拉普拉斯变换 例题解析

⎧f (t)：像原 ⎩⎨F(s)：像
1.
单位阶跃： 1(t
)
=
⎧0 ⎩⎨1
t<0 t≥0
∫ [ ] L[1(t)] =
∞
1⋅ e−stdt
0
=
−1 s
e −st
∞ 0
=
−1 (0 −1) =
s
1 s
2.
指数函数：
f
(t)
=
⎧0
⎨ ⎩e
at
t<0 t≥0
∞
∞
∫ ∫ L[f (t)] = eat ⋅ e−stdt = e−(s−a)tdt
= 1 ⋅ F(s) + 1 f (-1)(0)
s
s
（证略）
[ ] 零初始条件下有： L ∫ f (t)dt
= 1 ⋅ F(s)
s
进一步有：
∫∫ ∫ ⎡
L⎢ ⎢⎣
{L n
f
(t )dt n
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
1 sn
F(s) +
1 sn
f
(−1)(0) +
1 sn −1
f
(−2)(0) + L
+
1f s
(− n ) (0)
+ c2 s − p2
+ c3 s − p3
+
L
+
（2）微分定理： L[f ′(t)] = s ⋅ F(s) − f (0)
∞
∞
∫ ∫ 证明：左 = f ′( t ) ⋅ e−stdt = e−stdf ( t )
0
0
∞
∫ = ⎡⎣e-stf ( t )⎤⎦∞0 − f ( t )de−st
0
∞
= ⎡⎣0-f (0)⎤⎦ + s∫ f ( t)e−stdt
=
1⎡ 2j ⎢⎣s
−1 − jω
e−(s− jω)t
∞ 0
−
s
−1 + jω
e−(s+ jω )t
∞⎤ 0 ⎥⎦
=
1 2j
⎡ ⎢⎣ s
1 − jω
−
s
1 + jω
⎤ ⎥ ⎦
= 1 ⋅ 2jω = ω 2j s2 + ω 2 s2 + ω 2
4 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质： L[af1(t) + bf2 (t)] = aF1(s) + bF2 (s)
Tmω& m + ω m = k m u a
⎪⎧Tm ⎨
=
J mR [R ⋅ f m
+ CeCm ]
⎪k ⎩
m
=
Cm
[R
⋅fm
+ CeCm ]
时间函数 传递函数
（4）X-Y 记录仪（不加内电路）
⎧比较点 : Δu = u r - u p ⎪⎪放大器 : u a = k1 ⋅ Δu
⎪⎪电动机 ⎪⎨减速器
[ ] ∴ f (t) = 1 1 − e−at a
微分方程一般形式：
C(n) + a1C(n-1) + L + a n-1C′ + C = b0r(m) + b1r(m-1) + L + bm-1r′ + bmr
L : (设初条件为0)
[ ] [ ] sn + a1sn-1 + a2sn-2 +L+ a n-1s + an C(s) = b0sm + b1sm−1 +L+ bm-1s + bm R(s)
∫ (1) 反变换公式： f (t) = 1
σ
+
j∞
F(s).e
st
ds
2πj σ − j∞
(2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)
例1.F(s) = 1 ,求f(t) s(s + a)
解.F(s)
=
1 a
(s + s(s
a) - s + a)
=
1 a
⎡1 ⎢⎣ s
−
s
1 +
a
⎤ ⎥⎦
t→∞
s→0
∞
证明：由微分定理 ∫ f ′(t)e−stdt = sF(s) − f (0)
0
∞
∫ 取极限： lim f ′(t)e−stdt = limsF(s) − f (0)
s→0
s→0
0
[ ] ∞
∞
∫ ∫ 左 = f ′(t) lime−st dt = f ′(t)⋅1⋅ dt = f (t) ∞
⎤ ⎥⎦
=
s
0.12 s2 + 22
3).f (t) = sin(5t + π ) 3
4).f (t) = e−0.4tcos12t
F(s) =
5
π s
e15
=
0.866s
+
2.5
s2 + 52
s2 + 52
F(s)
=
s + 0.4
(s + 0.4)2 +122
=
s2
s + 0.4 + 0.8s +144.16
( ) L :
s2
+
2s
+
2
L(s)
=
2U a
(s)
=
2 s
L(s)
=
(s s2
2 + 2s
+
2)
L−1 : l(t) = L-1[L(s)]
复习拉普拉斯变换的有关内容
1 复数有关概念
（1）复数、复函数
复数
s = σ + jω
复函数 F(s) = Fx + jFy
