结构力学图乘法
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结构力学-图乘法
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第2页
等截面直杆AB段 以杆轴为 x 轴，以 M 图的 延长线与 x 轴的交点O为坐 tan 标原点， 沿AB杆段为 常数 M x tan
B
A
M M P ds EI
1 EI
B
MM
A
P
dx
tan EI
B
xM
A
P
dx
tan EI
c
y1
y2
d
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第8页
a
1
2
b
d
y2 c y1
yc
EI 1 EI
图形的纵距a、b 或c、 d不在基线同一侧时。 处理原则也和上面一样， 可分解为位于基线两侧的两 个三角形，分别与另一图形 相乘，然后叠加。
( 1 y 1 2 y 2 )
( 10
2 )( 1 . 5 2 ) 4 2
98 . 84 EI
( )
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第七章
静定结构位移计算
第24页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
y5 y 4 y 3
y1 y2
解 （1）作实际状态的 M
P
。
ql 8
2
ql 8
2
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第七章
静定结构位移计算
第14页
（2）建立虚拟状态，并作
l/2
M
图。
1
（3）进行图形相乘，求C点竖向位移 C y 。
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第七章
静定结构位移计算
6.5 图形相乘法 结构力学
C A0 ql2/8 A2
B A C y0
1
B 1
M 2图
MP图
将MP图与 M 2 图相乘，则得 A0 y 0 ql 2 1 2 l qB ( l ) EI EI 3 8 2 ( ql )3 24EI
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【例6-8】试求图示悬臂梁跨中截面C的挠度DCV。已知EI=常数。
其中
M图
l
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当MP或图的竖标a、b或c、 d不在基线同侧时，如图619b所示，处理原则仍和上 面一样，可将MP分解为位 于基线两侧的两个三角形 （其中A1在上侧，A2在下 侧），按上述方法，分别图 乘，然后叠加。
1 1 A1 al, A2 bl 2 2 2 1 2 1 y01 c d , y02 d c 3 3 3 3
二梁杆 竖杆
All Rights Reserved
1 qa2 2 a 1 qa2 1 a a) ( ) 2 ( a) ( ) 0 2 ( 2 4 3 2 2 4 3 2 3qa4 () 24EI 1 EI
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如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写 为
Ay0 MM P Δ ds EI EI
三、应用图乘法的注意事项
(6-17)
1）y0只能取自直线图形，而A应取自另一图形。
2）当A与y0在弯矩图的基线同侧时，其互乘值应取正号；在 异侧时，应取负号。
y03 y 04
MP图 y01
1
结构力学图乘法课件
THANKS
感谢观看
工程实践应用
探讨结构力学图乘法在工程实践中的应用，包括结构分析和设计、损伤识别与健康监测、物理实验模拟等领域，以帮 助学员了解该领域的实际应用和未来发展方向。
对个人发展的启示 总结学习结构力学图乘法的经验和方法，提出对个人发展的启示和建议，包括思维方式、分析问题和解 决问题的能力以及团队协作等方面的提升。
图乘法的扩展应用
建筑结构分析
图乘法在建筑结构分析中有着广泛的应用，可以用于分析建筑结构的强度、刚度和稳定性。 通过图乘法，工程师可以快速求解出建筑结构的响应和性能，为建筑设计和施工提供依据。
桥梁结构分析
图乘法在桥梁结构分析中也有着重要的应用，可以用于分析桥梁的承载能力和稳定性。通 过图乘法，工程师可以得出桥梁在不同载荷条件下的响应和性能，为桥梁的设计和施工提 供依据。
选择实例
选择具有代表性的扭转结构作 为分析对象。
建模分析
建立结构模型，进行静力分析 和动力学分析。
结果比较
比较不同设计方案和参数下的 结果，分析优劣。
结论总结
总结分析结果，提出优化方案 和结论。
06
图乘法的应用与扩展
图乘法在结构设计中的应用
01
简化复杂结构分析
图乘法可以用于求解复杂结构的内力和位移，通过将结构分解为简单部
教学方法评析
对采用的教学方法和策略进行反 思和评析，包括案例分析、课堂 讲解、小组讨论和习题练习等， 以帮助学员更好地掌握知识和技
能。
学员收获与感受
分享学员在学习过程中的收获和 感受，包括对基本概念的理解、 解决问题的能力和实践应用能力
的提升等方面。
展望与启示
前沿技术发展
介绍结构力学图乘法领域的前沿技术和研究动态，包括新理论、新方法和新应用等，以激发学员对该领域的兴趣和研 究热情。
结构力学第三章图乘法
ql2 / 8
练习
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘,结果 1 1 为零. 2 MP ( l Pl l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD,并画出变形图。
ql
C
D
l
A
q
B
ql
q
1
1
l
ql 2
l
MP
l
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
1 1 1 2 ql 2 2 2 2 CD ( l ql l l ql l l l) EI EI 2 3 2 3 8 11ql 4 ( ) 12EI
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx EI yc tan 1 ip xc yc EI
EI EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
1
1 1 B 10 1 (20 EI 2 2 500 20 ) ( ) 3 3EI
Mi
1/ 2 2 / 3
1 1 2 B ( 10 20 EI 2 3 1 500 10 20 ) ( ) 2 3EI
当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.
