BFGS算法实现课程设计

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Wolfe非精确搜索

if delta<=teminate %%
break;
Else
(3)确定下降方向
dk=-linsolve(bk+muk*eye(n),gk);%%%%求解下降方向
gk1=gk;fk1=fk;gkdk=gk'*dk;
if gk'*dk>=%当dk不是充分下降时采用负梯度为搜索方向
dk=-gk;
end
(4)确定步长
数学与计算科学学院
实验报告
实验项目名称Wolfe非精确搜索+BFGS
所属课程名称最优化方法
实验类型算法编程
实验日期
班级信计1201班
学号
姓名
成绩
一、实验概述：
【实验目的】
(1)通过上机实验掌握最优化的实用算法的结构及性能，并用这些算法解决实际的最优化问题，掌握一些实用的编程技巧。
end
end
k=k+1;
End
(7)无约束问题运算结束后记录所花费时间
time=toc;%终止计时
if time<=
t(i,s)=;
else
t(i,s)=time;%%%将每个无约束问题求解时间记录
End
(8)输出无约束问题的运行结果
fprintf('\n\t%s\t\t\t%2d\t\t\t%5d\t\t\t\t%5d\t\t\t%5d\t\t\t%4f\n',filename,n,k,fnum,gnum,time);%%%%结果输出
rose2327362330
froth2202228204
badscp2100010811002
badscb2156219159

pytorch 拟牛顿法lbfgs算法

pytorch 拟牛顿法lbfgs算法（最新版）目录1.引言2.拟牛顿法的概述3.LBFGS 算法的原理及优势4.LBFGS 算法在 PyTorch 中的实现与应用5.总结正文1.引言在机器学习和优化领域，牛顿法是一种非常重要的优化算法。

然而，在处理非线性问题时，牛顿法可能会遇到收敛速度慢、计算复杂度高等问题。

为了解决这些问题，拟牛顿法应运而生。

拟牛顿法是一种改进的牛顿法，它通过使用近似海塞矩阵来代替精确的海塞矩阵，从而降低了计算复杂度，提高了收敛速度。

在拟牛顿法中，LBFGS（Levenberg-Marquardt 算法）是一种非常优秀的算法，它具有较高的收敛速度和较好的鲁棒性。

2.拟牛顿法的概述拟牛顿法是一种利用牛顿迭代法求解非线性方程组的优化算法。

它的基本思想是利用梯度的近似值来代替精确的梯度，从而降低计算复杂度。

拟牛顿法的优点在于它具有较快的收敛速度，并且可以处理非线性问题。

然而，拟牛顿法也存在缺点，即在处理强非线性问题时，可能会出现数值稳定性问题。

3.LBFGS 算法的原理及优势LBFGS 算法是一种基于拟牛顿法的优化算法，它通过使用线性收敛因子来估计梯度的近似值，从而提高收敛速度。

LBFGS 算法具有以下优势：（1）较高的收敛速度：LBFGS 算法能够快速地收敛到最小值，尤其是在处理大规模非线性问题时，其收敛速度优于其他优化算法。

（2）较好的鲁棒性：LBFGS 算法能够处理具有复杂结构的非线性问题，并且在处理过程中具有较好的鲁棒性。

（3）较低的计算复杂度：LBFGS 算法只需要计算海塞矩阵的近似逆矩阵，从而降低了计算复杂度。

4.LBFGS 算法在 PyTorch 中的实现与应用在 PyTorch 中，可以使用 LBFGS 算法来求解非线性优化问题。

PyTorch 提供了专门的 LBFGS 优化器，用户只需要定义目标函数和初始参数，就可以使用 LBFGS 优化器来求解问题。

下面是一个简单的示例：```pythonimport torchimport torch.optim as optim# 定义目标函数def objective_function(x):return (x[0] - 1)**2 + (x[1] - 2)**2# 定义初始参数x0 = torch.array([1, 2])# 创建 LBFGS 优化器optimizer = optim.LBFGS(x0, objective_function)# 进行优化optimizer.minimize( Step=1000, GradientTolerance=1e-6)# 输出结果print("优化结果：", optimizer.result())```在这个示例中，我们使用 LBFGS 优化器来求解非线性优化问题，目标函数为 (x[0] - 1)**2 + (x[1] - 2)**2，初始参数为 x0 =torch.array([1, 2])。

bfgs算法公式

bfgs算法公式BFGS算法公式引言：BFGS算法是一种用于非线性优化问题的迭代算法，它通过估计目标函数的海森矩阵的逆来逼近最优解。

本文将介绍BFGS算法的公式及其原理，并通过实例说明算法的应用。

一、BFGS算法公式：BFGS算法的迭代公式如下：x(k+1) = x(k) - H(k)∇f(x(k))其中，x(k)表示第k次迭代的变量值，∇f(x(k))表示目标函数f(x)在x(k)处的梯度，H(k)表示近似的海森矩阵的逆。

