人大附中初二数学试题及答案
中国人民大学附属中学初二数学质量检测卷(试卷五)
中国人民大学附属中学初二数学质量检测卷(试卷五)一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 函数2-=x y 的定义域是（ ）A. 2≥xB. 2>xC. 0>xD. 0≥x2. 在平面直角坐标系中，将点P （-2，3）沿x 轴正方向向右平移3个单位得到点Q ，则点Q 关于x 轴的对称点的坐标是（ ） A. （-1，3）B. （5，3）C. （-5，-3）D. （1，-3）3. 已知点A （-1，1y ），B （1，2y ），C （2，3y ）在反比例函数)0(<=k xky 的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A. 132y y y <<B. 231y y y <<C. 321y y y <<D. 312y y y <<4. 函数x y -=6与函数)0(4>=x xy 的图象交于A 、B 两点，设点A 的坐标为（11,y x ），则边长分别为11,y x 的矩形面积和周长分别为（ ）A. 4，12B. 4，6C. 8，12D. 8，65. 若一个多边形共有20条对角线，则它是（ ）边形A. 六B. 七C. 八D. 九6. 在平行四边形ABCD 中，已知BC=12cm ，CD=8cm ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，那么ED 的长为（ ）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm7. 在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，且AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，那么∠EAF 等于（ ）A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°8. 若正方形ABCD 的边长为6，E 为BC 边上一点，BE=4，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的AD 边于点F ，且BF=AE ，则BM 的长为（ ）A. 132B.13C.131312 D.13131213或9. 如图，矩形ABCD 中，a AB AD AB =>,，AN 平分∠DAB ，则C 、D 两点到直线AN 的距离之和是（ ）A. aB.a 54 C.a 22 D.a 2310. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P 从起点D 出发，沿DC 、CB 向终点B 匀速运动，设点P 所走过的路程为x ，点P 所经过的线段与线段AD 、AP 所围成图形的面积为y ，y 随x 的变化而变化。
2022北京人大附中初二(下)期中数学试卷及答案
2022北京人大附中初二（下）期中数 学一、选择题：（每题3分，共30分）1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB的长度为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 122.=，则3x+2y的值等于（ ）A. ﹣5B. 5C. 13D. ﹣133. 如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（ ）A. （4，2）B. （2，4）C. （2，5）D. （5，2）4. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ）5. 如图，点E为▱ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（ ）A. 80°B. 81°C. 82°D. 83°6.＝2﹣3a，那么a取值范围是（ ）A. a≠23B. a＞23C. a≥23D. a≤237. 如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，3），点P为x轴上的动点，则PA+PB的最小值为（ ）的C. 58.估计的值应该在（ ）A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间9 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则AC 边上的高BD 的长为（ ）A. 4 B. 4.4 C. 4.8 D. 510. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点O 为AB 的中点，点D 在线段AC 上，过点A 作BC 的平行线交直线BD 于点E ，点F 是DE 的中点，连接OF ，若AD ＝AE ＝2，BC ＝4，则OF 的长为（ ）.D. 3.5二、填空题：（每空2分，共20分）。
11. 在ABCD 中，若50A ∠=︒，则C ∠的度数为_______．12.已知是二次根式，则x 的取值范围是___．13. 如图，在▱ABCD 中，∠B ＝45°，AE ⊥BC 于点E ，连接AC ，若AC ＝5，AE ＝3，则AD 的长为 _____．.14. 如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简|a ﹣3|_____．15. 如图，在▱ABCD 中，AC 平分∠BAD ，连接BD 交AC 于点O ，∠ABD ＝30°，AO ＝2，则▱ABCD 的周长为 _____．16. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，ACD △为等边三角形，连接BD ，则ADB =∠_____︒，BCD △的面积为 _____．17. 2=-，则的值为 _____．18. 如图，在Rt △ABC 中∠BAC ＝90°，点D 和点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 和点G 分别在BA 和CA 的延长线上，若BC ＝10，GF ＝6，EF ＝4，则GD 的长为 _____．19. 小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形ABCD 内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M ，N ，P ，Q 分别在长方形的边AB ，BC ，CD 和AD 上，若AB ＝23，BC ＝32，则小正方形的边长为 _____．三、解答题：（20题每小题8分，21-23每题4分，24-25题每题5分，共30分）20. 计算：（1+；（2）(÷．21. 如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形．22. 已知，如图点M为∠BAC的边上的一个定点，点N为∠BAC内部的一个定点，连接MN，在射线∠BAC的内部求作一点P，使得∠APN＝∠AMN．下面是小兵设计一种尺规作图过程．①连接AN；②作线段AN的垂直平分线l，交AN与点O；③连接MO，并延长MO至P，使得PO＝MO；则点P即为所求．根据小兵设计的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）的（2）完成下面证明：证明：连接AP，PN．∵直线l为线段AN的垂直平分线，∴AO＝NO，∵PO＝MO，∴四边形AMNP为平行四边形（ ）（填推理的依据）∴∠APN＝∠AMN（ ）（填推理的依据）．23先化简，再求值：33，其中x ＝9，y ＝14．24. 如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别是边AC ，AB 的中点，点F 在线段DE 上，AF ＝5，BF ＝12，AB ＝13，BC ＝19，求DF 的长度．25. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接AC 交BE 于点F ．（1）求证：BC ＝CD +ED ；（2）若AB ⊥AC ，AF ＝3，AC ＝8，求AE 的长．四、解答题：（26题6分，27题，28题每题7分，共20分）.26. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a＝b＝的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b．请利用“平方法”解决下面问题：（1）比较c＝，d＝大小，c d（填写＞，＜或者＝）．（2）猜想m＝，n＝之间的大小，并证明．（3＝（直接写出答案）．27. 如图，直线l1∥l2，点A，B为直线l1的两点，点C，D为直线l2的两点，且满足AB⊥AC，点E为直线l1，l2之间的一点，满足∠AEC＝90°．（1）如图1，当∠CAE＝45°，AB⊥BE时，线段AB与AC的数量关系为 （直接写出答案）．（2）直线BE交线段CD于点F，且满足∠CEF＝45°；①如图2，若∠ACE＝30°，AB＝2，求AC的长；②如图3，若AC＝CD，用等式表示线段AB，CF，AD之间的数量关系，并证明．28. 对于平面内的两个点M ，N 和图形Ω，若在图形Ω上存在两个点P ，Q （P 和Q 点可以重合），使得PM +QN ＝k （k 为大于0的常数），则称点M 和点N 为图形Ω的k 系距离点．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M （m ，0），N （0，n ）．（1）如图1，当m ＝6，n ＝8时，图形Ω为一三象限的角平分线，点M 和点N 为图形Ω的k 系距离点，在下列数值：①10；②8；③中，实数k 可能是 （填写正确的序号）．（2）已知正方形OABC 顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，A （a ，0），①如图2，当a ＝3，m ＝﹣1时，图形Ω为正方形OABC ，若点M 和点N 为图形Ω的10系距离点，求n 的取值范围．②如图3，当a ＝m ＝5，n ＝时，点D ，点E 分别为线段AB 和BC 上的动点，且满足AD +CE ＝DE ，图形Ω为∠DOE ，点M 和点N 为图形Ω的k 系距离点，则k 的最大值为（直接写出答案）．的参考答案一、选择题：（每题3分，共30分）1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则AB 的长度为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，∴AB =10，故选∶C ．【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．2. 0=，则3x +2y 的值等于（ ）A. ﹣5B. 5C. 13D. ﹣13【答案】A【解析】【分析】根据非负数的性质即可求出x 和y 的值，再代入3x +2y 中求值即可．【详解】0=，∴3020x y +=-=，，解得：32x y =-=，．∴323(3)225x y +=⨯-+⨯=-．故选A ．【点睛】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握被开方数为非负数是解题关键．3. 如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （﹣1，0），C （3，0），若四边形ABCD 为平行四边形，则点D 的坐标为（ ）A. （4，2）B. （2，4）C. （2，5）D. （5，2）【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，点A （1，2），B （﹣1，0），C （3，0），∴AD =BC =3+1=4，故点D 的坐标为（1+4，2），即（5，2）故选：D．【点睛】此题考查了坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质．4. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ）【答案】D【解析】【分析】根据最简二次根式的定义即可判断．最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；（3）被开方数不含分母．【详解】A，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意；BCD．故选：D．【点睛】此题考查了最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义．5. 如图，点E为▱ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（ ）A. 80°B. 81°C. 82°D. 83°【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出∠AEB，进而得出∠ACB，然后利用平行四边形的性质解答即可.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝180°－∠B＝180°－72°＝108°，∵AB＝BE，∴18072542AEB︒-︒∠==︒，∵AE＝EC，∴1272ACE AEB∠=∠=︒，∴∠ACD＝∠BCD－∠ACE＝108°－27°＝81°,故选：B.【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、三角形的外角、等腰三角形的性质，解题的关键是根据平行四边形的邻角互补解答.6. ＝2﹣3a ，那么a 的取值范围是（ ）A. a ≠23 B. a ＞23 C. a ≥23 D. a ≤23【答案】D【解析】a =，进而去绝对值讨论即可得出x 的取值范围．【详解】解：3223a a =-=-，∴320a -≤，∴23a ≤．故选：D ．a =．7. 如图，在平面直角坐标系中，A （1，1），B （3，3），点P 为x 轴上的动点，则PA +PB 的最小值为（ ）C. 5【答案】A【解析】【分析】求出A 点关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B ，交x 轴于点P ，则P 即为所求点，利用两点间的距离公式即可求解．【详解】解：作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B 交x 轴于点P ，则P 即为所求点；∵点A （1，1），∴点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标为（1，-1），∵A ′（1，-1），B （3，3），∴A ′B即PA+PB的最小值为故选∶A．【点睛】此题考查了最短线路问题及两点间的距离公式，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短的知识．8. 估计的值应该在（ ）A. 0到1之间B. 1到2之间C. 2到3之间D. 3到4之间【答案】C【解析】【分析】先计算二次根式，再利用“夹逼法”估算无理数的大小．【详解】解：，=-，=3，∵=，56<<，<<；∴233故选：C．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算及估算无理数的大小，解题的关键是先估算出9. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（ ）A. 4B. 4.4C. 4.8D. 5【答案】C【解析】【分析】过点A 作AH BC ⊥于点H ，利用勾股定理求得4AH ===，然后利用1122ABC S AC BD BC AH ∆=⨯=⨯即可求解．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥于点H ，∵5AB AC ==，6BC =，∴132BH CH BC ===，∴Rt ABH ∆中，4AH ===，∵BD AC ⊥，∴1122ABC S AC BD BC AH ∆=⨯=⨯，即1156422BD ⨯⨯=⨯⨯，解得 4.8BD =，故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点O 为AB 的中点，点D 在线段AC 上，过点A 作BC 的平行线交直线BD 于点E ，点F 是DE 的中点，连接OF ，若AD ＝AE ＝2，BC ＝4，则OF 的长为（ ）.D. 3.5【答案】B 【解析】【分析】连接AF ，结合题目条件得到AF ⊥DE ，根据由点O 为AB 的中点，得到12OF AB =，又易得AC =6，再在直角三角形ABC 中，根据勾股定理计算出AB ，从而得到OF 的值.详解】解：连接AF ，∵AD ＝AE ，点F 是DE 的中点，∴AF ⊥DE ，又∵点O 为AB 的中点，∴12OF AB =，又//AE BC ，∠C ＝90°,∴45ADE AED ∠=∠=︒，∴45DBC BDC ∠=∠=︒，∴BC =DC =4，∴AC =AD +CD =6，在Rt △ABC中，由勾股定理得，AB ====，∴12OF AB ==,故选择：B.【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题：（每空2分，共20分）。
北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)
