条件分布简介
条件分布和边缘分布的关系
条件分布和边缘分布的关系条件分布和边缘分布是概率论和数理统计学中两个重要的概念，它们之间有一定的联系和关系。
下面我会具体介绍条件分布和边缘分布的概念，并且解释它们之间的关系。
首先，我们来介绍条件分布的概念。
在概率论中，条件分布是指在已知某些条件下，随机变量的分布情况。
换句话说，条件分布是指在已知某个条件时，所关心的随机变量的分布情况。
条件分布通常用P(Y|X)来表示，其中X是所关心的条件变量，Y是需要得到其分布的随机变量。
P(Y|X)表示在已知X的条件下，Y的分布情况。
举个例子来说明条件分布的概念。
假设我们研究一个班级的学生，X表示学生的年龄，Y表示学生的身高。
如果我们对条件分布P(Y|X)感兴趣，那么我们可以根据学生的年龄来推测学生的身高分布。
例如，当X为10岁时，Y的分布可能是一个正态分布，而当X为20岁时，Y的分布可能是另一个不同的正态分布。
接下来，我们来介绍边缘分布的概念。
在概率论中，边缘分布是指随机变量的分布情况，而不考虑其他变量的情况。
换句话说，边缘分布是指所关心的随机变量的分布情况，而不考虑其他随机变量的影响。
边缘分布通常用P(X)或P(Y)来表示，表示随机变量X或Y的分布情况。
继续以上面的例子来说明边缘分布的概念。
假设我们对边缘分布P(Y)感兴趣，表示学生的身高分布情况，而不考虑学生的年龄。
我们可以直接统计班级中学生的身高分布，而不需要考虑他们年龄的影响。
在条件分布和边缘分布之间存在一定的关系。
具体来说，边缘分布可以通过条件分布来计算得到。
这是因为边缘分布是在不考虑其他变量的情况下计算得到的，而条件分布是在已知某个条件下计算得到的。
通过概率论中的乘法规则，我们可以得到边缘分布的公式：P(X) = ∑ P(X, Y)。
这个公式表示随机变量X的边缘分布可以通过将随机变量X和Y的联合分布P(X, Y)在所有可能的取值情况下求和得到。
我们可以通过条件分布来计算边缘分布。
假设我们已知条件分布P(Y|X)，我们可以通过边缘分布的公式，将Y积分掉，得到边缘分布P(X)。
条件分布与条件期望
33
XY 3 1 2
P
61
77
43 P
77 4
例2. 设随机变量X ,Y相互独立,X P(1), Y P(2 ) ，
在X Y n的条件下，求X的条件分布.
解：X Y P(1 2 )
P(X k X Y n) P(X k, X Y n) P(X k,Y n k)
P(X Y n)
pY ( y)E( X Y y) dy E( X Y y)看作是y的函数.
E[E( X Y )]
13
例5 一矿工被困在有三个门的矿井里，第一个门通 甲坑道，须走3小时到达安全区；第二个门通乙坑 道，走5小时回到原处；第三个门通丙坑道，走7小 时回到原处。问他平均用多长时间能够到达安全区。 分析：到达安全区的时间与第一次选择的门有关，
i
1 (1 (2 EX )
yi )P(Y yi )
(n EX ))
EX
n(n 1) . 2
n
17
作业：
P197 2 4
18
The End！
Thank You！
Department of Mathematics
19
即有
P(X x Y y)
x p( x, y) dx;
pY ( y)
同样可得 P(Y y X x)
y p( x, y) dy .
pX ( x)
8
2、连续随机变量的条件分布
定义3：对y,且pY ( y) 0，在给定Y y条件下
X的条件分布函数和条件密度函数分别是：
F ( x y)
3 E( X Y 2) 5 EX; E( X Y 3) 7 EX .
E( X ) E( X Y y j )P(Y y j )
第23讲 条件分布
N
1
1 2
(y
2 ),
2 1
(1
2
)
.
