定整个体系的几何性质。
解：将图8-13a中的AEC、DFB与基础分别视为刚片I、II、III，刚片I和III以 铰A相联，A铰用(1，3)表示，B铰联系刚片II、III以(2，3)表示，刚片I和 刚片II是用CD、EF两链杆相联，相当于一个虚铰O用(1，2)表示，如图813b所示。则连接三刚片的三个铰(1，3)、(2，3)、(1，2)不在一直线上， 符合规则二，故为不变体系，且无多余约束。
二 、 三刚片规则
三刚片规则：三个刚片用不共线的三个铰两两相连，组成几何不变体系， 且无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余约束。
第三节 几何不变体系的组成规则
常变体系 瞬变体系
瞬变体系是不可以用于工程结构的
第四节 几何组成的分析方法
一、计算体系的自由度W，判别体系是否满足几何不变的必要条件。 若自由度W＞0，体系是几何可变的 若自由度W≤0，在此基础上进一步对体系进行几何组成分析。 二、对体系进行几何组成分析，判别其是否满足几何不变的充分条件。 (1)一元片撤除 (2)二元片撤除 (3)刚片的合成
结构力学(几何组成分析)详解
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
0 0' P
M 0 0
N1
N2
N3 Pr 0
N3
N3
Pr
A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
几何瞬变体系
补3 ：
.O1
Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回
几何组成分析—刚片、自由度、约束的概念(建筑力学)
m2
(2)g
m5
m3 (3)r
(1)h (1)g m6
(2)g (1)h m8
m7
(3)r
m=9，g=6，r=9
(1)h
m9 (3)r
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×6+2×4+9) = -8
式中： m为刚片数，g为结点数； h为体系内部链杆数； r为支承链杆数 。
图3.8 链杆的约束简图 （a）梁AB有一个约束；（b）梁AB有两个约束； （c）梁AB有三个约束
I B
1根链杆（支杆）相当于1个约束
A II
铰的约束作用
(1) 单铰（连接两个刚片的铰）
1个单铰相当于2个约束，减少2个自由度。
(2) 复铰（连接两个刚片以上的铰）
连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个 单束的概念
刚片、自由度、约束的概念 一、刚片
体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中一 几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个刚片。
注意：链杆和几何不变体系都可看成钢片。
刚片、自由度、约束的概念
二. 自由度：
体系的自由度是指体系运动时， 可以独立改变的几何参数的数目； 即确定体系位置所需要的独立坐标 的数目。
r 为与地基之间加入的支杆数。
刚片、自由度、约束的概念
三、约束
减少自由度的装置称为约束（或联系）。可以减少1个自由度的装 置是1个约束。
杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支座和固定支座，称 为外部约束；
杆件之间常用的约束是链杆、铰结和刚结，称为内部约束。
刚片、自由度、约束的概念
链杆（支杆）的约束作用
刚结的约束作用
第2章 平面体系的几何组成分析
瞬变体系
去支座后再分析
有
是什么 体系？
O是虚 O不是
铰吗？
O
无多不变
II
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。 方法4: 去掉暴露在最外边的二元体.使结构简化。 例:对图示体系作几何组成分析
刚片Ⅲ
2.几何组成分析的目的
1）如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。 2）判断一个已知体系是否为几何不变体系，从而确定能否作 为结构。 3）区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。
3.几何组成分析时的注意点
1）一个结构的几何属性只于结构的几何组成有关，而与所 受荷载无关。 2）由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根 杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚片。
5）定向支座（平行支链杆）：可以减少二个自由度。
3.多余约束
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的 比较找出多余约束的。从体系自由度的角度同样可以引出多余约束 的概念 。
在一个体系中增加或减少一个约束，体系的自由度并不因 此而减少或增加，则该约束称为多余约束。
4.体系的计算自由度
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
例：对图示体系作几何组成分析
解:该体系为瞬变体系.