人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习说明：1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，24道小题，满分100分，考试时间90分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．第一部分 选择题一、选择题（共24分，每题3分）1. 以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（ ）A. 6，7，8B. 2，3，4C. 3，4，6D. 6，8，10【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可．【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，能构成直角三角形，故本选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．2. 如图，中，于点，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由在□ABCD 中，∠EAD ＝35°，得出∠D 的度数，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠B 的度数，继而求得答案．【详解】解：∵∠EAD ＝35°，AE ⊥CD ，∴∠D ＝55°，A 222678+≠ ∴B 222234+≠ ∴C 222346+≠ ∴D 2226810+= ∴D a b c 222+=a b c ABCD Y AE CD ⊥E 35EAD ∠=︒B ∠35︒55︒65︒125︒∴∠B ＝55°，故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3. 下列各式中，运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算．熟练掌握算术平方根，二次根式的加减运算是解题的关键．根据算术平方根，二次根式的加减运算求解作答即可．【详解】解：AB ．，错误，故不符合要求；C ．D，错误，故不符合要求；故选：A ．4. 在菱形中，点分别是的中点，若，则菱形的周长是（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得，再根据菱形的周长公式列式计算即可得到答案．【详解】解：点分别是的中点，是的中位线，，菱形的周长，=3=2=2=-=3=≠2+≠22=≠-ABCD E F ，AC DC ，3EF =ABCD 26AD EF == E F ，AC DC ，EF ∴ACD 2236AD EF ∴==⨯=∴ABCD 44624AD ==⨯=【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形性质，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半及菱形的四条边都相等，是解题的关键．5. 如图，正方形的边长为2，是的中点，，与交于点，则的长为（ ）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由正方形的性质得出∠DAF ＝∠B ＝90°，AB ＝AD ＝2，由E 是BC 的中点，得出BE ＝1，由勾股定理得出AEADF ≌△BAE（ASA ），即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF ＝∠B ＝90°，BC ＝AB ＝AD ＝2，∴∠BAE ＋∠2＝90°，∵AB ＝2，E 是BC 的中点，∴BE ＝1，∴AE ，∵AD ∥BC ，∴∠1＝∠2，∵DF ⊥AE ，∴∠1＋∠ADF ＝90°，∴∠ADF ＝∠BAE ，在△ADF 和△BAE 中，，的ABCD E BC DF AE ⊥AB F DF =DAF B AD ABADF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△BAE （ASA ），∴DF ＝AE故选：A ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6. 一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（ ）A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间【答案】C 【解析】【分析】设正方形的边长为，根据其面积公式求出的值，估算出的取值范围即可．【详解】解：设正方形的边长为，正方形的面积是22.73，，，，它的边长大小在4与5之间，故选：C ．【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．7. 要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是 （ ）A. 测量两组对边是否分别相等B. 测量两条对角线是否互相垂直平分C. 测量其中三个内角是作都为直角D. 测量两条对角线是否相等【答案】C【解析】【分析】根据矩形的判定和平行四边形的判定以及菱形的判定分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；a a a a a ∴=1622.7325<< <<45<<∴A、根据对角线互相垂直平分得出四边形是菱形，故本选项错误；、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；故选：．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形和菱形的判定，主要考查学生的推理能力和辨析能力．8. 如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，，，，连接DE ，设，，，给出下面三个结论：①；②；．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，熟记勾股定理是解题的关键．①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将用和表示出来，再进行比较．【详解】解：①过点作，交于点；过点作，交于点．∵，，，又，，B C D C AB BC <90A C ∠=∠=︒EAB BCD ≌△△AB a =BC b =DE c =a b c +<a b +>)a b c +>c a b D DF AC ∥AE F B BG FD ⊥FD G DF AC ∥AC AE ⊥DF AE ∴⊥BG FD ⊥ BG AE ∴四边形为矩形，同理可得，四边形也为矩形，，在中，则，故①正确，符合题意；②∵，，在中，，，故②正确，符合题意；③∵，，，又，，．，，，，，．故③正确，符合题意；故选：D第二部分 非选择题二、填空题（共24分，每题3分）∴ABGF BCDG FD FG GD a b ∴=+=+∴Rt EFD DF ED<a b c +<EAB BCD ≌△△AE BC b ∴==Rt EAB△BE ==AB AE BE +>a b ∴+>EAB BCD ≌△△AEB CBD ∠∠∴=BE BD =90AEB ABE ∠+∠=︒ 90CBD ABE ∴∠+=∠︒90EBD ∴∠︒=BE BD = 45BED BDE ∴∠=∠=︒sin 45BE c ∴==⋅︒=c ∴= 22222222()2(2)2()42()a b a ab b a b ab a b +=++=++>+∴)a b +>∴)a b c +>9.有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数为非负数．有意义，∴，解得：，故答案为：．10. 如图，在中，若，点D 是的中点，，则的长度是_____．【答案】2【解析】【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长度．【详解】解：∵在中，，点D 是的中点，，∴．故答案为：2．11. 如图，在数轴上点 A 表示的实数是_____．【解析】【分析】根据勾股定理求得的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．【详解】解：如图，1x ≥10x -≥1x ≥1x ≥ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =CD CD ABC 90ACB ∠=︒AB 4AB =114222CD AB ==⨯=BD AB B A根据勾股定理得：，，点【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．12. 如图，在四边形中，对角线相交于点O ．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是______________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定作答即可．【详解】解：由题意知，可添加的条件为，∵，，∴四边形平行四边形，故答案为：．13. 如图，矩形的对角线相交于点O ，，，则矩形对角线的长为___________，边的长为___________．【答案】①. 8 ②. 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，先由矩形对角线相等且互相是BD ==∴AB BD ==∴A ABCD AC BD ，AB CD ∥ABCD AD BC ∥AD BC ∥AD BC ∥AB CD ∥ABCD AD BC ∥ABCD AC BD ，60AOB ∠=︒4AB =BD BC平分得到，再证明是等边三角形，得到，则，据此利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得故答案为：8；14. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为________．【答案】【解析】【分析】如图1，2中，连接AC ．在图2中，利用勾股定理求出BC ，在图1中，只要证明△ABC 是等边三角形即可解决问题．【详解】解：如图1，2中，连接AC ．如图1中，∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝30，在图2中，∵四边形ABCD 是正方形，2290AC BD OA BD ABC ====︒，∠AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===BC ABCD 2290OA OB AC BD OA BD ABC =====︒，，∠60AOB ∠=︒AOB 4OA OB AB ===28AC BD OB ===Rt ABC △BC ===60B ∠︒AC 30cm AC cm∴AB ＝BC ，∠B ＝90°，∵AB ＝BC ＝30cm ，∴AC ＝cm ，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15. 如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D ＝80°，则∠ECF 的度数是________．【答案】40°【解析】【分析】根据题意由折叠的性质可得∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，由菱形的性质可得BC ∥AD ，BC =CD ，可求∠BCF =∠CFD =80°，即可求解．【详解】解：∵将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，∴∠BCE =∠FCE ，BC =CF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ∥AD ，BC =CD ，∴CF =CD ，∴∠CFD =∠D =80°，∵BC ∥AD ，∴∠BCF =∠CFD =80°，∴∠ECF =40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查翻折变换以及菱形的性质，熟练掌握并运用折叠的性质是解答本题的关键．16. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为___________．【答案】9【解析】【分析】设直角三角形另一直角边为，然后分别用表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点．【详解】解：设直角三角的另一直角边为，则，，，．故答案为：9三、解答题（共52分，第17题8分，第18-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题7分，第24题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：（1）；（2）．【答案】（1（2）【解析】【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算是解题的关键．（1）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可；1S 2S 12S S -a a a 2211(3)4392S a a a =+-⨯⨯=+22S a a a =⋅=221299S S a a ∴-=+-=(1-（2）先分别计算二次根式的乘除，然后进行加减运算即可．【小问1详解】解：【小问2详解】解：．18. 如图，四边形为平行四边形，，是直线上两点，且，连接，．求证：．【答案】见详解【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，根据可得，再根据平行四边形的性质可得，且，即，即可证明，即可得到结论．【详解】证明：∵，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，且，∴，在和中，2=⨯=(32=+1=-ABCD E F BD BE DF =AF CE AF CE =BE DF =ED FB =AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠()SAS DEC BFA ≌BE DF =BE BD DF BD +=+ED FB =ABCD AB DC =AB DC =EDC FBA ∠∠DEC BFA V，∴，∴．19. 已知，求的值．【答案】11【解析】【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，平方差公式，先整理，再代入计算，即可作答．【详解】解：依题意，20. 如图，在中，点D 是线段的中点．求作：线段，使得点E 在线段上，且．作法：①连接，②以点A 为圆心，长为半径作弧，再以C 为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点M ；③连接，交于点E ；所以线段即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接∵，，∴四边形是平行四边形．（①）（填推理的依据）∵交于点E ，∴，即点E 是的中点．（② ）（填推理的依据）DE BF EDC FBA DC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DEC BFA ≌AF CE=1x =-227x x ++()22727x x x x ++=++()))2272711751711x x x x ++=++=⨯++=-+=ABC AB DE AC 12DE BC =CD CD AD DM AC DE AM CM ，，AM CD =AD CM =ADCM AC DM ，AE CE =AC∵点D 是AB 的中点，∴．（③ ）（填推理的依据）【答案】见详解【解析】【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；（2）先证明四边形是平行四边形，得出点E 是的中点，再结合然后点D 是的中点，即三角形中位线性质得到．【详解】解：（1）如图，；（2）证明：连接AM ，CM ，∵，，∴四边形是平行四边形．（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）∵AC ，DM 交于点E ，∴，即点E 是中点．（②平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）∵点D 是的中点，∴（③中位线的性质）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分；中位线的性质．21. 如图，四边形中，，，．的12DE BC =-ADCM AC AB 12DE BC =AM CD =AD CM =ADCM AE CE =AC AB 12DE BC =ABCD 90BAD ∠=︒AB AD ==4BC =CD =（1）求的度数；（2）求四边形的面积．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由题意得，，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，且，根据，计算求解即可；（2）根据，计算求解即可．【小问1详解】解：∵，∴，由勾股定理得，，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴的度数为；【小问2详解】解：由题意知，，∴四边形的面积为5．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．熟练掌握三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理是解题的关键．ABC ∠ABCD 135︒1802BADABD ADB ︒-∠∠=∠=2BD =222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒ABC ABD CBD ∠=∠+∠1122ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯ 四边形90BAD ∠=︒AB AD ==180452BAD ABD ADB ︒-∠∠=∠==︒2BD ==(2222420+==222BD BC CD +=BCD △90CBD ∠=︒135ABC ABD CBD ∠=∠+∠=︒ABC ∠135︒11522ABD BCD ABCD S S S AB AD BC BD =+=⨯+⨯= 四边形ABCD22. 在中，，点D 是边上的一个动点，连接．作，，连接．（1）如图1，当时，求证：；（2）当四边形是菱形时，①在图2中画出四边形，并回答：点D 的位置为 ．②若，，则四边形的面积为 ．【答案】（1）见解析，（2）①见解析，为的中点；②【解析】【分析】（1）由，，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形，进而结论得证；（2）①由题意作图如图2，由四边形是菱形，可得，则，由，可得，则，，即为的中点；②如图2，记的交点为，则，，，由勾股定理求，则，根据，计算求解即可．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形，∴；【小问2详解】①解：如图2，Rt ABC △90ACB ∠=︒AB CD AE DC ∥CE AB ∥DE CD AB ⊥AC DE =ADCE ADCE 10AB =8DE =ADCE D AB 24AE DC ∥CE AB ∥AECD 90CDA ∠=︒AECD ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O 5AD =142DO DE ==AC DE ⊥3AO =26AC AO ==12ADCE S AC DE =⨯四边形AE DC ∥CE AB ∥AECD CD AB ⊥90CDA ∠=︒AECD AC DE =∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴为的中点；②解：如图2，记的交点为，∵四边形是菱形，为的中点，，，∴，，，由勾股定理得，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，菱形的性质，勾股定理是解题的关键．23. 如图，四边形中，，，对角线平分，过点A 作的垂线，分别交，于点E ，O ，连接．（1）求证：四边形菱形；（2）连接，若，，求的长．