同理可得 fY|X ( y | x)
1
2 2 1 2
exp
2
2 2
1 (1
2
)
y
2
2 1
(
x
1
)
2
.
即在X =x条件下,Y的条件分布是正态分布
N
2
2 1
(
x
1
),
2 2
(1
2
)
.
结论：二维正态分布的条件分布仍为正态分布.
简记为 FX|Y ( x | y). 即：FX|Y ( x | y)=P( X x |Y =y）.
连续型随机变量的条件概率密度
定义2 设二维随机变量 ( X ,Y )的概率密度为 f ( x, y),Y 的边缘概率密度为fY ( y)是连续函数. 若对于固定的 y, fY ( y) 0, 则在Y y条件下， X的条件概率密度为
条件分布
条件分布
对于两个事件A,B,若P(B)>0,可以讨论条件概率
P( A | B) P( AB) P(B)
推广到随机变量
P(X
xi
|Y
yj)
P( X xi ,Y P(Y y j )
yj),
i 1,2, , P(Y yj ) 0.
这个分布就是条件分布.
离散型随机变量的条件分布列
定义 设 二维离散型随机变量(X,Y) 的分布列
X
,Y
)~N
(
1
,
2
;
2 1
,
22;
),
求条件概率密度
正态分布的条件分布
正态分布的条件分布
正态分布的条件分布是指在给定某些条件的情况下，正态分布所服从的概率分布。
在统计学中，条件分布是指在已知一些信息或条件的情况下，对一个或多个变量的概率分布进行推断或计算的过程。
对于正态分布来说，条件分布可以通过条件概率密度函数来计算。
具体地，假设X和Y是两个正态分布的随机变量，其均值分别为μX、μY，方差分别为σX、σY，相关系数为ρ。
则在给定Y的取值y的
情况下，X的条件分布为：
X|Y=y ~ N(μX+ρ*σX/σY*(y-μY), σX(1-ρ))
其中“~”表示“服从于”的意思，N(μ, σ)表示均值为μ，方差为σ的正态分布。
这个公式可以用来解决许多实际问题，比如在股票市场中，假设股票价格和利率都是正态分布的，我们可以利用条件分布来计算在给定利率的情况下，股票价格的概率分布，从而进行风险管理和投资决策。
在实际应用中，需要注意一些细节，比如相关系数的范围是
[-1,1]，如果两个随机变量不相关（即相关系数为0），则条件分布
简化为X|Y=y ~ N(μX, σX)；如果Y的方差为0，则条件分布不存在。
此外，还需要注意到正态分布的假设可能不总是合适，需要根据具体情况进行判断和调整。
- 1 -。
条件分布与条件期望
这表明，二元正态分布的条件分布仍为正态分布：
1 2 2 N r y ， 1 r 2 1 1 2
．
31
二．条件数学期望
32
1．条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望．
34
对于离散型随机变量，当 Y y j 时，随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2
．
所以，当 X Y n 时， X 的取值为 0, 1,
2, , n ．
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以，
PY k PX nP Y k X n
n 0
PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1
n 0
k 1
n
n!
e 0
nk
n
n!
e C p 1 p
f X x 0 ．
26
例
设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1
第9讲条件分布
f X ( x)
f ( x, y)dy
2
1 21 2 x y d y , | x | 1 , x 4 0, 其他 .
21 2 4 8 x (1 x ), | x | 1, 0, 其他 .
当 x(-1,1)时，fX(x)>0，
定义2：设X和Y是随机变量，给定 y, 若对 任意固定正数ε，P( y-ε<Y ≤ y+ε) > 0，且对任意 实数 x，极限 P{ X x, y Y y } lim 0 P{ y Y y }
存在，则称此极限为在条件 Y=y下X的条件分 布函数，记成 FX|Y(x|y)。若存在 fX|Y(x|y), 使得
2y 2 f ( x, y ) 1 x 4 , x y 1, fY | X ( y | x ) f X ( x) 0, 其他 .