方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
第2章 平面体系的几何组成分析
[例] 试对图示体系进行几何组成分析
因三铰在一直线上， 故该体系为瞬变体系。
例 试分析图所示体系的几何组成。
解 (1) 用公式 (2-1) 计算体 系的自由度 m = 3， h = 2， r = 5 W = 3m－2h－r = 3 × 3－2 × 2－5 = 0
(2)几何组成分析 先把杆 AB 、 BC 及地基分别看作是刚片 I ，Ⅱ，Ⅲ， 相互用实铰 A(1 ， 3) 、实铰 B(1 ， 2) 及虚铰 (2 ， 3) 相连， （虚铰是在两平行支承链杆的交点处，即无限远处。） 三铰不在 — 直线上，此部分是几何不变的。然后再加上 一个二元体，亦是几何不变。 因此，整个体系是几何不变的。
2.平面链杆系的自由度
仅在杆的两端用铰连接的杆件称为链杆，它是刚 片的特殊形式，桁架是由这类杆件组成。 链杆系的自由度也可以用式W = 3m – 2h – r ，但 在链杆系中复铰较多，计算有所不便，因此另外从 节点出发推导两个方便计算的公式。
在链杆系中，假如各节点都是互不相连地独 立存在，则每一节点在平面内的自由度是2。
例2-4 计算图所示体系的自由度。
解： 用式(2-3)计算 W=2j–b–r 因为 j＝9，b＝15，r＝3 所以 W= 2×9 –15 – 3 = 0 即体系没有自由度。
例2-5 计算图所示体系的自由度。
解：图中 A ， B ， C 应算作 节点。其余与地基相连的 铰不算入节点数 j 内 (因为两 斜杆视作支承链杆)。 因为 j = 3，b = 2，r = 5 所以 W = 2 j－b－r = 2× 3－2－5＝－1 即体系不但没有自由度， 且多一个约束。
解： 该体系不与基础相连，r=0，故 用式(2-2) V = 3m – 2h – 3 因为 m=7，h=7+2=9
第十二章 平面结构体系的几何组成分析
若原体系几何不变(或可变)，则新增加一个 二元体后，新体系仍为几何不变(或可变)； 同样，在一个已知体系上拿掉二元体，也不
会影响原体系的几何不变性或几何可变性。
因此可将二元体规则叙述如下：在一个体系
上依次增加或减少二元体，原体系的几何可 变性保持不变。
第四节 几何组成分析举例
第四节 几何组成分析举例
=-3
应用此方法解本题时须注意：此时结点B为混合结点， 对于此类结点，计算单刚结点数时，可把铰接杆当作不存 在；而在计算铰结点数时，则把刚接各杆看作一个刚片。
所以，应用式(12-1)计算可得 W=3×m-3×g-2×h-b-r =3×9-3×6 -2×4-9 =-8
表明此体系具有8个多余约束。
三、瞬变体系
在对结构进行分析计算时，必须先分析体系的几 何组成，以确定体系的几何不变性。
几何组成分析的目的是：
（1）判别给定体系是否是几何不变体系，从而确 定它能否作为结构使用；
（2）研究几何不变体系的组成规则，以保证设计 出安全合理的结构；
（3）正确区分静定结构和超静定结构，为结构的 内力计算打下必要的基础
（二）自由度
体系的自由度是指确定体系空间位置所需的独立坐标 数，或者体系运动时可以独立改变的几何参数的数目，通 常记作S。
一个点在平面内自由运动时，它的位置用坐标X，Y完全 可以确定，则平面内一点的自由度等于2，如图12-3(a)所 示。
一个刚片在平面内自由运动时，它的位置
用其上任一点A的坐标x，y和过A点的任一 直线AB的倾角φ完全可以确定，则一个平面 刚片的自由度等于3，如图12-3(b)所示。
解法二：把体系内部看成是由7个刚片AB、BC、CD、DE、 EF、FA、EB，3个单铰F、B、D，3个单刚结点A、B、
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
结构力学 (几何组成分析)
机动分析示例 方法：首先算计算自由度W，若W＞0,体系为几 何可变，若W≤0 , 须进行几何组成分析。但通常可略 去W的计算。
ⅠⅢⅡ
解：地基视为——刚片Ⅰ。AB梁与地基按“两 刚片规则”相联，构成了一个扩大的刚片Ⅱ。刚片Ⅱ 与梁BC按 “两刚片规则”相联，又构成一个更扩 大的刚片ⅢC。D梁与大纲片Ⅲ又是按“两刚片规则”相 联。则此体系为几何不变，且无多余约束。 返 回
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
A
0 0'
P
M0 0
N3Pr0 B
N1
N2
N3
N3
P
r
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
1. 一个点与一个刚片之间的组成方式 一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不 在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 1 4 0
三、混合体系的自由度
W (3 m 2 j) (2 h b )
四、自由度与几何体系构造特点