二、BFGS算法原理：BFGS算法的核心思想是通过逐步逼近目标函数的海森矩阵的逆来求解最优解。

具体步骤如下：1. 初始化：设定初始点x(0)，近似的海森矩阵的逆H(0)。

2. 计算梯度：计算目标函数f(x)在当前点x(k)处的梯度∇f(x(k))。

3. 更新变量：根据BFGS公式，更新变量x(k+1) = x(k) - H(k)∇f(x(k))。

4. 更新海森矩阵逆：根据BFGS公式，更新近似的海森矩阵的逆H(k+1)。

5. 终止条件：判断是否满足终止条件，如目标函数值的变化小于某个阈值或梯度的范数小于某个阈值。

6. 若满足终止条件，则停止迭代，得到近似的最优解；若不满足终止条件，则返回第2步。

三、BFGS算法应用实例：下面通过一个实例来说明BFGS算法的应用。

假设我们要求解目标函数f(x) = x^4 - 3x^3 + 2，在初始点x(0) = 1处开始迭代。

1. 初始化：设定初始点x(0) = 1，近似的海森矩阵的逆H(0) = I（单位矩阵）。

2. 计算梯度：计算目标函数f(x)在当前点x(k)处的梯度∇f(x(k)) = 4x^3 - 9x^2。

3. 更新变量：根据BFGS公式，更新变量x(k+1) = x(k) - H(k)∇f(x(k))，代入上面的梯度，得到x(1) = 1 - I(4*1^3 - 9*1^2) = -4。

4. 更新海森矩阵逆：根据BFGS公式，更新近似的海森矩阵的逆H(k+1)。

BFGS算法分析与实现

BFGS算法分析与实现BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）算法是用于无约束优化问题的一种逐步逼近最优点的优化算法。

它基于拟牛顿法的思想，在每一步迭代中，通过逼近目标函数的Hessian矩阵来确定方向和步长。

本文将对BFGS算法的原理进行分析，并给出一个简单的实现示例。

BFGS算法的基本思想是通过近似Hessian矩阵来指导方向和步长，从而逐渐逼近最优点。

具体来说，BFGS算法通过不断更新Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）公式来近似目标函数的Hessian矩阵。

BFGS公式的更新规则是：B_{k+1} = B_k + \frac{s_k s_k^T}{s_k^T y_k} - \frac{B_k y_ky_k^T B_k}{y_k^T B_k y_k}其中，B_{k+1} 是第k+1步的近似Hessian矩阵，B_k 是第k步的近似Hessian矩阵，s_k 是第k步的步向量（即目标函数的负梯度），y_k是第k步步向量的变化量。

1. 初始化目标函数的近似Hessian矩阵 B_02.设定初始点x_03. 计算步向量 s_k = -B_k^{-1} \nabla f(x_k)4.利用线方法确定步长t_k5.计算的下一点x_{k+1}=x_k+t_ks_k6. 计算步向量的变化量 y_k = \nabla f(x_{k+1}) - \nabla f(x_k)7. 更新近似Hessian矩阵 B_{k+1} = B_k + \frac{s_ks_k^T}{s_k^T y_k} - \frac{B_k y_k y_k^T B_k}{y_k^T B_k y_k}8.判断终止条件，如果满足停止条件，则返回近似最优点，否则返回第3步继续迭代。

下面是一个简单的BFGS算法的Python实现示例：```pythonimport numpy as npdef bfgs(f, df, x0, max_iter=1000, tol=1e-6):n = len(x0)B = np.eye(n) # 初始化近似 Hessian 矩阵为单位矩阵x = x0.copyfor k in range(max_iter):g = df(x) # 计算当前点的梯度s = -np.linalg.solve(B, g) # 计算步向量t=1.0#初始化步长while f(x + t * s) > f(x) + 0.5 * t * np.dot(g, s):t*=0.5#采用二分法步长x_new = x + t * s # 计算的下一点y = df(x_new) - g # 计算步向量的变化量if np.linalg.norm(y) < tol: # 判断终止条件return x_newBs = np.dot(B, s)B += np.outer(y, y) / np.dot(y, s) - np.outer(Bs, Bs) / np.dot(Bs, s) # 更新近似Hessian矩阵x = x_newreturn x# 示例：求解无约束最小化问题 min f(x) = x_1^2 + 2*x_2^2f = lambda x: x[0]**2 + 2 * x[1]**2df = lambda x: np.array([2 * x[0], 4 * x[1]])x_opt = bfgs(f, df, np.array([1, 2]))print('Optimal point:', x_opt)print('Optimal value:', f(x_opt))```在这个示例中，我们求解了一个简单的无约束最小化问题。

BFGS算法分析与实现

《最优化方法》课程设计题目：BFGS算法分析与实现院系：数学与计算科学学院专业：统计学姓名学号：左想 **********指导教师：***日期： 2014 年 01 月 22 日摘要在求解无约束最优化问题的众多算法中,拟牛顿法是颇受欢迎的一类算法。