2y 2 1 x 4 ， x y 1， 1 将 x 代入 fY | X ( y | x) 2 0， 其他，
3.5.2 离散型随机变量的条件分布 定义1: 设 (X, Y) 是二维离散型随机向量， 对固定的 j，若 P(Y=yj) > 0，则称
P(X=xi |Y=yj)=
P ( X xi , Y y j ) P (Y y j )
pi j p j
，i=1,2, …
为在Y=yj 条件下, 随机变量X的条件概率分布。
对固定的 i，若P(X=xi) > 0，则称
P(Y=Yj |X=xi)=
P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) pi j pi
，j=1,2, …
3.2条件分布与随机变量的独立性
3e3 ydy e3
1
19
例5 甲乙两人约定中午12:30分在某地会面. 如果甲 来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布, 乙独立 地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分 布, 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分 钟的概率, 又甲先到的概率是多少?
解 由 X 与Y 独立性知
0
0, x 0
x0
ex , x 0
0, x 0
18
当 x 0时，有
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
xe x(1
ex 0
y)
y
y 0
0
xexy y 0
0 y0
(2)当 X 3时，有
P(Y 1 X 3)
1 fY|X ( y | 3)dy
的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表 中的空白处.
X
Y y1 y2 y3 P{ X xi } pi .
x1
1/ 8
x2
1/ 8
P{ y yj } p j 1/ 6
1
解 由于 P{ X x1,Y y1} P{Y y1} P{X x2 ,Y y1} 1/ 6 1/ 8 1/ 24,
1 p• j
i 1
pij
p• j p• j
1
同样， P{Y y j | X xi }也具有这两点性质。
9
例2 设 X与Y的联合概率分布如右表.
求Y 0 时, X 的条件概率 X Y -1 0 2 分布以及 X 0 时, Y 的条件 0 0.1 0.2 0
概率分布;
1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
第五节条件分布
def.
x
p(u , y )du pY ( y )
p( x , y )连续 pY ( y ) 0,连续
P( X x Y y )
定义3 若 pY (y) > 0, 则称 FX Y ( x y )
x
为给定Y = y 的条件下X 的条件分布函数. p( x , y ) 称 pX Y ( x y) pY ( y ) 为给定Y = y 的条件下X 的条件概率密度函数. y p( x,v ) dv 类似地, 称 FY X ( y x) pX ( x )
pY ( y) p( x , y)dx pY X ( y x) p X ( x)dx
类似于Bayes公式
p ( x , y ) p X Y ( x y) pY ( y )
pY X ( y x) p X ( x)
pY X ( y x) p X ( x)dx
X
r x
=
r 2 x2
1 dy , 2 2 2 r x r
0,
2 r 2 x2 r x r , r x r r 2 0, 其他 其他
同理
2 r 2 y2 , r y r pY ( y ) r 2 0, 其他
P( X xi Y y j )P(Y y j ) i 1,2,
j 1
j 1
j 1
P(Y y j ) pij P( X xi ,Y y j )
条件分布资料
条件分布条件分布是概率论中一个重要的概念，它描述了在给定某种条件下随机变量的分布情况。
在实际问题中，条件分布的概念具有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和描述数据的特征及规律。
1. 条件概率在介绍条件分布之前，我们先来了解一下条件概率的概念。
条件概率是指在已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
假设事件A和事件B是两个事件，P(A)表示A事件发生的概率，P(B)表示B事件发生的概率，同时假设P(B)不等于0，则在事件B发生的条件下，事件A发生的概率记为P(A|B)，可以用以下公式表示：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
2. 条件分布的定义在概率论中，条件分布指的是一个随机变量在给定另一个随机变量的取值的条件下的分布情况。
假设X和Y是两个随机变量，条件分布P(X|Y)描述了在已知Y 的取值的情况下，X的可能取值及其对应的概率分布。
条件分布可以更加准确地描述变量之间的关系，有助于我们对问题的分析和建模。
