结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)
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最新课件-结构力学教学第5章虚功原理与结构位移计算
FR K c K
若△为正值，表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。
§5-2 结构位移计算的一般公式
1. 局部变形时静定结构的位移计算举例 例5-1 图(a)所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ。 试求点的竖向位移△。 解：实际位移状态可改用图(b) 表示 虚设力系如图(c) 虚功方程为 解得
M
A B A
M PM EI F NP F N EA kF QP F Q GA
ds
qR
4
2 EI qR EA kqR GA
2
(
2 3 2 3
cos cos 1 3
1 3 1 3
3
cos ) cos )
3
3
M
qR
4
3 EI 2 qR体系的位移
位移产生的主要原因 （1）荷载作用 （2）温度变化和材料胀缩 （3）支座沉降和制造误差
刚体体系位移，无应变 变形体体系位移，有应变
虚力原理—虚设力系求位移 图 (a) 中的静定梁，支 座A向上移动已知距离 c1， 拟求B点的竖向位移△。 虚设力系如图(b)
FR 1 b a
2 2
N
ds
(
2
90
N
B
Q
A B
ds
(1 cos )
Q
设h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/12
N
M
1 600
Q
M
1 375
例5-6 试求图(a)所示简支梁两端截面A、B的相对转角△。
解：虚设力系如图(b)
M 1 (0 x l )
第5章 虚功原理与结构的位移计算
16
§5-2 结构位移计算的一般公式 一、变形体系位移计算的一般公式 单位荷载法是变形体系虚功原理的应用之一，现利用变形体系虚 功原理的虚力原理，来推导变形体系位移计算的一般公式
求图示实际位移状态下k点沿k-k方向的位移D
k
t1℃ t2℃ F
D
k k’
Ck1
FP 1 FRk 2
k
k
FRk1
ds
A
B pu qw ds PD
A
B
A M FQg 0 FNe ds
13
§5-1 变形体的虚功原理
B
Mq FQw FNu
A
B pu qwds PD
A
B
A M FQg 0 FNe ds
说明：公式中第一项为所有杆端力所做虚功总和包括两项：
2
w
dx du edx
γ0
dx
dw2 d g0dx
d
1’
g
q
0
q dq
2’’
dw1 q dx
u
2’ dw2 g 0dx
du
dq dx dx
几何可能的位移状态
qdx
l q
P
MA FNA
A
FQA
A
wA
qA
uA
p dx pdx
12
dx
MB
qdx
FNB M
M+dM
B
FQB
9
五、变形杆件的虚功原理 虚功原理：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形
体由于其它原因产生的与力系状态无关的满足变形连续和位移
§5-2 结构位移计算的一般公式 一、变形体系位移计算的一般公式 单位荷载法是变形体系虚功原理的应用之一，现利用变形体系虚 功原理的虚力原理，来推导变形体系位移计算的一般公式
求图示实际位移状态下k点沿k-k方向的位移D
k
t1℃ t2℃ F
D
k k’
Ck1
FP 1 FRk 2
k
k
FRk1
ds
A
B pu qw ds PD
A
B
A M FQg 0 FNe ds
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§5-1 变形体的虚功原理
B
Mq FQw FNu
A
B pu qwds PD
A
B
A M FQg 0 FNe ds
说明：公式中第一项为所有杆端力所做虚功总和包括两项：
2
w
dx du edx
γ0
dx
dw2 d g0dx
d
1’
g
q
0
q dq
2’’
dw1 q dx
u
2’ dw2 g 0dx
du
dq dx dx
几何可能的位移状态
qdx
l q
P
MA FNA
A
FQA
A
wA
qA
uA
p dx pdx
12
dx
MB
qdx
FNB M
M+dM
B
FQB
9
五、变形杆件的虚功原理 虚功原理：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形
体由于其它原因产生的与力系状态无关的满足变形连续和位移
结构力学虚功原理课件
(二)虚功原理
具有理想约束的刚体体系在任意平衡力系作用下，体 系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚 体位移上所作的虚功总和恒等于零。
W 0
刚体体系的虚功方程
所谓理想约束，是指其约束力在虚位移 上所作的功恒等于零的约束。
(三)虚功原理的两种应用
1.虚设位移状态——求未知力
拟求支座A处的支反力
位移的分类：线位移；角位移。
角位移
线位移
A
A
B
B
相对角位移
2、结构位移计算的目的
①验算结构的刚度； ②为超静定结构的内力计算打下基础； ③结构制作、施工的需要。
3、结构位移计算的假定
①材料服从虎克定律。 ②结构的变形是微小的。 ③结构各处的约束都是理想约束。
线弹性体系
§5-2 虚功原理
