结构力学(第三章)-图乘法
谈结构力学图乘法应用中复杂图形的图乘技巧
基金项目：辽宁工程技术大学应用创新型人才培养立项课题资助项目（ＹＢ０８３０３３）。 作者简介：孙庆巍，男，辽宁阜新人，硕士，ｊ工宁工程技术大学建筑与工程学院讲师。
２００９年第ｌｌ卷
孙庆巍
谈结构力学图乘法应用中复杂图形的图乘技巧
－２７・
狰衄＋狰—一弘
Ｅ岛一
图ｌ圈乘法示意图
解法一：将原结构中的荷载分解，如图４。
算的求解过程，大大减少求解的计算量。
譬睑
【１）
相应地嗨图也分解为两个，见图５。
＋
（ｂ）
３复杂问题的图乘技巧
从图乘法公式可知，要想顺利采用图乘法求出 位移，必须要知道Ｍｐ的面积和形心位置，对于简单
图Ｓ
这时原来的Ｍｉ图与Ｍ，图进行图乘的过程转
变为丽。图分别与（ａ）、（ｂ）的％图进行图乘再将结
果相加的过程。此时（ａ）弯矩图是标准的二次抛物 线，其面积公式与形心位置都已知，（ｂ）弯矩图为三 角形，其面积公式与形心位置自然也已知，所以，将
求出原题中的位移。 总之，遇到复杂图形进行图乘时，均可参考上面 的思路，想办法把原来的复杂图形分解为可确定面
弘２
２
积与形心位置的标准图形，或将原结构的复杂荷载 分解为单一荷载分别与单位力作用下的Ｍ图进行
＋
图乘再求和，这样，就可解决复杂图形的图乘问题。
图９
２∞９年第ｌｌ卷
孙庆巍
谈结构力学图乘法应用中复杂图形的图乘技巧
解法一：根据分段叠加法对ＡＣ段的Ｍ，图分
解，分解为直线（两端截面弯矩纵坐标的连线）与曲 线（ＡＣ段的简支梁形式在均布荷载作用下的弯矩 图）相叠加，见图９。
声 譬ｐ 卜ｊ譬仁爿 卜ｊ）Ｔ红一） 一）孚ｐ）
荷载形式 弯矩图 圈１１
哈工大结构力学题库三章
第三章 虚功原理和结构的位移一 判 断 题1. 已知P M ,Mk 图，用图乘法 求位移的结果为：（ω1у1+ω2у2）/（EI ）。
（ ） （X ） 题1图 题2图 题3图2. 图示结构中B 点挠度不等于零。
（ ）（√）3. 图示桁架中腹杆截面的大小对C 点的竖向位移影响。
（ ）（X ）4. 求图示A 点竖向位移可用图乘法。
（ ）（X ）题4图 题5图5. 图示梁的跨中挠度为零。
（ ）（√）6. 在位移互等定理中，可以建立线位移和角位移的互等关系：12δ=21ϕ。
这里12δ，21ϕ与只是数值相等而量纲不同。
（ ）（X ）7. 三个刚片用不在同一直线上的三个虚铰两两相联，则所组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
（ ）（√）8. 几何瞬变体系产生的运动非常微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结构。
（ ）（X ）9. 在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变体系。
（ ）（√）10. 两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则中，不仅指明了必需的约束数目，而且指明了这些约束必须满足的条件。
（ ）（√）11. 在非荷载因素（支座移动，温度变化，材料收缩等）作用下，静定结构不产生内力，但会有位移，且位移只与杆件相对刚度有关。
（ ）（X ）12. 虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的，这两个状态中的任一个都可看作是虚设的。
（ ）（√）13. 温度改变，支座位移，材料收缩和制造误差不会使静定结构产生内力，因而也不产生位移。
（ ）（X ）14. 计算自由度W 小于等于零是体系几何不变的充要条件。
（ ）（X ）15．若体系计算自由度W<0，则它一定是几何可变体系。
（ ）（X ）16．平面几何不变体系的三个基本组成规则是可以相互沟通的。
（ ）（√）17．三刚片由三个单铰或任意六根链杆两两相联，体系必为几何不变。
（ ）（X ）18．图示三铰刚架，EI 为常数，A 铰无竖向位移。
5结构力学图乘法.
