中考数学一轮专题复习三角形认识综合复习
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析 第四章 三角形第19讲 直角三角形与勾股定理
么它所对的直角边等于___斜__边__的__一__半_____
图示
类别
内容
判定
(1)有一个角是___直__角___的三角形是直角三角形; (2)有两个角___互__余___的三角形是直角三角形
图示
面积 S=12ab=12ch(a,b为两条直角边长,c为斜边长,h为斜边上的高)
1.已知三角形为直角三角形,题目未明确直角顶点时,需要进行分类讨论. 2.若有一条直角边等于斜边的一半,则这条直角边所对的锐角等于30°(运 用时需要先证明). 3.一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形(运用时需要 先证明).
A. 3
B.2 3
C.2
D.4
变式1－3 [分类讨论]在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连 接AD.若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是______9_0_°__或__5_0_°____.
答案
考点2 勾股定理
类别
内容
勾股定理
直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c 的平方,即______a_2＋__b_2_=_c_2_____
答案
变 式 2 － 1 如 图 ,∠ C= ∠ ABD=90°,AD=13,BD=12,BC=3, 则 AC 的 长 等 于 A( )
A.4
B.3
C.2
D.1
变式2－2 下列能作为直角三角形三边长的是( D )
A.2, 2, 3
B.13,11,5
C.9,8,6
D. 2,1,1
答案
1.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是( B )
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析 第一部分 考点研析 第四章 三角形
人教版2020年九年级中考数学一轮复习 第15讲 三角形(有答案)
第十五节三角形【知识点梳理】一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做（简称）。
2．三角形的中位线三角形的中位线平行于，并且等于．3.三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系：任意两边之和第三边；任意两边之差第三边．4、三角形的内角和定理及推论1．三角形内角和：三角形三内角之和等于．2．三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角；(2)三角形的一个外角与它不相邻的两内角之和．1．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为和等腰三角形；等腰三角形又分为及 .(2)按角分：三角形和斜三角形；斜三角形又分为：和 .答案：一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线。
（2）三角形的中线。
（3）三角形的高线（简称三角形的高）。
2．三角形的中位线：三角形的第三边，并且等于第三边长的一半．3.三角形的三边关系定理及推论：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．4、三角形的内角和定理及推论1． 180°．2．三角形外角的性质：(1)大于；(2)等于．1．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形；等腰三角形又分为底和腰不等的三角形及等边三角形.(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为：锐角三角形和钝角三角形.【课堂练习】一．选择题（共9小题）1．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线C．高D．中位线【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．2．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（）A．3：5 B．4：5 C．9：10 D．15：16【考点】K3：三角形的面积．【分析】根据三角形面积求法进而得出S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，即可得出答案．【解答】解：∵AD：DB=CE：EB=2：3，∴S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，∴设S△BDC=3x，则S△ADC=2x，S△BED=1.8x，S△DCE=1.2x，故△DBE与△ADC的面积比为：1.8x：2x=9：10．故选：C．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A．1 B．3C．32D．2【考点】K5：三角形的重心；KW：等腰直角三角形．【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，∵P是Rt△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，PD=CD，∵∠C=90°，∴CD=AB=3，∵AC=BC，CD是△ABC的中线，∴CD⊥AB，∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，故选：A．4．三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平行线的交点【考点】K5：三角形的重心．【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点，故选：A．5．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MOMF的值为（）A．12B．54C．23D．33【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】根据三角形的重心性质可得OC=CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM=CE，进一步得到OM=CE，即OM=AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF=AE，MF=EF，依此得到MF=AE，从而得到的值．【解答】解：∵点O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故选：D．6．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．9【考点】K6：三角形三边关系．【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故选：C．7．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0【考点】K6：三角形三边关系．【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）=0．故选D．8．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6 B．7 C．11 D．12【考点】K6：三角形三边关系．【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．【解答】解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是2和4，∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．则三角形的周长：8＜C＜12，C选项11符合题意，故选C．9．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（）A．54°B．62°C．64°D．74°【考点】K7：三角形内角和定理；JA：平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠AED=54°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=54°，∵∠A=62°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，故选C．二．填空题（共5小题）10．在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为cm．【考点】K5：三角形的重心；KQ：勾股定理．【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．【解答】解：连接AO并延长，交BC于H，由勾股定理得，DE==2，∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心，∴AH是中线，又BD⊥CE，∴OH=BC=2，∵O是△ABC的重心，∴AO=2OH=4，故答案为：4．11．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为．【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠A的度数为：40°．故答案为：40°．12．如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S=12 AC•BD．正确的是（填写所有正确结论的序号）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；④根据面积和求四边形的面积即可．【解答】解：①在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC=∠ADC，故①结论正确；②∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴OB=OD，AC⊥BD，而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，故②结论不正确；而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；故③结论不正确；④∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD•AO+BD•CO=BD•（AO+CO）=AC•BD．