3. 条件分布的性质条件分布具有以下几个性质：3.1 条件期望条件期望是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，随机变量的期望值。
对于随机变量X和Y，条件期望E(X|Y=y)定义为：E(X|Y=y) = Σ x * P(X=x|Y=y)3.2 条件方差条件方差是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，随机变量的方差。
条件方差Var(X|Y=y)定义为：Var(X|Y=y) = E((X - E(X|Y=y))^2|Y=y)3.3 条件独立性如果X和Y在给定Z的条件下是独立的，即P(X,Y|Z) = P(X|Z)P(Y|Z)，则称X和Y在给定Z的条件下是条件独立的。
条件独立性是条件分布中一个重要的性质，能够简化问题的处理和计算。
4. 应用举例条件分布在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在金融领域，可以利用条件分布来建立风险模型，预测不同市场条件下的资产价格走势；在医学领域，可以利用条件分布来分析不同疾病的发病率和相关因素之间的关系，帮助医生进行诊断和治疗。
条件概率及条件分布知识点整理
条件概率及条件分布知识点整理
1. 条件概率
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
用符号表示为 P(A|B)，表示在事件 B 已经发生的情况下，事件 A 发生的概率。
条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
2. 条件分布
在概率论和统计学中，条件分布是指在给定某个条件下，随机变量的概率分布。
条件分布可以通过条件概率来计算。
给定随机变量 X 和随机变量 Y，条件分布可以表示为
P(X|Y=y)，表示在事件 Y=y 发生的条件下，随机变量 X 的概率分布。
条件分布的计算公式为：
P(X|Y=y) = P(X∩Y=y) / P(Y=y)
其中，P(X∩Y=y) 表示随机变量 X 和事件 Y=y 同时发生的概率，P(Y=y) 表示事件 Y=y 发生的概率。
3. 应用
条件概率和条件分布在概率论和统计学中有广泛的应用。
一些
常见的应用包括：
- 贝叶斯定理：用于计算后验概率，即在已知观测数据的情况下，更新先验概率。
- 马尔科夫链：用于建模状态转移过程，在给定当前状态的情
况下，预测未来状态的概率分布。
- 事件独立性检验：通过计算条件概率是否等于边缘概率，来判断事件是否独立。
- 条件随机场：用于序列标注、自然语言处理等任务，通过建模给定条件下，序列输出的概率分布。
以上是关于条件概率和条件分布的简要介绍。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适当的概率模型和方法来进行推断和计算。
条件分布定义及其在随机过程中的应用
条件分布定义及其在随机过程中的应用在概率论中，条件分布是指在给定一些信息或事件时，随机变量的概率分布。
简单地说，条件分布是指事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
条件分布在随机过程中有很多应用，本文将对条件分布的定义及其在随机过程中的应用进行深入讨论。
一、条件分布的定义条件分布的定义可以由条件概率来推导。
设A、B是两个事件，且P(B)>0，则在事件B发生的条件下事件A的条件概率为：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
如果X和Y是两个随机变量，P(Y=y)>0，则在Y=y的条件下X的条件概率为：P(X=x|Y=y) = P(X=x，Y=y) / P(Y=y)其中，P(X=x，Y=y)表示X=x和Y=y同时发生的概率，P(Y=y)表示随机变量Y=y的概率。
进一步地，可以得到X的条件分布函数：F(x|Y=y) = P(X≤x|Y=y)X的条件概率密度函数f(x|Y=y)则由条件分布函数求导得到：f(x|Y=y) = d/dx F(x|Y=y)二、条件分布的特性条件分布具有以下一些特性：1. 相互独立性：如果X和Y是独立的，则P(X=x|Y=y) =P(X=x)。
2. 概率归一性：条件概率和等于1，即∑ P(X=x|Y=y) = 1。
3. 乘法公式：由条件概率的定义可以得到乘法公式：P(X=x，Y=y) = P(Y=y|X=x)P(X=x)4. 全期望公式：设X和Y是两个随机变量，则：E(X) = E[E(X|Y)]其中，E(X|Y)表示在Y条件下X的期望。
三、条件分布的应用条件分布在随机过程中有很多应用，本节将讨论其中的一些应用。
1. 马尔可夫性质在马尔可夫链中，当前状态只与前一状态有关，在这种情况下，当前状态的条件分布只与前一状态有关。
具体地说，可以得到下面的等式：P(Xn+1 = j|Xn=i,Xn-1=k,Xn-2=l,…,X0) = P(Xn+1=j|Xn=i)其中，Xn表示第n个状态，Xn+1表示第n+1个状态，i、j、k、l是两个状态之间的节点。
3.3 条件分布-
y f (x, y)d x. f X ( y)
联合分布
边缘分布 条件分布
联合分布
作 业 P85 10，14
思考与练习
补例. 已知分布律，求 Y=1 时 X 的条件分布.
