条件分布简介
条件分布和边缘分布的关系
条件分布和边缘分布的关系条件分布和边缘分布是概率论和数理统计学中两个重要的概念，它们之间有一定的联系和关系。
下面我会具体介绍条件分布和边缘分布的概念，并且解释它们之间的关系。
首先，我们来介绍条件分布的概念。
在概率论中，条件分布是指在已知某些条件下，随机变量的分布情况。
换句话说，条件分布是指在已知某个条件时，所关心的随机变量的分布情况。
条件分布通常用P(Y|X)来表示，其中X是所关心的条件变量，Y是需要得到其分布的随机变量。
P(Y|X)表示在已知X的条件下，Y的分布情况。
举个例子来说明条件分布的概念。
假设我们研究一个班级的学生，X表示学生的年龄，Y表示学生的身高。
如果我们对条件分布P(Y|X)感兴趣，那么我们可以根据学生的年龄来推测学生的身高分布。
例如，当X为10岁时，Y的分布可能是一个正态分布，而当X为20岁时，Y的分布可能是另一个不同的正态分布。
接下来，我们来介绍边缘分布的概念。
在概率论中，边缘分布是指随机变量的分布情况，而不考虑其他变量的情况。
换句话说，边缘分布是指所关心的随机变量的分布情况，而不考虑其他随机变量的影响。
边缘分布通常用P(X)或P(Y)来表示，表示随机变量X或Y的分布情况。
继续以上面的例子来说明边缘分布的概念。
假设我们对边缘分布P(Y)感兴趣，表示学生的身高分布情况，而不考虑学生的年龄。
我们可以直接统计班级中学生的身高分布，而不需要考虑他们年龄的影响。
在条件分布和边缘分布之间存在一定的关系。
具体来说，边缘分布可以通过条件分布来计算得到。
这是因为边缘分布是在不考虑其他变量的情况下计算得到的，而条件分布是在已知某个条件下计算得到的。
通过概率论中的乘法规则，我们可以得到边缘分布的公式：P(X) = ∑ P(X, Y)。
这个公式表示随机变量X的边缘分布可以通过将随机变量X和Y的联合分布P(X, Y)在所有可能的取值情况下求和得到。
我们可以通过条件分布来计算边缘分布。
假设我们已知条件分布P(Y|X)，我们可以通过边缘分布的公式，将Y积分掉，得到边缘分布P(X)。
条件分布与条件期望
33
XY 3 1 2
P
61
77
43 P
77 4
例2. 设随机变量X ,Y相互独立,X P(1), Y P(2 ) ，
在X Y n的条件下，求X的条件分布.
解：X Y P(1 2 )
P(X k X Y n) P(X k, X Y n) P(X k,Y n k)
P(X Y n)
pY ( y)E( X Y y) dy E( X Y y)看作是y的函数.
E[E( X Y )]
13
例5 一矿工被困在有三个门的矿井里，第一个门通 甲坑道，须走3小时到达安全区；第二个门通乙坑 道，走5小时回到原处；第三个门通丙坑道，走7小 时回到原处。问他平均用多长时间能够到达安全区。 分析：到达安全区的时间与第一次选择的门有关，
i
1 (1 (2 EX )
yi )P(Y yi )
(n EX ))
EX
n(n 1) . 2
n
17
作业：
P197 2 4
18
The End！
Thank You！
Department of Mathematics
19
即有
P(X x Y y)
x p( x, y) dx;
pY ( y)
同样可得 P(Y y X x)
y p( x, y) dy .
pX ( x)
8
2、连续随机变量的条件分布
定义3：对y,且pY ( y) 0，在给定Y y条件下
X的条件分布函数和条件密度函数分别是：
F ( x y)
3 E( X Y 2) 5 EX; E( X Y 3) 7 EX .
E( X ) E( X Y y j )P(Y y j )
第23讲 条件分布
N
1
1 2
(y
2 ),
2 1
(1
2
)
.
同理可得 fY|X ( y | x)
1
2 2 1 2
exp
2
2 2
1 (1
2
)
y
2
2 1
(
x
1
)
2
.
即在X =x条件下,Y的条件分布是正态分布
N
2
2 1
(
x
1
),
2 2
(1
2
)
.
结论：二维正态分布的条件分布仍为正态分布.
简记为 FX|Y ( x | y). 即：FX|Y ( x | y)=P( X x |Y =y）.
连续型随机变量的条件概率密度
定义2 设二维随机变量 ( X ,Y )的概率密度为 f ( x, y),Y 的边缘概率密度为fY ( y)是连续函数. 若对于固定的 y, fY ( y) 0, 则在Y y条件下， X的条件概率密度为
条件分布
条件分布
对于两个事件A,B,若P(B)>0,可以讨论条件概率
P( A | B) P( AB) P(B)
推广到随机变量
P(X
xi
|Y
yj)
P( X xi ,Y P(Y y j )
yj),
i 1,2, , P(Y yj ) 0.