矩 形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次 抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI
(M x tanα)
yc
xc x
M
x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
4、 注意事项
KP AP yc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2） 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K
结构力学(王焕定第三版)教材习题第三章答案全解——哈工大老师提供
结构力学(王焕定第三版)教材习题答案全解第三章习题答案3-1 (a) 答：由图（a ）、（b ）可知结构对称（水平反力为零）荷载对称，因此内力对称。
所以可只对一半进行积分然后乘以 2 来得到位移。
如图示F P R (1−cos θ)M P = θ∈[0,π/2]；M =R sin θ θ∈[0,π/2]2 代入位移计算公式可得M P M1 π2 M P M2 π2 F P R (1−cos θ)∆Bx = ∑∫ EId s = 2⋅ EI ∫0EI R d θ= EI ∫02 R sin θR d θ=F P R 3 =(→)2EI3-1 (b) 答： 如图（a ）、（b ）可建立如下荷载及单位弯矩方程EIBARRF P( a )1pR ∆Bx =∑∫ MEIM d s =∫0π2 MEI P M R d θ= q EI 4∫0π2(1−2cos θ+cos 2 θ)R d θqR 4 ⎡ θ 1⎤3π⎞ qR 4= EI ×⎢θ−2sin θ+ 2 + 4sin2θ⎥⎦0 =⎝⎜ 4 − 2⎠⎟ 2EI (→)2 ⎣3-2 答：作M P 图和单位力弯矩图如下图： 由此可得内力方程根据题意EI (x ) = EI (l + x )代入位移公式积分可得 2 2 P 0s i n ( ) d (1 c o s ) (1 c o s ) q M R q R M R θθ α α θθ − = = − = − ∫AqRBα θ1( a ) θ( b )ABlq 03 0 p 6 x q M M xl = = xP M 图2 0 6q l1lM 图 x5 83 82l 代入位移公式并积分（查积分表）可得M P M l 2 q0x4∆Bx =∑∫ EI d x =∫0 6EI(l + x) d x7q0l40.07 ql4= (ln 2−)× = (→)123EI EI3-3 答：分别作出荷载引起的轴力和单位力引起的轴力如下图所示：由此可得C 点的竖向为移为：F NP F N1F NP F N1 ∆Cy =∑∫EA d s=∑ EA l =65112.5 kN× ×6 m+2×(62.5 kN× ×5 m+125 kN× ×5 m+75 kN× ×6 m)= 88EA=8.485×10−4 m当求CD 和CE 杆之间的夹角改变使：施加如图所示单位广义力并求作出F N2 图，则F∆=∑∫ F NP EA F N2 ds =∑ NP EAF N2 l2×62.5 kN ×(−0.15)×5 m +(−112.5 kN)×0.25×6 m =EA=−1.4×10−4 rad( 夹角减小）3-4 （a）答：先作出M p和M 如右图所示。
结构力学第3章习题及参考答案
解（1）C点的竖向位移
（2）CD杆与CE杆夹角的改变量
3-5图示桁架AB杆的 ，其他杆的 。试求B点水平位移。
解本题中，AB杆的应力-应变关系不是线性的，计算时要用单位荷载法最基本的公式。
解
3-9试求图示刚架在温度作用下产生的D点的水平位移。梁为高度h=0.8m的矩形截面梁，线膨胀系数为 =10-5 oC-1。
解
3-10图示桁架各杆温度上升t，已知线膨胀系数 。试求由此引起的K点竖向位移。（画出需要的图）
解
*3-11图示梁截面尺寸为b×h=0.2m×0.6m，EI为常数，线膨胀系数为 ，弹簧刚度系数k=48EI/l3(l=2m)。梁上侧温度上升10℃，下侧上升30℃，并有图示支座移动和荷载作用。试求C点的竖向位移。
解利用虚功互等定理。
1状态：1kN的外力及其引起的15个结点的已知位移。
2状态：15个结点上10kN/15的集中荷载及其引起的15个结点的未知位移。
1状态的外力在2状态位移上做的功为
2状态的外力在1状态位移上做的功为
由
得
3-6 (b)
解
3-6 (c)
解