5结构力学图乘法.
（1）常见图形面积和形心：
矩 形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次 抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI
(M x tanα)
yc
xc x
M
x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
4、 注意事项
KP AP yc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2） 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K
矩 形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次 抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI
(M x tanα)
yc
xc x
M
x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
4、 注意事项
KP AP yc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2） 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K
结构力学图乘法详述
6
Pl 2 16 EI
积分常可用图形相乘来代替
§6-5 图乘法
直杆 EI C
位移计算举例
MiMk MiMk 1 EI ds EI dx EI M i M k dx M i是直线 B B 1 1 tg xM k dx M k xtgdx A EI EI A tg B 1 1 y w ×w x0 y tg xd w 0 EI EI EI A
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
2
三、位移计算的一般步骤: K
t1 t2
MP EI
NP EA
QP k GA
10 9
k--为截面形状系数 (3) 荷载作用下的位移计算公式
1.2
A
A1
MM P NN P kQ QP ds ds ds EI EA GA
4
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P ds EI
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； 9 b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
例：求图示梁中点的挠度。
1 1 3a 3a Pa EI 2 4
求B点的竖向位移。
ql2/2
4
1 1 ql 3l ql B l EI 3 2 4 8 EI 1 1 3ql 2 l B y 0 L 2 EI 3 8 2
Pl 2 16 EI
积分常可用图形相乘来代替
§6-5 图乘法
直杆 EI C
位移计算举例
MiMk MiMk 1 EI ds EI dx EI M i M k dx M i是直线 B B 1 1 tg xM k dx M k xtgdx A EI EI A tg B 1 1 y w ×w x0 y tg xd w 0 EI EI EI A
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
2
三、位移计算的一般步骤: K
t1 t2
MP EI
NP EA
QP k GA
10 9
k--为截面形状系数 (3) 荷载作用下的位移计算公式
1.2
A
A1
MM P NN P kQ QP ds ds ds EI EA GA
4
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P ds EI
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； 9 b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
例：求图示梁中点的挠度。
1 1 3a 3a Pa EI 2 4
求B点的竖向位移。
ql2/2
4
1 1 ql 3l ql B l EI 3 2 4 8 EI 1 1 3ql 2 l B y 0 L 2 EI 3 8 2
6.5 图形相乘法 结构力学
=
MA
MB
+
MA B A dx a qa2/8 MB
MA MA A MB a q B MB
=
+
qa2/8
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四、应用图乘法的计算步骤
1）作实际荷载弯矩图MP图； ）作实际荷载弯矩图 图 2）加相应单位荷载，作单位弯矩图图； ）加相应单位荷载，作单位弯矩图图； 3）用图乘法公式（6-17）求位移。 ）用图乘法公式（ ）求位移。 所示简支梁跨中截面C的挠度 例6-7】试求图 】试求图6-21a所示简支梁跨中截面 的挠度CV和B端的 所示简支梁跨中截面 端的 已知EI=常数。 常数。 转角θB。已知 常数