是ADCE AD CD =DAC DCA ∠=∠18090B ACB DAC DCB DCA ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠，B DCB ∠=∠CD BD =AD BD =D AB AC DE 、O ADCE D AB 10AB =8DE =5AD =142DO DE ==AC DE⊥3==AO 26AC AO ==1242ADCE S AC DE =⨯=四边形24ABCD AD BC ∥90BCD ∠=︒BD ABC ∠BD AE BC BD DE ABED CO 3AB =2CE =CO【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，再由等腰三角形的性质得，然后证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）由勾股定理得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，在和中，，，，四边形是平行四边形，又，平行四边形为菱形；【小问2详解】解：∵四边形为菱形，∴，，CO =AB AD =OB OD =()ASA OBE ODA ≌OE OA =ABED CD =BD =CO =AD BC ∥ADB DBE ∠=∠BD ABC ∠ABD DBE ∠=∠ABD ADB ∠=∠AB AD =AE BD ⊥BO DO =AD BC ∥OBE △ODA V DBE ADB OB ODBOE DOA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA OBE ODA ∴ ≌OE OA ∴=∴ABED AB AD = ∴ABED ABED 3BE DE AB ===BO DO =∵，，，∴在中，根据勾股定理得：，∵，为直角三角形，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．24. 在中，，，点D 为射线上一动点（不与点B 、C 重合），点B 关于直线的对称点为E ，作射线，过点C 作的平行线，与射线交于点F ．连接（1）如图1，当点E 恰好在线段上时，用等式表示与的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D 在线段的延长线上时，①依题意补全图形；②用等式表示和的数量关系，并证明．【答案】（1），证明见详解（2）①见详解②，证明见详解【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定，矩形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由轴对称性质，得出再证明，因为，得出得证即可作答．90BCD ∠=︒CD =∴=325BC BE CE =+=+=Rt BCDBD ===BO DO =BCD△12CO BD ==ABC 90ABC ∠=︒AB BC =BC AD DE AB DE AE AF ，．AC DF BD BC ADB ∠AFE ∠2DF BD =45ADB AFE ∠+︒=∠AB AE BD ED ==，，()SSS ADE ADB ≌CF AB ∥45ECD ECF ∠=∠=︒，()ASA CED CEF ≌，（2）①根据题意的描述作图即可；②易得，过点作于点，四边形是正方形，证明，则，再通过角的运算，即可作答．【小问1详解】解：，证明如下：如图：当点E 恰好在线段上时，∵在中，∴，∵点B 关于直线的对称点为E ，∴在和中，∴，∴，∴，，∵，∴在和中，∴ADE ADB ≌A AG CF ⊥G ABCG ()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2DF BD =AC ABC 90ABC AB BC∠=︒=，45BAC ACB ∠=∠=︒AD AB AE BD ED ==，，ADE V ADB AE AB ED BD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ADE ADB ≌90AED ABD ∠=∠=︒AC DF ⊥90CED CEF ∠=∠=︒CF AB ∥45ECF BAC ∠=∠=︒，45ECD ECF ∴∠=∠=︒，CED △CEF △CED CEF CE CEECD ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA CED CEF ≌，∴ ∴，即有；【小问2详解】解：当点在线段的延长线上时①依题意补全图形如下②用等式表示和的数量关系是，证明如下∵点关于直线的对称点为E ，∴，∴，过点作于点，如上图，则，∵，∴∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，在和中，∴，∴，即有，12DE EF DF ==，12BD DE DF ==2DF BD =D BC ADB ∠AFE ∠45ADB AFE ∠+︒=∠B AD ADE ADB ≌90AE AB AEF ABC =∠=∠=︒，12EAD BAD BAE ∠=∠=∠，A AG CF ⊥G 90AGF AGC ∠=∠=︒CF AB ∥90BAG AGF ABC AGC∠=∠=︒=∠=∠ABCG AB BC =ABCG AG AB AE ==Rt AFG △Rt AFE AG AE AF AF=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL AFG AFE ≌FAG FAE EAG ∠==∠2EAG FAE ∠=∠∵∴，∴，∴∴在中，，∴∴．人大附中2023～2024学年度第二学期初二年级数学期中练习附加题说明：1．附加题共4页，共两道大题，9道小题，满分40分，考试时间30分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上作答无效．3．在答题卡上，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．一、填空题（共15分，第1题4分，第2-4题，每题3分，第5题2分）25. 矩形中，，，点E 是边上一点，连接，将沿折叠，使点B 落在点处，连接．（1）如图1，当时，的长为___________．（2）如图2，当点恰好在矩形的对角线上，则的长为___________．【答案】①. 4 ②. 【解析】【分析】（1）由矩形性质得，由折叠得：，，由平行线的性质得：，，进而得出：，，即；90AFE FAE ∠+∠=︒90FAE AFE ∠=︒-∠21802EAG FAE AFE ∠=∠=︒-∠2702BAE BAG EAG AFE∠=∠+∠=︒-∠135.BAD BAE AFE ∠=∠=︒-∠Rt △ABD 90ADB BAD ∠+∠=︒13590ADB AFE ∠+︒-∠=︒45ADB AFE ∠+︒=∠ABCD 6AB =8BC =BC AE ABE AE B 'CB 'CB AE '∥BE B 'ABCD ACAE 90ABE ∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠AEB ECB '∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∠=∠B E EC '=142BE EC BC ===（2）利用勾股定理可得，由折叠得：，，，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可；本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，折叠变换的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识，学会添加辅助线是解题关键．【详解】解：（1）四边形是矩形，，由折叠得：，，，，，，，，，，故答案为：4；（2）如图，点恰好在矩形的对角线上，四边形是矩形，，，，，由折叠得：，，，，，设，则，，在中，，10AC ===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒BE x =B E x '=8CE x =- ABCD 90ABE ∴∠=︒B E BE '=AEB AEB '∠=∠CB AE ' AEB ECB '∴∠=∠AEB EB C ''∠=∠ECB EB C ''∴∠=∠B E EC '∴=12BE EC BC ∴==8BC = 4BE ∴=B 'ABCD AC ABCD 90ABC ∴∠=︒=6AB 8BC=10AC ∴===AB AB '=B E BE '=90AB E ABE '∠=∠=︒1064B C AC AB ''∴=-=-=18090CB E AB E ''∠=︒-∠=︒BE x =B E x '=8CE x =-Rt CB E '△222B E B C CE ''+=，解得：，，在中，；故答案为：4，26. 如图，四边形中， ，的平分线交于点E ，连接．在以下条件：①平分；②E 为中点；③中选取两个作为题设，另外一个作为结论，组成一个命题．（1）请写出一个真命题：题设为___________，结论为___________．（填序号）（2）可以组成真命题的个数为___________．【答案】①. ②， ②. ③， ③. 6【解析】【分析】（1）根据挑选题设为②，结论为③，结合，的平分线交这个两个条件，先证明，再进行边的等量代换，即可作答．（2）注意分类讨论以及逐个分析，不管取哪个作为条件都可以证明，从而利用全等三角形的性质进行边的等量代换或者角的等量代换，即可作答．【详解】解：（1）题设为②，结论为③；理由如下：延长交的延长线于点，∵∴，()22248x x ∴+=-3x =3BE ∴=Rt ABEAE ===ABCD AD BC ∥BAD ∠CD BE BE ABC ∠CD AD BC AB +=AD BC ∥BAD ∠CD ()AAS AED FEC ≌AED FEC △≌△AE BC F AD BC∥DAE F ∠=∠∵E 为中点，∴，在和中，∴，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴（2）由（1）知，题设为②，结论为③是真命题，同理：题设为③，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵∴∴∵CD DE CE =AED △FEC DAE F DEA CEFDE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AED FEC ≌CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=AD BC AB+=AD BC AB BF+==AD CF=AD BC∥∴∵∴∴即E 为中点；当题设为①，结论为②是真命题，过程如下：延长交的延长线于点，∵的平分线交于点E∴，∵∴∴∵平分∴∵∴∴即E 为中点；同理：当题设为②，结论①为是真命题，同理，∴，，∵的平分线交于点E ，∴，∴∴∴DAE F∠=∠DEA CEF∠=∠ ≌DEA CEFDE CE=CD AE BC F BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠AD BC∥BAD DAE F∠=∠=∠AB BF=BE ABC∠EB AF AE EF⊥=，DEA CEF DAE F∠=∠∠=∠， ≌DEA CEFDE CE=CD CF AD =AD BC CF BC BF +=+=BAD ∠CD DAE BAD ∠=∠BAD F∠=∠AB BF=AD BC AB+=则当题设为①，结论为③是真命题，同理：当题设为③，结论为②是真命题，综上共有6个命题：分别是题设为②，结论为③；题设为③，结论为②；题设为①，结论为②；题设为②，结论①；题设为①，结论为③，题设为③，结论为②．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、真命题，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．27. 如图，在正方形中，，点E 为对角线上的动点（不与A ，C 重合），以为边向外作正方形，点P 是的中点，连接，则的取值范围为___________．【解析】【分析】先取的中点O，结合正方形的性质，得证，当时，有最小值，在中，，计算即可作答．【详解】解：如图，取的中点O ，连接，∵四边形、是正方形，∴，，∴，则在和中ABCD 4AB =AC DE DEFG CD PG PG PG ≤<AD ()SAS ODE PDG ≌OEAC ⊥OE Rt AOE △2224OE AE AO +==AD OE DEFG ABCD 90ODE EDC ︒∠+∠=90PDG EDC ∠+∠=︒ODE PDG ∠=∠ODE PDG △OD OP ODE PDGDE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴，当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，，∵，∴，在中，，即，解得，∴．当点运动到点的时候，如图：此时即为点H 的位置，此时正方形的边长最大且为则的值最大，此时∴则．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．28.如图，正方形ABCD 边长为2，点E 是射线AC 上一动点(不与A ，C 重合)，点F 在正方形ABCD 的外角平分线CM 上，且CF=AE ，连接BE ， EF ， BF 下列说法：①的值不随点E 的运动而改变的()SAS ODE PDG ∴ ≌OE PG =OE AC ⊥OE AOE △OE AE =4AD AB ==122AO AB ==Rt AOE △2224OE AE AO +==224OE =OE =OE E C G DEFG 4CD AD ==PH PH ===PG PG ≤<PG ≤<②当B ，E ， F 三点共线时，∠CBE=22.5°；③当△BEF 是直角三角形时，∠CBE=67.5°；④点E 在线段AC 上运动时，点C 到直线EF 的距离的最大值为1；其中正确的是__________（填序号）．【答案】①②④【解析】【分析】连接、，由正方形的对称性可知，，，证明，得出，，证出，证出是等腰直角三角形得出，因此，得出①正确；当，，三点共线时，证出，，，四点共圆，由圆周角定理得出，证出，得出，求出，②正确；当是直角三角形时，证出，得出，，③不正确；当点在线段上运动时，过点作于，则，最大时，与重合，即，证出是的中位线，得出，④正确；即可得出结论．【详解】解：连接、，如图1所示：由正方形的对称性可知，，四边形是正方形，，，点是正方形外角平分线上一点，，，在和中，，，，，ED DF BE DE =CBE CDE ∠=∠()ABE CDF SAS ∆≅∆BE DF =ABE CDF ∠=∠DE DF =EDF∆EF=EF B E F E C F D BFC CDE ∠=∠CDE CBE =∠∠CBF CFB ∠=∠22.5CBF ∠=︒BEF ∆9045135BED ∠=︒+︒=︒1(36013590)67.52CBE ∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ CQ CH CD EF ⊥QE ACD ∆112CQ DQ CD ===ED DF BE DE =CBE CDE∠=∠ ABCD AB CD ∴=45BAC ∠=︒ F ABCD CM 45DCF ∴∠=︒BAC DCF ∴∠=∠ABE ∆CDF ∆AB CD BAC DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴∆≅∆BE DF ∴=ABE CDF ∠=∠，，，即，是等腰直角三角形，，的值不随点的运动而改变，①正确；当，，三点共线时，如图2所示：，，，，四点共圆，，，，，，，，②正确；当是直角三角形时，如图3所示：是等腰直角三角形，，DE DF ∴=90ABE CBE ∠+∠=︒ 90CDF CDE ∴∠+∠=︒90EDF ∠=︒EDF∴∆EF ∴=EF ∴=∴EF BEE B EF 90ECF EDF ∠=∠=︒ E ∴C F D BFC CDE ∴∠=∠ABE ADE ∠=∠ 90ABC ADC ∠=∠=︒CDE CBE ∴∠=∠CBF CFB ∴∠=∠45FCG CBF CFB ∠=∠+∠=︒ 22.5CBF ∴∠=︒BEF ∆EDF ∆ 9045135BED ∴∠=︒+︒=︒，，③不正确；当点在线段上运动时，如图4所示：过点作于，则，最大时，与重合，即，当时，，，是的中位线，，④正确；综上所述，①②④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．29. 如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E ，使，连接，点M ，N 分别是线段上的动点，连接，则的最小值为___________．1(36013590)67.52CBE ∴∠=︒-︒-︒=︒67.5CBF ∴∠<︒E AC C CQ EF ⊥Q CQ CH …CQ ∴CQ CH CD EF ⊥CD EF ⊥//EF AD CF CE AE ==QE ∴ACD ∆112CQ DQ CD ∴=== ABCD 3AB =4BC =60ABC ∠=︒AD 1DE =BE AE BE ，MN 12MN BN +【解析】【分析】如图，作于，于，于，则四边形是矩形，，由题意可求，，，则，，由，可知当三点共线且时，最小，为，求的长，进而可求最小值，【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形，∴，∵平行四边形中，，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴当三点共线且时，最小，为，∵，∴，由勾股定理得，，∴，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，等边对等角，勾股定理NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG AH 12MN BN +NF BC ^F AH BC ⊥H MG BC ⊥G AHGM MG AH =ABCD 3AB =4BC =1DE =60ABC ∠=︒3AE AB ==120BAC ∠=︒30ABE AEB ∠=∠=︒30EBC ∠=︒12NF BN =12MN BN MN NF +=+M N F 、、MF BC ⊥12MN BN +MG =30BAH ∠︒1322BH AB ==AH ==12MN BN +30︒等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键．二、解答题（共25分，第6题5分，第7题4分，第8-9题，每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．30. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为，其顶点称为格点，四边形的四个顶点都在格点上，请运用课本所学知识，仅用无刻度的直尺，在给定网格中按要求作图．（1）①线段的长为 个单位长度；②在图1中求作边的中点E ；（2）在图中求作边上一点，使平分．注：保留作图痕迹，同时标出必要的点；当你感觉方法比较复杂时，可用文字简要说明作法．【答案】（1）①；②作图见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）①利用勾股定理即可求解；②取格点、，连接交于点，则点为所求；（2）取格点、，连接、相交于点，作射线交于点，则点为所求．【小问1详解】解：①，故答案为：；②如图，点为所求作图形，【小问2详解】解：如图，点为所求，87⨯1ABCD CD CD 2AB F CF BCD ∠5M N MN AC E E G H AQ DH Q CF AB FF 5CD ==5E F。
北京人大附中八年级上学期数学期中考试试卷(附答案)
答案: 2019-10-29 — 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ACDDBCABD C 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 9. 由题可知 C 点为矩形纸片中间的点，剪掉的三角形一条边在 CD 上，另外两条边中的短边靠近中心，
长边靠外，可知 D 符合题意．
10.