W0 体系几何可变；
m2 j 2
W0 无多余约束时，体系几何不变；h 1 b 8
W0 体系有多余约束。W ( 3 2 2 2 ) ( 2 1 8 ) 0
分析实例 4
A
B
C
D
E
F
1,3
A
A
2,3
2,3
B 1,2 C
D
E
F
2 几何组成分析
n=2
刚 片
定义：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。
一根杆件（一根梁、一个柱）、地基基础或体系中已经 肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。
刚片Ⅱ
刚片Ⅰ
刚片Ⅲ
刚片形状可以任意替换
每个自由刚片有 多少个 自由度呢？
平面刚体——刚片
B
刚片 自由度数
x
A
y
n=3
几何不变体系的自由度一定等于零 S=0 几何可变体系的自由度一定大于零 S>0
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
◆在计算自由度的式子中，部件可以是点，也可以是
刚片。但刚片必须是内部没有多余约束的刚片，如果
遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多 余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束
总数时应当考虑进去。
无多余 约 束的刚片
W=2 ×6-11=1 W=3 ×8-(2×10+3)=1
例4：求下列图示体系的计算自由度
2 2
有 几 个 单 铰？
体系W 等于多少？
可变吗？
3 1
3
1
W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
W<0,体系 是否一定 几何不变呢？
例5：求图 示体系的计 算自由度
上部 具有多 余联系
W=2j-b-r
其中： j--结点数 b--链杆数 r-支座链杆
应用上述公式时注意：
（1）复铰要换算成单铰。 一个复铰相当于（n-1)个单铰， 其中，n：复铰联接的杆件数。 如下图所示：
（2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。
第二章 平面体系的几何组成分析
(6) 复刚结点（P.15）
联结n个刚片间的刚结点相当于（n-1）个单刚结点 （P.16） (7) 复链杆
一般来说，联结n个点的复链杆相当于（2n-3） 个单链杆（P.16）
五、不同的装置对自由度的影响
1．一个支杆（或链杆）、可动铰支座→减少一个自由度。 2．两个相交的支杆、固定铰支座→ 减少两个自由度。 3．单铰（中间铰）：一个单铰减少两个自由度。 4．固定支座或刚结点：减少三个自由度。
几何不变体系的要求：杆件和支承数量要足够，组成方式 要合理。
可变
不变
可变
可变
可变
不变
二、二元体规则：一个点与一个刚片之间的连接方式。 1.约束：一个平面内的点有两个自由度，采用两个联系， 可使其几何不变。 2.规律I：一个刚片与一个点用不在同一直线上的两根 链杆相连，则组成没有多余约束的几何不变体系。
三、刚片与自由度
刚片：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。 一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球
或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作 一个平面刚片。
四、约束（联系）： 减少自由度的装置或连接。
常见的约束：
(1)链杆：两端用铰与其它物体相连的杆。 链杆可以是直杆、折杆、曲杆。
y
O
x
进行几何组成分析时，应注意：
1）体系中的每根杆件和约束都不能遗漏，也不能 重复使用。 2）当分析无法进行下去时，一般是使用的刚片或 约束不恰当，应重新选择刚片或约束再试。 3）对于某一体系，可能有多种分析途径，但结论 是唯一的。
练习：分析图示体系的几何组成。
D
C
ED
C
E
D
C
E
A
B
A
B
几何组成分析
几何组成分析几何组成分析（也称为结构几何学）是结构力学的一个重要方法，用于研究结构的形态、几何特性及其对结构力学特性的影响。
通过对结构的几何分析，可以获得结构的稳定性、刚度、位移、变形等重要信息，对结构的设计和优化具有重要意义。
几何组成分析的基本原理是根据结构的形态及其载荷情况，利用几何学的基本概念和计算方法，对结构的各个组成部分进行几何分析，并结合材料力学原理，求解结构的刚度矩阵、位移向量和变形矩阵等重要参数。
其中，结构的刚度矩阵描述结构在载荷作用下的刚度特性；位移向量表示结构在载荷作用下的位移；而变形矩阵则描述结构在载荷作用下的变化情况。
1.结构的坐标系及基本概念：建立合适的坐标系，确定结构的基本要素，如结构的节点、杆件或面坯等。
2.结构的构件模型：根据结构的具体形态和几何特性，采用适当的模型对结构的构件进行建模和描述。
3.结构的几何约束：根据结构的形态和几何特性，确定结构的几何约束条件，如节点和杆件的位移、角度等。