3-6 (d)
解
3-6 (e)
解
3-6 (f)
解（1)相对水平位移
（2)相对竖向位移
对称结构在对称荷载作用下的反对称位移等于零。
（3)相对转角
3-6 (g)
解
3-6 (h)
解
3-7试求图示结构在支座位移下的指定位移。
3-7 (a)
解
3-7 (b)
解
3-8图示结构各杆件均为截面高度相同的矩形截面，内侧温度上升t，外侧不变。试求C点的竖向位移。线膨胀系数为 。
图乘法
y0 o A
MM P 1 ∆ = ∑∫ ds = ωy 0 EI EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院 结构力学教研室 李保德副教授
MM P 1 ds = ∑ ωy 0 ∆ = ∑∫ EI EI
1 1 2 ω 3 = × qL 2 8 3 y3 = L 4
C
B L/2
1 L 1 2 ω1 = × × qL 3 2 8
1 L 1 2 ω 2 = × × y2 = L 6
∆B =
1 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω 3 y3 ) EI
41qL4 = 384 EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
3. 常见图形的面积和形心
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
注意: 注意:
标准抛物线
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
4. 图乘的一般方法
两图均是直线图形，y0可取其中的任一图形
ω
y0
y0
ω
武汉理工大学土木工程与建筑学院
武汉理工大学土木工程与建筑学院
C
B L/2
∆B =
1 ωM P y EI
1 1 2 PL3 = × L × PL × L = EI 2 3 EI
B
MP
或
1 ∆B = ωM y EI
1 1 2 PL3 = × L × L × PL = EI 2 3 EI
M
结构力学教研室
李保德副教授
结构力学-图乘法
NP
N
1
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第23页
DP
M M P ds EI
F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第17页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第18页
Cy
yc
EI
[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第4页
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形 心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ，再除以EI。 这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。
《结构力学图乘法》PPT课件
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx
tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M ，M P 分为AC、CB两段。16
分块： M P图的AC段分为两块。
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
结构位移计算中复杂图形图乘法技巧探析
结构位移计算中复杂图形图乘法技巧探析摘要：以结构力学位移计算中复杂图形图乘法为背景，分析了图乘法的三个应用条件，总结了复杂图乘法的常用方法。
以线荷载作用下悬臂梁中点竖向位移和变刚度悬臂梁端点竖向位移的两个计算实例，分析了构造标准抛物线图形的技巧，总结了图乘法分段图乘、加减相伴的图乘原则，对复杂图形图乘法的计算效率大大提高。
关键词：结构力学；位移计算；图乘法；技巧探析1图乘法的基本公式结构力学单位荷载法计算位移的一般公式中，由积分法计算梁或刚架杆件的结点或截面位移。
若积分法满足如下三个条件：其一，杆件是直杆；其二，截面抗弯刚度EI为常数；其三，两个图形中至少有一个是直线图形时，可以采用图乘法求解结点或截面位移［1-2］。
图乘法的应用简化了位移计算求解过程，减少了计算量。