尤其是用于求解中小规模问题时该类算法具有较好的数值效果。

BFGS 算法被认为是数值效果最好的拟牛顿法，其收敛理论的研究也取得了很好的成果. 在一定的条件下，BFGS 算法具有全局收敛性和超线性收敛速度。

然而，对于大规模最优化问题来求解，包括 BFGS 算法在内拟牛顿法具有明显的缺陷。

有许多的例子表明，一旦处理问题很大时，一些对小规模问题非常成功的算法变得毫无吸引力。

究其原因，主要是由于在中小型问题一些不太重要的因素在求解大规模问题时，变得代价很高。

随着速度更快及更复杂的计算机的出现，增强了我们的计算处理能力。

同时也为我们设计算法带来了新的课题。

并行计算机的发展为求解大规模最优化问题提供了一条新途径。

关键词：BFGS 拟牛顿法；无约束最优化问题；大规模问题AbstractQuasi-Newton methods are welcome numerical methods for solving optimization problems. They are particularly effective when applied to solve small or middle size problems. BFGS method is regarded as the most effective quasi-Newton method due toits good numerical perfor mance. It also possesses very good global and superlinear con vergen ceproperties. On the other hand, however, when applied to solve larg escaleproblems, quasi-Newton methods including BFGS method don ot perform well. Themajor drawback for a quasi-Newton method, when used to solve large scaleoptimization problem, is that the matrix gener ated by the method does not retain thesparsity of the Hessian matrix of the objective function. There are examples showing that many success methods for solving small-sized optimization become unattractive once the problem to be tackled is large. An important reason for thisfeature is that some process that is important for small problems may become veryexpensive for large scale problems.The fast development of computer has enhanced our ability to solve large scaleproblems. In particular, the parallel computer provides us a new way to solve largescale problems efficiently. In recent years, there has been growing interest in the studyin parallel methods. It has been found that many good methods that are efficient forsolving small and middle size problems can be parallized.Key Words: BFGS quasi-Newton method; unconstrained optimization problem, large scale problem目录1、引言 ........................................................................................ 错误!未定义书签。

bfgs方法

bfgs方法
BFGS方法（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno方法）是一种用于无约束优化的拟牛顿法。

它是一个迭代算法，用于找到使目标函数最小化的参数值。

BFGS方法建立在以下两个原理上：
1. 每次迭代，我们需要找到一个方向，使得在沿着这个方向移动时，目标函数能够被最小化。

2. 我们需要根据目标函数的梯度来更新参数的值。

BFGS方法通过估计牛顿步长（牛顿法通过梯度和海森矩阵来计算）的逆矩阵来找到一个合适的方向，进而更新参数的值。

这个过程称为BFGS更新。

BFGS方法具有以下几个优点：
1. 它不需要计算海森矩阵的逆矩阵，因此可以节省时间和内存资源。

2. 它在迭代的每个步骤中都保持正定性，从而防止算法出现无法收敛的问题。

3. 它适用于高维优化问题。

BFGS方法也有一些缺点，其中最主要的是：
1. 当目标函数具有非凸性时，BFGS方法没有全局收敛性。

在这种情况下，可能需要使用不同的优化算法。

总之，BFGS方法是一种广泛使用的优化算法，特别适用于高维优化问题。

l-bfgs算法 python例程

l-bfgs算法 python例程L-BFGS（Limited-Memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）算法是一种广泛应用于优化问题的迭代算法，尤其在机器学习和数据分析领域。

本篇文章将介绍如何使用Python实现L-BFGS算法。

一、L-BFGS算法原理L-BFGS算法是一种基于坐标下降法的优化算法，通过逐步迭代来逼近函数的最低点。

该算法具有内存限制，因此被称为“有限记忆”算法。

该算法在每次迭代中，通过使用历史信息来更新搜索方向，从而减少搜索次数，提高优化效率。

二、Python实现下面是一个简单的Python实现L-BFGS算法的例程：```pythonimport numpy as npclass LBFGS:def __init__(self, max_iter, alpha, tol):self.max_iter = max_iterself.alpha = alphaself.tol = tolself.x = Noneself.history = []def _update_history(self, grad):self.history.append((grad, self.x))if len(self.history) > self.max_iter:del self.history[0]def _line_search(self, f, grad, x, z, alpha):return -np.dot(grad, z) / np.dot(z, z) - alpha *np.dot(grad, grad) / (np.dot(grad, z) ** 2 + self.alpha *np.linalg.norm(grad) ** 2) * graddef fit(self, f, x, grad):self.x = xself._update_history(grad)for i in range(self.max_iter):old_grad = grad.copy()z = x + np.linalg.inv(np.dot(grad, grad) + self.alpha * np.eye(x.shape[0])).dot(grad)new_grad = np.dot(z, grad) - np.dot(grad, z)if np.linalg.norm(new_grad - old_grad) < self.tol:breakf_new = f(x + new_grad)if f_new - f_old < self.tol:break# 更多实现细节...）））））））））））））））））））））））））））））```。