11.(2, −1)
x3 − 10x2 − x + 2，直接写出 (4p − 2q − 1) (2m − n − 1) 的值
．
27. 已知：△ABC 中，AB = AC，点 D 是 BC 的中点，若 O 在 AD 上，连接 BO 并延长交 AC 于点 E．
(1) 如图 1，若 ∠BAC = 60◦，且 BE 是 △ABC 的高，用等式表示 OA 与 OD 的数量关
(1) 计算 3⋆ (−2) 的值是
；
(2) 若 x = 0⋆ (m2 + 2m + 1)，y = m⋆1，其中 m 为任意实数，比较 x，y 的大小．
25. 在 △ABC 中，AB = AC，点 D 在 AB 上．
(1) 如图 1，若 ∠ABC = 70◦，且 DA = DC，则 ∠BDC 的度数是
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
11. 点 M (2, 1) 关于 x 轴的对称点 N 的坐标是
．
12. 计算 (2 − π)0 =
．
13. 若分式 1 有意义，则 x 的取值范围是
．
3−x
14. 若 m − n = 2，m + n = 5，则 m2 − n2 的值为
．
15. 如图，已知射线 OM ．以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点 A，再以点 A
2023北京海淀人大附中初二期中(下)数学试卷及答案
2023北京人大附中初二（下）期中数 学一、选择题：（每小题3分，共30分）1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）2. 下列各组数中不能．．作为直角三角形的三边长的是（ ）A. 1，1B. 12C. 4，5，6D. 6，8，103. 如图，ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，且10AC BD ，3AB =．则OCD 的周长为（ ）A. 13B. 8C. 7D. 54. 下列等式不成立的是（ ）2=6==2=5. 如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ） A. AB CD =，AD BC = B. ABDC ，AD BCC. ABDC ，AB DC = D. AB CD =，AD BC ∥6. 如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A 、B 、C 、D ，且每个小正方形的边长都是1．下列选项中的的是（ ）A. 线段ABB. 线段BCC. 线段CDD. 线段AD7. 实数a ，b ）A. 2a −B. 2b −C. 22b a −D. 08. 如图，在ABCD 中，42B ∠=︒，E 为AD 上一点，且DE DC =，过D 作DF EC ⊥交BC 于F ，则DFC ∠的度数为（ ）A. 14︒B. 18︒C. 21︒D. 22︒9. 某工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照腰长、底长和底边上高的顺序进行了记录，其中记录有错误的是（ ） A. 26，10，24 B. 10，16，6C. 17，30，8D. 13，24，510. 如图，在ABCD 中，2=AD AB ，F 是AD 的中点，作CE AB ⊥于E ，连接CF 、EF ，下列结论不成立的是（ ）A. 2BCD DFC ∠=∠B. EF CF =C. 13AEF DFE ∠=∠ D. 2BEC EFC S S =△△二、填空题：（第11－19题每空2分，第20题每空1分，共22分）11. x 的取值范围是______．12. 分解因式：mn 2﹣m=__________ 13. 方程215x x=+的解为___________．14. 当1x =时，代数式x 2＋2x ＋2的值是__________ 15. 如图，在ABCD 中，120A ∠=︒，2AD =，作CE AB ⊥于E ，则ECB ∠=______；CE =______．16. 已知2431849=，2441936=，2452025=，2462116=．若n 为整数且1n n <<+，则n的值是______．17. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．在转动其中一张纸条的过程中，线段AD 和BC 的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是____________．18. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =，D ，E 分别是边AB 和BC 上的点，把ABC 沿着直线DE 折叠，若B 恰好落在AC 中点M 上，则CE 长为______．19. 如图，点A ，B 为定点，直线l AB ∥，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA PB ，的中点，对于下列各值：①线段MN 的长； ②PAB 的周长； ③PMN 的面积； ④APB ∠的大小；⑤直线MN 与AB 之间的距离．其中会随点P 的移动而发生变化的是______（填序号）．20. 如图，等边ABC 边长为2，点D 为边BC 延长线上一动点，CD DE =，120∠=︒BDE ，点F 是线段BE 的中点，连接DF CF 、．（1）用等式表示线段DF和AD的数量关系为：______；（2）线段CF长度的最小值为：______．三、解答题：（第21题8分，第22－25题每小题5分，第26题6分，第27、28题每小题7分，共48分）21. 计算：（1（2．22. 解不等式组：274,4.2x xxx+>−⎧⎪⎨+<⎪⎩23.，其中：3a=，2b=．24. 勾股定理是几何中的一个重要定理，且贴近人们的生活实际，古往今来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，出现了诸多证法．下面是证明勾股定理的两种图形构造方法，选择______其中一种，补全后续证明过程．ABC中，22=c．个全等的该直角三角形围成一个大正方共线，点D、E、F共方法二证明：如图，将围成一个梯形，即使点QAB为等腰直角三角形．25. 如图，在ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AE CF =．（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若DE 为ADC ∠的平分线，且3AD =，2EB =，求ABCD 的周长．26. 在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x 的根式方程1=，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）． 材料一：（1）解关于x 1=；（2）解关于x 1x =−．27. 已知ABCD ，2BC =．（1）如图1，若以BC 为边作等边BCE ，且点E 恰好在边AD 上，直接写出此时ABCD 的面积；（2）如图2，若以BC 为斜边作等腰直角BCF △，且点F 恰好在边AD 上，过C 作CG CD ⊥交BF 于G ，连接AG ． ①依题意将图2补全；②用等式表示此时线段CD CG AG ，，之间的数量关系，并证明；（3）如图3，以BC 为边作BCMN ，且60CMN ∠=︒，3BN =．若NA BD ⊥，直接用等式表示此时BD 与NA 的数量关系．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于没有公共点的两个图形M 、N 给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，若P 、Q 两点间距离的最大值和最小值分别为1d 和2d ，则称比值12d d 为图形M 和图形N 的“距离关联值”，记为(),k M N ．已知ABCD 顶点坐标为()1,1A −，()1B −，()1,1C −，)D．（1）若E 为ABCD 边上任意一点，则OE 的最大值为______，最小值为______，因此k （点O ，ABCD ）＝______；（2）若()1,F x m 为ABCD 对角线BD 上一点，()2,G x m 为ABCD 对角线AC 上一点，其中12x x ≠．①若12m =，则k （线段FG ，ABCD ）=______；②若6k ≤（线段FG ，ABCD ）8＜，求m 的取值范围；（3）若HIJK 的对角线交点为O ，且顶点(),H p n 在直线AC 上，顶点(),K q n 在直线BD 上，其中p q <，请直接用含n 的代数式表示(),k HIJK ABCD ．参考答案一、选择题：（每小题3分，共30分）11. 【答案】3x ≥【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解． 【详解】解：由题意得：30x −≥， ∴3x ≥； 故答案为3x ≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 【答案】m （n+1）（n ﹣1） 【解析】【分析】先提取公因式m ，再利用平方差公式a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）进行二次分解． 【详解】mn 2﹣m=m （n 2﹣1）=（n+1）（n ﹣1） 考点：提公因式法与公式法的综合运用 13. 【答案】x =5 【解析】【分析】观察可得最简公分母是x (x +5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解． 【详解】解：215x x=+ 方程的两边同乘x (x +5),得：2x =x +5, 解得：x =5, 经检验：把x =5代入x (x +5)=50≠0. 故答案为：x =5.【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根. 14. 【答案】18 【解析】【分析】首先把x 2＋2x ＋2化为（x+1）2+1，然后把1x =代入，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：x 2＋2x ＋2=（x+1）2+1，当1x =时，原式=)211118++=．故答案为：18．【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 15.【答案】 ①. 30︒##30度 ②【解析】【分析】利用平行四边形的性质求得=60B ∠︒，根据三角形内角定理即可求得ECB ∠；利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求得CE 的长． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，120A ∠=︒， ∴18060B A ∠=︒−∠=︒， ∵CEAB ⊥，∴90CEB ∠=︒，∴906030ECB ∠=︒−︒=︒；∵四边形ABCD 是平行四边形，2AD =， ∴2BC AD ==， ∴112BE BC ==，CE ==故答案为：30︒【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 16. 【答案】44 【解析】<<，即4445<<，从而可得答案．【详解】解：∵193620232025<<，<<4445<<，又∵1n n <<+，n 为整数，∴44n =． 故答案为：44．【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 17. 【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【解析】【分析】根据题意可证明四边形ABCD 是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得到AD BC =． 【详解】解：蕴含的数学原理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∵AD BC ∥，AB CD ∥， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC =．故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形对边相等；【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”． 18. 【答案】5516【解析】【分析】在Rt ABC △中，利用勾股定理求得6AC =，结合点M 是AC 中点可得3CM =，由翻折可知ME BE BC CE ==−，在Rt CME △中运用勾股定理求解即可．【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =，6AC ∴==，点M 是AC 中点， 132CM AC ∴==， 由翻折可知ME BE BC CE ==−， 在Rt CME △中，222CM CE ME +=，()22238CE CE ∴+=−，解得：5516CE =， 故答案为：5516．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握折叠的性质，并运用勾股定理正确计算． 19. 【答案】②④ 【解析】【分析】根据中位线，平行线间的距离处处相等，进行判断即可． 【详解】解：∵点M ，N 分别为PA PB ，的中点， ∴MN 是ABP 的中位线， ∴12MN AB =，∥MN AB ，∵AB 为定值，∴MN 为定值，①不符合要求； PAB 的周长为PA PB AB ++，∵PA PB 、为变化的量，∴PAB 的周长变化，②符合要求；∵l AB ∥，∥MN AB ，∴MN l ∥，∴P 到MN 的距离d 为定值， ∴2PMN MN d S ⨯=为定值，③不符合要求； 设∠PAB 减少的量为α，PBA ∠增加的量为β，由题意知，0PAB α<<∠，0180PBA β<<︒−∠， ∵180PAB PBA APB ∠+∠+∠=︒，α与β不一定相等，∴APB ∠的大小随着P 的变动而变化，④符合要求；∵∥MN AB ，直线MN 与AB 之间的距离是定值，⑤不符合要求；∴发生变化的为②④，故答案为：②④．【点睛】本题考查了中位线，平行线之间距离处处相等．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20. 【答案】 ①. 2AD DF = ②. 12##0.5【解析】【分析】（1）延长DF 至点M DF FM =，连接BM 、AM ，先证明()SAS BFM EFD ≌△△，得出BM DE MBF DEF =∠=∠，，则BM DE ∥，再证()SAS ABM ACD ≌△△，得AM AD BAM CAD =∠=∠，，据此即可求解；（2）连接CE ，取BC 的中点N ，作射线NF ，先由等腰三角形的性质得30DCE ∠=︒，再由三角形中位线定理得NF CE ∥，则30CNF DCE ∠=∠=︒，得出点F 的轨迹为射线NF ，且30CNF ∠=︒，当CF NF ⊥时，CF 最短，然后由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：（1）如图1，延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，∵点F 是线段BE 的中点，∴BF EF =，在BFM 和EFD △中，BF EF BFM EFD FM FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BFM EFD ≌△△，∴BM DE MBF DEF =∠=∠，，∴BM DE ∥，∵CD DE =，120∠=︒BDE ，∴CD DE BM ==，∴18012060MBD ∠=−=︒︒︒，∵ABC 是等边三角形，∴60AB AC ABC ACB =∠=∠=︒，，∴6060120ABM ABC MBD ∠∠∠︒︒=+=+=︒，∴ABM ACD ∠=∠，在ABM 和ACD 中，AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABM ACD ≌△△，∴AM AD BAM CAD =∠=∠，，∴60MAD MAC CAD MAC BAM BAC ∠∠∠∠∠∠=+=+==︒，∴AMD 是等边三角形，∴2==AD DM DF ；故答案为：2AD DF =；（2）如图2，连接CE ，取BC 的中点N ，作射线NF ，∵CD DE =，120∠=︒BDE ，∴30DCE ∠=︒，∵点N 是BC 的中点，∴NF 是BCE 的中位线，∴NF CE ∥，∴30CNF DCE ∠=∠=︒，∴点F 的轨迹为射线NF ，且30CNF ∠=︒，当CF NF ⊥时，CF 最短，∵2AB BC ==，∴1CN =，在Rt CNF △，30CNF ∠=︒， ∴1122CF CN ==， ∴线段CF 长度的最小值为：12． 