这个分布就是条件分布.
离散型随机变量的条件分布列
定义 设 二维离散型随机变量(X,Y) 的分布列
X
,Y
)~N
(
1
,
2
;
2 1
,
22;
),
求条件概率密度
正态分布的条件分布
正态分布的条件分布
正态分布的条件分布是指在给定某些条件的情况下，正态分布所服从的概率分布。
在统计学中，条件分布是指在已知一些信息或条件的情况下，对一个或多个变量的概率分布进行推断或计算的过程。
对于正态分布来说，条件分布可以通过条件概率密度函数来计算。
具体地，假设X和Y是两个正态分布的随机变量，其均值分别为μX、μY，方差分别为σX、σY，相关系数为ρ。
则在给定Y的取值y的
情况下，X的条件分布为：
X|Y=y ~ N(μX+ρ*σX/σY*(y-μY), σX(1-ρ))
其中“~”表示“服从于”的意思，N(μ, σ)表示均值为μ，方差为σ的正态分布。
这个公式可以用来解决许多实际问题，比如在股票市场中，假设股票价格和利率都是正态分布的，我们可以利用条件分布来计算在给定利率的情况下，股票价格的概率分布，从而进行风险管理和投资决策。
在实际应用中，需要注意一些细节，比如相关系数的范围是
[-1,1]，如果两个随机变量不相关（即相关系数为0），则条件分布
简化为X|Y=y ~ N(μX, σX)；如果Y的方差为0，则条件分布不存在。
此外，还需要注意到正态分布的假设可能不总是合适，需要根据具体情况进行判断和调整。
- 1 -。
条件分布与条件期望
这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2
．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0
PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1
n 0
k 1
n
n!
e 0
nk
n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1
第9讲条件分布
f X ( x)
f ( x, y)dy
2
1 21 2 x y d y , | x | 1 , x 4 0, 其他 .
21 2 4 8 x (1 x ), | x | 1, 0, 其他 .
当 x(-1,1)时，fX(x)>0，
定义2：设X和Y是随机变量，给定 y, 若对 任意固定正数ε，P( y-ε<Y ≤ y+ε) > 0，且对任意 实数 x，极限 P{ X x, y Y y } lim 0 P{ y Y y }
存在，则称此极限为在条件 Y=y下X的条件分 布函数，记成 FX|Y(x|y)。若存在 fX|Y(x|y), 使得
2y 2 f ( x, y ) 1 x 4 , x y 1, fY | X ( y | x ) f X ( x) 0, 其他 .
2y 2 1 x 4 ， x y 1， 1 将 x 代入 fY | X ( y | x) 2 0， 其他，
3.5.2 离散型随机变量的条件分布 定义1: 设 (X, Y) 是二维离散型随机向量， 对固定的 j，若 P(Y=yj) > 0，则称
P(X=xi |Y=yj)=
P ( X xi , Y y j ) P (Y y j )
pi j p j
，i=1,2, …
为在Y=yj 条件下, 随机变量X的条件概率分布。
对固定的 i，若P(X=xi) > 0，则称
P(Y=Yj |X=xi)=
P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) pi j pi
，j=1,2, …
3.2条件分布与随机变量的独立性
3e3 ydy e3
1
19
例5 甲乙两人约定中午12:30分在某地会面. 如果甲 来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布, 乙独立 地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分 布, 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分 钟的概率, 又甲先到的概率是多少?
解 由 X 与Y 独立性知
0
0, x 0
x0
ex , x 0
0, x 0
18
当 x 0时，有
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
xe x(1
ex 0
y)
y
y 0
0
xexy y 0
0 y0
(2)当 X 3时，有
P(Y 1 X 3)
1 fY|X ( y | 3)dy
的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表 中的空白处.
X
Y y1 y2 y3 P{ X xi } pi .
x1
1/ 8
x2
1/ 8
P{ y yj } p j 1/ 6
1
解 由于 P{ X x1,Y y1} P{Y y1} P{X x2 ,Y y1} 1/ 6 1/ 8 1/ 24,
1 p• j
i 1
pij
p• j p• j
1
同样， P{Y y j | X xi }也具有这两点性质。
9
例2 设 X与Y的联合概率分布如右表.