图乘法的发明是由当时为莫斯科铁路运输学院的学生V ereshchagin于1925年提出，该方法后以他的名字被命名为韦列夏金规则。
位移积分法简化为图乘法的公式如式（1），具体推导过程参见文献［3-4］。
∫BAMiMkEIds=1EIωy0（1）式中，Mi,Mk中至少有一个图形是直线的弯矩图，EI是截面抗弯刚度且为常数，A,B是杆件积分区间，ds是截面微段，ω是曲线弯矩的面积（若两弯矩图均为直线，可任取），y0是曲线弯矩图的形心位置对应直线弯矩图的纵坐标。
2复杂图乘法分析结构力学教材中给出一般图乘法总结如下：式中括号内a,b,c,d同侧为正，异侧为负。
特殊情况一个梯形为三角形，式（2）的a,b,c,d中一项为0，问题得以简化。
除文献4介绍的两种方法外，还可以采用延长1弯矩图形的方法。
图2中Mp弯矩图分解为ω1和ω2，ω1沿整个l长度为标准二次抛物线，对应形心位置为y1；同样ω2沿右端l/2长度为标准二次抛物线，对应形心位置为y2；两者所得位移相减，即为ΔC的竖向位移，如式（3）。
Δc=ω1·y1－ω2·y2＝1EI［13·12ql2·l·l4－(－13·18ql2·l2·l8)］=17ql4384EI(↓)（3）实例二，求解图3（a）B点竖向位移，（沿杆件各段EI不同）由于沿直杆EI不同，常用方法必须采用分段图乘。
图乘法
2、求ΔCV ① MP图如图(b)所示。 ② 单位弯矩图M如图(d)所示。 ③ 计算A、yC。 2×l/2=ql3/24 A=2/3×1/8ql yC=5/8×l/4=5l/32 ④ 计算ΔCV ΔCV=2(1/EI*A*yC)= 5ql4/384EI (↓)
【课后作业】习题8-6（用图乘法）
【预习】：静定结构的位计算习题课
三、几个规则图形的面积和形心位置
顶点：指曲线上切线平行于底边的点 标准抛物线：指顶点在中点或端点的抛物线
四、图乘法技巧
1、图形分解图乘 当图形的面积和形心不 便确定时，可以将其分 解成几个简单的图形， 分别与另一图形相应的 纵坐标相乘。
（1）梯-梯同侧组合（三角形为特殊情况）
（2）、梯-梯同侧组合：
剪力与轴力项能用图乘法？
3、图乘法求位移的一般表达式
注意：
y [1]. c
应取自直线图中。 [2].若 A 与 yc 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值（不是MP与M 图位于杆件同侧或异侧）。 [3]. 如图形较复杂，可分解为几个简 单图形。
二、图乘法步骤 (1) 画出结构在实际荷载作用下的弯 矩图（荷载弯矩图）MP； (2) 根据所求位移选定相应的虚拟力 状态，画出单位弯矩图M(注：M图不标 单位）； (3) 分段计算一个弯矩图形的面积A 及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖 标yC； (4) 将A、yC代入图乘法公式计算所 求位移。
解：1、求φA ① 实际荷载作用 下的弯矩图MP如图(b) 所示。 ② 在A端加单位力 偶m=1，其单位弯矩图M 如图(c)所示。
③ MP图面积及其形心 对应M图竖标分别为：
A=2/3*l*1/8*ql2=ql3/12 yC=1/2 ④ 计算φA φA=1/EI*A*yC =1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24 EI
结构力学图乘法
FN FPb M FQ 状态II FPa
M ds ds EI FN ds ds EA
ds 0
kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：
0 ds FN ds W12 FP M ds FQ FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA
yc
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h AP 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
一、 功的互等定理
功的互等本质上是虚功互等。
下图给出状态I和状态II。
FP1 2 FP
FPa
FPb
A
1 2 a b
a
b
B
A
1 2 B a 1 b 2
所以
即
F F
P P
11 FP 2 FP 2 FPa a FPb b
在任一线性变形体系中，第一状态的外力 在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状 态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。
