高考数学(文科)一轮总复习【第1篇】集合与常用逻辑用语 专题一(第一篇)

故 x－y 只能取 1,2,3,4， 由表可知实数对(x，y)的取值满 足条件的共有 10 个， 即 B 中的元素个数为 10，
x-y
y 1 2 3 4
x1 2 3 4 5
0 －1 －2 －3 －4 1 0 －1 －2 －3 2 1 0 －1 －2 3 2 1 0 －1
故选 D.
5 43 2 1 0
规范解答 法一 由 q：x2－2x＋1－m2≤0，得 1－m≤x≤1＋m，(2 分) ∴乛 q：A＝{x|x＞1＋m 或 x＜1－m，m＞0}，(3 分) 由 p：1－x－3 1≤2， 解得－2≤x≤10，(5 分) ∴乛 p：B＝{x|x＞10 或 x＜－2}．(6 分)
由 q：x2－2x＋1－m2≤0，∵乛 p 是乛 q 的必要而不充分条件． ∴P q，∴m1－＞m0， ＜－2，
C．充分必要条件
C．[－1，＋∞)
D．既不充分也不必要条件
D．(－∞，－3]
解析（1）
倒计时
由 q⇒ 乛 p 且乛 p⇒ / q
可得 p⇒ 乛 q 且乛 q⇒ / p，
所以 p 是乛 q 的充分而不必要
条件．
答案 A
（2）由 x2＋2x－3＞0， 得 x＜－3 或 x＞1，
由乛 q 的一个充分不必要条件是 乛 p，可知 乛 p 是乛 q 的充分不必要条件，
∵“p∧q”为假，∴“p∨q”为真， ∴p、q 中必有一真一假．(7 分)
a＞0，△<0
承上：p：a＞1 q：0＜a＜4 ①当 p 真，q 假时，{a|a≥4}＝{a|a≥4}．(9 分) ②当 p 假，q 真时，{a|0＜a≤1}∩{0＜a＜4}＝{a|0＜a≤1}．(11 分) 故 a 的取值范围为{a|0＜a≤1 或 a≥4}．(12 分)
2、（1）(2013·山东卷)给定两个命 2、（2）已知命题 p：x2＋2x－3
题 p，q.若乛 p 是 q 的必要而不充 ＞0；命题 q：x＞a，且乛 q 的一
分条件，则 p 是乛 q 的( )． 个充分不必要条件是乛 p，则 a
A．充分而不必要条件
的取值范围是( )．
B．必要而不充分条件
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
等价转化思想在充要条件关系中的应用
典例2 (12 分)已知 p：1－x－3 1≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)， 且乛 p 是乛 q 的必要而不充分条件，求实数 m 的取值范围．
审题路线 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．
(2)再利用命题间的关系列出关于 m 的不等式或不等式组，得 出结论．
典例1 已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}， 则 B 中所含元素的个数为( )．A．3 B．6 C．8 D．10
解法二(直接法) 因为 A＝{1,2,3,4,5}，所以集合 A 中的元素都为正数， 若 x－y∈A，则必有 x－y＞0，x＞y. 当 y＝1 时，x 可取 2,3,4,5，共有 4 个数； 当 y＝2 时，x 可取 3,4,5，共有 3 个数； 当 y＝3 时，x 可取 4,5，共有 2 个数； 当 y＝4 时，x 只能取 5，共有 1 个数； 当 y＝5 时，x 不能取任何值． 综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为 4＋3＋2＋1＝10.
第一步 第二步 第三步 第四步 第五步
求命题 p、q 对应的参数的范围． 求命题乛 p、乛 q 对应的参数的范围． 根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p 真 q 假”或“p 假 q 真”． 根据新命题的真假，确定参数的范围．
反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．
（3）(2014·锦州月考)命题 p：关于 x 的不等式 x2＋2ax ＋4＞0 对一切 x∈R 恒成立，q：函数 f(x)＝(3－2a)x 是增函数，若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求实数 a 的取值范围．
解 设 g(x)＝x2＋2ax＋4， 由于关于 x 的不等式 x2＋2ax＋4＞0 对一 倒计时 切 x∈R 恒成立，所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点。 故 Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2. 又∵函数 f(x)＝(3－2a)x 是增函数，∴3－2a＞1，∴a＜1.