故答案为：12．【点睛】本题考查了等边三角形和判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，作出合适的辅助线，是解题的关键． 三、解答题：（第21题8分，第22－25题每小题5分，第26题6分，第27、28题每小题7分，共48分）21. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式；（2）先计算二次根式的除法，然后再计算二次根式的乘法即可．【小问1详解】解：原式==；【小问2详解】解：原式=5==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用二次根式运算法则是解题的关键．22. 【答案】14x <<【解析】【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可． 【详解】解：27442x x x x +>−⎧⎪⎨+<⎪⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式②得4x <，故所给不等式组的解集为：14x <<．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．23. 【答案】a b −，1．【解析】【分析】利用二次根式的性质和平方差公式化简，然后代入求值即可．221·ab=−−a b =− a b =−，当3a =，2b =时，原式32=−1=．【点睛】题目主要考查二次根式的化简求值及平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 24. 【答案】方法一，见解析；或方法二，见解析【解析】【分析】方法一，根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可；方法二，根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可．【详解】解：方法一，证明：如图，将4个全等的该直角三角形围成一个大正方形HCDF ，即分别使点C 、B 、D 共线，点D 、E 、F 共线，点F 、G 、H 共线，此时四边形ABEG 也是正方形． ∵12AHG GFE EDB BCA S S S S ab ====△△△△，2ABEG S c =正方形，()2CDFH S a b =+正方形， 又∵AHG GFE EDB BCA ABEG CDFH S S S S S S ++++=正方形正方形△△△△， ∴()22142ab c a b ⨯+=+，整理得22222ab c a ab b +=++， ∴222+=a b c ；方法二证明：如图，将2P 、A 、C 共线，此时QAB 为等腰直角三角形．∵()()()21122PQBC S b a a b a b =++=+梯形，12APQ BCA S S ab ==△△，212ABQ S c =△， 又∵APQ BCA ABQ PQBC S S S S ++=梯形△△△， ∴()221112222ab c a b ⨯+=+， ∴222+=a b c ．【点睛】本题主要考查勾股定理的验证，解题关键是利用面积相等建立等量关系，判定勾股定理成立． 25. 【答案】（1）见详解 （2）16【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等的性质和AE CF =可得BE DF =，进而可得四边形DEBF 是平行四边形．（2）根据（1）可得EDC AED ∠=∠，根据DE 为ADC ∠的平分线，可得ADE 为等腰三角形，即可得出AB 的值，即可解答．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，AB CD =，∵AE CF =，∴BE DF =，∴四边形DEBF 是平行四边形．【小问2详解】解：∵AB CD ，∴EDC AED ∠=∠，∵DE 为ADC ∠的平分线，∴ADE EDC ∠=∠，∴ADE AED ∠=∠，∴ADE 为等腰三角形，∴3AE AD ==，∴325AB AE BE =+=+=， ABCD 的周长为：()22816AB AD +=⨯=．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的周长，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解答的关键．26. 【答案】（1）3x =；（2）无解【解析】【分析】仿照例题，两边平方，得到整式方程，解整式方程，再检验即可求解．【小问1详解】解：两边平方得：21x −=．解得：3x =．检验：将3x =代入原方程，成立．∴原方程的解为3x =；【小问2详解】解：两边平方得：()22431x x x +−=−． 解得：23x =． 检验：当23x =时，2111033x −=−=−<，即23x =是增根． ∴原方程无解．【点睛】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的步骤是解题的关键．注意一定要验根．27. 【答案】（1）ABCD 的面积为（2）①见解析；②CG CD AG =+；理由见解析（3）2219BD NA +=．【解析】【分析】（1）作EI BC ⊥于点I ，利用等边三角形的性质求得BI 的长，再利用勾股定理求得EI 的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可；（2）①依照题意补全图形即可；②延长CF 交BA 的延长线于点H ，延长CG 交BA 的延长线于点J ，利用ASA 证明HBF GCF ≌△△，推出GC BH =，FG FH =，再证明()SAS AFG AFH ≌△△，推出AG AH =，即可证明CG CD AG =+；（3）连接BM ，作BK MN ⊥并交MN 的延长线于点K ，推出四边形ADMN 是平行四边形，得到BMD 是直角三角形，22222BD DM BD NA BM +=+=，求得BM 即可解决问题．【小问1详解】解：作EI BC ⊥于点I ，∵BCE 是边长为2的等边三角形， ∴112BI IC BC ===，∴EI ==，∴此时ABCD 的面积为2BC EI ⨯==；【小问2详解】解：①补全图形如图，②CG CD AG =+；理由如下，延长CF 交BA 的延长线于点H ，延长CG 交BA 的延长线于点J ，∵BCF △是以BC 为斜边的等腰直角三角形，∴BF CF =，90BFC BFH ∠=∠=︒，45FBC ∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AB CD =，∴45AFB FBC AFH ∠=∠=︒=∠，∵四边形ABCD 是平行四边形，CG CD ⊥，∴90BJG GFC ∠=∠=︒，∴9090HBF BGJ FGC GCF ∠=︒−∠=︒−∠=∠，在HBF 和GCF 中，90HFB GFC BF CF HBF GCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA HBF GCF ≌△△，∴GC BH =，FG FH =，又∵AFB AFH ∠=∠，FA FA =，∴()SAS AFG AFH ≌△△，∴AG AH =，∴CG BH BA AH CD AG ==+=+；【小问3详解】解：2219BD NA +=．【点睛】本题考查了平行四边的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．28. 【答案】（1）2，1，2（2）①6；②3152m −<≤−或1325m ≤< （3）当01n <<时，()()21,1n k HIJK ABCD n +=−当n>1时()()121,n k HIJK ABC n D +=−【解析】 【分析】（1）如图1，过A 作AR BC ⊥于R ，过C 作CS AD ⊥于S ，AD 与y 轴交于T ，则四边形ARCS 是正方形，由题意知，当E 与B 或D 重合时，OE 最大，当E 与T 重合时，OE 最小，求2OB ==，1OT =，根据k (点O ，ABCD ) OB OT=，计算求解即可；（2）①如图2，设直线BD 的解析式为y kx =，则1=，解得3k =，即3y x =，122F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，由题意知，线段GF 上的点与ABCD 上的点的最大距离为FB ，最小距离为12，根据k(线段FG ，ABCD )定义求解即可；②将()1,F x m 代入3y x =，解得1x =，即)F m ，，分当01m <<时；当1m >时；当10m −<<时；当1m <−时；表示出最大与最小距离，然后解一元一次不等式组求解满足要求的解即可；（3）如图3，将()K q n ，代入3y x =，解得q =，即)K n ，，由p q <，可得0n >，由（2）可知，将HIJK 的边HK 等同于线段GF 时求k 的求解方法求解即可．【小问1详解】解：如图1，过A 作AR BC ⊥于R ，过C 作CS AD ⊥于S ，AD 与y 轴交于T ，则四边形ARCS 是正方形，由题意知，当E 与B 或D 重合时，OE 最大，当E 与T 重合时，OE 最小，∴2OB ==，1OT =，∴OE 最大为2，OE 最小为1，k (点O ，ABCD ) 2OB OT==， 故答案为：2，1，2；【小问2详解】解：如图2，设直线BD 的解析式为y kx=，则1=，解得3k =，∴3y x =， 当12m =，x =，∴12F ⎫⎪⎪⎝⎭，， 由题意知，线段GF 上的点与ABCD上的点的最大距离为3FB ==，最小距离为12，∴k (线段FG ，ABCD )3612==， 故答案为：6；②解：∵ABCD顶点坐标为11A −（，）) ∴对角线BD 、AC 相交于原点O 且与x 轴夹角分别为30°、45°。
人大附中八下期中数学试卷
人大附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共36分，每小题3分）1．（3分）下列式子：，，，，，其中是分式的有（）：分式的定义．分析：根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，可选出答案．解答：解：，，是分式，故选：C．点评：此题主要考查了分式的概念，关键是把握分母上有字母．（3分）下列四个式子中，正确的是（）．B．C．D．分析：根据分式的基本性质逐项进行判断，选择正确答案．解答：解：A、，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项错误；D、，故本选项正确．故选；D．点评：此题考查了分式的基本性质，对分式的化简，正确理解分式的基本性质是关键．．．D．（﹣3）﹣2=9分析：根据负整数指数幂的法则进行计算．解答：解：（﹣3）﹣2==，故D错误．故选D．点评：本题主要考查了负整数指数幂的运算，属于基础题型．5．（3分）（2005•泸州）已知一个矩形的面积为24cm2，其长为ycm，宽为xcm，则y与x 之间的函数关系的图象大致是（）．B．C．D．6．（3分）如图，正比例函数y=kx与反比例函数的图象相交于A、B两点，AC⊥y轴，垂足为C，若△ABC的面积为4，则此反比例函数解析式为（）A．B．C．D．：反比例函数系数k的几何意义．分析：首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O 为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于2，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值，即得到这个反比例函数的解析式．解答：解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=4÷2=2，又∵A是反比例函数y=图象上的点，且AC⊥y轴于点C，∴△AOC的面积=|k|，∴|k|=2，∵k＞0，∴k=4．故这个反比例函数的解析式为．故选A．点评：本题主要考查了三角形一边上的中线将三角形的面积二等分及反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．7．（3分）（2003•河北）赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完．他读了前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下列方程中，正确的是（）．=14 B．=14 C．=1D．=14的时间=14．解答：解：读前一半用的时间为：，读后一半用的时间为：．方程应该表示为：．故选D．点评：本题主要考查的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．8．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=k（x+1）与的图象大致可能为（）．B．C．D．的象限，再做出选择即可．解答：解：∵y=k（x+1）可转化为y=kx+k，当k＞0时，y=kx+k的图象过一、二、三象限；的图象过一、三象限；当k＜0时，y=kx+k的图象过二、三、四象限；的图象过二、四象限；可见，符合条件的只有C．故选C．点评：本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数的性质是解题的关键．9．（3分）下列命题中，正确的有（）①两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．②有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形．③直角三角形中，中位线的长必等于斜边上的中线的长．④三个角都相等的四边形是矩形．⑤对角线互相垂直平分的四边形是正方形．10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，平行于边的两条线段EF，CH把平行四边形ABCD 分成四部分，分别记这四部分的面积为S1，S2，S3和S4，则下列等式一定成立的是（）11．（3分）如图，正方形ABCD中，AE=BF，下列说法中，正确的有（）①AF=DE；②AF⊥DE；③AO=OF；④S△AOD=S四边形BEOF．12．（3分）如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC a O a的面积为（）．B．C．D．：规律型．分析：以AB为底边，平行四边形ABC1O1的高是矩形ABCD的高的，以此类推每一次作的平行四边形的高是上一次平行四边形的高的，所以所作平行四边形的面积等于上一次所作平行四边形的面积的，所以ABC a O a的面积为5×．