4.结构的刚度计算：根据结构的几何模型和几何约束条件，利用刚度法或变分原理，求解结构的刚度矩阵和刚度方程。
5.结构的位移计算：通过求解结构的刚度方程，得到结构的位移向量，描述结构在载荷作用下的位移的大小和方向。
6.结构的变形分析：根据结构的位移向量和几何约束条件，计算结构的变形矩阵，描述结构在载荷作用下的形变情况。
通过几何组成分析，可以定量描述结构的形态、几何特性及其对结构力学特性的影响。
它既可以作为结构静力分析的一种方法，用于求解结构的刚度、位移和变形等参数；也可以应用于结构动力分析，研究结构在动载荷作用下的动力响应。
几何组成分析在工程实践中具有非常重要的应用价值。
首先，它可以辅助结构工程师进行结构设计和优化，提高结构的稳定性和刚度性能。
其次，在结构检测和维修中，几何组成分析可以用于评估结构的变形和破坏情况，指导结构的维修方案和控制措施。
此外，几何组成分析还可以应用于结构材料的研究和性能表征，为结构材料的选择和设计提供科学依据。
几何组成分析
课堂练习题
课堂练习题
课堂练习题
几何组成分析
几何组成分析的三个基本规则
三刚片规则 二刚片规则 二元体规则
依据：三角形 为几何不变体
三 刚 片 规 则
三个刚片用不在同一直线上的三个铰俩俩相 连，则所形成的体系为无多余约束的几何不变体系。
注：可以是 实用不全交于一点、也不全平行的三根链 杆相联，则所组成的体系是无多余约束的几何不变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
例题分析
结论：几何不变 且无多余约束
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
例题分析
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
结论：几何瞬变！
例题分析
结论：几何不变 且无多余约束
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
O1 O2
例题分析
结论：三点共线 几何瞬变
4
Ⅰ
6
Ⅲ
3
5
Ⅱ
1 2
三刚片组成规则中关于虚铰 在无限远处的一般规律总结
i. 一个虚铰在无限远处 若有一个连接两刚片的虚铰位于无限远，则 当其余两个铰（实铰或虚铰）的连线与形成无 限远虚铰的两根链杆不平行时，体系是几何不 变的； ii.两个虚铰在无限远处
or
两刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆相 联，则所组成的体系为无多余约束的几何不变体系。
二元体规则（点和刚片的组成规则）
平面内的一点和一个刚片，用不在同一直线上 的两根链杆相联，则两者可组成一个几何不变的 整体，且无多余约束。这两根链杆称为二元体。
二元体规则（点和刚片的组成规则） 推论：
在一个已知体系上增加或去掉 一个二元体不影响其机动性。
若有两个位于无限远处的虚铰，则当形成两 个无限远虚铰的四根链杆不全平行时（只两两 平行），体系几何不变；如果四根全平行，则 为瞬变体系。
第2章体系几何组成分析
联结n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
10
4、刚性连接：刚结点、固定端支座
将两刚片联结成一个整体的结点 图示两刚片有六个自由度, 加刚性联结后有三个自由度
一个单刚结点可减少三个自由 度相当于三个约束。 刚结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余 约束,若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。
A
B
A
4、由一基本刚片开始，逐步增 加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个 刚片相连，再用规则判定。
E C A D
F
B
25
(2,3)
(1,3)
Ⅱ Ⅲ
(1,2)
Ⅰ
三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。26
5、当体系杆件数较多 时，将刚片选得分散些， 用链杆相连，而不用单 铰相连。
因此，静定结构的几何组成特征是几何不变且无多 余约束，超静定结构也为几何不变但有多余约束。通过 几何组成分析可以判定结构是静定的还是超静定的。
绝大部分的建筑结构都是超静定结构。
38
§2-5 静定结构和超静定结构
从受力特征看： 凡只需利用静力平衡条件就能确定全部支座反力和内 力的结构称为静定结构。 全部支座反力或内力不能只由静力平衡条件来确定的 结构称为超静定结构。
6、刚片的等效代换：在不改变刚片 与周围的连结方式的前提下，可以改变 它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
如：链杆即刚片，刚片可化为链杆， 折杆与直杆等效，实铰与虚铰等效， 几何不变体可看为刚片 Ⅰ Ⅱ
.