故④结论正确；所以正确的有：①④；故答案为：①④．14．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．三．解答题（共9小题）15．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE【解答】解：∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，在△ADF与△BCE中，∴△ADF≌△BCE（SAS）16．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．【解答】证明：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE；（SAS）17．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边角边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DEF，又∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即：BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF．18．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=AB=4，根据勾股定理得到CE==3，于是得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=BC=AB=4，∵BE=5，∴CE==3，∴AE=4﹣3=1；（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵AF⊥BD，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴A，F，C，B四点共圆，∴∠CFB=∠CAB=45°，∴∠DFC=∠AFC=135°，在△ACF与△DCF中，，∴△ACF≌△DCF，∴CD=AC，∵AC=BC，∴AC=BC．20．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；（2）PQ=MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△MEB是等腰直角三角形，∴PQ=MB，∴PQ=MB．21．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．【解答】解：（1）∠ABE=∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．22．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2﹣t），再由运动得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2﹣t），AR=4（2﹣t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出S△PQR=18（t﹣1）2+6，即可得出结论；（3）先判断出∠DQR=∠EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin∠B===，sin∠C=，过点Q作QE⊥AB于E，在Rt△BQE中，BQ=5t，∴sin∠B==，∴QE=4t，过点Q作QD⊥AC于D，在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，∴QD=CQ•sin∠C=（10﹣5t）=3（2﹣t），由运动知，AP=3t，CR=4t，∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），∴S△APR=AP•AR=×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），S△BPQ=BP•QE=×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），S△CQR=CR•QD=×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）由（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），∵AB=6，AC=8，∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）=×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，∵0≤t≤2，∴当t=1时，S△PQR最小=6；（3）存在，由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，∴四边形APQD是矩形，∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=|4（2t﹣2）|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=|3（2t﹣2）|∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，∴∠DQR=∠EQP，∴tan∠DQR=tan∠EQP，在Rt△DQR中，tan∠DQR==，在Rt△EQP中，tan∠EQP==，∴，∴16t=9（2﹣t），∴t=．23．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C同理S△ABC=bcsin∠AS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．解：S△DEF=EF×DFsin∠F=；DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．。
中考《三角形认识》复习练习题及答案
中考数学复习专题练习认识三角形一、选择题：1、一定在△ABC内部的线段是（）A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2、有5根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个3、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．54、如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是( )A．15° B．25° C．30° D．10°5、如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．40°6、一个多边形少加了一个内角时，它的度数和是1310°，则这个内角的度数为（）A．120° B．130° C．140° D．150°7、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°8、一个正多边形的每个内角都等于140°，那么它是正（）边形A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形9、如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A．140米 B．150米 C．160米 D．240米10、如图，已知点D是△ABC的重心，连接BD并延长，交AC于点E，若AE=4，则AC的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．1211、．光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=52°，∠3=70°，则∠2是( )A．52° B．61° C．65° D．70°12、如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于（）A. B. C. D.二、填空题:13、a、b、c为三角形的三条边，则= ．14、如图，△ABC的两条高线AD、BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠BFD的度数为15、如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形,a取值范围是．16、一个三角形的两边长为8和10，若另一边为a，当a为最短边时，a的取值范围是；当a为最长边时，a的取值范围是 .17、已知△ABC 的三边长 a、b、c，化简│a＋b-c│-│b-a-c│的结果是 .18、将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．19、如图，∠2+∠3+∠4=320°，则∠1= ．20、如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．21、如图，将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠，使AD与A′D重合，A′E与AE重合，若∠A=30°，则∠1+∠2= ．22、如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为．23、如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N= _．24、如图,一个面积为50平方厘米正方形与另一个小正方形并排放在一下起，则△ABC面积是平方厘米．三、简答题:25、如图,在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm两部分,求三角形各边的长．26、如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）作出△BED的BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？27、（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由．