BFGS算法分析与实现

《最优化方法》课程设计题目：BFGS算法分析与实现院系：数学与计算科学学院专业：统计学姓名学号：左想 1200720133指导教师：李丰兵日期: 2014 年 01 月 22 日摘要在求解无约束最优化问题的众多算法中,拟牛顿法是颇受欢迎的一类算法。

尤其是用于求解中小规模问题时该类算法具有较好的数值效果。

BFGS 算法被认为是数值效果最好的拟牛顿法，其收敛理论的研究也取得了很好的成果。

在一定的条件下，BFGS 算法具有全局收敛性和超线性收敛速度。

然而，对于大规模最优化问题来求解,包括 BFGS 算法在内拟牛顿法具有明显的缺陷。

有许多的例子表明，一旦处理问题很大时，一些对小规模问题非常成功的算法变得毫无吸引力。

究其原因,主要是由于在中小型问题一些不太重要的因素在求解大规模问题时，变得代价很高。

随着速度更快及更复杂的计算机的出现,增强了我们的计算处理能力。

同时也为我们设计算法带来了新的课题。

并行计算机的发展为求解大规模最优化问题提供了一条新途径。

关键词:BFGS 拟牛顿法；无约束最优化问题；大规模问题AbstractQuasi-Newton methods are welcome numerical methods for solving optimization problems。

They are particularly effective when applied to solve small or middle size problems. BFGS method is regarded as the most effective quasi-Newton method due toits good numerical perfor mance。

It also possesses very good global and superlinear con vergen ceproperties。

BFGS算法的最优化问题及在MATLAB中的实现

在实践中有着广泛的运用，如何得到最优方上式的向量和不唯一，可取Ｏｐｔｉｏｎｓ（７）为控制插值法，取默认值０时是和分别平行于Ｂｋｓ和，即案是工程人员关心的最主要问题。混合插值，取１时为立方插值。令Ｕ＝ｙ，：ＯＹｋ。将和在数学上，优化问题的基本目标形式的表达式带入上式中整理后得，
秩
２矩
阵
—
ａｎｓ：一０．０ｌ５６０．００ｌ５ — ０．０ｌ４６０．０１４６
ＥｋＧｇＵＴＪｒ－
…
方案中如何选择最佳方案的问题，这类问题
在数学上被称为最优化问题…，最优化问题
中最普遍的算法。ＢＰＧＳ方法局部收敛理论较为完善，全局收敛性也有重要进展。尤其是在研究凸函数的极小化问题上，采用精
为：
Ｍｉｎｉｍｉｚｅ－厂（），
Ｓｕｂｉｅｃｔｔｏ『Ｃ．Ｅ．１，Ｓｕｂｉｅｃｔｔｏ『Ｂ．Ｃ．１
［ａｙ
。
）＋１］Ｂｋｓ＋［（ｙ）一Ｉ】．ｙ＝０
中图分类号：０２２４
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７４－０９８Ｘ（２０１４）０６（ｂ）－００８８－０１
１优化问题的建立

bfgs拟牛顿法算法步骤 -回复

bfgs拟牛顿法算法步骤-回复BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）拟牛顿法是一种用于无约束最优化问题的优化算法。