YX 0 0 3 28
1 9 28
2 3 28
1 3 14 3 14 0
2 1 28 0
0
解 由于 P{Y 1} 3 3 0 3 ,
求条件概率密度 fX|Y ( x | y).
y 1
解：第一步：求（X，Y）的联合概率密度
1 π x2 y2 1
f ( x, y) 0
, 其他
x 1
1 π x2 y2 1
f ( x, y) 0
, 其他
第二步：求关于Y 的边缘概率密度
fY ( y)
f (x, y)d x
1 1 y2
2
1 y2 d x
0
1 y2
1 y 1, 其他
第三步：求条件概率密度 f X|Y(x|y)
-1<y <1 固定的
时，fX Y ( x y) y
f (x, y)
fY ( y)
2 0
1 1 y2
y
1
x2 y2 1
所以
P{Y
1 8
X
1} 4
P{ X
1 4
,Y
P{ X
1 4
}
1 8
}
不存在.
正确解法为
fX ( x)
f (x, y)d y
数学高考知识点条件分布
数学高考知识点条件分布数学作为一门学科，无论在学术研究还是实际应用上，都扮演着重要的角色。
而高考作为选拔优秀人才的重要途径，自然也离不开数学的考察。
在高考数学中，条件分布是一个重要的知识点。
下面我们将从概念、原理和应用三个方面来探讨条件分布的相关内容。
一、概念在高考数学中，条件分布是指在根据给定条件发生的情况下，事件发生的概率分布。
换言之，当某些条件给定时，我们可以根据这些条件来推测相关事件的发生概率。
二、原理条件分布的原理在于贝叶斯定理，也被称之为条件概率公式。
该定理表明，在给定事件B发生条件下，事件A发生的概率可以通过事件A与事件B的交并集关系求得。
具体而言，我们可以通过以下公式计算条件概率：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
通过这个公式，我们可以计算在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
三、应用条件分布在实际生活中有着广泛的应用，特别是在概率统计领域。
以下以一个实例来说明条件分布的应用。
假设有一所高中有500名学生，其中200名是男生，300名是女生。
在这500名学生中，有100名学生参加了篮球队选拔赛，并最终选拔上了篮球队。
其中，男生占选拔名额的70%，女生占选拔名额的30%。
现在的问题是：已经知道某一学生是篮球队成员，这个学生是男生的概率是多少？首先，我们可以计算男生中被选拔上篮球队的概率。
根据条件，男生占选拔名额的70%，而总男生人数为200，因此，男生中被选拔上篮球队的人数为200 * 0.7 = 140人。
接着，我们可以计算总体中被选拔上篮球队的人数。
根据条件，被选拔上篮球队的总人数为100人。
最后，我们可以带入公式计算出已知某学生是男生的条件下，这个学生是篮球队成员的概率：P(男生|篮球队成员) = P(男生∩篮球队成员)/P(篮球队成员)= 140/100= 1.4通过计算可知，在已知某学生是男生的条件下，这个学生是篮球队成员的概率为1.4。
§3、条件分布
求导数，即得 Y = y 条件下 X 的条件概率密度为
( f ( x, y)dx)dy
x
y
x
10
f ( x, y ) f X Y ( x y) . fY ( y )
即二维连续型随机变量 (X,Y)，在 Y = y 条件下随机 变量X的条件概率密度函数为
f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) fY ( y )
11
例2 设随机变量(X,Y)的概率密度为
1, | y | x ,0 x 1; f ( x, y) 其它, 0, 求条件概率密度 fY | X ( y | x ). 〖解〗先求X的边缘概率密度
f X ( x ) f ( x , y )dy
x 1dy, 0 x 1; 2 x, 0 x 1; x 其它 . 0, 0, 其它
p1 j , p2 j ,, pi j ,.