28、如图，∠O=30°，任意裁剪的直角三角形纸板两条直角边所在直线与∠O的两边分别交于D、E两点．（1）如图1，若直角顶点C在∠O的边上，则∠ADO+∠OEB= 度；（2）如图2，若直角顶点C在∠O内部，求出∠ADO+∠OEB的度数；（3）如图3，如果直角顶点C在∠O外部，求出∠ADO+∠OEB的度数．29、如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，则∠P1的度数为；（2）若∠A=α，则∠P1的度数为；（用含α的代数式表示）（3）如图（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3依此类推，则∠Pn的度数为（用n与α的代数式表示）30、阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的高．P是BC边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N．求证：．他发现，连接AP，有，即．由AB=AC，可得．他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：．请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；证明：连接AP．∵，∴．∵AB=AC，∴．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在△ABC中，AB=AC=BC，BD是△ABC的高．P是△ABC所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．①如图3，若点P在△ABC 的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：；②若点P在如图4所示位置,利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间数量关系是：．31、已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是线段BC的中点，连接DM、EM.（1）若DE=3，BC=8，求△DME的周长；（2）若∠A=60°，求证：∠DME=60°；（3）若BC2=2DE2，求∠A的度数．参考答案1、A.2、C．3、A．4、A．5、D．6、B．7、C．8、D.9、B．10、B．11、B．12、B.13、答案为：2a．14、答案为：60° 15、答案为：a＞5．16、答案为：2<a≤8,10≤a<18.17、答案为：2b-2c. 18、答案为：75°．19、答案为：40°．20、答案为：180°．21、答案为：60°．22、答案为：40°.23、答案为:360°或540°或720°．24、答案为25．25、解：设AB=AC=2，则AD=CD=，（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2=30，∴ =10，2 =20，BC=24－10=14.三边长分别为：20 cm，20 cm，14 cm．（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30时，有=24，∴ =8，，BC=30－8=22.三边长分别为：16 cm，16 cm，22 cm．26、解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°。
备战2023年中考数学一轮复习考点08 全等三角形
考点08 全等三角形全等三角形主要包括全等图形、全等三角形的概念与性质，全等三角形的判定和角平分线的性质。
在中考中，全等三角形的直接考查主要以选择和填空为主，有时也会以证明的形式考查，难度一般较小；但大多数情况下，全等三角形的知识多作为工具性质与其他几何知识结合，用于辅助证明线段相等、角相等，考查面较广，难度较大，需要考生能够熟练运用全等三角形的性质和判定定理。
一、全等三角形的性质；二、全等三角形的判定；三、角平分线的线的性质。
考向一：全等三角形的性质1.全等三角形的对应边相等，对应角相等；2.全等三角形的周长相等，面积相等；3.全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．1．下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）A ．③和④B ．②和③C ．①和③D ．①和②2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，ABC DBC ∆∆≌，45A ∠=︒，86ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．92︒C ．100︒D ．98︒4．如图，将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △，若AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =，则四边形HCFD 的面积为（ ）2cm ．A．40B．24C．48D．645．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠E＝30°，则∠C的度数为（）A．80°B．35°C．70°D．30°考向二：全等三角形的判定（一）三角形全等的判定定理：1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5.对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（二）灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”； ②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”； ⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．1．在如图所示33⨯的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上．这样的三角形叫做格点三角形，图中能画出（ ）个与ABC 全等的格点三角形（不含ABC ）．A ．3B ．4C ．7D ．82．如图，B C ∠=∠，要使ABE ACD △△≌．则添加的一个条件不能是（ ）A ．ADC AEB ∠=∠ B ．AD AE =C ．AB AC =D ．BE CD =3．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带1、4或2、3去就可以了C ．带1、4或3、4去就可以了D ．带1、2或2、4去就可以了4．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM ＝ON ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是∠AOB 的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）A ．SSAB ．HLC ．ASAD ．SSS5．如图，△ABC ≌△EBD ，∠E =50°，∠D =62°，则∠ABC 的度数是（ ）A ．68°B ．62°C ．60°D ．50°考向三：角平分线的线的性质1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线：三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1．（2022·重庆八中模拟）下列命题是真命题的是（ ）A ．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等B ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点C ．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部D ．三角形的任意两边之和大于第三边2．如图，在ABC 中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OD BC ⊥于D ，如果25cm AB =，20cm BC =，15cm AC =，且2150cm =ABC S △，那么OD 的长度是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm3．（2022·上海徐汇·二模）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P ．其中一把直尺边缘恰好和射线OA 重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB 重合，上边缘与射线OA 于点M ，联结OP ．若∠BOP ＝28°，则∠AMP 的大小为（ ）A ．62°B ．56°C ．52°D ．46°4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知AOB ∠是一个任意角，在边,OA OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M N ，重合，则过角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的平分线．在证明MOC NOC ≌时运用的判定定理是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS5．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，用尺规作图法作出射线AE ，AE 交BC 于点D ，CD =5，P 为AB 上一动点，则PD 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．51．下列命题错误的是（ ）A ．三角形的三条高交于一点B ．三角形的三条中线都在三角形内部C ．直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处D ．三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等2．如图，已知ABC A BC ''≌，A C BC ''∥，∠C ＝25°，则ABA '∠的度数是（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°3．（2022·福建·模拟）如图，AD 是AEC △的角平分线，2AC AB =，若4ACD S =，则ABD △的面积为（ ）A ．