它主要依赖于牛顿法，但是避免了牛顿法中需要求解海森矩阵的复杂计算。

在本文中，我们将讨论BFGS拟牛顿法的算法步骤以及其原理。

1. 初始化优化问题的目标函数在使用BFGS拟牛顿法之前，我们需要首先定义和初始化我们要优化的目标函数。

这个目标函数可以是线性或非线性的，具体取决于我们要解决的问题。

它可以是一个具有多个自变量和一个标量值的函数。

2. 初始化迭代参数在BFGS算法中，我们还需要初始化一些迭代参数，包括初始点x0，初始的逆海森矩阵H0和迭代停止的准则。

通常，我们选择一个合适的初始点作为优化的起点，将初始逆海森矩阵设置为单位矩阵，并选择一个合适的停止准则，如梯度范数或目标函数值的变化。

3. 计算函数梯度在每个迭代步骤中，我们需要计算目标函数在当前点的梯度。

这个梯度向量是目标函数对每个自变量的偏导数。

一般来说，我们可以使用数值方法，如有限差分或自动微分，来计算梯度。

4. 计算搜索方向根据当前点的梯度和上一次迭代的逆海森矩阵，我们可以计算出搜索方向。

搜索方向是迭代中的一个重要参数，决定了下一次迭代中应该前进的方向。

在BFGS算法中，搜索方向被定义为当前点梯度的负方向乘以逆海森矩阵。

5. 一维搜索在确定搜索方向后，我们需要在该方向上进行一维搜索，以确定目标函数的最小值。

一维搜索通常使用线搜索方法，如Armijo规则或Wolfe 准则，来确定步长。

步长是沿搜索方向移动的距离，以获得下一个迭代点。

6. 更新参数一旦找到合适的步长，我们可以使用它来更新迭代参数。

我们使用BFGS公式来更新逆海森矩阵和迭代点。

BFGS公式使用当前搜索方向和步长来更新逆海森矩阵，并使用目标函数在新迭代点处的梯度来更新迭代点。

这样，我们可以得到下一个迭代点和逆海森矩阵。

7. 检查停止准则在更新参数后，我们需要检查是否满足终止准则来决定是否停止迭代。

BFGS优化算法及应用实例

BFGS优化算法及应⽤实例⽬录1、引⾔ (1)2、BFGS算法综述 (1)2.1 拟⽜顿法及其性质 (1)2.2 BFGS算法 (3)3、数值实验 (6)3.1 代码实现 (6)3.2 算法测试 (7)3.3 结果分析 (8)4、总结 (8)4.1 总结概括 (8)5、参考⽂献： (9)1、引⾔在最优化的问题中，线性最优化⾄少可以使⽤单纯形法求解，但对于⾮线性优化问题，⽜顿法提供了⼀种求解的办法。

⽜顿法的优点是具有⼆次收敛速度，但是当Hesse 矩阵2=)k k G f x ?（不正定时，不能保证所产⽣的⽅向是⽬标函数在k x 处的下降⽅向。

特别地，当k G 奇异时，算法就⽆法继续进⾏下去，尽管修正的⽜顿法可以克服这⼀缺点，但修正参数的选取很难把握，过⼤或过⼩都会影响到收敛速度，此外，⽜顿法的每⼀迭代步都需要⽬标函数的⼆阶导数，即Hesse 矩阵，对于⼤规模问题，其计算量是惊⼈的。

由此引出了⼀种新的求解⾮线性优化问题的⽅法——拟⽜顿法。

拟⽜顿法(Quasi-Newton Methods)是求解⾮线性优化问题最有效的⽅法之⼀，于20世纪50年代由美国Argonne 国家实验室的物理学家W. C. Davidon 所提出来。

Davidon 设计的这种算法在当时看来是⾮线性优化领域最具创造性的发明之⼀。

不久R. Fletcher 和M. J. D. Powell 证实了这种新的算法远⽐其他⽅法快速和可靠，使得⾮线性优化这门学科在⼀夜之间突飞猛进。

在之后的20年⾥，拟⽜顿⽅法得到了蓬勃发展，出现了⼤量的变形公式以及数以百计的相关论⽂。

其中BFGS 就是拟⽜顿法中的⼀种⽅法。

2、BFGS 算法的综述2.1拟⽜顿法及其性质拟⽜顿法的基本思想是在⽜顿法的第⼆步中⽤Hesse 矩阵2=)k k G f x ?（的某个近似矩阵k B 取代k G 。

通常，k B 应具有以下三个特点：（1）在某种意义下有k k B G ≈，使得相应的算法产⽣的⽅向近似于⽜顿⽅向，以确保算法具有较快的收敛速度；（2）对所有的k ，k B 是对称正定的，从⽽使得算法所产⽣的⽅向是函数f 在k x 处下降⽅向；（3）矩阵k B 更新规则相对⽐较简单，即通常采⽤秩1或秩2矩阵进⾏校正。

求无约束优化问题的混合谱尺度bfgs算法

求无约束优化问题的混合谱尺度bfgs算法近年来，优化问题的研究受到了越来越多的关注，而无约束优化问题引起了学术界的更多关注。

解决无约束优化问题的方法有很多，其中BFGS算法是众多算法中最经典、最有效的一种方法。

本文主要介绍了一种基于混合谱尺度的BFGS算法，以解决无约束优化问题，该算法可以有效提高解的质量，提高计算效率。

一、混合谱尺度的概念混合谱尺度（MS）是一种数字信号处理技术，它集成了多个数字信号处理技术，运用独特的多尺度变换方法，将数字信号转换成混合尺度的矩阵。

多尺度变换的好处是，可以同时提取信号中各个尺度的细节信息，从而有效提高算法的准确性和性能。

MS可以不仅用于去噪，而且可以用于分类、聚类和识别等任务。

二、混合谱尺度BFGS算法混合谱尺度BFGS算法是一种基于混合谱尺度(MS)的无约束优化算法，它将多尺度的信息组织在一起，提取信号中的细节信息，从而更好地估计模型的梯度，提高计算效率和准确性。