结构力学-图乘法
实例分析：圆轴扭转内力计算
第一段
M1 = (T1 + T2) × L/2
第二段
M2 = (T2 + T1) × L/2
实例分析：圆轴扭转内力计算
01
4. 比较M1和M2的大小，取较大 者作为圆轴内的最大扭矩。
02
5. 根据扭矩的正负号，绘制扭矩 图。
Part
04
组合变形图乘法
组合变形基本概念及分类
者联系起来，从而求解结构位移。
图乘法适用条件及限制
适用条件Βιβλιοθήκη 01载荷作用下，结构的变形是线性的，即变 形量与载荷成正比。
03
02
结构变形符合小变形假设，即变形量与结构 尺寸相比很小。
04 限制
图乘法只适用于线性弹性问题，对于非线 性问题或塑性变形问题不适用。
05
06
在应用图乘法时，需要保证图形函数的准 确性，否则会影响计算结果的精度。
Part
02
弯曲内力图乘法
弯曲内力基本概念
01
02
03
弯曲内力
指构件在受到外力作用时， 其内部产生的抵抗弯曲变 形的力。
剪力
作用于构件横截面上的内 力，其方向与构件轴线垂 直。
弯矩
作用于构件横截面上的内 力偶矩，其大小等于该截 面左侧或右侧所有外力对 截面形心的力矩之和。
弯曲内力图乘法求解步骤
图乘法优点总结
直观性
图乘法通过图形表示结构 中的力学元素和它们之间 的关系，使得分析结果更 直观，易于理解和解释。
高效性
相较于数值分析方法，图 乘法能够更快地给出结构 分析的近似解，适用于初 步设计和快速评估。
适用性广
图乘法可应用于各种不同 类型的结构，包括静定结 构和超静定结构，具有较 广泛的适用性。
结构力学：图乘法
M
1 l 2 5Pl 5Pl 3 ( )
EI 8 6 48EI
？ 1 yc
Pl 另解1：
MP l/2
c
1 EI
yc
1 EI
Pl 2 2
l 6
Pl 3 12EI
(
)
M
错误
另解2：
Pl/2
1
Pl
2
MP
1
l/2
y1 y2
M
c
1 EI
(1 y1
2
y2
)
1 ( 1 l Pl 1 l 1 l Pl 2 l ) EI 2 2 2 3 2 2 2 3 2
习题七
《结构力学》
4-3(b), 4-6,4-7,4-8
上次课主要内容回顾
虚功：力与其它因素产生的位移所形成的功。
P
G
GS
W=G·S — 虚功
虚 — 力与位移在作功过程中互不相关。
虚功原理：
①外力虚功
Pi P2
P1
dx
力状态
位移状态
两种状态相互独立
T Pi i
②内力虚功
内力状态
M N
dx Q
Mi Mk EI
dx
1 EI
Mi
Mk dx
1 EI
( xtg
b) M k dx
b
o1
Mi yc
x xc
Mi图
1 EI
(tg
xM k dx
b
M k dx )
1 EI
(tg
xd k
b
d k
)
xdk k xc — Mk图对o1-o2的静矩
Mi Mk EI
dx
1 EI
建筑工程之结构力学讲义7-3 图乘法
D
A C FP
a
B
l
l
2
2
FN
1 2
D
1 AC
a
B
l
l
2
2
l
MP
FP l
4
Cy
0l
MM P EI
ds
0a
FN FNP EA
ds
M请对计算结4 果 C进y 行4F适8PEl当3I (讨1 论1l！23aAI )
2 [(1 l FPl ) 2 l ] 1 1 FP a FPl 3 FPa
ql 2 8
l) 4
A
q
FQ
ql 2
M ql 2
ql 2 ql 2
8
8
4
(1 l ql 2 l )
ql 2
22 4 3
A
8
(1 l ql 2 3 l )] 17ql 4 ( ) 3 2 8 4 2 384EI
解法二、
ql 2 2
ql 2
ql 2
2
4k
由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为
MMP ds Fk FPk
EI
k
例 5. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
q
A
l2
C l2
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
ql 2
2
ql 2
8
A
C
MP 图
l
2
1
B
A ql 2
M图
2
ql 2
一种算法：
结果正确否？ A
8
B
C
Cy
结构力学图乘法
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
Mc 也应按弯矩符号给以正负号.
