结构力学图乘法
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（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
l b
l a
3
3
l
顶点
C
5l
3l
8
8
l
三角形
AP
lh 2
二次抛物线
Ap
2 3
hl
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
§4-4 图乘法
1.图乘法原理
梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：
KP
MKMP ds 称莫尔积分 EI
建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况 下不方便。
图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图 形积分变为图形相乘。
2、图乘法的适用条件： （1）杆件轴线是直线；
（2）杆段的弯曲刚度EI为常数； （3）图 M 图 M P 中至少有一个是直线
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时，
ω应代以负号.
Mc 也应按弯矩符号给以正负号.
l
x
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
l b
l a
3
3
l
顶点
C
5l
3l
8
8
l
三角形
Ap
lh 2
二次抛物线
Ap
2 3
hl
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
M图
例5-5 求ΔCH，EI等于常数。
2kN/m
A
B
EI
2m
EI
2kN/m
C 4m 解： 作MP图和 M 图见下页图。 分块：MP图的AB段分为两块。
1
1 3
2
4
8 3
y1
3 4
2
1.5
12
2
2 3
4
4
32 3
y2 2
A
3 24 8
y3
wk.baidu.com
1 2
(12
4)
4
2
CH
y
1
(2c 3
d
)
M iM Kdx1y12y2
y
2
(c
2d) 3
b c取负值
A
a A1
C
y1 c
B A2 b MK 图
D y2
d M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘
（4）曲线图形与折线图形相乘
M iM K d x A 1 y 1 A 2 y 2 A 3 y 3 A iy i
（5）阶形杆件图形相乘
N 次抛物线 l h n1
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x)为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求 C V , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 M P 图，如右图所示。 A
分段：M
，M
P
分为AC、CB两段。 16
分块： M
图的AC段分为两块。
一、 功的互等定理
8
4 ω3
1/2y1 ω2 y3
C
1
y1 1/ 2
4 B MP图
（kN.m)
1 B
M图
3
24432
3
3
2
1814 2
21
20
y2
( 4 12)
33
3
1
3
y3
(11/2) 2
4
B
1 EI
(1y1
2y2
3y3)E 1I
(64
14 2
2032 33
3) 4
1 (32808)13.33( )
EI
3
EI
例3 求 ,B EI等于常数。
解： A
作 M 图及M P 图，
如右所示。
7kN
B 2m
6kN/m
C
6kN.m
4m
17kN
分段：M
，M
分
P
为AB、BC两段。
分块： M
图的
P
BC段分为两块。
y2
ω1 14
y1 1/3
6 ω3
12（MkNP .图m) y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
M图
11221414
1 EI
(1 y1 2 y2 3 y3 )
1 ( 8 1.5 32 2 8 4)
EI 3
3
1 (25.33 32) 6.67 ( )
EI
EI
y3=4 ω2 2m MP图(kN.m)
ω3 y2
M图
4B 4
ω1
C 2
y1
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
P
1
221 3
4 3
y1 1
A
2m C 2m B
ω1 y2 4
C
MP B
2
1222 2
y2
(2 3
16
1 3
4)
2 ω2
1
36 12 3
A
y1
C
M
B
C V E 1 ( 1 y I 1 2 y 2 ) E 1 ( 3 4 I 1 2 1 ) 2 2 . 6 E 2 1 7 I
如果将AC段的
M
图如下图那样分块，就比
P
较麻烦。 2kN/m 4kN
A
C
2m 4kN.m
16
4
8 A
4 C
M P图
例2
求 B , EI等于常数。
12kN.m 4kN 2kN/m
A
C
B 4kN.m
5kN 4m
4m
7kN
解：
作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
A
A
1
116864 2
C ω1 y2
M iM Kd xA 1y 1A 2y2A 3y3 A iyi
EI E 1 I1 E 2I2 E 3I3
E iIi
对于等直杆有
M(x)
Δ
1 EI
l M(x)M(x)dx
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
2
1424 2 33
21 2 y1339
y2
(21416)22 33 3
3
2 3
4 12
32
y3
1 3
B
1 EI
(1 y1
2 y2
3 y3)
1 (14 2 4 22 32 1)
EI
93 3
3
156 17.33 ( ) 9EI EI
y2
ω1 14
y1 1/3
6 ω3
12 M P 图 （kN.m)
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M MP dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M MPdx
(Mxtaα n)
E1IxtanαMPdx
tanα EI
xMPdxtaEnIα
xdA
tE aαnIApxcE 1A Ipyc
y A
Mp
C
dx B
yc
xc
x
M x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路
运输学院的学生。
4、 注意事项
KP
APyc EI
（1）必须符合图乘法的适用条件； （y c2） 必须取自直线图形；
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（1）常见图形面积和形心：
矩形
a
l
Aal
三角形 a
l
A
1 2
al
a
l
标准二次 a
抛物线
l
a
l
A
1 3
al
A
2 3
al
A
2 3
al
xc
1 2
l
xc
1 3
l
xc
1 4
l
xc
3 8
l
xc
1 2
l
（2） 梯形相乘
A1
A2
M iM K dxA 1y1A 2y2
y
1
(2c 3
d)
y
2
(c
2d) 3
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
l b
l a
3
3
l
顶点
C
5l
3l
8
8
l
三角形
AP
lh 2
二次抛物线
Ap
2 3
hl
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
§4-4 图乘法
1.图乘法原理
梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：
KP
MKMP ds 称莫尔积分 EI
建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况 下不方便。
图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图 形积分变为图形相乘。
2、图乘法的适用条件： （1）杆件轴线是直线；
（2）杆段的弯曲刚度EI为常数； （3）图 M 图 M P 中至少有一个是直线
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时，
ω应代以负号.