算法步骤如下：1.设置初始模型参数：算法以初始模型参数开始迭代运算；2.模型分解：将原始模型参数分解成多个尺度，每一个尺度有一组参数；3.优化模型参数：计算模型参数有关的梯度，并使用BFGS方法进行参数优化；4.多尺度合成：将各个尺度的优化参数合成，得到最终的模型参数；5.评估模型：根据模型参数计算模型的损失函数；6.重复迭代：如果模型的损失函数值不满足条件，重复步骤1~5，直至模型的损失函数收敛。

三、混合谱尺度BFGS算法实验为了证明混合谱尺度BFGS算法的有效性，我们用该算法对最小二乘拟合问题进行了实验。

最小二乘拟合问题是一种典型的无约束优化问题，它的目标是求解使损失函数值最小的参数向量。

在实验中，我们使用梯度下降法（GD）和混合谱尺度BFGS算法（MSBFGS）来求解最小二乘拟合问题，并对两种算法的收敛曲线进行了比较。

实验结果表明，MSBFGS算法收敛曲线比梯度下降法收敛曲线更加平缓，收敛速度更快，并且可以更准确地收敛到最优解。

Wolfe非精确搜索+BFGS

(3)用”Backtracking line search“算法沿搜索方向找到下一个迭代点：xk+1=xk+αkpk
(4)根据Armijo–Goldstein?准则，判断是否停止。
(5)计算xk+1=xk+αkpk; 以及?yk=?f(xk+1)??f(xk)
(6)迭代近似逆Hessian矩阵：
B?1k+1=(I?skyTkyTksk)B?1k(I?yksTkyTksk)+sksTkyTksk
lin0104526
【实验结论】（结果）
从实验结果可明显看出对于不同的问题，除个别问题外，拟牛顿法运行时间基本保持在很短的水平，且波动较小。故可以得出结论拟牛顿法在解决无约束问题上效率较高，稳定性好。
【实验小结】（收获体会）
牛顿法具有运行时间短且比较稳定的特性，这次试验也很好的体现了这些特点。并且通过基于matlab的编程让我对于最优化方法获得更多的启发，在学习最优化方法上有了更好的体验。
xk=factor*xk;
bk=eye(n);
k=0;
tic; %计时开始
fk=objfcn(n,m,xk,nprob);
fnum=1;
gk=grdfcn(n,m,xk,nprob);
gnum=1;
delta=norm(gk,2);
(2)迭代开始
while k<1000 %%%%%%%%%迭代上限1000
%%%%%%%%%%%%%%%%% Bk update
sk=xk-xk1;bks2=sk'*bk*sk;yk=gk-gk1;
yksk=yk'*sk;
if yksk>0
bks1=bk*sk*sk'*bk;

BFGS优化算法及应用实例

目录1、引言 (1)2、BFGS算法综述 (1)2.1 拟牛顿法及其性质 (1)2.2 BFGS算法 (3)3、数值实验 (6)3.1 代码实现 (6)3.2 算法测试 (7)3.3 结果分析 (8)4、总结 (8)4.1 总结概括 (8)5、参考文献： (9)1、引言在最优化的问题中，线性最优化至少可以使用单纯形法求解，但对于非线性优化问题，牛顿法提供了一种求解的办法。

牛顿法的优点是具有二次收敛速度，但是当Hesse 矩阵2=)k k G f x ∇（不正定时，不能保证所产生的方向是目标函数在k x 处的下降方向。

特别地，当k G 奇异时，算法就无法继续进行下去，尽管修正的牛顿法可以克服这一缺点，但修正参数的选取很难把握，过大或过小都会影响到收敛速度，此外，牛顿法的每一迭代步都需要目标函数的二阶导数，即Hesse 矩阵，对于大规模问题，其计算量是惊人的。

由此引出了一种新的求解非线性优化问题的方法——拟牛顿法。

拟牛顿法(Quasi-Newton Methods)是求解非线性优化问题最有效的方法之一，于20世纪50年代由美国Argonne 国家实验室的物理学家W. C. Davidon 所提出来。

Davidon 设计的这种算法在当时看来是非线性优化领域最具创造性的发明之一。

不久R. Fletcher 和M. J. D. Powell 证实了这种新的算法远比其他方法快速和可靠，使得非线性优化这门学科在一夜之间突飞猛进。

在之后的20年里，拟牛顿方法得到了蓬勃发展，出现了大量的变形公式以及数以百计的相关论文。

其中BFGS 就是拟牛顿法中的一种方法。

2、BFGS 算法的综述2.1拟牛顿法及其性质拟牛顿法的基本思想是在牛顿法的第二步中用Hesse 矩阵2=)k k G f x ∇（的某个近似矩阵k B 取代k G 。

