结构力学第三章图乘法

2Pl
2l
A
MP
l
Pl Pl l B
A
MP
l
1
B
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
yc 1 [ 1 l Pl 2 l Pl l l 1 Pl l(l 2l ) Pl l 3l ]
EI EI 2
3
2
3
2
11Pl 3 ( ) 3EI
练习
求C、D两点相对水平位移 CD 。
EI EI 2
3
4EI
5Pl 3 () 8EI
已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD,并画出变形图。
ql
C
l
q
A
l
D ql
q
B ql2
MP
1
1
l l Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc 1 ( 1 l ql 2 2 l 1 l ql 2 l 2 l ql 2 l)
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
D
NP P/2
P
a
A
B
l Cl
2
2
Ni 1/ 2
D
a
1
A
B
l Cl
2
2
l
MP
Pl
M
4
4
Cy
2 EI
[( 1 2
l 2
Pl 4
)
2 3
l ] 4
1 EA
1 2
P 2
a
Pl 3 48 EI
Pa 4EA
()
若把二力杆换成弹簧,该如何计算?
B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算C点竖向位移？
移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。
Pl
l
PP
AB
ABY
对称yc 结构的对称弯矩图与
其E反I 对称弯矩图图乘,结果
MP 1 (1 为l P零l. 2 l 4 l Pl l 2)
l
ll
11
反对称弯矩图EI 2
3
10 Pl3 ()
3 EI
M i ABX
yc 0
EI
AB
3ql2 / 32 q
3l / 4 q l/4 q
q(3l / 4)2 / 8 3ql 2 / 32
q(l / 4)2 / 8 3ql2 / 32
Mi
3l /16
B
1 EI
(2 3
3l 4
q(3l / 4)2 8
1 2
3l 16
1 3l 24
3ql 2
32
2 3
3l 16
2 l q(l / 4)2 1 3l 1 l 3ql 2 2 3l 19ql 4
MM EI
P
ds
yc
EI
1 1 l Pl 1 EI 2 4 2
M 1
A
B
1
Mi
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结
果为正?
1 Pl2 ( ) 16 EI
例. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
1 (1 Pl l 2 l Pl l l)
1
Mi
1/ 2 2/3
B
1 EI
(1 2
10 20
2 3
10 20 1) 500 ( ) 2 3EI
B
1 EI
1 2
101 (20
20 2) 500 ( ) 3 3EI
当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.
三、图形分解
求 B
A
MP
P Pl / 4
EI
l/2
l/2
B
1 ( 1 l 1 2 Pl
)
()
3 4 8 2 16 2 4 32 3 16 4048 EI
三、图乘法小结
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP
MM Pds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM EI
P
ds
1 EI
MM Pd图1s9乘 25(截对法年面于提是杆等)出Ve的res，ha他gi当n于时
PCD
P
l
PlEI
EA
EI Pl
A MP B
l
1
1
l l
Mi
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
yc
EI
Ni NPl 1 1 Pl l 2 l 4 1 (2P)(2) l
EA EI 2
3
EA
4Pl 3 4Pl () 3EI EA
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P
A
q
q
A
B
MP
ql2 / 8 EI ql2 / 4
l
ql2 / 8
ql 2
1
4
Mi
B
Baidu Nhomakorabea
1 EI
(
2 3
l
ql 2 8
1 2
1 2
l
ql 2 4
2 3
1)
ql3 ( ) 24 EI
三、图形分解
求C截面竖向位移 C
q
3ql 2 / 32
A
B
EI
C
MP
ql2 / 8
3l / 4
l/4
P 1
q
3ql 2 / 32
P A
C
l
l
2
2
B k
SP P / 2
MP
Pl 4
A
l 2
=1 C
l 2
M
l
4
B k
Si
1 2
有弹簧支座的结构位移计算公式为:
MM P EI
ds
Si SP k
练习
求A点竖向位移,EI=常数 。
Pl A
1
P
l
MP
Pl / 2
k
k
l
l
Mi
P/2
1/2
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
yc
EI
1 (l Pl l 1 l Pl 1 l l Pl l 1 l Pl 2 l ) P 1 1 EI 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 k
能E用I M2 i图2 面2 积3 乘4
B
l 2
l 2
M12 PP图4l 竖12 标2l 吗12 ?13
Pl 4
)
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
40
A
B
MP 20
EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4
5ql 3
( )
128 EI
三、应用举例