3B ．2C ．32D ．14．如图，在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DE //AB ，交AC 于点E ，DF AB ⊥于点F ，5,3DE DF ==，则下列结论错误的是（ ）A ．1BF =B ．3DC = C ．5AE =D ．9AC =5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟）如图，已知ABC ，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边AB ，AC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在ABC 的内部相交于点P ；③作射线AP 交BC 于点D ．下列说法一定成立的是（ ）A ．BD AD =B ．BD CD >C ．>BD AC D ．2BD CD =6．（2022·河南·一模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（ ）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图37．（2022·山东威海·一模）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为M ．若∠ABC ＝30°，∠C ＝38°，则∠CDE 的度数为（ ）A ．68°B ．70°C ．71°D ．74°8．（2022·福建三明·模拟）如图，BD 平分∠ABC ，F ，G 分别是BA ，BC 上的点（BF BG ≠），EF EG =，则∠BFE 与∠BGE 的数量关系一定满足的是（ ）A ．90BFE BGE ∠+∠=B ．180BFE BGE ∠+∠=C ．2BFE BGE ∠=∠D ．90BFE BGE ∠-∠=9．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ．下列条件中，不一定能推得ABD △与ACD 全等的条件是（ ）A ．AB AC = B ．BD CD =C ．B DAC ∠=∠D ．BAD CAD ∠=∠ 10．（2022·安徽滁州·二模）如图，OC 为∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 为OC 上另一点，连接DF ，EF ，则下列结论：①OD ＝OE ；②DF ＝FE ； ③∠DFO ＝∠EFO ；④S △DFP ＝S △EFP ，正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，D 为Rt ABC △中斜边BC 上的一点，且BD AB =，过D 作BC 的垂线，交AC 于E ．若6cm AE =，则DE 的长为 __cm ．12．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC BC ︒∠===．点P 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点B 点运动；点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 点运动．点P 和Q 分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于E ，QF l ⊥于F ．点P 运动________秒时，PEC ∆与QFC ∆全等．13．如图，在ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是∠ACB 的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，①ABE 的面积＝BCE 的面积；②∠F AG ＝∠FCB ；③AF ＝AG ；④BH ＝CH ．以上说法正确的是_____．14．如图，小虎用10块高度都是4cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______．15．如图，E ABC AD ≅∆∆，BC 的延长线经过点E ，交AD 于F ，105AED ∠=︒，10CAD ∠=︒，50B ∠=︒，则EAB ∠=__︒．16．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在△ABC 中，高AE 交BC 于点E ，若1452ABE C ∠+∠=︒，5CE =，△ABC 的面积为10，则AB 的长为___________．17．（2022·山东济南·三模）如图，正方形ABCD 的边长为3，P 、Q 分别在AB ，BC 的延长线上，且BP=CQ ，连接AQ 和DP 交于点O ，分别与边CD 和BC 交于点F 和E ，连接AE ，以下结论：①AQ ⊥DP ；②AOD S =OECF S 四边形；③OA 2=OE•OP ；④当BP =1时，tan ∠OAE =1316，其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）18．（2022·贵州铜仁·一模）如图，在ABC 中，8BC =，6AC =按下列步骤作图：步骤1：以点C 为圆心，小于AC 的长为半径作弧分别交BC 、AC 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ； 步骤3：作射线CM 交AB 于点F ，若 4.5AF =，则AB =______．19．（2022·湖北襄阳·一模）如图，已知AC BD =，A D ∠=∠，添加一个条件______，使AFC DEB △≌△（写出一个即可）．20．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝8cm ，BC ＝10cm ．点C 在直线l 上，动点P 从A 点出发沿A →C 的路径向终点C 运动；动点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 运动．点P 和点Q 分别以每秒1cm 和2cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P 和Q 作PM ⊥直线l 于M ，QN ⊥直线l 于N ．则点P 运动时间为____秒时，△PMC 与△QNC 全等．21．已知：如图所示，PC PD C D =∠=∠，．求证：PCB PDA ≌．22．如图所示，点E 在线段BC 上，12∠=∠，AD AB AE AC ==，，求证：DE BC =23．（2022·江苏淮安·中考真题）已知：如图，点A 、D 、C 、F 在一条直线上，且AD CF =，AB DE =，BAC EDF ∠=∠．求证：B E ∠=∠．24．如图，己知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接DE．(1)请用尺规作图法，在CD的延长线上截取线段DF，使=DF CE；（不要求写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接AF．求证：△AFD≌△DEC．25．（2022·陕西延安·二模）如图，已知ABC，请用尺规作图法在BC上求作一点E，使得点E到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）AB AC26．如图，已知等边ABC，AD是BC边上的高，请用尺规作图法，在AD上求作一点O，使∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法）60BOD，，，与MN分别交于点27．如图，已知直线MN与▱ABCD的对角线AC平行，延长DA DC AB CB，，，．E H G F(1)求证：EF GH =；(2)若FG AC =，试判断AE 与AD 之间的数量关系，并说明理由．28．如图（1）所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB ＝CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．29．如图，已知EB CF ∥，OA ＝OD ，AE ＝DF ．求证：(1)OB=OC ；(2)AB ∥CD ．30．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时，求证：①ADC △≌CEB ；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．1．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ABC ∆，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）A ．,,AB BC CA B ．,,AB BC B ∠ C ．,,AB AC B ∠D ．,,∠∠A B BC4．（2021·江苏盐城·中考真题）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在AOB ∠的两边OA 、OB 上分别在取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是AOB ∠的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS5．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个．．条件是________．（只需添一个）6．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、BC 于点D 、E ．②分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ． ③作射线BF 交AC 于点G ．如果8AB =，12BC =，ABG 的面积为18，则CBG 的面积为________．7．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积．8．（2020·江苏南京·中考真题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ，求证：BD =CE9．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，∠1＝∠B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：∠D ＝∠2；（2）若EF ∥AC ，∠D ＝78°，求∠BAC 的度数．