（1）刚体体系虚功原理 （2）变形体体系虚功原理
FP
A
B FBx
FA
a
b
l
FBy
W FA A FP P 0
FA
FP
P A
P b A l
b FA l FP
FP
A
B
FA
△A
△P
B
A
A 1
P
b l
B
A
FA FP P
虚位移原理
应用虚位移原理求解静定结构的某一约束力时， 一般应遵循如下步骤： （1）解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反 力来代替。 （2）把机构可能发生的刚体位移当作虚位移，写 出虚功方程。 （3）求出虚位移之间的几何关系，利用虚功方程 即可求解约束反力。
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
《结构力学》_龙驭球_第5章_虚功原理与结构的位移计算(3)解析
B
A MiM k dx
y
1 EI
B A
M i dA
1 EI
B
x tg dA
A
1 tg EI
B
x dA
1
A
EI
Ax0 tg
1 EI A y0
位移计算公式
（图乘法）
1 EI
A
y0
o
dA = Mk dx
Mk
CA
Mk 图
x
dx
x0
Mi
y0
Mi = x tgα y0 = x0 tgα
Mi图 x
应用图乘法计算的注意点：
⑴ y0 与A 的取值： y0 一定取自直线图形，对应取A 图形的形心处。 A 则取 自另一个图形，且取A 的图形的形心位置是已知的。
⑵ 若 y0 与A 在杆轴或基线的同一侧，则乘积A y0取正号；若 y0 与A 不在杆轴
或基线的同一侧，则乘积A y0 取负号。
2、几种常见图形的面积和形心的位置
3l 4
B
1
1
B
B
1 ql 2 2
B l
B
3、应用图乘法时的几个具体问题
⑴ 如果两个图形都是直线图形，则 y0 可取自其中任一图形。
⑵ 如果EI 分段为常数或取 y0 的图形为折线时，应分段图乘再叠加。 ⑶ 如果图形比较复杂，则可将其分解为几个简单图形，分项图乘计算后
再进行叠加。
MP
AB
A1
A2
C
5 kN
4 kN
EI 4m
2 kN/m 4m
4 kN m B
211 5
12
y1 3 3 2 6
A2
84 2
16
结构力学(虚功原理和结构位移计算)ppt课件
A
i
δij
j Pj=1
B
δjj
δjj －－直接柔度 δij －－间接柔度
δjj >0
>0 δij <0
=0
完整版课件
9
5、计算位移的有关假定
1)、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
由平衡条件知：
A
R1
b 未知力与已知力 a 之间的几何方程
由虚功方程：
R1
C
a
b
图（a）
C
图（b）
Δ1c1ab0
即
完整版课件
Δ
c1
•
b a
B
B' P=1 B
14
应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移Δ方向虚设单 位荷载，并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力 R1 这种解法称为单位荷载法。
特点：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。 适用范围： 刚体体系的位移计算，
若求桁架中AB杆的角位移，应加 一单位力偶，构成这一力偶的两个 集中力的值取 1/d。作用于杆端 且垂直于杆(d 为杆长)。
完整版课件
32
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在 该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。
完整版课件
33
4) 若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个截 面上加两个方向相反的单位力偶。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
虚功原理与结构位移计算
相对竖向位移
c)
11
FP
d)
D
A
D
A左、右截面相对转角
e)
Al
D BV
D AV
B
AB
D AV
DBV l
AB杆转角
12
3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
EI
式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；
μ 为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面μ =1.2， 圆
形截面μ =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ
=A/A1（A1为腹板面积）。
二、结构位移产生的原因
1）荷载作用； 2）温度变化或材料胀缩； 3）支座沉陷或制造误差。
2
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
3
本章任务
学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为 结构变形。 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变， 称为位移是结构某一截面相对于初始状态位置的变化.