解答：解：根据矩形的对角线相等且互相平分，平行四边形ABC1O1底边AB上的高为BC，平行四边形ABC2O2底边AB山的高为×BC=×BC，所以平行四边形ABC n O n底边AB上的高为×BC，∵S矩形ABCD=AB•BC=5，∴S平行四边形ABCaOa=AB•×BC=5×．故选C．点评：本题利用矩形对角线相等且互相平分的性质，探索并发现规律是解题的关键．二、填空题：（本题共30分，每空3分）13．（3分）当x=2时，分式的值为零．14．（3分）如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，DA=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是246．三角形，则四边形ABCD的面积=直角△BCD的面积+直角△ABD的面积．解答：解：连接BD．∵∠C=90°，BC=12，CD=16，∴BD==20；在△ABD中，∵BD=20，AB=15，DA=25，152+202=252，即AB2+BD2=AD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB•BD+BC•CD=×15×20+×12×16=150+96=246．故答案为246．点评：本题考查勾股定理及其逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三15．（3分）在反比例函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜0＜x2而y1＞y2，则k的取值范围是k＜﹣3．象限，然后推知k+3的符号，从而求得k的取值范围．解答：解：∵反比例函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＜0＜x2而y1＞y2，∴该反比例函数的图象是y随x的增大而减小，16．（3分）若一次函数y=ax+b与反比例函数的图象如图所示，则不等式的解集为x＞2和﹣1＜x＜0．：数形结合．分析：求不等式的解集，事实上是求一次函数y=ax+b与反比例函数的图象与不等式的关系，由图可直接解答．解答：解：由图可知，当x＞2和﹣1＜x＜0时，，故答案为x＞2和﹣1＜x＜0．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，重点考查数形结合在解题中的应用．17．（6分）如图，在直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，M、N分别为BD、AC 的中点，AB=4，AD=2，∠ABC=60°，则CD的长为2，MN的长为1．∴AE=CD，在Rt△AEB中，AB=4，∠ABC=60°，∴sin∠ABE==，∴AE=2，∴CD=2，∴BE=2，∵M、N分别为BD、AC的中点，∴F点也是AB的中点，∴FN是三角形ABC的中位线，∴FN=BC=（BE+EC）=（2+2）=2，∵MF是三角形ABD的中位线，∴FM=AD=1，∴MN=FN﹣FM=1．故答案为2、1．点评：本题主要考查直角梯形和三角形中位线定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正18．（3分）如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为2．长度．解答：解：连接EF，DF，∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，∴在Rt△CEB中，EF=，在Rt△BDC中，FD=，∴FE=FD=9，即△EFD为等腰三角形，又∵G是ED的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，EG=DG=5，∴FG⊥DE（等腰三角形边上的三线合一），在Rt△GDF中，FG===2．故答案为：2．点评：此题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等19．（3分）若x+y=﹣4，xy=﹣3，则式子的值为．分析：先通分计算两个分式的和，再把x+y、xy的值代入通分后的式子，进行计算即可．解答：解：原式==，当x+y=﹣4，xy=﹣3时，原式==，故答案是．点评：本题考查了分式的化简求值，解题的关键是注意通分和整体代入．20．（3分）如图，C为线段AB上一点，正方形ADEF和正方形BCDG的面积分别为10cm2和5cm2，则△EDG的面积为 2.5cm2．两三角形面积相等即将△EDG的面积转化为△ACD的面积即可．解答：解：连接CE，AE，∵正方形ADEF和正方形BCDG的面积分别为10cm2和5cm2，∴AD=，CD=，∴AC==，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠DAC=∠ADC=45°，∴∠EDC=∠EDG=135°，∵DG=DC，DE=DE，∴△EDC≌△EDG，∵∠EAD=45°，∴∠EAC=90°，∴AE∥CD∴S△EDC=S△ACD，∴S△EDG=S△ACD，∵S△ACD=××=cm2，∴S△EDG==2.5cm2．故答案为2.5．点评：本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的运用，题目21．（3分）如图，边长为6的菱形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别为BD、BC边上的动点，则CE+EF的最小值为3．值即为EF+CE的最小值．解答：解：连接AF，∵菱形中相对的两个顶点A与C关于对角线BD对称，∴AF的长即为EF+CE的最小值，∵垂线段最短，∴当AF⊥BC时，AF的长最小，∵∠ABC=60°，边长为6，∴AF=AB•cos∠ABC=6×=3，∴EF+CE 的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查了菱形的性质及对称点的性质，解题的关键是结合菱形的性质得到菱形的相三、解答下列各题：（本题共24分）22．（6分）计算：（1）（2）．（2）先分解因式，再约分即可．解答：解：（1）原式=﹣===；（2）原式=••=﹣．点评：本题主要考查对分式的加减、乘除的理解和掌握，能熟练地根据分式的加减、乘除法23．（8分）解下列分式方程：（1）（2）．项，合并同类项，把x的系数化为1，进行计算即可，注意不要忘记检验．解答：解：（1）去分母得：2x（2x+5）﹣2（2x﹣5）=（2x+5）（2x﹣5），去括号得：4x2+10x﹣4x+10=4x2﹣25，移项得：4x2+10x﹣4x﹣4x2=﹣25﹣10，合并同类项得：6x=﹣35，把x的系数化为1得：x=﹣，检验：把x=﹣代入最简公分母（2x+5）（2x﹣5）≠0，∴原分式方程的解为：x=﹣．（2）去分母得：5x+2+3x•x=3x•（x+1），去括号得：5x+2+3x2=3x2+3x，移项得：5x+3x2﹣3x2﹣3x=﹣2，合并同类项得：2x=﹣2把x的系数化为1得：x=﹣1，检验：把x=﹣1代入最简公分母x（x+1）=0，∴原分式方程无解．点评：此题主要考查了解分式方程，关键是在解出未知数的值后，不要忘记检验，很多同学24．（5分）先化简，再求值：，其中x=5．把x=5代入进行计算即可．解答：解：原式=×﹣=﹣=，当x=5时，原式==．点评：本题考查的是分式的化简求值，解答此题的关键是熟知分式的混合运算需特别注意运25．（5分）如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两个点且DF=BE，试猜想AE与CF有何数量关系及位置关系并加以证明．猜想：证明：结合DF=BE可证明△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质可得出结论．解答：解：猜想AE=CF．AE∥CF，证明：∵DF=BE，∴DF﹣EF=BE﹣EF，即DE=BF，又∵ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF．∴AE=CF，∠AED=∠CFB，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF．点评：本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，根据平行四边形的性质得出四、解答下列各题：（本题共17分）26．（5分）已知反比例函数与一次函数的图象交于点M（﹣1，m），，求这两个函数的解析式．：数形结合．分析：设反比例函数解析式为y=，将代入反比例函数解析式即可求出k的值，从而得到反比例函数解析式；再将M（﹣1，m）代入反比例函数解析式，求出m的值，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可．解答：解：设反比例函数解析式为y=，将代入反比例函数解析式得：k=×（﹣2）=﹣3．则得到函数解析式为y=﹣，将M（﹣1，m）代入解析式得，m=3，可得M（﹣1，3）．设一次函数解析式为y=mx+b，将M（﹣1，3），分别代入解析式得，解得．可得一次函数解析式为y=﹣2x+1．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求出函数解析式是解27．（5分）如图，C为线段AB上一动点，过A作AD⊥AB且AD=3，过B作BE⊥AB且BE=1，连接DC、EC，若AB=5，设AC=x．（1）DC+EC的长为+（用含x的式子表示，不必化简）；（2）当点C的位置满足AC=时，DC+EC的长最小，最小值是；（3）根据以上结论，你能通过构图求出的最小值吗？请画出你的示意图，适当加以说明并求出此最小值．（3）根据（2）的求解思路画出示意图并利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：（1）∵AB=5，AC=x，∴BC=5﹣x，∵AD=3，BE=1，∴DC==，EC==，∴DC+EC的长为：+；（2）如图，根据两点之间线段最短可知，当点C、D、E在同一直线时，DC+EC的长最小，此时，∠ACD=∠BCE（对顶角相等），∠A=∠B=90°（垂直定义），∴△ACD∽△BCE，∴=，即=，解得x=，此时，DC+EC=+=+=；（3）如图所示，根据（2）中的求解思路，当=时，即x=时，有最小值，此时==．点评：本题考查了利用轴对称求最短路线的问题，根据两点之间线段最短的性质以及相似三28．（7分）（1）如图1，已知△ABC与△DBC的面积相等，试判断直线AD与BC的位置关系并加以证明．判断：AD∥BC；（2）如图2，点A、B在反比例函数的图象上，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，连接CD．利用（1）中的结论，证明：AB∥CD．（3）若（2）中的其他条件不变，只改变A、B的位置如图3所示，请画出示意图，判断AB与CD是否平行，并加以证明．解答：证明：（1）分别过点A，D，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°，∴AG∥DH∵△ABC与△BDC的面积相等，∴AG=DH，∴四边形AGHD为平行四边形，∴AD∥BC；（2）连接BC，AD．设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），∵点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，∴x1y1=k，x2y2=k，∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，∴OC=y1，OD=x2，AC=x1，∴S△BCD=x2•y2=k，S△ACD=x1•y1=k，∴S△ACD=S△BCD；∴由（1）同样的方法得出AB∥CD（3）由（1）中的结论可知：AB∥CD．证明：连接BC，AD．设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），∵点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，∴x1y1=k，x2y2=k，∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，∴OC=y1，BD=|y2|，OD=|x2|，AC=x1，∴S△ABC=x1•（|y2|+y1）=k+x1•|y2|，S△ABD=（x1+|x2|）．y2=k+x1y2，∴S△ABC=S△ABD；∴由（1）同样的证明方法得出AB∥CD．点评：此题考查了反比例函数与几何性质的综合应用，这是一个阅读理解的问题，正确解决五、解答下列各题：（本题共13分）29．（6分）已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AD∥BC；②AB∥CD；③∠ABC=∠ADC；④AB=CD；⑤OB=OD；（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的，除“①与②”外，还有哪几种？（请用序号表示）（2）除“①与②”外，选择你写的其中的一种，画出示意图，写出已知，求证和证明．（2）可选②③加以证明．解答：解：（1）还有①与③，②与③，②与④，①与⑤，②与⑤；（2）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=∠ADC，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°又∵∠ABC=∠ADC，∴∠BCD+∠ADC=180°∴BC∥AD．∴四边形ABCD是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．30．（7分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AB=3，DC=6，CB=5．点E 是边DC上任意一点，点F在边AB的延长线上，并且AE=AF，连接EF，与边BC相交于点G．设BF=x，DE=y．（1）直接写出边AD的长；（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）当点E在边DC上移动时，△BFG能否成为以BG为腰的等腰三角形？如果能，请求出线段BF的长；如果不能，请说明理由．的性质，即可求得答案．解答：解：（1）∵过点B作BM⊥CD于M，∵AB∥DC，∠D=90°，∴∠D=∠ABM=∠BMD=90°，∴四边形ADMB是矩形，∴BM=AD，DM=AB=3，∴CM=CD﹣DM=6﹣3=3，在Rt△BMC中，BM==4，∴AD=4；（2）在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∵BF=x，∴AF=AB+BF=3+x，∵AE=AF=3+x，DE=y，∴（3+x）2=y2+16，∴y=，当E与D重合，y=0，则x=AD﹣AB=1，当E与C重合：AC==2，∴x=2﹣3，∴1≤x≤2﹣3，∴y关于x的函数关系式为y=，自变量x的取值范围为1≤x≤2﹣3；（3）①若BG∥AE，则，∵AE=AF，∴BF=BG，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴EC=AB=3，则DE=CD﹣EC=3，∵AD=4，∴AE=AF=5，∴BF=AF﹣AB=2；②若BG=GF，过点G作GN⊥CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥AB，∴四边形ADNM是矩形，∴AM=DN，∵BG=GF，AB∥CD，∴EG=CG，∴BM=BF=x，EN=EC=（CD﹣DE）=，∴3+=y+，∴x=y，∵（3+x）2=y2+16，∴（3+x）2=x2+16，解得：x=．综上，当BF=2或时，△BFG是以BG为腰的等腰三角形．点评：此题考查了直角梯形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的。