类似地，可定义 随机变量(X,Y)在 X xi条件下Y的 条件分布律 p1 i , p2 i ,, p j i ,. 下面讨论条件分布律的求法．
2
条件分布律的求法： 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布律为 pij (i 1,2,；j 1,2,) . 先求X与Y的边缘分布律 pi (i 1,2,)和 p j ( j 1,2,). 则在Y = yj条件下，即假定 P (Y y j ) 0, X 的条件 分布律为 P{ X xi , Y y j } pij
条件分布
X 的取值有 1, 2, 3, 4; Y 的取值有 1, 2, 3, 4
相应的分布律有16个，现分别计算两个: 1 P ( X 1, Y 1) 12 4 P ( X 1 Y 1) 25 P (Y 1) 25 48
P ( X 2, Y 1) 6 8 P ( X 2 Y 1) 25 P (Y 1) 25 48 1
1 2 1 1 2 e
Hale Waihona Puke 122(1 )
[
x 1
1
y 2
2
]2
显然它也是服从正态分布：
结论：
1 N ( 1 ( y 2 ), (1 2 ) 12 ) 2
正态分布的边缘分布及条件分布仍服从正态分布.
17
例 4. 设 (X,Y) 的概率密度为：
12
解: (1) 由已知的 f ( x, y ) 可知：
当 0 x 1时
f X ( x)
f ( x, y) dy
x
0
3 xdy 3 x 2
y
1
B(1,1)
当 x 0 或 y 1时
f X ( x) 0
X 的边缘概率密度为：
0
A(1, 0)
x
3 x2 f X ( x) 0
1 x2 y 1 x2
即 当 | x | < 1 时，有：
fY |X ( y | x )
1 2 1 x2 0
1 x2 y 1 x2 y 取其它值
21
故对 y > 0
f ( x, y ) e x y , f X |Y ( x | y ) y fY ( y )
条件分布
{
即得 X 和 Y 的联合分布律为
P { X = m , Y = n} = p q
2 n− 2
(n − 2)个
,
其中q = 1 − p, n = 2,3,L; m = 1,2,L, n − 1.
现在求条件分布律． 现在求条件分布律．
P { X = m Y = n}, P {Y = n X = m },
解 由题意知 X 具有概率密度 1, 0 < x < 1, f X ( x) = 0, 其他. 对于任意给定的值 x (0 < x < 1), 在 X = x 的条件下 , Y 的条件概率密度为 1 , 0 < x < y < 1, fY X ( y x ) = 1 − x 0, 其他.
其中 i , j = 1 , 2 ,L.
例1 在一汽车工厂中, 一辆汽车有两道工序是 由机 器人完成的 . 其一是紧固 3 只螺栓 , 其二是焊接 2 处
焊点 . 以 X 表示螺栓紧固得不良的 数目, 以 Y 表示焊 点焊接得不良的数目.
据积累的资料知 ( X , Y ) 具有分布律 :
Y
0 0 0.840 1 0.060 0.010 2 P{X = i} 0.910
−∞ y −∞ y
x
x
F X ( y x) = ∫ fY X (v x)dv = ∫ [ f ( x, v) f X ( x)]dv. Y
−∞ −∞
说明 联合分布、边缘分布、 联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下 边缘分布 联合分布 条件分布 联合分布
例3 设 G 是平面上的有界区域 , 其面积为 A. 若二
= ∑ p 2q n− 2 = ( n − 1) p 2q = 2 , 3 ,L .