设FP=1，称为虚单位荷载法。
2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静
力平衡求解几何问题。
3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位
c)
11
FP
d)
D
A
D
A左、右截面相对转角
e)
Al
D BV
D AV
B
AB
D AV
DBV l
AB杆转角
12
3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
EI
式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；
μ 为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面μ =1.2， 圆
形截面μ =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ
=A/A1（A1为腹板面积）。
二、结构位移产生的原因
1）荷载作用； 2）温度变化或材料胀缩； 3）支座沉陷或制造误差。
2
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
3
本章任务
学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为 结构变形。 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变， 称为位移是结构某一截面相对于初始状态位置的变化.
设FP=1，称为虚单位荷载法。
2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静
力平衡求解几何问题。
3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)
温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
Page 10
14:26
LOGO
温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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14:26
LOGO
结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评
5 虚功原理与结构位移计算
二、虚功原理的两种应用
2）虚设力系求未知位移----虚力原理 例. A端支座发生竖向位移 c1,求B点的竖向位移 。 位移状态-实际状态 力状态-虚拟状态
1
A C B
c1
A
C
B
a
b
F R1
解：首先构造出相应的力状态。
即在拟求位移点（B点）沿拟求位移方向（竖向）设置单 位荷载。
位移状态-实际状态
§5-3
荷载作用下位移计算—积分法
研究对象：静定结构、线形弹性材料。
( M F N F Q )ds F Rk ck
5 10
( M F N F Q 0 )ds
5 9
重点在于解决实际荷载作用下的应变 、、 0
B x
B
A
xdA A x0
M i M K dx 1 A x0 tan EI EI
M i M K dx 1 Ay0 （5-27） EI EI
注意点：
① 杆段是等截面的直杆段，两个图形中至少一个 应是直线，竖标y0取自直线图形中，且对应另 一图形的形心处；
② 面积A与竖标y0在杆的同一边时，乘积A• y0 取
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
一、计算位移的目的
(1)验算结构的刚度
验算结构的位移是否超过允许的位移限值。
例如：吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
(2) 为超静定结构内力分析打下基础
超静定结构内力分析：考虑平衡条件和变形条件。
K
c2
c1
1
结构力学第5章虚功原理与结构位移计算3ppt课件
=(1/EI) ∫M(MP’+MP’’)ds
MP’
D
⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
D
C2
b MP’’ B
⊿=
l (2ac+2bd+ab+bc) 6EI
Ca C1 A来自cyC1l a C1
• (2)、左图也可分为两个
C2
B MP
b
标准三角形，进行图乘运 算。
D
⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
+FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
1
l/2
例:
图示刚架，用 图乘法求B端转角 θB ; CB杆中点D的
竖向线位移⊿DV。
各杆EI=常数。
60kN 12kN
12kN 72kN
EI=常数
72kN
解: • 1、作荷载作用下结构的弯矩图。
C2
252 C1
45
C3
C4
90
错在哪里？
3、正确的作法
FP
⊿CV
l/2
l/2
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4
y1=l/3
AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y2=l/6 FP
AP
FP l
AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y3= 0
⊿CV=∑AP·yC/EI =(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6
§5-5 图乘法
一、图乘法的适用条件
计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分：
MM EI
P
ds
虚功原理和结构的位移计算61页PPT
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
虚功原理和结构的位移计算
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
虚功原理和结构的位移计算
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
结构力学(一)第三版龙驭球第5章 虚功原理及结构的位移计算
3)刚体虚功原理的两种应用 既然虚功原理中的平衡力系与可能的位移无关，因此 不仅可以把位移看作是虚设的，而且也可以把力看作是虚 设的，根据虚设对象的不同，刚体虚功原理主要有两种应 用形式。
第一种应用：
（1）虚功原理用于实际已知的平衡 力状态与虚设的协调位移状态之 间—虚设位移状态求已知力状态的 未知力—虚位移原理
例题
已知位移
c A 求 （1）C点的竖向位移 c :
C c B
（2）杆CD的转角
D
cA
A
l
A B
l
3
2l
1 C
3
D
1 1 c c A 0 3 1 c cA 3 2 1 1 c A 0 2l
1 cA 2l
1
1 3
A B
2 3
C
1 D
pu q d x FN d x FQ 0 d x Mkdx
B B A A
P ( Mkd x FN d x FQ 0 d x )
A
B
注意 ： P 为广义力：包括杆端力、杆件受的均布荷载、 集中荷载、约束反力等。 也是广义位移，包括角位移、线 位移等。
重点：
虚功原理及应用 图乘法及应用
难点：
虚功原理的理论解释 图乘法的图乘技巧
§5.1 结构位移计算概述
1.结构的位移
角位移
相对线位移 荷载作用下 A
C
FP
还有什么原 C y 因会使结构产 A 生位移?