几何瞬变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系 29
《几何组成分析举例》课件
合理的结构布置和连接方式可以提供更多的约束，从而提高结构的稳定性。
PART 02
几何组成分析的步骤
确定研究对象的范围和边界
明确目标
在进行几何组成分析时，首先需要明确研究对象的具体范围和边界，以便有针对 性地进行分析。这包括确定所研究结构的尺寸、形状、连接方式等，以及明确哪 些部分属于结构的基本组成单元。
PART 05
结论与展望
几何组成分析的重要性和意义
几何组成分析是研究物质结构的重要方法，对于理解物质的基本性质和行为具有重 要意义。
通过几何组成分析，可以深入了解物质的微观结构和宏观性质之间的关系，为材料 科学、物理学和化学等领域的研究提供有力支持。
几何组成分析在医学、生物学和地球科学等领域也有广泛应用，对于解释生命现象 、疾病机理和地质构造等方面具有重要意义。
活载
活载是指使用过程中可能作用在 结构上的临时荷载，如人群、车 辆或堆料。活载可能引起结构的 较大变形和应力，因此分析时应
特别关注。
风载和地震荷载
风载和地震荷载是自然因素引起 的动荷载，具有随机性和不可预 测性。在几何组成分析中，应考 虑这些荷载对结构稳定性和安全
性的影响。
结合实际工程背景进行应用和分析
目前研究的不足与展望
目前几何组成分析在理论和应用方面仍 存在一些挑战和问题，例如如何更准确
地描述和预测物质的性质和行为。
未来研究需要进一步深化对物质结构的 理解，探索更有效的几何组成分析方法 和技术，以提高分析的精度和可靠性。
随着科技的不断进步和应用需求的增加 ，几何组成分析将会有更广泛的应用前 景和发展空间，为人类认识世界和改造
举例说明在实际工程中，如何综合考虑 材料属性和连接方调整 结构，提高结构的稳定性和安全性。
建力第3章 几何组成分析
第一篇结构的力学计算模型第3章几何组成分析【内容提要】本章简要介绍刚片、自由度与约束等基本概念，重点介绍几何不变体系的基本组成规则。
体系的几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构使用的依据，又是结构计算的前提条件。
通过几何组成分析可以确定静定结构计算途径，也可以确定超静定结构的多余约束数目等。
【学习目标】1. 理解几何不变体系和几何可变体系的概念，了解几何组成分析的目的。
2. 了解刚片、自由度与约束的概念。
3. 掌握几何不变体系的基本组成规则，并能熟练运用二刚片规则、三刚片规则以及二元体规则对结构几何组成进行分析。
4. 理解体系的几何组成与静定性的关系，能正确区分静定结构与超静定结构。
5. 掌握梁、刚架、桁架、组合结构和拱等平面杆件结构的受力特点。
§3－1 概述3－1－1 分析几何组成的目的（a）（b）图1-60建筑结构是由杆件通过一定的连接方式组成的体系，在荷载作用下，只要不发生破坏，它的形状和位置是不能改变的。
那么杆系怎样的连接方式才能成为结构？杆系通过不同的连接方式可以组成的体系可分为两类。
一类是几何不变体系，即体系受到任意荷载作用后，能维持其几何形状和位置不变的，则这样的体系称为几何不变体系。
如图1-60（a）所示的体系就是一个几何不变体系，因为在所示荷载作用下，只要不发生破坏，它的形状和位置是不会改变的；另一类是由于缺少必要的杆件或杆件布置的不合理，在任意荷载作用下，它的形状和位置是可以改变的，这样的体系则称为几何可变体系，如图1-60（b）所示。
因为在所示荷载作用下，不管P值多么小，它都不能维持平衡，而发生了形状改变。
结构是用来承受荷载的体系，如果它承受荷载很小时结构就倒塌了或发生了很大变形，就会造成工程事故。
故结构必须是几何不变体系，而不能是几何可变体系。
我们在对结构进行计算时，必须首先对结构体系的几何组成进行分析研究，考察体系的几何不变性，这种分析称为几何组成分析或几何构造分析。
结构力学体系几何组成分析03
§1-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
一. 三刚片规则 二. 两刚片规则
两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联, 构成无多余约束的几何不变体系.