1．（2022·江苏南京·二模）如图，在ABC 中，点D 在AC 上，BD 平分ABC ∠，延长BA 到点E ，使得BE BC =，连接DE ．若38ADE ∠=︒，则ADB ∠的度数是（ ）A ．68°B ．69°C ．71°D ．72°2．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且BAC DAC ∠=∠，15AB =，12AD =．过顶点C 作CE AB ⊥于E ，则AE BE的值为（ ）A B ．9 C ．6 D ．7．23．（2022·江苏·南通市陈桥中学一模）如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为10，BD 平分∠ABC ，若M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．4.5D ．64．（2022·江苏盐城·一模）如图，点E ，F 在AC 上，AD =BC ，DF =BE ，要使△ADF ≌△CBE ，还需要添加的一个条件是（ ）A ．∠A =∠CB ．∠D =∠BC ．AD ∥BC D ．DF ∥BE5．（2022·江苏南通·二模）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，BC 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠的内部交于点F ； ③作射线BF ，交AC 于点G ．如果6AB =，9BC =，ABG 的面积为9，则ABC 的面积为______．6．（2022·江苏·模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，CD ＝2，则点D 到AB 的距离是_________．7．（2022·江苏·南通市陈桥中学一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，5AB =，则ABD △的面积是________．8．（2022·江苏·苏州市振华中学校二模）已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1)ABC BAD ≌．(2)AE BE =．9．（2022·江苏镇江·模拟）如图，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ．(1)求证：△ABE ≌△CAF ；(2)若CF ＝5，BE ＝2，求EF 的长．10．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，BD ∥AC ，直线OD 交AC 于点E ．(1)求证：△BDO≌△CEO；(2)若AC=6，BD=4，求AE的长．11．（2022·江苏徐州·模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝1∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）2（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并＝12证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关2系，并证明．12．（2022·江苏盐城·一模）【提出问题】如图1，在等边三角形ABC内一点P，P A=3,PB=4,PC=5．求∠APB的度数？小明提供了如下思路：如图2，将△APC绕A点顺时针旋转60°至△AP'B ,则AP'=AP=3,P'C=PB=4,∠P'AC=∠P AB ,所以∠P'AC+∠CAP=∠P AC+∠BAP ,即∠P'AP=∠BAC=60° ,所以△AP'P为等边三角形,所以∠A P'P=60° ,……按照小明的解题思路，易求得∠APB= ；【尝试应用】如图3，在等边三角形ABC外一点P，P A=6,PB=10,PC=8．求∠APC的度数？【解决问题】如图4，平面直角坐标系xoy中，直线AB的解析式为y=－x+b(b>0),在第一象限内一点P，满足PB:PO:P A=1:2:3，则∠BPO= 度（直接写出答案）1．下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）A ．③和④B ．②和③C ．①和③D ．①和②【答案】D【分析】根据全等图形的定义逐一判断即可．【详解】①和②，是全等图形，将①顺时针旋转180°即可和②完全重合，其它两个图形不符合 故选D ．2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：故选B ．3．如图，ABC DBC ∆∆≌，45A ∠=︒，86ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．92︒C ．100︒D ．98︒【答案】B【分析】根据全等三角形的性质得出ACB DCB ∠=∠，求出ACB ∠，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：ABC DBC ∆∆≌，ACB DCB ∴∠=∠，86ACD ∠=︒， 43ACB ︒∴∠=，45A ∠=︒，18092ABC A ACB ∴︒--∠︒∠=∠=；故选：B ．4．如图，将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △，若AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =，则四边形HCFD 的面积为（ ）2cm ．A ．40B ．24C ．48D ．64【答案】C【分析】根据平移的性质可得ABC ≌DEF △，则四边形HCFD 的面积等于DEFEHCABCEHCABEH SSSSS -=-=梯形即可求解．【详解】解：∵将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △， ∴ABC ≌DEF △，6BE =cm ， ∴ABC 的面积等于DEF △的面积， 又AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =， ∴1046HE DE DH AB DH =-=-=-=（cm ）， ∴四边形HCFD 的面积等于DEFEHCABCEHCABEH S SSSS -=-=梯形()12AB HE BE =+⋅ ()11066482=+⨯=（2cm ） 故选C ．5．如图，△ABC ≌△ADE ，若∠B ＝80°，∠E ＝30°，则∠C 的度数为（ ）A．80°B．35°C．70°D．30°【答案】D【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：△ABC≌△ADE，∠E＝30°，∠C=∠E＝30°，故选：D．考向二：全等三角形的判定（一）三角形全等的判定定理：1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5.对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（二）灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上．这样1．在如图所示33的三角形叫做格点三角形，图中能画出（）个与ABC全等的格点三角形（不含ABC）．A．3B．4C．7D．8【答案】C【分析】根据SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【详解】如图所示大正方形上都可作两个全等的三角形，所以共有八个全等三角形，除去ABC 外有7个与ABC 全等的三角形． 故选C ．2．如图，B C ∠=∠，要使ABE ACD △△≌．则添加的一个条件不能是（ ）A ．ADC AEB ∠=∠ B ．AD AE =C ．AB AC =D ．BE CD =【答案】A【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得． 【详解】解：在ABE 和ACD 中，AEB ADC A BB C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴无法证明ABE ACD △△≌， 选项A 说法错误，符合题意； 在ABE 和ACD 中， A AB C AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ACD △△≌（AAS ），选项B 说法正确，不符合题意； 在ABE 和ACD 中，A A AB AC BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABE ACD △△≌（ASA ），选项C 说法正确，不符合题意； 在ABE 和ACD 中， A AB C BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ACD △△≌（AAS ），选项D 说法正确，不符合题意； 故选A ．3．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带1、4或2、3去就可以了C ．带1、4或3、4去就可以了D ．带1、2或2、4去就可以了【答案】C【分析】带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，没有完整边，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形．即可得出答案【详解】解：带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，所以A 、B 、D 不符合题意，C 符合题， 故选：C ．4．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM ＝ON ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是∠AOB 的平分线，小旭这样画的理论依据是（ ）A ．SSAB ．HLC ．ASAD ．SSS【答案】B【分析】根据题意可得OP OP =，OM ON =，90PMO PNO ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定方法，即可求解．【详解】解：根据题意可得OP OP =，OM ON =，90PMO PNO ∠=∠=︒， 根据全等三角形的判定方法可得()POM PON HL △≌△ 故选B5．如图，△ABC ≌△EBD ，∠E =50°，∠D =62°，则∠ABC 的度数是（ ）A ．