l
x
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
W12 W21
二、 位移互等定理
在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的 与荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载 FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12。
即
δ12= δ21
FP1
12
FP 2
12
11
21
状态I
12
22
状态II
由功的互等定理可得： FP112 FP221
和量纲 (W FP1FP2 ) 上仍然保持相等。
例1 验证位移互等定理。
FP1=F EI 1 Δ21 2 a/2 a/2
EI 1 FP2=M2 Δ12
a/2 a/2
F
M/2
M
Fa/4
1/2
1
1
解：
a/4
21
1 EI
1a 2
1 4
Fa
1 2
Fa2 16EI
12
1 EI
1a1a1M 242
例6-3 验证反力互等定理。
1 C1=1 EI l 3EI/l
21
r21
r12
EI l
2 C2=1
r21=3EI/l2
结构力学教材习题第三章答案全解——哈工大老师提供
结构力学(王焕定第三版)教材习题答案全解第三章习题答案3-1 (a) 答：由图（a）、（b）可知结构对称（水平反力为零）荷载对称，因此内力对称。
所以可只对一半进行积分然后乘以 2 来得到位移。
如图示F P R(1−cos θ)M P = θ∈[0,π/2]；M=R sin θθ∈[0,π/2]2 代入位移计算公式可得M P M 1 π2 M P M 2 π2 F P R(1−cos θ)∆Bx = ∑∫ EI d s = 2⋅EI ∫0 EI R dθ= EI ∫0 2 R sin θR dθ=F P R3 =(→)2EI3-1 (b) 答：如图（a）、（b）可建立如下荷载及单位弯矩方程pR ∆Bx =∑∫ MEIM d s =∫0π2 MEI P M R dθ= qEI 4 ∫0π2 (1−2cosθ+cos 2 θ)R dθqR 4 ⎡ θ 1 ⎡3π ⎡ qR 4= EI ×⎡θ−2sinθ+ 2 + 4sin2θ⎡⎡0 =⎡⎡ 4 − 2⎡⎡ 2EI (→)2 ⎡3-2 答：作M P 图和单位力弯矩图如下图： 由此可得内力方程代入位移公式积分可得2 2 P 0s i n ( ) d (c o s ) (c o s )q M R q R M R θθ α α θ θ − == − = − ∫AqRBα θ( a θ( b )根据题意 EI (x ) = EI (l + x )2l 代入位移公式并积分（查积分表）可得M P M l2 q 0x 4∆Bx =∑∫ EI d x =∫0 6EI (l + x ) d x7 q 0l 4 ql 4= (ln 2− )× =(→)12 3EI EI3-3 答：分别作出荷载引起的轴力和单位力引起的轴力如下图所示：由此可得 C 点的竖向为移为：1 lM 图 x3 0 p x q M M xl= = xP M 图2 0 6q lABl q 05 83 8F NP F N1 F NP F N1 ∆Cy =∑∫EA d s=∑ EA l =6 5kN× ×6 m+2× kN× ×5 m+125 kN× ×5 m+75 kN× ×6 m)= 8 8EA=×10−4 m当求CD 和CE 杆之间的夹角改变使：施加如图所示单位广义力并求作出F N2 图，则F∆=∑∫ F NP EA F N2 ds=∑ NP EA F N2 l2× kN×(−×5 m+(− kN)××6 m =EA=−×10−4 rad ( 夹角减小）3-4 （a）答：先作出M p和M 如右图所示。
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( M x tan ) 1 x tan M P dx EI tan
xM P dx
图乘法求位移公式为:
图乘法的 适用条件是 什么?