两刚片以不相互平行,也不相交于一点的三个 链杆相连,构成无多余约束的几何不变体系.
§1. 几何组成分析
§1-3 几何组成分析举例 例2: 对图示体系作几何组成分析
方法1: 分析基础 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
例5: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为常变体系. 方法4: 去掉二元体.
方法1: 分析基础 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体.
解:该体系为无多余约束的几何不变体系.
方法1: 分析基础
例3: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为无多余约束的几何不变体系. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.
方法1: 分析基础 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.
例4:有两个铰与其它部分相连的 刚片看成链杆.
例6: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为无多余约束几何不变体系. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
方法1: 分析基础 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
练习: 对图示体系作几何组成分析
第16章 平面体系的几何组成分析
1.化简体系
（1）拆除二元体 2.观察约束
（2）等效代换
1）外部约束少于3个时，上部与基础之间缺少必要的约束数，整 体一定是几何可变体系。
2）外部约束等于3个时，若不符合二刚片规则，整体一定是几何 可变体系；若符合二刚片规则，整体的几何组成性质取决于上 部，应先从上部入手分析。
a)
b)
c)
几何可变体系
造成几何可变的原因是缺少约束或约束不当。
实用文档
几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，几何形状和位 置不能改变的体系。
a)
b)
c)
只有几何不变体系才能作为结构使用。
实用文档
判断体系几何组成性质，叫做对体系进行几何组成分析。
判断体系几何组成性质其目的是： 1）判定体系是否几何不变，从而确定其能否作为结构。 2）研究几何不变体系的组成规律，从而设计出各种合理结构。 3）判定结构是静定的还是超静定的，以便选择合适的计算方法。
所以体系是无多余约束的几何不变实用体文档系。
例16-4 对图示体系作几何组成分析。
a)
b)
解：
（1）由于外部约束正好为3个，且符合二刚片规则。所以，整体的性 质取决于上部。应从上部入手分析。
（2）铰接三角形ABD，逐次增加7个二元体（ACB 、CEB 、BGE 、 DFG 、EHG、GJH、FIJ ），视为一个大刚片1；用同样的方法
实用文档
16.2 平面体系自由度的概念
1.刚片
一个梁、一个柱、一根链杆都可看作一个刚片； 已肯定为几何不变的部分可视为一个刚片； 与结构相连的基础通常也视为刚片。
a) 刚片
b) 非刚片
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c) 刚片
第4章_平面体系的几何组成分析
A
B D F
无多余约束的几何不变体系。
【例4.8】分析图示体系的几何组成。
A
B
C
D
无多余约束的几何不变体系。
【例4.9】分析图示体系的几何组成。
D G E H B F A D C F G B
D
C
E
A
C
无多余约束的几何不变体系。
E
F
G
B
A
无多余约束的几何不变体系。
4.5