O
M =xtanα
α
x A x0
M
M图
x
式中， 式中，dA=MPdx为MP图中有阴影线的微分面积，而 xdA即为 为 图中有阴影线的微分面积， 整个M 图的面积对y轴的静矩 轴的静矩。 表示M 的形心至y轴的距 整个 P图的面积对 轴的静矩。用x0表示 P的形心至 轴的距 离，则有 xdA = Ax (b)
1
20kN 100 A2 C A3 20 B A4 A A5 140 (45) A1 D
y02 y01 12 y03
C
4m C 4m
D
y04 y05
A
MP图(kNm)
M 图(m)
y 01
1 = ×12 = 6 2
2 y02 = × 12 = 8 3
y 03 = y 04 = y 05 = 12
MP图 l y03 y 04 y01
A
1
B
y02
C
M图
《结构力学图乘法》PPT课件
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx
tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M ，M P 分为AC、CB两段。16
分块： M P图的AC段分为两块。
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
最新版结构力学精品课件4-5 图乘法及其应用 (2)
1 2 ql 8
应分段！
M
图
l 4
q A B A
1 2
C B
1
MP 图
1 2 ql 8
M
图
例 2. 已知 EI 为常数，求刚架C、D两点 距离的改变 CD 。
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
p117
2
yc h
例 3. 已知 EI 为常数，求刚架A点的竖向位 移 。
Ay
FP
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
4-5 图乘法及其应用
已有基础： 1. 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移；
3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:
kFQP FNP MP l M dx l FN dx l FQ dx EI EA GA
这部分主要内容：
MM P ds 1. 图乘法； EI
FPl/2 FPl/2 FPl/2 FP FPl/4 EI 2EI
M 图
MP 图
FPl
在
M
图求面积，在 M P图取竖标，有：
例 4. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
解：作荷载和单位荷载的内力图
MP
分解
M
二次抛物线
hl n 1
C
h
l n2
( n 1Байду номын сангаасl n2
三、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
yc 应取自直线图中。 yc取正值； 2. 若 与 yc 在杆件的同侧，
（ 3） 反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
朱明zhubob结构力学5-5图乘法
直角三角形
三角形
二次抛物线
A1
2 3
hl
A2
1 3
hl
二次抛物线
A1
3 4
hl
A2
1 4
hl
三次抛物线
⒊ 应用图乘法时的几个具体问题 ⑴ 如果两个图形都是直线, 则标距y0可取自其中任一个图形。 ⑵ 如果一个图形是曲线, 另一个图形是由几段直线组成的折
线, 则应分段考虑。
Mi Mkdx A1 y1 A2 y2 A3 y3
1
y0
A
1 ql 2 8
⑶ 求位移（用图乘法）。
MMP dx
EI
1 EI
Ay0
1 EI
2 3
ql 2 8
l
1 2
ql 3 24EI
例2 求中点C的挠度ΔC
FP l
y0
1
解：⑴ 虚设单位荷载。 ⑶ 求位移（用图乘法）。
A 1 l l l2 2 22 8
⑵ 用图乘法求位移。
方法一：
ql 2 MP图
ql 2 8
8
ql 2 4
1 M图
ql 2 8
例5-4 求图示悬臂梁C点的竖向位移, 设EI=常数。
ql 2
2
ql 2
8
A3
ql 2 4
A2
ql 2 8
ql 2
A1
8
l 2
y3 y2 y1
1
yC
17ql 4 384EI
解：⑴ 作荷载作用下的弯矩图和单位 荷载作用下的弯矩图。
结构力学5-5图乘法
ql 2 ql 2 l a , b , c , d 0 2 8 2
整理后, 得： yC
17ql 4 384 EI
2
yC
2 1 2 l ql 1 l ql 2 l l ql l 2 2 2 0 0 8 2 EI 3 2 32 2 2 12 EI
§5-5 图乘法
MM P 求积分： ds EI
MM P 1 ds MM P dx EI EI
xdA A x ,
0
1 tan xM P dx EI 1 tan xdA EI
x0 tan y0