EI tan 1 xc yc EI EI
ip
yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1 B 1
B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 q ql 2 / 8 ql 2 / 2
MP
A
l/2 C
1
q q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
ql / 2
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 图乘法是Vereshagin于 M M P ds (对于等 截面杆) EI 1925年提出的，他当时 1 为莫斯科铁路运输学院 MM P dx (对于直杆) EI 的学生。
1 1
B
Mi
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
ql / 4
1 2 ql 2 1 CD EI EI 3 8 2 ql 3 ql / 4 ( ) 24 EI
yc
三、应用举例
例 3. 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 A 。 1 q q l
1
Mi
1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 B ( l ) ( EI 2 4 2 16 EI
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
A
MP
60
20
40 B
20
EI
20kN m 40kN m 10 m
1
Mi
1 1 2 B ( 10 60 EI 2 3 1 100 20 10 ) ( ) 2 EI
求B点水平位移,EI=常数。
2Pl 2l
A
MP
A
P
Pl l
l
B
MP
1
l
B
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
1 1 2 1 2l 3l B [ l Pl l Pl l l Pl l (l ) Pl l ] EI EI 2 3 2 3 2 11Pl 3 ( ) 3EI
yc
练习
求C、D两点相对水平位移 CD 。
P
Pl EI
C
D
P
l
EA A
MP
1
l l
1
EI Pl
B
l
Mi
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
N i N Pl 1 1 2 1 B Pl l l 4 (2 P)( 2) l EI EA EI 2 3 EA 4 Pl 3 4 Pl () 3EI EA
三、图乘法小结
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
y c 应取自直线图中。 2. 若 与 y c 在杆件的同侧， yc取正值；
（3） 反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
三、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD。
若把二力杆换成弹簧,该如何计算?
B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算C点竖向位移？
A
l
P C
2 l
B k
2
A
l 2
=1 C
l
B k
2
Si
l 4
SP P / 2
MP
Pl 4
y c
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P A C B
a
l
2
l
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
NP P / 2
A
l 2
D P
Ni 1 / 2
D
a
B
2
Pl 4
A
l
1 C
2
a
B
l 2
l 4
C l
MP
M
2 1 l Pl 2 l 1 1 P Pl 3 Pa Cy [( ) ] a () EI 2 2 4 3 4 EA 2 2 48 EI 4 EA
A
B
h
q
2
q
ql / 8
MP
1
1
h h
Mi
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 yc 1 2 ql 2 CD lh EI EI 3 8 qhl 3 ( ) 12 EI
三、应用举例
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。 l q
A
C
1
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
1 2 ql 8 1 2
1
B
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 1 ql 3 （ ） 24 EI
三、图形分解
求 B
MP
20
A
B
20kN m
20 A
40 B
EI
1 1 B 10 1 (20 EI 2 2 500 20 ) ( ) 3 3EI
1
Mi
1/ 2 2 / 3
1 1 2 B ( 10 20 EI 2 3 1 500 10 20 ) ( ) 2 3EI
当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.
11ql 4 ( ) 12 EI
已知 EI 为常数，求B截面转角。
2kN/m
B
6kN
1
4
3m
MP
12
Mi
A
4m 2m
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B yc
1 1 1 2 1 ( 4 12 1 4 4 ) EI EI 2 3 3 2 )
8 ( 3EI
已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD,并画出变形图。
ql
C
D
l
A
q
B
ql
1
q
1
l
ql 2
l
l
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc
1 1 1 2 ql 2 2 2 2 ( l ql l l ql l l l) EI EI 2 3 2 3 8
MP
l
解: By
MM P EI ds
y c
EI 1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
hl n 1
C
h
l n2
( n 1)l n2
1 1 对称弯矩图 1 1
l
Mi
1
Mi
l
l
1
作变形草图
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：
Pl
P
P
1
1
1 1
练习
求B点水平位移。
4 EI
Pl
l
l
EI A
MP
EI
B P
Mi
1
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
yc
注意:各杆刚度 可能不同
1 1 2 1 B Pl l l 2 Pl l l EI EI 2 3 4 EI 5 Pl 3 () 8 EI
yc
三、应用举例
例 4. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
ql 2 / 2
MP
q ql 2 / 8
A
c
y c
l/2 C l/2
1
C
B
1 1 ql 2 1 l l EI EI 3 2 2 2
l/2
Mi
1 ql 3 () 24 EI
1 1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l C ( ) EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4 5ql 3 ( ) 128 EI
20kN m 10 m40kN m
A
40 B 40kN m
1
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
求 B
MP
20 A
40 B
EI
20kN m 10 m40kN m
EI 1 1 l ql 2 3 l 1 l ql 2 2 l ( EI 3 2 8 4 2 2 2 4 3 2 l ql 2 1 l ) 2 8 2 2 17 ql 4 () 384 EI