68°B ．62°C ．60°D ．50°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理求出∠EBD ，根据全等三角形的性质解答． 【详解】∵∠E ＝50°，∠D ＝62°， ∴∠EBD ＝180°−50°−62°＝68°， ∵△ABC ≌△EBD ， ∴∠ABC ＝∠EBD ＝68°， 故选：A ．考向三：角平分线的线的性质1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线：三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1．（2022·重庆八中模拟）下列命题是真命题的是（ ） A ．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等 B ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 C ．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部 D ．三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】D【分析】根据三角形的外心、重心等有关性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，为假命题，不符合题意； B 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，为假命题，不符合题意；C 、只有锐角三角形的三条高线所在的直线相交于三角形的内部，为假命题，不符合题意；D 、三角形的任意两边之和大于第三边，为真命题，符合题意； 故选：D2．如图，在ABC 中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OD BC ⊥于D ，如果25cm AB =，20cm BC =，15cm AC =，且2150cm =ABC S △，那么OD 的长度是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】D【分析】作OE AC ⊥交于点E ，作OF AB ⊥交于点F ，连接OA ，证明OD OE OF ==，再利用2150cm =++=ABC BOC AOB AOC S S S S △△△△即可求出OD 的长度．【详解】解：作OE AC ⊥交于点E ，作OF AB ⊥交于点F ，连接OA ，。
中考数学一轮综合复习同步讲义(第8课三角形认识)
中考数学一轮复习第08课 三角形认识知识点：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧镶嵌问题：边形每个内角公式：正边形每个外角公式：正边形对角线条数：；外角和：边形内角和公式：多边形外角性质：；内角和：外角和：三边关系定理：，性质：角平分线：，性质：中线：，性质：高线：与三角形有关的线段定义：三角形n n n n在三角形中，两内角平分线形成的夹角公式：在三角形中，两外角平分线形成的夹角公式：在三角形中，一内角一外角形成的夹角公式：三角形沿某条直线折叠，顶点落在形内公式： (∠BDA 、∠AEC 与∠A 的数量关系) 三角形沿某条直线折叠，顶点落在形外公式： (∠BDA 、∠AEC 与∠A 的数量关系)课堂同步：1.a 、b 、c 为三角形的三边长,化简c b a c b a c b a c b a -+-+-----++，结果是（ ）A.0B.2a+2b+2cC.4aD.2b-2c2.已知ΔABC 中,周长为12，)(21c a b +=，则b 为（ ） A.3 B.4 C.5 D.63.已知三角形的两边长分别是3 和8，且第三边长是奇数，那么第三边的长度为（ ）A.7 或5B.7C.9D.7 或94.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为1200,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A.30°B.60°C.90°D.120°5.若一个多边形共有十四条对角线,则它是( )A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形6.如图,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于( )A.2cm 2B.1cm 2C.12cm 2D.14cm 2第6题图 第7题图 第8题图 7.如图,在钝角△ABC 中,点D 、E 分别是边AC 、BC 的中点,且DA=DE,那么下列结论错误的是（ ）A.∠1=∠2B.∠1=∠3C.∠B=∠CD.∠B=∠18.如图,∠1、∠2、∠3、∠4应满足的关系式是（ ）A.∠1+∠2=∠3+∠4B.∠1+∠2=∠4-∠3C.∠1+∠4=∠2+∠3D.∠1+∠4=∠2-∠39.下列说法中正确的个数为( ).(1)一种三角形都能铺满地面;(2)能够铺满地面的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形;(3)能够铺满地面的正多边形的组合只有正三角形，正方形和正六边形之间组合;(4)一个正五边形和两个正十边形的组合能够铺满地面.A.0B.1C.2D.310.等腰三角形中,若底边长为6，则它的腰长x 的取值范围是 ；若等腰三角的周长为18，则它的腰长a 的取值范围是____________11.已知一个三角形的三边长是2、3 和x ，且此三角形的周长是偶数，则x 的值是__________13.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.14.在四边形ABCD中,∠A=900，∠B:∠C:∠D=1:2:3，则∠B=______，∠C=______，∠D=_____15.若一个正多边形的内角和为23400，则边数为______，它的外角等于______16.如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于______度.第16题图第17题图17.如图,△ABC中，∠A=360，∠B=720，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= 度。
2020年数学中考复习专题：《三角形综合》(后附解析)
中考复习冲刺：《三角形综合》1．如图，在三角形ABC 中，AB ＝8，BC ＝16，AC ＝12．点P 从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →＞B →C →A 的方向运动，点Q 从点B 沿B →C →A 的方向与点P 同时出发；当点P 第一次回到A 点时，点P ，Q 同时停止运动；用t （秒）表示运动时间．（1）当t ＝ 秒时，P 是AB 的中点．（2）若点Q 的运动速度是23个单位长度/秒，是否存在t 的值，使得BP ＝2BQ ． （3）若点Q 的运动速度是a 个单位长度/秒，当点P ，Q 是AC 边上的三等分点时，求a 的值．2．如图，在△ABC 中，BC ＝7cm ，AC ＝24cm ，AB ＝25cm ，P 点在BC 上，从B 点到C 点运动（不包括C 点），点P 运动的速度为2cm /s ；Q 点在AC 上从C 点运动到A 点（不包括A 点），速度为5cm /s ．若点P 、Q 分别从B 、C 同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：（1）经过多少时间后，P 、Q 两点的距离为5cm ？（2）经过多少时间后，S △PCQ 的面积为15cm 2？（3）用含t 的代数式表示△PCQ 的面积，并用配方法说明t 为何值时△PCQ 的面积最大，最大面积是多少？3．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝4 2 ，求△ABC面积；（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．4．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD，使点A的对应点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限．（1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）；（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD 之间的一个等量关系，并说明理由．5．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：S△ABD ＝S△ACE；（2）如图2，AM是△ACE的中线，MA的延长线交BD于N，求证：MN⊥BD．6．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．7．定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“和美三角形”，这条边称为“和美边”，这条中线称为“和美中线”．理解：（1）请你在图①中画一个以AB为和美边的和美三角形，使第三个顶点C落在格点上；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝．求证：△ABC是“和美三角形”．运用：（3）已知，等腰△ABC是“和美三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长（画图解答）．8．【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC ＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC ＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为．9．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．10．问题原型：如图①，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，使DE＝CD，连结BE．求证：BE＝AC．问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M，使FM ＝EF，连结CM．（1）判断线段AC与CM的大小关系，并说明理由．（2）若AC＝，直接写出A、M两点之间的距离．11．