⑴ 只适用于等截面直杆； ⑵ 至少有一个弯矩图是直线图形； ⑶ y0只能取自直线图形； ⑷ 可采用分段图乘的方法解决不满足 上述适用条件的杆件和弯矩图。
5 2 3 y1 10m, y2 y4 10, y3 10, 6 3 4 4 5 y5 10kN , y6 10m, y7 0 3 3
⑵求B点水平位移。
M P图
M图
xB
3188kN m 3 EI
1 1 A1 5m 50kN m , A2 A4 5m 25kN m , 2 2 1 1 A3 5m 25kN m , A5 10m 10kN m , 3 2 1 1 A6 10m 20kN m , A7 5m 35kN m 2 2
1 1 120 103 2m EA 2 160 103 N m 2.1 105 MPa 1.6 104 m 4 120 103 N m 2.1 105 MPa 5.0 104 m 2
结构力学图乘法
FN FPb M FQ 状态II FPa
M ds ds EI FN ds ds EA
ds 0
kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：
0 ds FN ds W12 FP M ds FQ FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA
yc
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h AP 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
一、 功的互等定理
功的互等本质上是虚功互等。
下图给出状态I和状态II。
FP1 2 FP
FPa
FPb
A
1 2 a b
a
b
B
A
1 2 B a 1 b 2
所以
即
F F
P P
11 FP 2 FP 2 FPa a FPb b
在任一线性变形体系中，第一状态的外力 在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状 态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。
结构力学图乘法
§4－6 图乘法我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时，需要求下列形式的积分⎰ds EI M M Ki 的数值。
这里，i M 、K M 是两个弯矩函数的乘积。
对于直杆或直杆的一段，若EI 是常量，且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形，则可用图乘法计算积分，极为方便。
下面说明图乘法的内容和应用图4－20所示为直杆AB 的两个弯矩图，其中图为一i M 直线。
如果该杆截面抗弯刚度E I 为一常数，则⎰⎰=dx M MEIdx EI M M K iK i 1(a)以O 为原点，以α表示图i M 直线的倾角，则图上任一i M 点标距（纵坐标）可表示为α⋅=tan x M i因此， ⎰⎰α=BAK BAK i dx xM dx M M tan （b ）式中，dx M K 可看作图的K M 微分面积（图4－20中画阴影线的部分）；dx M x K ⋅是这个微分面积对y 轴的面积矩。
于是就是图⎰BA K dx xM K M 的面积ω对y 轴的面积矩。
以表示图的0x K M 形心C 到y 轴的距离，则0x dx xM BAK ω=⎰将上式代人式（b ），得到00tan y x dx M M BAK i ω=ω⋅α=⎰(c)其中，0y 是在图形心K M C 对应处的i M 图标距。
利用式（c ），式（a ）可写成01y EIdx EI M M BA K i ω=⎰ （4－ 29） 这就是图乘法所使用的公式。
它将式（a ）形式的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距的问题。
应用图乘法计算时要注意两点：（1）应用条件：杆件应是等截面直杆，两个图形中应有一个是直线，标距应取自0y 直线图中。
（2）正负号规则：面积ω与标距在杆的同0y 一边时，乘积取正号0y ω；ω与在杆的0y 不同边时取负号。
结构力学-图乘法
实例分析：圆轴扭转内力计算
第一段
M1 = (T1 + T2) × L/2
第二段
M2 = (T2 + T1) × L/2
实例分析：圆轴扭转内力计算
01
4. 比较M1和M2的大小，取较大 者作为圆轴内的最大扭矩。
02
5. 根据扭矩的正负号，绘制扭矩 图。
Part
04
组合变形图乘法
组合变形基本概念及分类
者联系起来，从而求解结构位移。
图乘法适用条件及限制
适用条件Βιβλιοθήκη 01载荷作用下，结构的变形是线性的，即变 形量与载荷成正比。
03
02
结构变形符合小变形假设，即变形量与结构 尺寸相比很小。
04 限制
图乘法只适用于线性弹性问题，对于非线 性问题或塑性变形问题不适用。
05
06
在应用图乘法时，需要保证图形函数的准 确性，否则会影响计算结果的精度。
Part
02
弯曲内力图乘法
弯曲内力基本概念
01
02
03
弯曲内力