又由于是 a 或 q 为真，p 且 q 为假，可知 p 和 q 一真一假． (1)若 p 真 q 假，则－a≥2＜1，a＜2，∴1≤a＜2； (2)若 p 假 q 真，aa≤ ＜－ 1，2或a≥2，∴a≤－1. 综上可知，所求实数 a 的取值范围为 1≤a＜2，或 a≤－2.
由 p：1－x－3 1≤2，解得－2≤x≤10， ∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．(6 分)∵p 是 q 的充分而不要条件，
∴P q，∴m1－＞m0， ＜－2， 1＋m≥10，
m＞0， 或1－m≤－2， 即 m≥9 或 m＞9.∴m≥9.(12 分)
1＋m＞10，
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转 化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题 来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关 系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑， 这是破解此类问题的关键．
答案 D
(1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新 定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为 我们熟知的基本运算．
(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创 新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新 法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托， 考查的是考生创造性解决问题的能力．
所有集合中，
倒计时
不含“好元素”，则这 3 个元素一定是
相连的 3 个数．
如果三个数都不相邻，如1、3、5
故这样的集合共有 6 个．则显然都是好元素；
答案 A
如果三个数有两个相邻，如2、4、5 则2是好元素。
所以必须都相邻，其实是：123、234
、345、456、567、678共六组。
2、思想方法
审题路线 p、q 都为真时，分别求出相应的 a 的范围
⇒根据“p∧q”为假，“p∨q”为真，确定 p、q 的真假．
规范解答
∵函数
y＝ax
在
R
上单调递增， ∴p：a＞1. y=ax2－ax＋1
不等式 ax2－ax＋1＞0 对∀ x∈R 恒成立，且 a＞0，

∴a2－4a＜0，解得 0＜a＜4，∴q：0＜a＜4.(5 分)
1、设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k∈A，如果 k －1∉A，且 k＋1∉A，那么称 k 是 A 的一个“好元素”．给定 S＝ {1,2,3,4,5,6,7,8}，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“好元 素”的集合共有( )．A．6 个 B．12 个 C．9 个 D．5 个
解析 依题，可知由 S 的 3 个元素构成的
（见教辅）
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m＞0， 1＋m≥10，
或1－m≤－2， 1＋m＞10，
即 m≥9 或 m＞9.∴m≥9.(12 分)
法二 ∵乛 p 是乛 q 的必要而不充分条件，(2 分) ∴p 是 q 的充分而不必要条件，(2 分) 由 q：x2－2x＋1－m2≤0，得 1－m≤x≤1＋m， ∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，(4 分)
等价于 q 是 p 的充分不必要条件．
故 a≥1. 答案 A
3、答题模板
借助逻辑联结词求解参数范围问题
典例3 (12 分)已知 a＞0，设命题 p：函数 y＝ax 在 R 上单调递增； 命题 q：不等式 ax2－ax＋1＞0 对∀x∈R 恒成立．若“p∧q”为假， “p∨q”为真，求 a 的取值范围．
典例1 已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}， 则 B 中所含元素的个数为( )．A．3 B．6 C．8 D．10
解法一(列表法) 因为 x∈A，y∈A，所以 x，y 的取值只能为 1,2,3,4,5，
故 x，y 及 x－y 的取值如下表所示：
由题意 x－y∈A，
y
创新突破
ox
思想方法
答题模板
与集合有关的新概念 问题
等价转化思想在充要 条件关系中的应用
借助逻辑联结词求解 参数范围问题
1、创新突破
与集合有关的新概念问题
与集合有关的新概念问题属于信息迁移题，它是 化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这 类试题的特点是：通过给出新的数学概念或新的运算 方法，在新的情境下完成某种推理证明．常见的有定 义新概念、新公式、新运算和新法则等．