Mc 也应按弯矩符号给以正负号.
l
x
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
l b
l a
3
3
l
顶点
C
5l
3l
8
8
l
三角形
Ap
lh 2
二次抛物线
Ap
2 3
hl
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
M图
例5-5 求ΔCH，EI等于常数。
2kN/m
A
B
EI
2m
EI
2kN/m
C 4m 解： 作MP图和 M 图见下页图。 分块：MP图的AB段分为两块。
1
1 3
2
4
8 3
y1
3 4
2
1.5
12
2
2 3
4
4
32 3
y2 2
A
3 24 8
y3
wk.baidu.com
1 2
(12
4)
4
2
CH
y
1
(2c 3
d
)
M iM Kdx1y12y2
y
2
(c
2d) 3
b c取负值
A
a A1
C
y1 c
B A2 b MK 图
D y2
d M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘
（4）曲线图形与折线图形相乘
M iM K d x A 1 y 1 A 2 y 2 A 3 y 3 A iy i
（5）阶形杆件图形相乘
N 次抛物线 l h n1
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x)为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求 C V , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 M P 图，如右图所示。 A
分段：M
，M
P
分为AC、CB两段。 16
分块： M
图的AC段分为两块。
一、 功的互等定理
8
4 ω3
1/2y1 ω2 y3
C
1
y1 1/ 2
4 B MP图
（kN.m)
1 B
M图
3
24432
3
3
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1814 2
21
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( 4 12)
33
3
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3
y3
(11/2) 2
4
B
1 EI
(1y1
2y2
3y3)E 1I
(64
14 2
2032 33
3) 4
1 (32808)13.33( )
EI
3
EI
例3 求 ,B EI等于常数。
解： A
作 M 图及M P 图，
如右所示。
7kN
B 2m
6kN/m
C
6kN.m
4m
17kN
分段：M
，M
分
P
为AB、BC两段。
分块： M
图的
P
BC段分为两块。
y2
ω1 14
y1 1/3
6 ω3
12（MkNP .图m) y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
M图
11221414
1 EI
(1 y1 2 y2 3 y3 )
1 ( 8 1.5 32 2 8 4)
EI 3
3
1 (25.33 32) 6.67 ( )
EI
EI
y3=4 ω2 2m MP图(kN.m)
ω3 y2
M图
4B 4
ω1
C 2
y1
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
P
1
221 3
4 3
y1 1
A
2m C 2m B
ω1 y2 4
C
MP B
2
1222 2
y2
(2 3
16
1 3
4)
2 ω2
1
36 12 3
A
y1
C
M
B
C V E 1 ( 1 y I 1 2 y 2 ) E 1 ( 3 4 I 1 2 1 ) 2 2 . 6 E 2 1 7 I
如果将AC段的
M
图如下图那样分块，就比
P
较麻烦。 2kN/m 4kN
A
C
2m 4kN.m
16
4
8 A
4 C
M P图
例2
求 B , EI等于常数。
12kN.m 4kN 2kN/m
A
C
B 4kN.m
5kN 4m
4m
7kN
解：
作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
A
A
1
116864 2
C ω1 y2
M iM Kd xA 1y 1A 2y2A 3y3 A iyi
EI E 1 I1 E 2I2 E 3I3
E iIi
对于等直杆有
M(x)
Δ
1 EI
l M(x)M(x)dx
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
2
1424 2 33
21 2 y1339
y2
(21416)22 33 3
3
2 3
4 12
32
y3
1 3
B
1 EI
(1 y1
2 y2
3 y3)
1 (14 2 4 22 32 1)
EI
93 3
3
156 17.33 ( ) 9EI EI
y2
ω1 14
y1 1/3
6 ω3
12 M P 图 （kN.m)
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M MP dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M MPdx
(Mxtaα n)
E1IxtanαMPdx
tanα EI
xMPdxtaEnIα
xdA
tE aαnIApxcE 1A Ipyc
y A
Mp
C
dx B
yc
xc
x
M x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路
运输学院的学生。
4、 注意事项
KP
APyc EI
（1）必须符合图乘法的适用条件； （y c2） 必须取自直线图形；
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（1）常见图形面积和形心：
矩形
a
l
Aal
三角形 a
l
A
1 2
al
a
l
标准二次 a
抛物线
l
a
l
A
1 3
al
A
2 3
al
A
2 3
al
xc
1 2
l
xc
1 3
l
xc
1 4
l
xc
3 8
l
xc
1 2
l
（2） 梯形相乘
A1
A2
M iM K dxA 1y1A 2y2
y
1
(2c 3
d)
y
2
(c
2d) 3