指构件在受到外力作用时， 其内部产生的抵抗弯曲变 形的力。
剪力
作用于构件横截面上的内 力，其方向与构件轴线垂 直。
弯矩
作用于构件横截面上的内 力偶矩，其大小等于该截 面左侧或右侧所有外力对 截面形心的力矩之和。
弯曲内力图乘法求解步骤
图乘法优点总结
直观性
图乘法通过图形表示结构 中的力学元素和它们之间 的关系，使得分析结果更 直观，易于理解和解释。
高效性
相较于数值分析方法，图 乘法能够更快地给出结构 分析的近似解，适用于初 步设计和快速评估。
适用性广
图乘法可应用于各种不同 类型的结构，包括静定结 构和超静定结构，具有较 广泛的适用性。
结构力学：图乘法
M
1 l 2 5Pl 5Pl 3 ( )
EI 8 6 48EI
？ 1 yc
Pl 另解1：
MP l/2
c
1 EI
yc
1 EI
Pl 2 2
l 6
Pl 3 12EI
(
)
M
错误
另解2：
Pl/2
1
Pl
2
MP
1
l/2
y1 y2
M
c
1 EI
(1 y1
2
y2
)
1 ( 1 l Pl 1 l 1 l Pl 2 l ) EI 2 2 2 3 2 2 2 3 2
习题七
《结构力学》
4-3(b), 4-6,4-7,4-8
上次课主要内容回顾
虚功：力与其它因素产生的位移所形成的功。
P
G
GS
W=G·S — 虚功
虚 — 力与位移在作功过程中互不相关。
虚功原理：
①外力虚功
Pi P2
P1
dx
力状态
位移状态
两种状态相互独立
T Pi i
②内力虚功
内力状态
M N
dx Q
Mi Mk EI
dx
1 EI
Mi
Mk dx
1 EI
( xtg
b) M k dx
b
o1
Mi yc
x xc
Mi图
1 EI
(tg
xM k dx
b
M k dx )
1 EI
(tg
xd k
b
d k
)
xdk k xc — Mk图对o1-o2的静矩
Mi Mk EI
dx
1 EI
结构力学：第5章 静定结构位移计算3(图乘法)
（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合
例如
Mi MKdx 1 y1 2 y2 3 y3 j y j
(2) 梯-梯同侧组合
1
2
Mi MKdx 1 y1 2 y2
y1
(2c 3
FP
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FNP
FP 2
D
A C FP
l
l
2
2
a
B
FN
1 2
D
1 AC
a
B
l
l
2
2
l
MP
FP l
4
Cy
0l
MM P EI
ds
0a
FN FNP EA
ds
M请对计算结4 果 C进y 行4F适8PEl当3I (讨1 论1l！23aAI )
2 [(1 l FPl ) 2 l ] 1 1 FP a FPl 3 FPa
1 EI
yc
必须注意 适用条件
图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl
n1
(n 1)l n2
h
C
l n2
三、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
q A
MP 图
1 ql 2 8
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
(1) 曲-折组合
例如
Mi MKdx 1 y1 2 y2 3 y3 j y j
(2) 梯-梯同侧组合
1
2
Mi MKdx 1 y1 2 y2
y1
(2c 3
FP
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FNP
FP 2
D
A C FP
l
l
2
2
a
B
FN
1 2
D
1 AC
a
B
l
l
2
2
l
MP
FP l
4
Cy
0l
MM P EI
ds
0a
FN FNP EA
ds
M请对计算结4 果 C进y 行4F适8PEl当3I (讨1 论1l！23aAI )
2 [(1 l FPl ) 2 l ] 1 1 FP a FPl 3 FPa
1 EI
yc
必须注意 适用条件
图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他 当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
二、几种常见图形的面积和形心位置的 确定方法
顶点指曲 线切线与 杆轴重合 或平行
hl
n1
(n 1)l n2
h
C
l n2
三、注意事项：
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
q A
MP 图
1 ql 2 8
结构力学图乘法
2、图乘法原理 y
d A =MPdx
A MP
A 面积
形心 C MP图 B
dx
O
x
M xtgα
yC
yC=xCtg
B
A
xC
x
由此可知，计算位移的积分就等于一 个弯矩图的面积A乘以其形心所对应的 另一个直线弯矩图上的竖标yC，再除以 EI，于是积分运算转化为数值乘除运 算，此法即称图乘法。
剪力与轴力项能用图乘法？
3、图乘法求位移的一般表达式
注意：
yc [1].