北京人大附中八年级下期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 27 页2020-2021学年北京人大附中八年级下期末数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列各点在直线y ＝2x +6上的是（ ）A ．（﹣5，4）B ．（﹣7，20）C ．（23，223）D ．（−72，1） 2．下列说法正确的是（ ）A ．有一组邻边相等的四边形是菱形B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．有一个角是直角的菱形是正方形3．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点．将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△GEF ．则GC 长的最小值是（ ）A ．2√10−2B ．2√10−1C ．2√13D ．2√104．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A ．√2xB ．√m 3C ．√x 2+2D ．√a −15．如果一次函数y ＝kx +b 的图象经过一、二、三象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ）A ．k ＞0，且b ＞0B ．k ＜0，且b ＜0C ．k ＞0，且b ＜0D ．k ＜0，且b ＞06．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，G 是边BC 的一点，DG ＝2，F 是AG 上一点，且∠BFC ＝90°，E 是边BC 的中点，若EF ∥AB ，则BC 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，直线y ＝x +m 与y ＝nx ﹣5n （n ≠0）的交点的横坐标为3，则关于x 的不等式x +m＞nx ﹣5n ＞0的整数解为（ ）。
北京中国人民大学附属中学八年级数学质量检测试题(1)
中国人民大学附属中学八年级数学质量检测卷(试卷一)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，请把你认为正确的选项填入括号中。
本大题共10小题，共40分．1. 化简二次根式2)3(-等于A. 3B. -3C. ±3D. 92. 若实数x 、y 满足2(2)0x -=，则xy 的值为A. -5B. 5C. -6D. 6 3. 在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A. 等腰三角形B. 正方形C. 平行四边形D. 等腰梯形 4. 函数11-+=x x y 的自变量x 的取值范围为A. x ≠1B. x ≥-1C. x ＞-1且x ≠1D. x ≥-1且x ≠15.6. 如图是一个中心对称图形，点A 为对称中心，若∠C =90°，∠B =30°，BC =1，则BB ′的长为A. 4B.33 C. 332 D. 334 7. 菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是 A. 5 B. 20 C. 24 D. 408. 下列命题正确的是A. 平行四边形的对角线相等B. 矩形的对角线互相平分C. 菱形的对角线相等且互相平分D. 等腰梯形的一组对边相等且平行9. 已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90得1OA ，则点1A 的坐标为A. ()a b -，B. ()a b -，C. ()b a -，D. ()b a -，10. 图1中的“箭头”是以AC 所在直线为对称轴的轴对称图形，90BAD ∠=︒，2AB =.图2到图4是将“箭头”沿虚线剪拼成正方形的过程，则图1中BC 的长为二、填空题：请把你认为正确的选项填入表格内．本大题共6小题，每空4分，共36分．11. 计算：b a 527=____________，714=___________．12. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若AD =5，BC =7，则EF = ．13. 一块木板如图所示，已知AB ＝4，BC ＝3，DC ＝12，AD ＝13， ∠B ＝90°，木板的面积为 ．14. 在平行四边形ABCD 中，AB =5，BC =7，∠B 、∠C 的平分线分别交AD 于E 、F ，则EF = ．15. 如图，Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，点P 为AB 边上任一点，过P 分别作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，则线段EF 的最小值是 ．16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，1B (0,1)，2B (0,3)，3B (0,6)，4B (0,10)，…，以12B B 为对角线作第一个正方形1112A B C B ，以23B B 为对角线作第二个正方形2223A B C B ，以34B B 为对角线作第三个正方形3334A B C B ，…，如果所作正方形的对角线1n n B B +都在y 轴上，且1n n B B +的长度依次增加1个单位，顶点n A 都在第一象限内（n ≥1，且n 为整数）．那么1A 的纵坐标．．．为 ；用n 的代数式表示n A 的纵坐标．．．为 ．三、解答题：本大题共7小题，共44分．17. （5101()1(2)3π----．18. （5分）计算：1)． 19. （6分）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，30B ∠=︒，60C ∠=︒，2AD =，6BC =，点E 为AB 中点，BC EF ⊥于点F ，求EF 的长．20. （6分）列分式方程解应用题：小明乘坐火车从某地到上海去参观世博园，已知此次行程为2160千米，城际直达动车组的平均时速是特快列车的1.6倍．小明购买火车票时发现，乘坐动车组比乘坐特快列车少用6小时．求小明乘坐动车组到上海需要的时间．21. （7分） 阅读理解：对于任意正实数a b 、，2(0a b -≥，0a b ∴-≥．a b ∴+≥a b =时，等号成立．结论：在a b +≥a b 、均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a b +≥只有当a b =时，a b +有最小值 根据上述内容，回答下列问题：（1）若0m >，只有当m = 时，1m m+有最小值 ． （2）探索应用：已知(30)A -，，(04)B -，，点P 为双曲线12(0)y x x=>上的任意一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．22. （8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△AOB 为等边三角形，点A 的坐标是（34，0），点B 在第一象限，AC 是∠OAB 的平分线，并且与y 轴交于点E ，点M 为直线AC 上一个动点，把△AOM 绕点A 顺时针旋转，使边AO 与边AB 重合，得到△ABD ． （1）求直线OB 的解析式；（2）当点M 与点E 重合时，求此时点D 的坐标；（3）设点M 的纵坐标为m ，求△OMD 的面积S 关于m 的函数解析式．23. （7分）已知，正方形ABCD 中，△BEF 为等腰直角三角形，且BF 为底，取DF 的中点G ，连接EG 、CG ．（1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的数量关系为 ； （2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．BD ACFBD ACBDACBDAC图1 图2 图3中国人民大学附属中学初二数学 质量检测卷(试卷一) 试题答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．本大题共10小题，共40分．三、解答题：本大题共7小题，共44分．17. 解： 原式=311-…………………………………………4分3．…………………………………………5分18. 解：原式=65-…………………………………………4分=11-分19. 解：过点A 作AG ∥DC ，交BC 于点G ．……………………………1分 ∴ ︒=∠=∠601C ． ∵ AD ∥BC ，∴ 四边形AGCD 为平行四边形．……………………………………2分∴ 2CG AD ==． ∵ 6=BC ，∴ 4=BG ．……………………………………3分 ∵ 12180B ∠+∠+∠=︒，30B ∠=︒， ∴ ︒=∠902．∴ 在△BAG 中，4AB == ……………………………………4分 又∵ E 为AB 中点，∴ 321==AB BE ．……………………………………5分∵ BC EF ⊥于F ，∴ 2321==BE EF ．……………………………………6分（若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．）20. 解：设小明乘坐动车组到上海需要x 小时．……………1分依题意，得6.1621602160⨯+=x x ． …………………………3分 解得 10=x ． ……………………………………4分 经检验：10x =是方程的解，且满足实际意义． ………5分 答：小明乘坐动车组到上海需要10小时． ………6分 21. 解：（1） m = 1 （填1m不扣分），最小值为 2 ； ……………………2分 （2）设12(,)P x x ，则12(,0),(0,)C x D x，123,4CA x DB x∴=+=+， ………………………………………………………3分1112(3)(4)22ABCD S CA DB x x∴=⨯=+⨯+四边形，化简得：92()12S x x=++， ………………………………………………4分 9990,026x x x x x x>>∴+≥⨯=， 只有当9,3x x x==即时，等号成立．…………………………………………………5分 ∴S ≥2×6＋12＝24．∴S 四边形ABCD 有最小值24． ……………………………………………………6分 此时，P （3，4），C （3，0），D （0，4）， ∴ AB =BC =CD =DA =5，∴ 四边形ABCD 是菱形． ……………………………………………………7分22. 解：（1）B （32，6）； …………………………………………………1分OB l ：x y 3=． ……………………………………………………2分（2）如图1，由题意x DA ⊥轴，︒=∠=∠30BAD EAO ．则点D 的横坐标为34； ……………………………………3分 此时 823===OA AE DA ，即点D （34，8）．……………………………4分（3）过M 作x MN ⊥轴，设a MN =，如图2，当4m >时，S=111(2)2222m m m m +--⋅-⋅2=-．………………………………………5分如图3，当24m <≤时，由︒=∠30OAM ，∴ a MA 2=，a NA 3=．S=111)(2)222mm m m ⋅++-⋅2=-． ……………………………………………6分如图4，当02m ≤≤时，S=111)(2)2222m m m m ⋅++-⋅2=+． ……………………………………………7分 如图5，当0m <时，由︒=∠30NAM ，∴a MA 2=，a NA3=．S=1112(2))222m m mm ⋅++-⋅．2=+． ……………………………………………8分∴ ()2222,(02),(0).m S m m ->⎪=+≤≤⎨+< （四种情况讨论正确一种给1分）23. （1）GC =EG ． ……………………………………………………………1分 （2）如图，延长EG 交CD 于M ，易证△GEF ≌△GMD ，得G 为EM 的中点． 易得CG 为直角△ECM 的斜边上的中线．于是有GC ＝GE ．……………………………………………3分 （3）如图，延长EG 到M ，使EG =GM ，连接CM 、CE ．易证△EFG ≌△MDG ，则EF =DM 、∠EFG =∠MDG ． ∵∠DBE +∠DFE +∠BDF =90°，∴∠DBE +∠GDM +∠BDF =90°． ∴∠MDC +∠DBE =45°． ∵∠EBC +∠DBE =45°， ∴∠EBC =∠MDC ． 进而易证△CBE ≌△CDM ， ∴EC =CM 、∠ECB =∠MCD ． 易得∠ECM =90°， ∴CG 为直角△ECM 斜边EM 的中线． ∴EG =GC ．………………………………………………………3分其他证法：（1）EG =CG ． ………………………………………………………1分 （2）成立． ……………………………………………………………2分证明：过点F 作BC 的平行线交DC 的延长线于点M ，连结MG ． ∴EF =CM ，易证EFMC 为矩形 ∴∠EFG =∠GDM ． 在直角三角形FMD 中， ∴DG =GF ， ∴FG =GM =GD ． ∴∠GMD =∠GDM ． ∴∠EFG =∠GMD ． ∴△EFG ≌△GCM ．∴EG =CG ． ……………………………………………………………4分 （3）成立．取BF 的中点H ，连结EH ，GH ，取BD 的中点O ，连结OG ，OC ．∵CB =CD ，∠DCB =90°，∴12CO BD =． ∵DG =GF ，1//,.21//,.2GH BD GH BD OG BF OG BF ∴=∴=且且∴CO=GH．∵△BEF为等腰直角三角形．∴12EH BF．∴EH=OG．∵四边形OBHG为平行四边形，∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．∴∠GOC=∠EHG．∴△GOC≌△EHG．∴EG=GC．……………………………………………………………7分（若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．）。
人大附中初二数学学科答案