例： F(s) = s + 2 = σ + 2 + jω
s→0
0
0
0
= f (∞) − f (0) = 右 = limsF(s) − f (0)
s→0
∴有： f (∞) = lim sF(s) 证毕 s→0
z
例
9：
F(s)
=
s(s
+
1
a )(s
+
b)
求f (∞)
解：f
(∞)
=
lim
s→0
s
s(s
+
1
a )(s
+
b)
=
1 ab
z
例
10： f (∞) = sinωt t→∞
= e−4t (cost − 4sint )
f(t) = 1 e−t − 1+ 9t e−10t
81
81
f(t) = 1-2e-2t + e−t ⋅ cos 3t
5).F(s)
=
s
(s
s+
+ 1)2
2
(s
+
3)
5.拉氏反变换
f(t) = 2 − ( 1 t + 3)e−t + 1 e−3t 3 2 4 12
( ) 1).F(s) = 2s2 − 5s +1 s s2 +1
f(t) = 1+ cost-5sint
2).F(s)
=
s2
+
s 8s
+ 17
3).F(s)
=
s3
+
21s2
1 + 120s
+
100
4).F(s)
=
s
(s
3s2
+ 2)
+ 2s + 8 (s2 + 2s
+
4)
f(t) = 17e−4tcos(t +14o )
由 k1(xi − xA ) = k1xA
解出 x A
=
xi
−
k2 k1
x0
代入
B
等式： f(x& i
−
k2 k1
x& 0
−
x& 0来自百度文库)
=
k2x0
f
⋅ x& i
=
f(1 +
k2 k1
)x& 0
+ k2x0
得： f (k1 + k2 )x& 0 + k1k2x0 = fk1x& i ── 一阶线性定常微分方程
∴C(s) = (b0sm + b1sm−1 + L + bm-1s + bm )R(s) = B(s).R(s)
sn + a1sn-1 + a 2sn-2 + L + a n-1s + a n
A(s)
=
B(s).R (s)
(s − p1)(s − p2 )L(s − pn )
∑ C(s) = c1 s − p1
5).f (t) = t ⋅ ⎡⎣1−1[t − t0 ]⎤⎦
F(s) = 1− (1+ t0s) e−t0s
s2
( ) 6).已知F(s)
=
s
(s
3s2
+ 2)
+ 2s + 8 s2 + 2s +
4
求f (∞) = ? f(0) = ? f(∞) = 1, f(0) = 0
二．已知 F(s),求 f(t)=?
ss
s
虚位移定理： [L eat ⋅ f (t)] = F(s - a)
（证略）
z 例 6：求 L[eat ]
[ ] [ ] 解 : L eat = L 1(t)⋅ eat = 1 s−a
[ ] z
例
7： L e-3t
⋅ cos5t
=
s2
s + 52
s→s+3
=
s+3
(s + 3)2 + 52
z
例
8：
（3）电枢控制式直流电动机
电枢回路： u a = R ⋅ i + Eb ┈克希霍夫 电枢及电势： E b = Ce ⋅ωm ┈楞次 电磁力矩： Mm = Cm ⋅ i ┈安培 力矩方程： J m ⋅ω& m + fmωm = Mm ┈牛 顿
变量关系： ua
i − Mm Eb −− −
ωm
消去中间变量有：
: Tmθ&&m :θ = k
+ θ&m 2θ m
=
kmua
⎪绳轮 ⎪
:l
=
k3
⋅θ
⎪⎩电桥电路 : u p = k 4 ⋅ l
ur
Δu − ua −θm −θ up − − − − − − − −
l
消去中间变量得：
Tm&l& + l& + k1k 2k3k 4k ml = k1k 2k3k mu a ─二阶线性定常微分方程
（2）复数模、相角
F(s) = Fx2 + Fy2 ∠F(s) = arctg Fy
Fx
（3）复数的共轭
F(s) = Fx − jFy
（4）解析：若 F(s)在 s 点的各阶导数都存在，称 F(s)在 s 点解析。
2 拉氏变换定义
F(s)
=
L[f
(t
)]
=
∫∞
0
f
(t
)
⋅
e
−st
dt
3 几种常见函数的拉氏变换
解：Qδ (t) = 1′(t)
∴L[δ (t)] = L[1′(t)] = s ⋅ 1 − δ (0− ) = 1− 0 = 1 s
z 例 2：求 L[cosωt]
解：Q cosωt
=
1 ω
L[sin′ωt] =
1 ω
⋅s ⋅ s2
ω + ω2
=
s2
s + ω2
[ ] （3）积分定理： L ∫ f (t)dt
z 例 3：求 L[t]=?