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C 不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q 不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．12．如图，AC平分钝角∠BAE交过B点的直线于点C，BD平分∠ABC交AC于点D，且∠BAD+∠ABD＝90°．（1）求证：AE∥BC；（2）点F是射线BC上一动点（点F不与点B，C重合），连接AF，与射线BD相交于点P．（ⅰ）如图1，若∠ABC＝45°，AF⊥AB，试探究线段BF与CF之间满足的数量关系；＝30，∠CAF＝∠ABD，求线段BP的长．（ⅱ）如图2，若AB＝10，S△ABC13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，过点C作CG⊥AD于点G，过点B作FB⊥CB于点B，交CG的延长线于点F，连接DF交AB于点E．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．15．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为cm．16．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D在边AC上，AE⊥BD于E．（1）如图1，作CF⊥BD于F，求证：CF﹣AE＝EF；（2）如图2，若BC＝CD，求证：BD＝2AE；（3）如图3，作BM⊥BE，且BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连接CM交BE于N，请直接写出△BCM的面积为．17．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M为CE中点．（1）如图1，若D点在BA延长线上，直接写出BM与DM的数量关系与位置关系不必证明．（2）如图2，当C，E，D在同直线上，连BE，探究BE与AB的的数量关系，并加以证明．（3）在（2）的条件下，若AB＝AE＝2．求BD的长．18．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为．②∠APC的度数为．（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE＝BD交于点P，则线段AE与BD的关系为．19．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C 重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．20．思维启迪：（1）如图①，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，他出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC＝4，AE＝DE＝，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图②，当△ADE在起始位置时，求证：PC⊥PE，PC＝PE．②如图③，当α＝90°时，点D落在AB边上，PC与PE的数量关系和位置关系分别为．③当α＝135°时，直接写出PC的值．参考答案1．解：（1）∵AB＝8，点P的运动速度为2个单位长度/秒，∴当P为AB中点时，即4÷2＝2（秒）；故答案为：2．（2）由题意可得：当BP＝2BQ时，P，Q分别在AB，BC上，∵点Q的运动速度为个单位长度/秒，∴点Q只能在BC上运动，∴BP＝8﹣2t，BQ＝t，则8﹣2t＝2×t，解得t＝，当点P运动到BC和AC上时，不存在BP＝2BQ；（3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图1，AB+BC+CP＝8+16+8＝32，此时t＝32÷2＝16，∵BC+CQ＝16+4＝20，∴a＝20÷16＝，当点P为靠近点C的三等分点时，如图2，AB +BC +CP ＝8+16+4＝28，此时t ＝28÷2＝14，∵BC +CQ ＝16+8＝24，∴a ＝24÷14＝．综上可得：a 的值为或．2．解：（1）连接PQ ，设经过ts 后，P 、Q 两点的距离为5cm ，ts 后，PC ＝7﹣2tcm ，CQ ＝5tcm ，根据勾股定理可知PC 2+CQ 2＝PQ 2，代入数据（7﹣2t ）2+（5t ）2＝（5）2； 解得t ＝1或t ＝﹣（不合题意舍去）；（2）设经过ts 后，S △PCQ 的面积为15cm 2 ts 后，PC ＝7﹣2tcm ，CQ ＝5tcm ，S △PCQ ＝×PC ×CQ ＝×（7﹣2t ）×5t ＝15解得t 1＝2，t 2＝1.5，经过2或1.5s 后，S △PCQ 的面积为15cm 2．（3）设经过ts 后，△PCQ 的面积最大，ts 后，PC ＝7﹣2tcm ，CQ ＝5tcm ，S △PCQ ＝×PC ×CQ ＝×（7﹣2t ）×5t ＝×（﹣2t 2+7t ）．＝﹣5．∴当t＝s时，△PCQ的面积最大，最大值为cm2．3．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°，∴∠A＝2∠C，即△ABC是倍角三角形，（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，可得∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝，∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．（3）△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．又∵AB +AC ＝BD ，∴AE +AC ＝BD ，即CE ＝BD ．∴CE ＝DE ．∴∠C ＝∠BDE ＝2∠ADC ．∴△ADC 是倍角三角形．∵△ABD ≌△AED ，∴∠E ＝∠ABD ，∴∠E ＝180°﹣∠ABC ，∵∠E ＝180°﹣2∠C ，∴∠ABC ＝2∠C ．∴△ABC 是倍角三角形．4．解：（1）∵点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），C （k ，0），将线段AB 平移至线段CD ， ∴点B 向上平移一个单位，向右平移（k +4）个单位到点D ，∴D （k +2，2）；（2）如图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，∵A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），C （k ，0），D （k +2，2），∴BE ＝1，CE ＝k +2，DF ＝2，EF ＝k +4，CF ＝2，∵S 四边形BEFD ＝S △BEC +S △DCF +S △BCD ， ∴＝+，解得：k ＝2．（3）∠BPD ＝∠BCD +∠A ；理由如下：过点P 作PE ∥AB ，如图2所示：∴∠PBA＝∠EPB，∵线段AB平移至线段CD，∴AB∥CD，∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠PBA＝∠ABC，∠PDC＝∠ADC，∴∠BPD＝∠ABC+∠ADC＝∠BCD+∠A．5．证明：（1）过B作BM⊥DA于M，过C作CN⊥EA交EA的延长线于N，如图，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝180°，∵∠CAN+∠CAE＝180°，∴∠BAD＝∠CAN∵sin∠BAD＝，sin∠CAN＝，又∵AB＝AC，∴BM＝CN，∵DA＝AE，S△ABD ＝DN×BM，S△ACE＝AE×CN，∴S△ADB ＝S△ACE．（2）延长AM到Q使AM＝QM，连接CQ、EQ，如图，∵AM是△ACE中线，∴CM＝EM，∴四边形ACQE是平行四边形，∴AC＝EQ＝AB，AE＝CQ＝AD，AC∥EQ，∴∠CAE+∠AEQ＝180°，∵∠BAD+∠CAE＝180°，∴∠BAD＝∠AEQ，∵在△BAD和△QEA中∴△BAD≌△QEA，∴∠BDA＝∠EAM，∵∠DAE＝90°，∴∠NAD+∠QAE＝90°，∴∠BDA+∠NAD＝90°，∴∠DNA＝180°﹣90°＝90°，∴MN⊥BD．6．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC ＝∠AEH ，∵AD ＝AE ，∴△ACD ≌△EHA ，∴CD ＝AH ，EH ＝AC ＝BC ，∵CB ＝CA ，∴BD ＝CH ，∵∠EHF ＝∠BCF ＝90°，∠EFH ＝∠BFC ，EH ＝BC ，∴△EHF ≌△BCF ，∴FH ＝CF ，∴BD ＝CH ＝2CF ．（3）如图3中，同法可证BD ＝2CM ．∵AC ＝3CM ，设CM ＝a ，则AC ＝CB ＝3a ，BD ＝2a ， ∴＝＝．7．解：（1）如图①中，△ABC 1，△ABC 2即为所求．（2）证明：如图②，根据定义Rt △ABC 中，和美中线一定是较长直角边上的中线． 理由：取AC 的中点D ，连结BD ，设AC ＝2x ，则CD ＝AD ＝x ，∵，∴，∴，在Rt△BCD中，∴BD＝AC，∴△ABC是“和美三角形：．（3）分两种情况：如图③，当腰上的中线BD＝AC时，则AB＝BD，过B作BE⊥AD于E，∵AB＝AC＝20，∴BD＝20，，∴CE＝10+5＝15，∴Rt△BDE中，BE2＝BD2﹣DE2＝375，∴Rt△BCE中，；如图④，当底边上的中线AD＝BC时，则AD⊥BC，且AD＝2BD，设BD＝x，则x2+（2x）2＝202，∴x2＝80，又∵x＞0，∴，∴．综上所述，底边BC的长为或．8．解：【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，在△ABD和△ABD′中，∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC，∴△D′BC是等边三角形，②∵△D′BC是等边三角形，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，在△AD′B和△AD′C中，∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．