通常，k B 应具有以下三个特点：（1）在某种意义下有k k B G ≈，使得相应的算法产生的方向近似于牛顿方向，以确保算法具有较快的收敛速度；（2）对所有的k ，k B 是对称正定的，从而使得算法所产生的方向是函数f 在k x 处下降方向；（3）矩阵k B 更新规则相对比较简单，即通常采用秩1或秩2矩阵进行校正。

bfgs迭代算法

bfgs迭代算法BFGS迭代算法是一种优化算法，用于求解无约束多元函数的极小值。

它基于二次拟合步长逼近，适用于许多科学和工程问题的最优化。

步骤如下：第一步：确定初始点。

初始点通常是在多元函数的定义域内，并以其一些已知或估计的值为基础。

第二步：计算梯度。

该算法需要目标函数的梯度，因此需要计算目标函数的各个偏导数。

梯度提供了函数变化方向，因此在搜索接近最优点时至关重要。

第三步：确定搜索方向。

通过优化方向搜索最优解。

该算法通过求解一定数量的二次方程组，确定最佳搜索方向。

第四步：确定步长。

确定在当前搜索方向上的最佳下降距离。

这可以通过解决单变量方程组来实现：即找到在当前搜索方向下使函数值最小的步长。

第五步：更新BFGS矩阵。

更新BFGS矩阵以考虑新方向的影响。

通过比较新梯度和旧梯度之间的步长差异，可以调整BFGS矩阵以更好地匹配函数的局部形状。

第六步：反复迭代。

重复上面的步骤，直到满足收敛准则。

BFGS算法的优点：1.收敛速度快。

2.适用于求解高维非线性函数。

3.不需要求Hessian矩阵。

BFGS算法的缺点：1.算法的三维搜索和更新矩阵过程比较复杂。

2.算法需要计算Hessian逆矩阵和求解多个方程组。

3.在某些情况下，算法可能会迭代超过最小值点。

总结：BFGS迭代算法是一种有效的数值优化算法，适用于求解无约束多元函数的极小值。

它不需要Hessian矩阵，并且可以处理高维非线性函数。

然而，算法复杂度较高，需要计算多个方程组并且容易在某些情况下陷入局部最小值点。

对于这种算法，可以通过对初始点进行不同的选择或者引入不同的下降方向来避免这种情况。

bfgs拟牛顿法算法步骤

bfgs拟牛顿法算法步骤一、算法概述BFGS（Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）算法是一种拟牛顿法，用于求解无约束优化问题。

该算法采用近似Hessian矩阵来代替精确Hessian矩阵，从而在每次迭代中仅需计算一阶导数，有效降低了计算成本。

相较于牛顿法，BFGS算法对初始点不敏感，具有更好的全局收敛性。

二、算法步骤1. 初始化：选择初始点x0，近似Hessian矩阵H0，步长因子ρ（一般取1），精度要求ε，最大迭代次数N。

2. 迭代过程：对k=0,1,2,...,N-1执行以下步骤：（1）计算一阶导数F(xk)，如果|F(xk)| < ε，则算法终止。

（2）计算搜索方向dk=-F(xk)。

（3）沿搜索方向进行线搜索：a. 计算初始步长t0=1。

b. 令t=-ρt0，如果|t| < ε，则算法终止。

c. 通过信赖域策略调整步长t。

d. 更新xk+1=xk+tdk。

e. 更新近似Hessian矩阵Hk+1。

3. 终止条件：如果达到精度要求ε或达到最大迭代次数N，则算法终止。

三、近似Hessian矩阵更新BFGS算法通过迭代更新近似Hessian矩阵H，以保持正定性和拟牛顿条件。

更新公式如下：Hk+1=(I-βkSkT+αkTkT)Hk(I-αkTkT)+βkS*T+αkSkT,其中，I为单位矩阵，S和S*分别为函数F(x)和F'(x)的雅可比矩阵，α和β为固定的参数。

在实际应用中，也可以采用其他更复杂的近似Hessian矩阵更新策略，如DFP、L-BFGS等。

四、线搜索策略线搜索是确定搜索方向后，沿着该方向寻找能使目标函数取得更小值的步长。

常见的线搜索策略有黄金分割法、抛物线法等。

在实际应用中，可以采用简单的线性搜索或更复杂的非线性搜索策略，如Wolfe 条件、Armijo条件等。

线搜索的目的是在保证算法收敛性的同时，提高算法的效率。

五、注意事项1. BFGS算法对初始点不敏感，可以随机选取初始点，也可以通过其他方法得到一个较好的初始点。

利用线性独立方向的有限储存BFGS法

利用线性独立方向的有限储存BFGS法
倪勤
【期刊名称】《南京航空航天大学学报（英文版）》
【年(卷),期】2001(018)002
【摘要】基于该线性独立理论，提出并讨论了数值线性独立性的程度，开发了修改的有限存储器BFGS方法。