C
FP
D
D
D
x
线位移
相对角位移
位移：包括线位移，角位移，相对线位移、角位移等称广义位移。
结构力学第5章
（4）材料种类：各种变形固体材料。
位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
K
t1
K
t2
c2 c1
1
R1
ds
ds d
ds
d
ds
ds
R2
ds
d
M
N
Q
外虚功：W 1 R c e k k
内虚功： Wi
变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位 移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。即：
C d A
1 d1 1 d1
(c)
B
BC ?
P
1 d
C
d1
(d)
B
1 d2
A
1 d2
d2
AB AC ?
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(e)
B
AB ?
P=1
P=1
C
P=1
(f)
C 左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(g)
A ?
A P=1
B
P=1
(h)
AB ?
练习 、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。
A P=1/ l ④
AB杆的转角
l P=1/ l B
P=1/l P=1/l
P=1/l
B l
P=1/l
（
A
P=1/ l l ⑤
）
l
A
C
AB连线的转角
P=1/ l B
（ ）
AB杆和AC杆的 相对转角
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局部变形时静定结构的位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出局部变形处对应的 内力M，FN，FQ； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移： dΔ = ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
Page 7
Δ A 1
B M
θ
14:32
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 截面参数 1 bh3 I=— 12 A =bh，k = 1.2
ql 4 1 2 qx dx 1.5 0 x Ebh3 2
l
变形类型
M P 0.5qx2
M x
FQP qx
F Q 1
MM P 1 ⑴ 弯曲变形引起的位移 M ds EI EI
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荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直 位移 Δ ，并比较弯曲变形和剪切变 形对位移的影响。设梁的截面为矩 形，泊松比1/3。 解：应用单位荷载法 A 1 q A x B
单位荷载法
单位荷载法求刚体体系位移
虚力原理
⑴ 虚力方程，实质为几何方程；
⑵ 虚力与实际位移状态无关，故可设 单位广义力 P = 1；单位荷载法 ⑶ 关键是找出找出虚力状态的静力平
衡关系。
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应用虚力原理求刚体体系的位移
支座移动时静定结构位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应 的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出支座 反力FRK； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移 Δ=- ∑FRK· cK
ds
b 1 bh3 I=— 12 k载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
荷载引起的位移的计算公式
两类力 ⑴ 实 际 荷 载 引 起 的 内 力 — MP，FNP ，FQP ； ⑵ 虚设单位荷载引起的内力 — M，FN ，FQ ； 内力的正负号规定
⑵ 剪切变形引起的位移 Q k
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F Q FQP
1.2 l ql 2 ds 1 qx dx 0.6 GA GA 0 Gbh
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h
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荷载作用下的位移计算及举例
各类结构的位移公式
例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直位移Δ，并比较弯曲变形和剪 切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形，泊松比1/3。 q 1 A x B l
Δ
A
Δ
l
b
2 Q kql 2 / 8GA h 2.56 简支梁？ 4 M 5ql 384 EI l
结论： ⑴ 剪力影响 /弯矩影响 ∝ h2/l2；
⑵ 若h/l < 1/10 ，则剪力影响可以忽略；
大部分梁满足这个条件；
⑶ 若h/l > 1/5 ，则剪力影响变得重要；
求出各截面的内力MP、FNP、FQP； 下标P表示由荷载引起 求出相应的弯曲、拉伸和剪切应变 ⑴ 曲率 κ = MP / EI ;
I是截面惯性矩； 前提是什么？ A是截面面积；
M
d θ
M
⑵ 拉伸 ε = FNP / EA;
⑶ 剪切 γ0 = kFQP / GA; k是形状系数；
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E/G = 2(1+μ) = 8/3
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h
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荷载作用下的位移计算及举例