结构的几何组成和静定性的关系
几何组成分析
例题3
试对图示体系进行几何组成分析：
解：1）
m= 3
h= 2
r=5
A
B 1 2
C 3
D
分析：地基作为刚片，首先考虑两刚片规则，基础与体系以及体系内部连 2） 结都没有符合两刚片规则的几何不变部分，故而尝试用三刚片规则，寻找 另外的两个刚片，
思路:寻找几何 不变的部分 逐步形成扩大 地基—刚片Ⅰ，AB—刚片Ⅱ，BC—刚片Ⅲ 的刚片,灵活选 Ⅰ、Ⅱ——铰A 三铰不共线,AC部分 择分析顺序。 Ⅰ、Ⅲ——链杆1、2(虚铰）
几何组成分析
几何组成分析的几个概念
一、自由度 指该体系运动时，确定其位置所需的独立坐标的数目。 二、刚片 体系几何形状和尺寸不会改变，可视为刚体的物体。
三、点、刚片的自由度 1、一个点在平面上有两个自由度（图1）。 2、一个刚片在平面上有三个自由度（图2）。
y x
形状可任意替换
y
A(x,y)
y
x
y
地基—刚片Ⅰ，AB—刚片Ⅱ，CD—刚片Ⅲ Ⅰ、Ⅱ——链杆1、2（虚铰） Ⅰ、Ⅲ——链杆3、4（虚铰） Ⅱ、Ⅲ——链杆AD、BC（虚铰） 结论：该体系为几何瞬变体系。 三铰共线
几何组成分析举例
【例2-3】对如图2-18所示体系进行几何组成分析。
图2-18 例2-3图【解】如图2-18(a)所示体系，分别将曲杆AC、曲杆BD及基础当作刚片Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ。
其中，刚片Ⅰ、Ⅲ间通过实铰A相连，刚片Ⅱ、Ⅲ间通过实铰B相连，刚片Ⅰ、Ⅱ间通过链杆CD、EF相连（虚铰在其交点O处）。
三刚片间通过两个实铰A、B及一个虚铰O两两相连，这三铰不共线，形成几何不变体系且无多余约束。
如图2-18(b)所示体系，分别以杆CD、杆AB及基础作为三个刚片：Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
刚片Ⅰ、Ⅱ间通过平行链杆AC、BD相连（虚铰（Ⅰ, Ⅱ）在无穷远处），刚片Ⅰ、Ⅲ间分别通过C、D处的支座链杆相连（虚铰在结点D处），刚片Ⅱ、Ⅲ间分别通过A、B处的支座链杆相连（虚铰在结点A处）。
三刚片间通过两个有限远虚铰（在结点A和D处）及一个无限远处虚铰（Ⅰ, Ⅱ）两两相连，由于两个有限远处虚铰的连线AD，与形成无穷处虚铰的平行链杆（杆AC、BD）不平行，因此形成的是几何不变体系且无多余约束。
如图2-18(c)所示体系，分别以铰结三角形124、铰结三角形237及杆56作为基本刚片：刚片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
刚片Ⅰ、Ⅱ间通过实铰2相连，刚片Ⅰ、Ⅲ间通过平行链杆16、45相连，刚片Ⅱ、Ⅲ间通过平行链杆35、67相连，这两对平行链杆形成的虚铰（Ⅰ,Ⅲ）、（Ⅱ,Ⅲ）均位于无穷远处。
这样，三刚片通过三铰两两相连，其中两铰位于无穷远处，由于形成两个无穷远处虚铰的两对平行链杆不互相平行，因此上部体系为无多余约束的几何不变部分。
上部体系再分别通过三个支座链杆与基础相连，按两刚片规则，形成的整个体系为无多余约束的几何不变体系。
如图2-18(d)所示体系，分别以杆15、36及24作为三个基本刚片Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
刚片Ⅰ、Ⅱ间通过一对平行链杆13、56相连，刚片Ⅰ、Ⅲ间通过一对平行链杆12、54相连，刚片Ⅱ、Ⅲ通过一对平行链杆23、46相连。
三对平行链杆形成的虚铰均在无穷远处，因而形成的上部体系是几何瞬变体系。
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第二章几何组成分析
［几何可变体系与几何不变体系］
几何可变体系——在任意荷载的作用下，即使不考虑材料的应变，它的形状和位置
也是可以改变的。
几何不变体系——如果不考虑材料的应变，它的形状和位置是不能改变的。