解：Q t = ∫1(t)dt
[ ] ∴ L[t] = L ∫1(t)dt
=
1 s
⋅
1 s
+
1 s
t
t=0
=
1 s2
z
例
4：求
⎡ L⎢
⎣
t2 2
⎤ ⎥ ⎦
解：Q t 2
2
=
∫ tdt
[∫ ] ∴
⎡ L⎢
⎣
t2 2
⎤ ⎥ ⎦
=
L
tdt
=1⋅ 1 s s2
+ 1⋅ t2 s2
y(α ) = E0cosα
解：在α = α 处线性化展开，只取线性项： 0 y(α ) = y(α0 ) + E0 (− sinα0 )(α − α0 )
令 Δy = y(α )- y(α0 )
Δα = α − α 0
得 Δy = −E0sinα 0 ⋅ Δα
3、 用拉氏变换解微分方程
&l& + 2l& + 2l = 2ua （初条件为 0）
L⎢⎣⎡e −2t cos(5t
−
π 3
)⎥⎦⎤
=
⎧ L⎨e
⎩
−2t
cos⎢⎣⎡5(t
−
π 15
)⎥⎦⎤⎭⎬⎫
( ) =
⎧
π -s
⎨e 15
⎩
s2
s +
52
⎫ ⎬ ⎭s→s+2
− π (s+2)
= e 15 ⋅
s+2 s + 2 2 + 52
（5）终值定理（极限确实存在时）
lim f (t) = f (∞) = lim s ⋅ F(s)
第二章：控制系统的数学模型
§2.1 引言
·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达
式。
·建模方法
⎧机理分析法 ⎩⎨实验法（辩识法）
·本章所讲的模型形式
⎧时域：微分方程 ⎩⎨复域：传递函数
§2.2 控制系统时域数学模型
1、 线性元部件、系统微分方程的建立
（1）L-R-C 网络
ur
=
L⋅
di dt
+i⋅R
+
uC
↓ i =C⋅u&c
=
L
⋅
C
⋅
u
′′
c
+
R
⋅
C⋅
u
′
c
+
uc
∴
uc′′
+
R L
uc′
+
1 LC
uc
=
1 LC ur
── 2 阶线性定常微分方程
（2）弹簧—阻尼器机械位移系统
分析 A、B 点受力情况
A
B
∴ k1(xi − x A ) = f(x& A − x& 0 ) = k 2x 0
即：&l& +
1 Tm
&l +
k1k2k3k 4km Tm
l
=
k1k 2 k 3k m Tm
ua
2、 线性系统特性──满足齐次性、可加性
z 线性系统便于分析研究。
z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。
z 非线性元部件微分方程的线性化。
例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点α0 处的线性化增量方程
0
0
[ ] =
−1 s−a
e −(s−a ) t
∞ 0
=
− 1 (0 − 1) = s−a
1 s−a
3.
正弦函数：
f
(t)
=
⎧0 ⎩⎨sinωt
t <0 t≥0
∞
L[f (t)] = ∫ sinωt ⋅ e−stdt
0
∫ [ ] ∞
=
1
e jωt − e− jωt
⋅ e−stdt
0 2j
∫ [ ] = ∞ 1 e-(s- jω)t − e−(s+ jω)t dt 0 2j
t=0
=
1 s3
（4）位移定理
实位移定理： L[f (t -τ )] = e−τs ⋅ F(s)
⎧0 t < 0
z 例 5： f (t) = ⎪⎨1 0 < t < 1
⎪⎩0 t > 0
求F(s)
解： f (t) = 1(t) −1(t − 1)
( ) ∴ F(s) = 1 − 1 ⋅ e−s = 1 1 − e−s
0
= sF(s) − f (0)
=右
进一步：L ⎡⎣f (n) ( t )⎤⎦ = snF(s) − sn-1f (0) − sn-2f ′(0) −L− sf (n-2) (0) − f (n−1) (0)
[ ] 零初始条件下有： L f (n)(t) = sn ⋅ F(s)
z 例 1：求 L[δ (t)]
≠
lim
s→0
s
s2
ω + ω2
=
0
拉氏变换附加作业 一． 已知 f(t),求 F(s)=?
1 -t
1).f(t) = 1-e T
1
F(s)
=
1− s
1 s+ 1
T
=
T
s
⎛ ⎜⎝
s
+
1 T
⎞ ⎟⎠
2).f (t) = 0.03(1− cos2t)
( ) F(s)
=
0.03
⎡1 ⎢⎣ s
−
s2
s +
22