3.2条件分布及其独立性
x
f (u, y)du
fY (y)
(329)
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
条件密度函数
设(X Y)是连续型随机向量 密度函数为f(x y) 通过极限
运算我们得到
x
f (u, y)du
P{X x|Y y}
fY (y)
(329)
对给定的y 如果fY(y)0 则称P{Xx|Yy}为Yy的条件下 X的条件分布函数 记作FX|Y (x|y) 由(329)知
2π 1 1 2
例 39 设(X ,Y)~ N(1, 2;12, 22; ) 求 fX|Y (x|y)和 fY|X (y|x)
解 由§3 1 知 X ~ N(1, 12),Y ~ N(2, 22), 于是
fX|Y (x| y)
f (x,y) fY (y)
1
e
212
1 (1
2
[ )
x
1
12
(
缘概率分布 但是由边缘概率分布一般不能确定联合概率分 布 比较表32中的两个不同联合概率分布 我们注意到它们具 有相同的边缘概率分布
表32 具有相同边缘概率分布的两个不同的联合概率分布
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
分析
设(X Y)是连续型随机向量 分布函数和密度函数分别为 F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布
故先求 P{Xx X0.5}
例35 设X服从[0 1]上的均匀分布 求在已知X0.5的条 件下X的条件分布函数
解 当x0.5时 P{Xx X0.5}0
当x0.5时
P{Xx X0.5}F(x)F(0.5)F(x)0.5
其中F(x)为X的分布函数 我们知道
1-2 条件分布与条件数学期望
3
p2 (1-p) p2 (1-p) 0
0
4
p2 (1-p) 2 p2 (1-p) 2 p2 (1-p) 2 0
•••
•••
•••
•••
•••
••• ••• ••• •••
(X，Y )为二维离散型随机向量
条件分布函数的 计算公式
在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布函数
FX|Y ( x | y j ) P{X x | Y y j }
f X|Y ( x | y)
f (x, y) fY ( y)
( fY ( y) 0)
在 X = x 的条件下 Y 的条件概率密度
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
( f X (x) 0)
(X，Y )为二维连续型随机向量
注记
（1）条件概率密度计算公式成立的条件。
（2）条件概率密度由联合概率密度确定。
（3）联合概率密度由边缘概率密度 和条件概率密度共同确定。
f (x, y) f X (x) fY|X ( y | x) f (x, y) fY ( y) f X|Y (x | y)
（4）连续型随机变量X、Y 相互独立的充要条件
fY|X ( y | x) fY ( y) f X |Y (x | y) f X (x)
(X，Y )为二维离散型随机向量
条件分布律的 计算公式
在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布律
P{X xi | Y y j} P{X xi ,Y y j} pij （i 1,2, ）
P{Y y j}
p• j
在 X = xi 的条件下随机变量 Y 的条件分布律
P{Y
概率论-条件分布
y
0
ey,
0 y
于是对y>0,
fX (x | y)
f (x, y) ex y , fY (y) y
故对y>0, P(X>1|Y=y) ex y dx
1y
ex
y
e 1
y
1
x0
例6 设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到 X=x(0<x<1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.
求Y 的概率密度.
)2
)
关于Y在X=x条件下的条件分布密度为
fY ( y x)
1
2 2
1
2
exp(
1
2 22 (1 2 ) [ y
(2
2 1
2
(x 1))] )
即二维正态分布的条件分布仍然是正态分布
N (2
2 1
(x
1 ),
22 (1
2
))
证明见教材
运用条件概率密度，我们可以在已知某 一随机变量值的条件下，求与另一随机变量 有关的事件的条件概率.
写出 ( X1, X 2 )
分布以及在 X 2
的联合分布，关于X
的边缘
1
1条件下关于 X1的条件分布。
X2 0
1
X1
2
pi.
0
0.25 0.25
0.0625 0.5625
1
0.25 0.125 0
0.375
2 0.0625 0
0
0.0625
p.j
0.5625 0.375 0.0625 1
例2 一射手进行射击，击中目标的概率为
p，(0<p<1)， 射击进行到击中目标两次为
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休息一下吧
f (x, y) fX (x)
称为在 X x 条件下 Y 的条件密度函数.