［自由度与刚片］
物体在运动时决定其位置的几何参变数称为自由度。
几何形状不变的平面体称为刚片。
一个刚片在平面内运动有三个自由度；
一个点在平面内运动有两个自由度；
一个点在空间内运动有三个自由度；
一个刚体在空间内运动有六个自由度。
［约束］
减少自由度的装置称为约束。
［约束的影响］
（1）支座约束
可动铰支座相当于一个约束，减少一个自由度；
固定铰支座相当于两个约束，减少两个自由度；
固定端支座相当于三个约束，减少三个自由度；
定向支座相当于两个约束，减少两个自由度。
（2）链杆
两刚片加一链杆约束，减少一个自由度。
（3）铰结点
单铰：两刚片加一单铰结点约束，减少两个自由度。
复铰：n个刚片在同一点用铰连接，相当于n-1个单铰的约束。
（4）刚结点
单刚结点：两刚片加一刚结点约束，减少三个自由度。
复刚结点：n个刚片在同一点用刚结点连接，相当于n-1个单刚结点的约束。
［结构体系自由度的计算公式］
（1）一般公式
=各部件自由度总和－全部约束数
为结构体系自由度。
（2）平面杆件体系自由度的计算公式
式中为刚片个数,为单刚结点个数；为单铰结点个数；为链杆个数；为支
座约束个数，如果为自由体，即无支座约束，则=3 。
（3）平面桁架自由度的计算公式
式中为结点个数；为链杆个数；为支座约束个数，如果为自由体，即无支座约束，则=3 。
［自由度与几何不变性的关系］
体系为几何不变的必要条件是自由度等于或小于零，此条件并非充分条件。
如果>0，则体系为几何可变体系；
如果<0或=0 ，则不能确定。
［实铰与虚铰］
两根不共线链杆的约束作用与一个单铰的约束作用是等效的。
两链杆交于一点所构成的铰为实铰。
两链杆的延长线交于一点，约束作用等效于该点一个单铰的约束作用，这种铰称为虚铰或瞬铰。
［二元体］
两根不共线的链杆在一端铰结而构成一个结点，称为二元体。
［二元体规则］
在体系中增加一个二元体或拆除一个二元体不影响体系的几何不变或几何可变性。
［两刚片规则］
两刚片用一个铰和一根链杆相联结，且链杆不通过铰，则组成的体系是几何不变体系，并且无多余约束。
两刚片用三根链杆相联结，且三根链杆不全部平行或不全部相交于一点，则组成的体系是几何不变体系，并且无多余约束。
［三刚片规则］
三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成的体系是几何不变体系，并且无多余约束。
［瞬变体系］
一个几何可变体系发生微小的位移以后，成为几何不变体系，称为瞬变体系。
［两刚片规则］
两刚片用一个铰和一根链杆相联结，链杆通过铰，则组成的体系虚交为瞬变体系，实交为可变体系。
两刚片用三根链杆相联结，三根链杆全部平行，则组成的体系不等长为瞬变体系，等长为可变体系。
两刚片用三根链杆相联结，三根链杆全部相交于一点，则组成的体系虚铰为瞬变体系，实铰为可变体系。
［三刚片规则］
三个刚片用三个铰两两相连，三个铰在同一直线上，则组成的体系为瞬变体系。
［虚铰在无穷远时三刚片规则］
（1）一个虚铰在无穷远处
若组成虚铰的两平行链杆与其余两铰连线不平行，则组成的体系是几何不变体系，并且无多余约束；若平行为瞬变体系。
（2）两个虚铰在无穷远处
若组成虚铰的两对平行链杆互不平行，则组成的体系是几何不变体系，并且无多余约束；若两对链杆互相平行且不等长，为瞬变体系；若两对链杆互相平行且等长，为可变体系。
（3）三个虚铰在无穷远处
三个刚片分别用任意方向的三对平行链杆相联，则组成的体系是瞬变体系。
［几何不变体系，且无多余约束］
几何不变体系，且无多余约束，为静定结构。
自由度W=0 。
［几何不变体系，有多余约束］
几何不变体系，有多余约束，为超静定结构，多余约束的数目为超静定的次数。
自由度W<0 。
［几何可变体系］
几何可变体系在任意荷载作用下不能维持平衡。
自由度一般W>0 。
［几何瞬变体系］
几何瞬变体系其平衡方程没有有限值的解答，或者解答为不定值。
自由度一般W=0 。