各类结构的位移公式
例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直位移Δ，并比较弯曲变形和剪 切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形，泊松比1/3。 q q B A B l
2 Q h 1.07 悬臂梁 M l
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h
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荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 梁和刚架 桁架
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 引起的位移
变形类型
M P 0.5qx2
M x
M 1.5 ql 4 Ebh3
Q 0.6 ql 2 Gbh
FQP qx
F Q 1
⑶ 总位移 ⑷ 位移比较
M Q
2 Q Eh 2 h 0.4 2 1.07 M Gl l
1 M P qx 2 2
l
1 bh3 I=— 12
FQP qx
ql
F Q 1
1
A =bh
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h
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荷载作用下的位移计算及举例
各类结构的位移公式
例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直位移Δ，并比较弯曲变形和剪 切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形，泊松比1/3。 q 1 A x B l
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK· cK
结构位移计算的一般公式
Δκ= ∑ ∫ Mκ ds — 弯曲变形 κ 对位移的影响；
Δε= ∑ ∫ FNε ds — 轴向变形 ε 对位移的影响； Δγ= ∑ ∫ FQγ0ds — 剪切变形γ0对位移的影响； Δc= -∑ FRK· cK — 支座位移cK对位移的影响；
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A
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荷载作用下的位移计算及举例
qa2/2
C
各类结构的位移公式
例 1 ：图示刚架，已知各杆的弹性模量 E和截 B 面惯性矩I均为常数，试求B点的竖向位移ΔBV， 水平位移ΔBH，和位移量ΔB；
解: ⑶ 求B点的水平位移ΔBH ；
作单位力，画出弯矩图（外侧受拉为正）； ① 横梁BC M ( x) 0 (0 x a) ② 竖柱CA M ( x) x (0 x a) 1 ③ 计算位移
只受轴力
弯曲变形主导
MMP ds EI F N FNP F N FNPl ds EA EA （一般EA和轴力是常数） F N FNPl MMP ds EI EA
桁梁组合结构
梁式杆弯矩主导， 链杆只受轴力
拱
弯矩轴力都重要
拱坝等拱形结构，因 F N FNP MM P ds ds 厚度较大，其剪力也 EI EA 是不可忽略的。
温度改变时的位移计算
变形体的虚功原理 互等定理
思考与小结
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荷载作用下的位移计算及举例
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK· cK
结构位移计算的一般公式
普遍性： ⑵ 变形因素：荷载引起的位移、温度或支座移动引起的位移；
荷载引起的位移的计算公式
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荷载作用下的位移计算及举例
q B x a C
各类结构的位移公式
例 1 ：图示刚架，已知各杆的弹性模量 E和截 面惯性矩I均为常数，试求B点的竖向位移ΔBV， 水平位移ΔBH，和位移量ΔB；
EI= 常数
A a
解: ⑴ 刚架可忽略轴向变形，故只要作出荷载作 用下的弯矩图，写出各杆的弯矩方程； ① 横梁BC
FRA
O
难点：这一段的索多边形？ 思路： ⑴ 压力线就是合理拱轴线； ⑵ 合理拱轴线： y(x) = M0(x)/FH， FH = 11.25kN FRA F
12
P1
23 FP2 FP3
O
FCE FRB
解：作等代梁的弯矩图，并缩放
FRB
10kN
12.5/FH 4 42/FH 3/FH
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D
• 表述一：FNa = -P (受压) • 表述二：FNa = P (受压为正) • 表述三： FNa = - P
（给计算带来不便） （统一采用默认规范）
×
• 表述一：MD = - Pl （正负？）
×
• 表述二：MD = Pl (顺时针为正) ×
• 表述四： MD = - Pl (内侧受拉为正)
（内力成对，一个顺时针，一个逆时针） • 表述三：MD = - Pl (前文已作图)
r2
F2
虚功原理
对于具有理想约束的刚体体系，平衡力系中的 主动力在可能位移上所作的虚功总和恒为零。
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F1· r1+ F2· r2 = 0
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应用虚力原理求刚体体系的位移
虚位移原理 ：虚设位移，求未知力
单位位移法
刚体体系的虚功原理
基本概念
虚功原理 虚力原理
：虚设力系，求位移
结构位移计算的一般步骤
⑴ 虚设θA对应的单位荷载； ⑵根据平衡条件，求出结构内力和支
A
1
B’
θA
Δ
1/l
B
座反力；
⑶根据一般公式，算出位移；
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第五章 虚功原理与结构位移计算
主要内容