应取自直线图中。 [2].若 A 与 yc 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值（不是MP与M 图位于杆件同侧或异侧）。 [3]. 如图形较复杂，可分解为几个简 单图形。
二、图乘法步骤 (1) 画出结构在实际荷载作用下的弯 矩图（荷载弯矩图）MP； (2) 根据所求位移选定相应的虚拟力 状态，画出单位弯矩图M(注：M图不标 单位）； (3) 分段计算一个弯矩图形的面积A 及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖 标yC； (4) 将A、yC代入图乘法公式计算所 求位移。
【预习】：静定结构的位计算习题课
解：1、求φA ① 实际荷载作用 下的弯矩图MP如图(b) 所示。 ② 在A端加单位力 偶m=1，其单位弯矩图M 如图(c)所示。
③ MP图面积及其形心 对应M图竖标分别为：
A=2/3*l*1/8*ql2=ql3/12 yC=1/2 ④ 计算φA φA=1/EI*A*yC =1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24 EI
（3）异侧组合
（4）非规则抛物线图形
由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩 图可以看成一个直线弯矩图和一个规 则抛物线图形的叠加 。
MB
结构力学图乘法
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
（1）常见图形面积和形心：
矩形
a
l
A al
三角形
a
l
A
1 2
al
xc
1 2
l
xc
1 3
l
a
l
标准二次 a
抛物线
l
a
l
A
1 3
al
A
2 3
al
a 1 b 2 状态II FPa FPb M FQFN
ds M ds
EI
0ds
kFQ GA
ds
ds FN ds
EA
ds M ds
EI
ds FN ds
EA
0ds
kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：
所以 r21C1C2 r12C2C1
得
说明：
r12 r21
rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的 力。其量纲为 (W c1c2 ) 。
i 产生支座反力的方位；
j 产生支座移动的支座。
在移起任的C2相一与应线位的性移反变C1力相形影应体响的系系反中数力，r影位21响移等系C于1数引由起r位12的。移与C2位引
EI
93 3
3
156 17.33 ( ) 9EI EI
y2
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例3 求 ,B EI等于常数。
解： A
作 M 图及M P 图，
如右所示。
7kN
B 2m
6kN/m
C
6kN.m
4m
17kN
分段：M
，M
分
P
为AB、BC两段。
分块： M
图的
P
BC段分为两块。
y2
ω1 14
y1 1/3
6 ω3
12 M P 图 （kN.m)
y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
M图
11221414
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M MP dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M MPdx
(Mxtaα n)
E1IxtanαMPdx
tanα EI
xMPdxtaEnIα
xdA
tE aαnIApxcE 1A Ipyc
y A
Mp
C
dx B
yc
xc
x
§4-4 图乘法
1.图乘法原理
梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：
KP
MKMP ds 称莫尔积分 EI
建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况 下不方便。
图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图 形积分变为图形相乘。
2、图乘法的适用条件： （1）杆件轴线是直线；
（2）杆段的弯曲刚度EI为常数； （3）图 M 图 M P 中至少有一个是直线
广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值
和量纲 (W FP1FP2) 上仍然保持相等。
例1 验证位移互等定理。
FP1=F EI 1 Δ21 2 a/2 a/2
EI 1 FP2=M2 Δ12
a/2 a/2
F
M/2
M
Fa/4
1/2
1
1
解：
a/4
21
1 1a1Fa1 EI 2 4 2
Fa2 16EI
所以
FP FP
即 F P 1 1 F P 2 2 F P a a F P b b
在任一线性变形体系中，第一状态的外力
在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状 态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。
W12 W21
二、 位移互等定理
在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的 与荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载 FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12。
（1）常见图形面积和形心：
矩形
a
l
Aal
三角形 a
l
A
1 2
al
xc
1 2
l
xc
1 3
l
a
l
标准二次 a
抛物线
l
a
l
A
1 3
al
A
2 3
al
A
2 3
al
xc
1 4
l
xc
3 8
l
xc
1 2
l
（2） 梯形相乘
A1
A2
M iM K dxA 1y1A 2y2
y1
(2c 3
d
)
y
2
(c
2d) 3
12
1 1a1a1M EI 2 4 2
Ma2 16EI
2 1 2/1 F 1a E 26I1 2 1/2M 1a E 26I
12 21
例2 验证位移互等定理。
FP1=5kN.m 1
EI 4m
2
1
Δ21
1m
FP2=3kN
Δ12
2
EI
4m
1m
3 5
11
1
1
解： 21E1I125413131E0I 2121/53E 2I
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时，
ω应代以负号.