条件分布
2、连续型随机变量的条件概率密度函数
那么，条件概率密度函数是丌是密度函数呢？
f X|Y (x
| y)
f (x, y) fY ( y)
(1) fX |Y (x | y) 0
(2)
f (x | y)dx f (x, y)
那么，条件概率密度函数是丌是密度函数呢？
(1) fX |Y (x | y) 0
f X|Y (x
| y)
f (x, y) fY ( y)
(2)
f (x | y)dx f (x, y)
X |Y
fY ( y)dx
fY ( y) 1 fY ( y)
即条件概率密度满足密度函数的两条基本性质
——非负性、规范性！
(3)
P{X 2 |Y 1}
P{X 2,Y 1}
P{Y 1}
2 0
1 2e(2x y)dxdy
0
1 e ydy
0
2
2e2xdx 1 e4 0.9817 0
为什么结果一样？
这表明：事件 {Y 1} 的发生对事件{X 2} 发生没有影响，即这两个
事件是相互独立的. 那么，随机变量X ,Y 是丌是相互独立的呢？
y
条件分布
2、连续型随机变量的条件概率密度函数
那么，条件概率密度函数是丌是密度函数呢？
(1) fX |Y (x | y) 0
f X|Y (x
| y)
f (x, y) fY ( y)
(2)
f (x | y)dx f (x, y)
X |Y
fY ( y)dx
fY ( y) 1 fY ( y)
f
( x,
y)dx
2e(2xy)dx e y , y 0
0
0,
y 0
当 y 0,
f X|Y (x|y)
f (x, y) fY ( y)
2e2
0,
x
,
x 0, 其他.
条件分布
解 (2)
2e2x , x 0,
f X|Y (x|
y
1)
0,
其他.
P{X 2 |Y 1} 2 2e2xdx 1 e4 0.9817 0
x y
f (u,v)dvdu
= y y y fY (v)dv
x
2 f (u,)du
=
2 fY ( )
x
f (u,)du
=
fY ( )
x
f (x, y)dx
fY ( y)
y, y( 0)
条件分布
2、连续型随机变量的条件概率密度函数
定义： 设随机变量( X ,Y ) 的概率密度为f ( x, y)，f X ( x) 和 fY ( y) 分别是
第三章 多维随机变量及其概率分布
第三节 条件分布
条件分布
2、连续型随机变量的条件概率密度函数
P{X xi,Y yj} 的式子均为0. 将条件 Y= y 放宽为Y ( y , y ],
考虑条件概率
P{X x| y Y y } P{X x, y Y y } P{y Y y }
X |Y
fY ( y)dx
Note
fY ( y) 1 fY ( y)
条件分布将二维分布限制在直线 Y = y上，X 的分布. 其分布不二
即条件概率密度满足密度函数的两条基本性质 维分布一致，但相差一个规范化
——非负性、规范性！
因子 fY ( y) .
条件分布
2、连续型随机变量的条件概率密度函数
定义： 设随机变量( X ,Y ) 的概率密度为f (x, y)，f X (x) 和 fY ( y) 分别是
关亍X 和Y 的边缘概率密度.
若 f X (x) 0，FY|X ( y | x)
y f (x,v)dv f X (x)
称为在 X x 条件下 Y 的条件分布函数.
fY|X ( y| x)
即条件概率密度满足密度函例2
2e(2x y) , x 0, y 0, f (x, y)
0, 其他.
求 (1) fX |Y (x | y；) (2) P{X 2 | Y 1}； (3) P{X 2 | Y 1}.
解
(1)
fY ( y)
关亍X 和Y的边缘概率密度.
若 fY ( y) 0，FX|Y (x | y)
x f (u, y)du fY ( y)
称为在 Y y 条件下 X 的条件分布函数.
f X |Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
称为在 Y y 条件下 X 的条件密度函数.
条件分布
2、连续型随机变量的条件概率密度函数