几何组成分析

第二章几何组成分析

［几何可变体系与几何不变体系］

几何可变体系——在任意荷载的作用下，即使不考虑材料的应变，它的形状和位置

也是可以改变的。

几何不变体系——如果不考虑材料的应变，它的形状和位置是不能改变的。

［自由度与刚片］

物体在运动时决定其位置的几何参变数称为自由度。

几何形状不变的平面体称为刚片。

一个刚片在平面内运动有三个自由度；

一个点在平面内运动有两个自由度；

一个点在空间内运动有三个自由度；

一个刚体在空间内运动有六个自由度。

［约束］

减少自由度的装置称为约束。

［约束的影响］

（1）支座约束

可动铰支座相当于一个约束，减少一个自由度；

固定铰支座相当于两个约束，减少两个自由度；

固定端支座相当于三个约束，减少三个自由度；

定向支座相当于两个约束，减少两个自由度。

（2）链杆

两刚片加一链杆约束，减少一个自由度。

（3）铰结点

单铰：两刚片加一单铰结点约束，减少两个自由度。

复铰：n个刚片在同一点用铰连接，相当于n-1个单铰的约束。

（4）刚结点

单刚结点：两刚片加一刚结点约束，减少三个自由度。

复刚结点：n个刚片在同一点用刚结点连接，相当于n-1个单刚结点的约束。［结构体系自由度的计算公式］

（1）一般公式

=各部件自由度总和－全部约束数

为结构体系自由度。

（2）平面杆件体系自由度的计算公式

式中为刚片个数,为单刚结点个数；为单铰结点个数；为链杆个数；为支

座约束个数，如果为自由体，即无支座约束，则=3 。

（3）平面桁架自由度的计算公式

式中为结点个数；为链杆个数；为支座约束个数，如果为自由体，即无支座约束，则=3 。

［自由度与几何不变性的关系］

体系为几何不变的必要条件是自由度等于或小于零，此条件并非充分条件。

如果>0，则体系为几何可变体系；

如果<0或=0 ，则不能确定。

［实铰与虚铰］

两根不共线链杆的约束作用与一个单铰的约束作用是等效的。

两链杆交于一点所构成的铰为实铰。

两链杆的延长线交于一点，约束作用等效于该点一个单铰的约束作用，这种铰称为虚铰或瞬铰。

［二元体］

两根不共线的链杆在一端铰结而构成一个结点，称为二元体。

［二元体规则］

在体系中增加一个二元体或拆除一个二元体不影响体系的几何不变或几何可变性。

［两刚片规则］

两刚片用一个铰和一根链杆相联结，且链杆不通过铰，则组成的体系是几何不变体系，并且无多余约束。

两刚片用三根链杆相联结，且三根链杆不全部平行或不全部相交于一点，则组成的体系是几何不变体系，并且无多余约束。

［三刚片规则］

三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成的体系是几何不变体系，并且无多余约束。

［瞬变体系］

一个几何可变体系发生微小的位移以后，成为几何不变体系，称为瞬变体系。

［两刚片规则］

两刚片用一个铰和一根链杆相联结，链杆通过铰，则组成的体系虚交为瞬变体系，实交为可变体系。

两刚片用三根链杆相联结，三根链杆全部平行，则组成的体系不等长为瞬变体系，等长为可变体系。

两刚片用三根链杆相联结，三根链杆全部相交于一点，则组成的体系虚铰为瞬变体系，实铰为可变体系。

［三刚片规则］

三个刚片用三个铰两两相连，三个铰在同一直线上，则组成的体系为瞬变体系。

［虚铰在无穷远时三刚片规则］

（1）一个虚铰在无穷远处

若组成虚铰的两平行链杆与其余两铰连线不平行，则组成的体系是几何不变体系，并且无多余约束；若平行为瞬变体系。

（2）两个虚铰在无穷远处

若组成虚铰的两对平行链杆互不平行，则组成的体系是几何不变体系，并且无多余约束；若两对链杆互相平行且不等长，为瞬变体系；若两对链杆互相平行且等长，为可变体系。

（3）三个虚铰在无穷远处

三个刚片分别用任意方向的三对平行链杆相联，则组成的体系是瞬变体系。

［几何不变体系，且无多余约束］

几何不变体系，且无多余约束，为静定结构。自由度W=0 。

［几何不变体系，有多余约束］

几何不变体系，有多余约束，为超静定结构，多余约束的数目为超静定的次数。自由度W<0 。

［几何可变体系］

几何可变体系在任意荷载作用下不能维持平衡。自由度一般W>0 。

［几何瞬变体系］

几何瞬变体系其平衡方程没有有限值的解答，或者解答为不定值。自由度一般W=0 。