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql2 / 2 MP A l/2
Mi
ql2 / 2
ql2 / 2
q ql2 / 8 l/2C l/2 B
1
c
yc
EI
1 ( 2 l ql2 1 l 1 l ql2 2 l EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2
三、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD。
A
B
h
q
1
q
1
l
ql2 / 8
h h
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc
EI
1 EI
2 ql 2 38
lh
qhl 3 ( ) 12EI
三、应用举例
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。
yc 0
EI
11
对称弯矩图
11
1
Mi
Mi
l
l
1
作变形草图
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：
Pl
PP
1
1
1
1
练习
求B点水平位移。
4EI
Pl
l
EI
EI
MP
P
Mi
A
B
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
l 1
注意:各杆刚度 可能不同
B
yc 1 1 Pl l 2 l 2 1 Pl l l
1 EI
MM
P
d为x莫(对斯于科直杆铁) 路运输学院 的学生。
(M x tan )
图乘法的
1 EI
x
tan
M Pdx
tan
EI
xM P dx
tan
EI
xc
1 EI
yc
适用条件是
图乘法求位移公什式么为?:
ip
yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
EI
l/2
l/2
MP
Pl / 4
解:
B
C q
1 l ql2 1 l ) 22 8 32
ql2 / 8
17 ql4 ()
384 EI
ql2 / 32
ql2 / 8
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。
ql2 / 2
q ql2 / 8
MP A l/2C l/2 B
l/2
1
Mi
C
q ql / 2
ql2 / 8
ql2 / 8 q
A ql2 / 4
l/2
l
MP
ql / 4
Mi
l
1/ 2
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc 1 ( 1 l ql2 2 l 1
EI EI 2 4 3 2 2
2 2 ql 4 ( ) 48EI EI
2l ql2 2 l 2 4 32 3
2l ql 2 1 l ) 8 22
EI 20kN m 40kN m
10m
1
Mi
60
20
B
1 EI
(1 2
10 60
2 3
2010 1) 100 ( ) 2 EI
40
B
1 EI
1 2
101 (60
2 3
20)
100 ( ) EI
20
B
1 EI
(1 2
10 60
2 3
2010 1) 100 ( ) 2 EI
三、图形分解
求 B
C
lq
1 1 1
A
l
ql2 / 4
B
Mi
l
1/ l
ql2 / 4
0
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
CD
yc 1 2 ql 2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4 ql / 4
ql3 ( 24 EI
)
三、应用举例
例 3. 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 A 。
q
q
1
l
Pl3 P ()
2EI 4k
EI 2
3
4 Pl 3 () 3 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
hl
n1
h
C
(n 1)l n2
l n2
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
1
q
A
B
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
B
1 EI
(1 2
10 40
2 3
1 10 20 1) 500 ( )
2
3 3EI
20 A
20kN m A
B 40 B 40kN m
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
三、应用举例
例 4. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
ql2 / 2 MP A l/2
Mi
q ql2 / 8 l/2C l/2 B
1
c
yc 1 1 l ql2 1 l
EI EI 3 2 2 2
1 ql3 ()
24 EI
C
C
yc 1 (1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l )
ql2 / 4
ql / 2
c
yc
EI
1 (1 l ql2 3 l 1 l ql2 2 l EI 3 2 8 4 2 2 2 4 3 2
l ql2 1 l ) 2 8 22
17 ql4 ()
384 EI
ql2 / 8
ql2 / 8
练习
图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位
EI EI 2
32
38
11ql 4 ( ) 12 EI
已知 EI 为常数，求B截面转角。
B 3m
2kN/m
6kN
4
MP
4m
12
A 2m
1
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
yc 1 ( 1 4 12 1 1 2 4 4 1 )
EI EI 2
33
2
8(
)
3EI
求B点水平位移,EI=常数。