求Y 0 时, X 的条件概率 X Y -1 0 2 分布以及 X 0 时, Y 的条件 0 0.1 0.2 0
概率分布;
1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
第五节条件分布
def.
x
p(u , y )du pY ( y )
p( x , y )连续 pY ( y ) 0,连续
P( X x Y y )
定义3 若 pY (y) > 0, 则称 FX Y ( x y )
x
为给定Y = y 的条件下X 的条件分布函数. p( x , y ) 称 pX Y ( x y) pY ( y ) 为给定Y = y 的条件下X 的条件概率密度函数. y p( x,v ) dv 类似地, 称 FY X ( y x) pX ( x )
pY ( y) p( x , y)dx pY X ( y x) p X ( x)dx
类似于Bayes公式
p ( x , y ) p X Y ( x y) pY ( y )
pY X ( y x) p X ( x)
pY X ( y x) p X ( x)dx
X
r x
=
r 2 x2
1 dy , 2 2 2 r x r
0,
2 r 2 x2 r x r , r x r r 2 0, 其他 其他
同理
2 r 2 y2 , r y r pY ( y ) r 2 0, 其他
P( X xi Y y j )P(Y y j ) i 1,2,
j 1
j 1
j 1
P(Y y j ) pij P( X xi ,Y y j )
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休息一下吧
f (x, y) fX (x)
称为在 X x 条件下 Y 的条件密度函数.
条件分布
2、连续型随机变量的条件概率密度函数
那么，条件概率密度函数是丌是密度函数呢？
f X|Y (x
| y)
f (x, y) fY ( y)
(1) fX |Y (x | y) 0
(2)
f (x | y)dx f (x, y)
那么，条件概率密度函数是丌是密度函数呢？
(1) fX |Y (x | y) 0
f X|Y (x
| y)
f (x, y) fY ( y)
(2)
f (x | y)dx f (x, y)
X |Y
fY ( y)dx
fY ( y) 1 fY ( y)
即条件概率密度满足密度函数的两条基本性质
——非负性、规范性！
(3)
P{X 2 |Y 1}
P{X 2,Y 1}
P{Y 1}
2 0
1 2e(2x y)dxdy
0
1 e ydy
0
2
2e2xdx 1 e4 0.9817 0
为什么结果一样？
这表明：事件 {Y 1} 的发生对事件{X 2} 发生没有影响，即这两个
事件是相互独立的. 那么，随机变量X ,Y 是丌是相互独立的呢？
y
条件分布
2、连续型随机变量的条件概率密度函数
那么，条件概率密度函数是丌是密度函数呢？
(1) fX |Y (x | y) 0
f X|Y (x
| y)
f (x, y) fY ( y)
(2)
f (x | y)dx f (x, y)
X |Y
fY ( y)dx
fY ( y) 1 fY ( y)
f
( x,
y)dx
2e(2xy)dx e y , y 0
0
0,
y 0
当 y 0,
f X|Y (x|y)
f (x, y) fY ( y)
2e2
0,
x
,
x 0, 其他.
条件分布
解 (2)
2e2x , x 0,
f X|Y (x|
y
1)
0,
其他.
P{X 2 |Y 1} 2 2e2xdx 1 e4 0.9817 0
x y
f (u,v)dvdu
= y y y fY (v)dv
x
2 f (u,)du
=
2 fY ( )
x
f (u,)du
=
fY ( )
x
f (x, y)dx
fY ( y)
y, y( 0)
条件分布
2、连续型随机变量的条件概率密度函数
定义： 设随机变量( X ,Y ) 的概率密度为f ( x, y)，f X ( x) 和 fY ( y) 分别是
第三章 多维随机变量及其概率分布
第三节 条件分布
条件分布
2、连续型随机变量的条件概率密度函数
P{X xi,Y yj} 的式子均为0. 将条件 Y= y 放宽为Y ( y , y ],
考虑条件概率
P{X x| y Y y } P{X x, y Y y } P{y Y y }
X |Y
fY ( y)dx
Note
fY ( y) 1 fY ( y)
条件分布将二维分布限制在直线 Y = y上，X 的分布. 其分布不二
即条件概率密度满足密度函数的两条基本性质 维分布一致，但相差一个规范化
——非负性、规范性！
因子 fY ( y) .
条件分布
2、连续型随机变量的条件概率密度函数
定义： 设随机变量( X ,Y ) 的概率密度为f (x, y)，f X (x) 和 fY ( y) 分别是
关亍X 和Y 的边缘概率密度.
若 f X (x) 0，FY|X ( y | x)
y f (x,v)dv f X (x)
称为在 X x 条件下 Y 的条件分布函数.
fY|X ( y| x)
即条件概率密度满足密度函例2
2e(2x y) , x 0, y 0, f (x, y)
0, 其他.
求 (1) fX |Y (x | y；) (2) P{X 2 | Y 1}； (3) P{X 2 | Y 1}.
解
(1)
fY ( y)
关亍X 和Y的边缘概率密度.
若 fY ( y) 0，FX|Y (x | y)
x f (u, y)du fY ( y)
称为在 Y y 条件下 X 的条件分布函数.
f X |Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
称为在 Y y 条件下 X 的条件密度函数.
条件分布
2、连续型随机变量的条件概率密度函数