人大附中2022-2023学年度第一学期初二年级数学期中练习参考答案一、 选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．40°； 12．1； 13．y 轴； 14．17c <<； 15．5和6； 16．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，全等三角形对应边相等； 17．15； 18．αβ=（填：“相等”也得分）19．40°，140°，100° （有错误答案不得分，此外答对1个和2个均得1分，全对得满） 20．①②③④ （答对1个、2个、3个均得1分，全对得满）三、解答题（本题共50分，第21题8分，第22、24题每小题5分，第23、25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）21．（1）3283x y x y −=⎧⎨=+⎩①②解：将②代入①得：()3328y y +−=解得： 1y =− ………………………2分 将1y =−代入②：132x =−+= ………………………3分∴原方程组的解为21x y =⎧⎨=−⎩． ………………………4分（2）5221426x y x y −=⎧⎨+=⎩①②解：由①+②得：927x =解得：3x = ………………………2分 将3x =代入②：1226y +=解得：3y =− ………………………3分∴原方程组的解为33x y =⎧⎨=−⎩. ………………………4分22. 解：5133x x +≤− ……………………………1分 24x ≤− ……………………………2分 2x ≤− ……………………………3分解集在数轴上表示如下：……………………………5分23. 证明：∵BF =CE ，∴BF +FC =CE +FC 即BC =EF . ………………1分 ∵AC ∥DF ，∴∠ACB =∠DFE . ……………………2分 在△ABC 和△DEF 中 B E BC EF ACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DEF （ASA ） ……………………………5分 ∴AC =DF ． ……………………………6分 24. （1）如下图：…………………………3分（2）说明：线段MN 的中垂线PQ 垂直于该线段所在直线； …………5分 备注：画法不唯一，说明也不唯一，只要符合题意即得满分．如：（2）说明也可为：等腰△PNM 顶角∠MPN 的平分线与底边MN 上高线重合． 25. （1）证明：倍长AB 到E ，连接CE ． ∵∠ABC =90°，∴BC 为线段AE 的中垂线，∴EC =AC ． ………………………………1分 ∴∠E =∠A .在△BCD 中，90BDC BCD ∠=︒−∠. 又∠A =2∠BCD ，∴∠E =2∠BCD ．l在△EDC 中，18090ECD E BDC∠=︒−∠−∠= ∴BDC ECD ∠=∠. ………………3分∴ED =EC . ∴ED =AC ．∴2AD AC AD ED AB +=+=.即2AD AC AB +=． …………………………………4分（2）2603A α∠=︒−． ……………………………6分26. 解：设14元一本的小说买了x 本，则8元一本的小说买了()80x −本． ………1分由题意，()()8801475088014850x x x x ⎧−+≥⎪⎨−+≤⎪⎩， ………………………3分解得：118353x ≤≤． ………………………5分∵x 为整数，∴x 最小值为19，最大值为35.答：14元一本的小说最少可以买19本，最多可以买35本． ………6分 27.（1）①证明：在四边形AEPF 中，BAC α∠=，180EPF α∠=︒−，90AEP ∠=︒， ∴36090AFP BAC EPF AEP ∠=︒−∠−∠−∠=︒. ………1分 ∴PF ⊥AC ，PE ⊥AB ， 又∵AP 为∠BAC 的平分线，∴PE =PF ． ………………………………2分 ② HC ⊥AB ． ………………………………3分 证明：由①已证：PE =PF ，90AFP ∠=︒， ∴90PFC PEH ∠=︒=∠. 在△PEH 和△PFC 中 PE PF PEH PFC EH FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PEH ≌△PFC （SAS ）∴PH =PC ． ………………………………4分 ∴∠1=∠2.又∵AB AC =，AP 为∠BAC 的平分线，∴PB =PC ． ∴PB =PH ． ∴∠3=∠B .又∵在△BHC 中，∠1+∠2+∠3+∠B =180°， ∴∠BHC =∠1+∠3=90°．∴HC ⊥AB ． ………………………………5分 （2）1354APC α∠=︒−． ……………………………7分28.（1）①点()4,0B 关于M 的“对应点”：()2,2−点()3,3C −关于M 的“对应点”：()1,5− ……………………2分②解：点()11,P n −关于M 的“对应点”1Q 为()3,2n −，点()21,1P n −+关于M 的“对应点”2Q 为()3,1n −． ……………………3分 线段12Q Q 与ABC ∆的边没有公共点有三种情况： 第一种情况：如图①，线段12Q Q 在AB 上方，此时只需2Q 在x 轴上方，即10n −>，解得1n <； ……………………4分 第二种情况：如图②，线段12Q Q 在△ABC 内部，此时只需1Q 在x 轴下方，2Q 在点C 上方即2013n n −<⎧⎨−>−⎩，解得24n <<；第三种情况：如图③，线段12Q Q 在点C 下方，此时只需1Q 在点C 下方， 即23n −<−，解得5n >；综上所述，n 的取值范围是1n <，24n <<，5n >． ………………5分 （2）所有满足条件的点M 的坐标：93,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，93,22⎛⎫− ⎪⎝⎭，53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，53,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．……7分备注：有错误答案不得分，此外，答对1个、2个、3个均得1分，答对4个得满．321HFBPACEyxCBAMO图①yxCBAMO图③图②yxQ Q 123456–1–21234–1–2–3–4CBAMO。
2023北京人大附中初二上学期期中数学试卷及答案
2023北京人大附中初二（上）期中数学一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．北京中轴线是指位于北京老城中心，贯穿北京老城南北，并始终决定整个北京老城城市格局的庞大建筑群体．它既是城市核心建筑群的杰出范例，也是中华文明的独特见证．下面是2021北京中轴线文化遗产传承与创新大赛“北京中轴线标志设计赛道”中的几件入选设计方案，其中主体图案（不包含文字内容）不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°3．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（）A．72°B．60°C．58°D．50°4．在平面直角坐标系中，点（52x轴对称的点的坐标为（）A．（5，﹣2）B．（﹣5，2）C．（2，5）D．（2，﹣5）5．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（）A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD6．等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（）A．70°B．40°C．70°或40°D．70°或55°7．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处8．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC与∠ABC的平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，记△ABC的周长为p，PD＝r，给出下面三个结论：①∠APB＝135°；②CD＝r；③AC•BC＝pr．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共20分，每题2分）9．（2分）下列图形中，所有具有稳定性的图形序号是．10．（2分）已知三角形的两边长分别为2和5，第三边长为x，则x的取值范围是．11．（2分）一个多边形的每一个内角都是140°，则这个多边形是边形．12．（2分）根据图中给定的条件，下列各图中可以判断∠1与∠2一定相等的是（填序号）．13．（2分）如图，已知∠ABC＝∠BCD，请你再添加一个条件，使得△ABC≌△DCB，这个条件可以是，判定全等的依据是．14．（2分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），若再只涂黑一个小三角形，使这4个涂黑的三角形可以构成一个轴对称图形．请画出一种涂色方式并画出此时的对称轴（用虚线表示）．15．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若AC＝8，AB＝5，则BD的长为．16．（2分）如图，AB＝AD＝DC，∠BAC＝75°，则∠ABD的度数为．17．（2分）如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为．18．（2分）在课堂的学习中，我们知道：在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，要在x轴上找一点P，使△AOP是等腰三角形．当点A确定时，符合题意的点P的位置及其个数m也会随之确定．那么对于所有第一象限的点A，m的所有可能值为．三、解答题（本题共56分，第19-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26-27题，每题6分，第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.19．（5分）已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，求这个等腰三角形的周长．20．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是角平分线，AE是高，AE＝CE，∠DAE＝10°，求∠CAE 和∠B的度数．21．（5分）如图，B，C，E，F在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BE＝CF．求证：AC＝DF．22．（5分）下面是“过直线上一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程：已知：如图，点P在直线l上．求作：直线PQ，使PQ⊥l．作法：①以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于A，B两点，②分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线l上方交于点Q，③作直线PQ．直线PQ即为所求的垂线．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AQ，BQ，∵根据作法，有AQ＝BQ，AP＝BP，∴PQ⊥AB，即PQ⊥l．（）（填推理的依据）23．（5分）小宇在研究“三线合一”这个结论时，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？他画出图形分析后，找到了两种解决问题的方法，请任选其中一种，帮助他完成证明．已知，如图，在△ABC 中，AD 平方∠BAC ，且点D 是BC 的中点．求证：AB ＝AC ．方法一：证明：过点D 分别作AB ，AC 的垂线，垂足分别为E ，F ．方法二：证明：延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．温馨提示：只选一种方法证明即可，如两种方法都选用的，只按方法一的证明给分．24．（6分）小宇和小明一起进行数学游戏：已知∠MON ＝90°，将等腰直角三角板△ABC 摆放在平面内，使点A 在∠MON 的内部，且两个底角顶点B ，C 分别放在边OM ，ON 上．（1）如图1，小明摆放△ABC ，恰好使得AB ⊥OM ，AC ⊥ON ，又由于△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，从而直接可以判断出点A 在∠MON 的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是 ．（2）如图2，小宇调整了△ABC 的位置，请判断OA 平分∠MON 是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为（4，3），连接AO ，点P 为x 轴上一点，且△AOP 是以AO 为底边的等腰三角形．（1）利用圆规和无刻度的直尺，作出点P ．（保留作图痕迹）（2）已知点Q 的坐标为（3，0），请判断：点P 与点Q 在位置上满足 （填序号），并证明这个判断．①点P在点Q左侧；②点P在点Q右侧；③点P与点Q重合．26．（6分）已知：点A为直线MN上一定点，点B为直线MN外一定点，∠BAN＝30°，将点B关于直线MN对称，得到点C，连接BC交直线MN于点P．点D为直线MN上一动点（不与点A重合），以BD 为边，作等边△BDE（B，D，E三点按顺时针方向排列），直线CE交直线MN于点F．（1）如图1，求证：AD＝CE，并求∠BCE的度数；（2）当点D在直线MN上运动的过程中，①下列结论：（A）AD＝CE始终成立，（B）∠BCE的度数不变，（C）点F的位置不变，（D）CF+DF＝EF始终成立．其中所有正确结论的序号是．②若线段PE长的最小值为2，则线段AB的长为．27．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），给出如下定义：若b≥0，则将点P关于y轴对称得到点Q；若b＜0，则将点P向上平移3个单位，得到点Q．称点Q为点P的“对应点”．（1）点P（3，1）的对应点Q的坐标为；（2）已知点A（m，0），B（m﹣1，3），C（m+3，﹣3），连接AB，AC，得到折线段B﹣A﹣C，①当时，如图1，请判断是否存在这样的点Q，使得点Q同时是折线段B﹣A﹣C上不同的两个点P1，P2的对应点？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（注：本问的求解过程或理由，只需图形+简要思路即可）②若折线段B﹣A﹣C上任意两点P1，P2的对应点都不相同，直接写出m的取值范围．28．（8分）已知在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB为锐角，AD是BC边上的高，在射线DA上取一点E，使DE＝DC，在平面内取一点F，使CF⊥CA，CF＝CA，且点E，F在直线BC的异侧，连接EF交BC 于点M．（1）如图1，当∠ACB＜45°时，补全图形，并证明∠FCB＝∠CAD；（2）在图1中用等式表示线段AD，AE，CM之间的数量关系，并证明；（3）设AD＝1，当∠ACB的大小变化时，若，直接写出线段CD长的取值范围．参考答案一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
北京中国人民大学附属中学八年级数学质量检测试题(2)
中国人民大学附属中学八年级数学质量检测卷(试卷二)—、选择题（每小题3分，共30分）1．分式121+x 有意义，则x 的取值范围是 （ ） A 21-φx B 21φx C 21-≠x D 21≠x2．在⋅⋅⋅-021021021.0,121,9,722,2,25.03π中，无理数有（ ）个。
A 1B 2C 3D 4 3．下列各式正确的是（ ）A 6)6(2-=- B 9)3(2=- C 416±= D 53259-=-4．下列各式是最简二次根式的是（ ） Ax 21B x 18C x 3D y x 3 5．下列各式中，与48是同类二次根式的是（ ） A 8.4 B 12 C 183 D 24326．下列线段能组成三角形的是（ ）A 1，1，3B 1，2，3C 2，3，5D 3，4，5 7．下列说法正确的是 （ ）A 面积相等的两个三角形全等B 周长相等的两个三角形全等C 形状相同的两个三角形全等D 能够完全重合的两个三角形全等 8．计算xy yy x x 222-+-的结果是（ ）A 1B 1-C y x +2D y x -29．已知，如图：AB ∥CD ，︒=∠38A ，︒=∠80C ，M ∠的度数为（ ） A 52° B 42° C 62° D 72°NBAM10．当a<0时,化简ba 2-的结果是（ ）Ab b a - B b b a - C b ba -- Db b a 二、填空题（每题2分，共16分） 11．8116的平方根是 ，16的算术平方根是 。
12．式子x 32-有意义，则x 的取值范围是 。
13．在△ABC 中a=6，b=4,则第三边c 的取值范围是 。
14．等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则其周长为 。
15．在实数范围内因式分解：=-x x 23。
16．关于x 的方程32322=-+-xmx x 有增根，则=m 。