Mc 也应按弯矩符号给以正负号.
l
x
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
l b
l a
3
3
l
顶点
C
5l
3l
8
8
l
三角形
Ap
lh 2
二次抛物线
Ap
2 3
hl
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
M x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路
运输学院的学生。
4、 注意事项
KP
APyc EI
（1）必须符合图乘法的适用条件； （y c2） 必须取自直线图形；
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
M图
例5-5 求ΔCH，EI等于常数。
2kN/m
A
B
EI
2m
EI
2kN/m
C 4m 解： 作MP图和 M 图见下页图。 分块：MP图的AB段分为两块。
1
1 3
2
4
8 3
y1
3 4
2
1.5
12
2
2 3
4
4
32 3
y2 2
A
3 24 8
y3
1 2
(12
4)
4
2
CH
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
l b
l a
3
3
l
顶点
C
5l
3l
8
8
l
三角形
AP
lh 2
二次抛物线
Ap
2 3
hl
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
lh Ap 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
12E1I1234131E2I 1212/33E 2I
12 21
三、反力互等定理
反力互等定理
只适用于超静 定结构，因为 静定结构在支 座移动时只产 生刚体位移， 其内力和支座 反力均等于零 。
1 C1 FR11 1 FR12
根据功的互等定理有：
2
状态I
FR21 2 C2
状态II
FR22
FR21C2 FR12C1
F P 1 1 2 F R 2 1 C 2 0F P 1 1 2 F R 2 1 C 2
令
12 C2
12
FR21 FP1
r21
1 21 2 C 2 F R 2 1 r2 1 F P 1
F P 11 2 C 2 F P 1 r2 1 C 2
12 r21
上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。 符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位 移方向相反。系数 1 2 、r 2 1 的量纲都是 (W FP1c2) 。
FP1 1
1
2
FP2 1
12
说明： 11 21
12 22
1） δij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。
I 产生位移的方位；j 产生位移的原因。
2） FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应 的δ12和δ21就是线位移影响系数或角位移影响系数。
即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个
分块： M P 图的AC段分为两块。
1
221 3
4 3
y1 1
A
ω1 y2 4
C
MP B
2
1222 2
y2
(2 3
16
1 3
4)
2 ω2
1
36 12 3
A
y1
C
M
B
C V E 1 ( 1 y I 1 2 y 2 ) E 1 ( 3 4 I 1 2 1 ) 2 2 . 6 E 2 1 7 I
得
说明：
r12 r21
rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的 力。其量纲为 (W c1c2 ) 。
i 产生支座反力的方位；
j 产生支座移动的支座。
在移起任的C2相一与应线位的性移反变C1力相形影应体响的系系反中数力，r影位21响移等系C于1数引由起r位12的。移与C2位引
例6-3 验证反力互等定理。
在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷 载FP1相应的位移影响系数 12 在绝对值上等于由
荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数r 2 1
，但二者符号相反。
位移反力互等定理在混合法中得到应用。
例4 验证位移反力互等定理。
FP1 1 a/2 a/2
5 12 16 C2
2
1
FR1
2
5 16
1 EI
(1 y1 2 y2
3 y3)
1 ( 8 1.5 32 2 8 4)
EI 3
3
1 (25.33 32) 6.67 ( )
EI
EI
y3=4 ω2 2m MP图(kN.m)
ω3 y2
M图
4B 4
ω1
C 2
y1
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理