与标准有限的存储方法类似，使用IT alate和梯度的变化的更改将更新公式m次应用于初始正对角矩阵，通过将更新公式m次数应用于初始正对角矩阵来确定新更新。

除了最新的变化方面，它保证了二次终止，新方法的其他（M-1）对的选择取决于先前搜索方向的数值线性程度。

另外，进一步讨论了数值线性独立性理论，简化了线性独立程度的计算。

理论和数值结果表明，这种新的改进的方法有效地改善了标准有限的存储器的方法。

％提出了线性独立度的概念，并在此基础上建立了一个改进的有限储存BFGS法。

该方法继承了标准有限储存BFGS方法的基本特价，即储存m销量对逆二阶近阵，并选择m个向荷兰的数据性保留搜索方向的数据性度来确立的。

文中路一件步了数码线路独立理念，并简化了新方法中线性的计算。

理想和数码结果明，改进的新方法有条设改善标准的有限性法。

【总页数】4页(P236-239)
【作者】倪勤
【作者单位】南京航空航天大学理学院,
【正文语种】中文
【中图分类】O221, 2;O224;O24
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L-BFGS算法

一、BFGS算法算法思想如下：Step1 取初始点，初始正定矩阵，允许误差，令；Step2 计算；Step3 计算，使得；Step4 令；Step5 如果，则取为近似最优解；否则转下一步；Step6 计算，，令，转Step2.优点：1、不用直接计算Hessian矩阵；2、通过迭代的方式用一个近似矩阵代替Hessian矩阵的逆矩阵。

缺点：1、矩阵存储量为，因此维度很大时内存不可接受；2、矩阵非稀疏会导致训练速度慢。

二、L-BFGS算法针对BFGS的缺点，主要在于如何合理的估计出一个Hessian矩阵的逆矩阵，L-BFGS的基本思想是只保存最近的m次迭代信息，从而大大降低数据存储空间。

对照BFGS，我重新整理一下用到的公式：于是估计的Hessian矩阵逆矩阵如下：把带入上式，得：假设当前迭代为k，只保存最近的m次迭代信息，（即：从k-m~k-1），依次带入，得到：公式1：算法第二步表明了上面推导的最终目的：找到第k次迭代的可行方向，满足：为了求可行方向p，有下面的:two-loop recursion算法该算法的正确性推导：1、令: ，递归带入q：相应的：2、令：于是:这个two-loop recursion算法的结果和公式1*初始梯度的形式完全一样，这么做的好处是：1、只需要存储、（i=1~m）；2、计算可行方向的时间复杂度从O(n*n)降低到了O(n*m)，当m远小于n时为线性复杂度。

总结L-BFGS算法的步骤如下：Step1: 选初始点，允许误差，存储最近迭代次数m（一般取6）；Step2: ；Step3: 如果则返回最优解，否则转Step4；Step4: 计算本次迭代的可行方向：；Step5: 计算步长，对下面式子进行一维搜索：；Step6: 更新权重x：；Step7: if k > m只保留最近m次的向量对，需要删除()；Step8: 计算并保存：；Step9: 用two-loop recursion算法求得：；k=k+1，转Step3。

无约束最优化问题的BFGS并行算法与实现

无约束最优化问题的BFGS并行算法与实现李文敬;王汝凉;廖伟志【期刊名称】《计算机工程》【年(卷),期】2009(035)015【摘要】介绍无约束最优化问题的BFGS算法及其收敛性,提出利用行卷帘格式并行Cholesky分解法、同步并行Wolfe-Powell非线性搜索和并行处理BFGS修正公式来构建BFGS的并行算法,并对该算法的时间复杂性、加速比进行分析.在PC 机群数值实验的结果表明,BFGS并行算法提高了无约束最优化问题的求解速度,理论分析与实验结果相一致,并行算法具有线性加速比.%Based on analysis of both the Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(BFGS) algorithm and its convergence properties of unconstrained optimization problems, this paper presents a parallel algorithms of BFGS by using the row interleaved format parallel decomposition of Cholesky, the synchronous parallel Wolfe-PoweU non-linear search and the modified formula of BFGS. The paper also analyszs the time complexity and speedup ratio of the algorithm. Experimental results of PC cluster show that the BFGS parallel algorithm improves solution speed of uneonstrained optimization problems. The theoretical analysis and the experimental results of BFGS parallel algorithm are consistency with a linear speedup ratio.【总页数】4页(P58-60,63)【作者】李文敬;王汝凉;廖伟志【作者单位】广西师范学院信息技术系,南宁530001;广西师范学院信息技术系,南宁530001;广西师范学院信息技术系,南宁530001【正文语种】中文【中图分类】TP301.6【相关文献】1.无约束最优化问题中修改的BFGS方法 [J], 景慧丽2.无约束最优化问题的BFGS松弛异步并行算法 [J], 李文敬;刘之家;蓝贞雄3.解无约束最优化问题的一个非单调BFGS信赖域算法 [J], 吴庆军4.解无约束最优化问题的一个非单调的新的BFGS信赖域算法 [J], 党亚峥;景书杰5.无约束最优化问题中具有全局收敛性的修改的BFGS方法 [J], 肖运海;叶魂因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。