故答案为：等边，30°；【问题解决】解：∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤120°，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝α，∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣α﹣β，同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣α﹣β+90°﹣α＝180°﹣（α+β），∵α+β＝120°，∴∠D′BC＝60°，由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．【拓展应用】第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，由（2）知，∠ADB＝30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，AD＝2，∴DE＝，∵△BCD'是等边三角形，∴BD'＝BC＝7，∴BD＝BD'＝7，∴BE＝BD﹣DE＝7﹣；第②情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90°﹣α），同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90°﹣α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]＝180°﹣（α+β），∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，∴∠ADB＝∠AD′B＝150°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝7+，故答案为：7+或7﹣．9．解：（1）作CH⊥y轴于H，则∠BCH+∠CBH＝90°，∵AB⊥BC，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH，∴BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，∴OH＝OB+BH＝4，∴C点坐标为（1，﹣4）；（2）∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，∴∠PBQ﹣∠ABQ＝∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA＝∠QBC，在△PBA和△QBC中，，∴△PBA≌△QBC，∴PA＝CQ；（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠BQP＝45°，当C、P，Q三点共线时，∠BQC＝135°，由（2）可知，△PBA≌△QBC，∴∠BPA＝∠BQC＝135°，∴∠OPB＝45°，∴OP＝OB＝1，∴P点坐标为（1，0）．10．解：问题原型：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝∠BAD，∴AD＝BD，在△BDE和△ADC中，∵，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴BE＝AC，问题拓展：（1）AC＝CM，理由：∵点F是BC中点，∴BF＝CF，在△BEF和△CMF中，∵，∴△BEF≌△CMF（SAS），∴BE＝CM，由（1）知，BE＝AC，∴AC＝CM；（2）如图②，连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，∴∠BED＝∠ACD，由（2）知，△BEF≌△CMF，∴∠EBF＝∠BCM，∴∠ACM＝∠ACD+∠BCM＝∠BED+∠EBF＝90°，∵AC＝CM，∴AM＝AC＝．11．（1）解：设AP＝x，则BQ＝x，∵∠BQD＝30°，∠C＝60°，∴∠QPC＝90°，∴QC＝2PC，即x+6＝2（6﹣x），解得x＝2，即AP＝2．（2）证明：如图，过P点作PF∥BC，交AB于F，∵PF∥BC，∴∠PFA＝∠FPA＝∠A＝60°，∴PF＝AP＝AF，∴PF＝BQ，又∵∠BDQ＝∠PDF，∠DBQ＝∠DFP，∴△DQB≌△DPF，∴DQ＝DP即D为PQ中点，（3）运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，理由：∵PF＝AP＝AF，PE⊥AF，∴，又∵△DQB≌△DPF，∴，∴．12．（1）证明：∵AC平分钝角∠BAE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABD，∴∠BAE+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABD）＝2×90°＝180°，∴AE∥BC；（2）解：（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由如下：∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴BD⊥AC，∴∠CBD+∠BCD＝90°，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC，过点A作AH⊥BC于H，如图1所示：∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，∴△ABH、△BAF是等腰直角三角形，∴AH＝BH＝HF，BC＝AB＝BH，BF＝AB＝×BH＝2BH，∴CF＝BF﹣BC＝2BH﹣BH＝（2﹣）BH，∴BH＝＝（1+）CF，∴BF＝2（1+）CF＝（2+）CF；（ⅱ）当点F在点C的左侧时，如图2所示：同（ⅰ）得：∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC＝10，∵∠CAF＝∠ABD，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠BCD+∠CAF＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，＝BC•AF＝×10×AF＝30，则S△ABC∴AF＝6，∴BF＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，∴AC＝＝2，＝AC•BD＝×2×BD＝30，∵S△ABC∴BD＝3，作PG⊥AB于G，则PG＝PF，在Rt△BPG和Rt△BPF中，，∴Rt△BPG≌Rt△BPF（HL），∴BG＝BF＝8，∴AG＝AB﹣BG＝2，∵AB＝CB，BD⊥AC，∴AD＝CD＝AC＝，设AP＝x，则PG＝PF＝6﹣x，在Rt△APG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AP＝，∴PD＝＝＝，∴BP＝BD﹣PD＝3﹣＝；当点F在点C的右侧时，则∠CAF＝∠ACF'，∵BD⊥AC，∴∠APD＝∠AP'D，∴AP＝AP'，PD＝P'D＝，∴BP＝+2×＝；综上所述，线段BP的长为或．13．解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，∴∠EDC＝30°，∵∠AED＝∠EDC+∠ACB＝30°+40°＝70°∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝110°，故答案为：30，110，∵∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，∴∠BDA＝140°﹣∠BAD∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小，故答案为：小（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）（3）若AD＝DE时，∵AD＝DE，∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时，∵AE＝DE，∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形14．证明：（1）∵CG⊥AD，∴∠AGC＝90°，∴∠GCA+∠CAD＝90°，∵∠GCA+∠FCB＝90°，∴∠CAD＝∠FCB，∵FB⊥BC，∴∠CBF＝90°，∵Rt△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠CBF＝∠ACB，在△ACD和△CBF中，∴△ACD≌△CBF（ASA）；（2）∵△ACD≌△CBF，∴CD＝BF，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴BD＝BF，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠DBE＝45°，∵∠CBF＝90°，∴∠DBE＝∠FBE＝45°，在△DBE和△FBE中，∴△DBE≌△FBE（SAS），∴DE＝FE，∠DEB＝∠FEB＝90°，∴AB垂直平分DF；（3）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，由（2）知：AB垂直平分DF，∴AF＝AD，∵CF＝AD，∴CF＝AF，∴△ACF是等腰三角形．15．解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，又∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，故答案为：DA＝DC+DB；（2）DA＝DB+DC，如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，CE＝BD，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴DA2+AE2＝DE2，∴2DA2＝（DB+DC）2，∴DA＝DB+DC；（3）如图3，连接PQ，∵MN＝14，∠QMN＝30°，∴QN＝MN＝7，∴MQ＝＝＝7，由（2）知PQ＝QN+QM＝7+7，∴PQ＝＝，故答案为：．16．（1）证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∴CF﹣AE＝BE﹣BF＝EF；（2）证明：如图1，过点C作CF⊥BD于点F，∵BC＝CD，∴BF＝DF，由（1）得AE＝BF，∴AE＝DF，∴BD＝2AE；（3）解：如图2，过点C作CG⊥MB，交MB的延长线于点G，过点C作CH⊥BE，交BE于点H，∵BM⊥BE，CH⊥BE，CG⊥MB，∴∠NBG＝∠CHB＝∠CGB＝90°，∴四边形BGCH为矩形，∴BG＝HC，BH＝GC，由（1）得△AEB≌△BHC，∴AE＝BH，BE＝CH，∵BM＝BE，∴BM＝CH，∵∠MBN＝∠CHN＝90°，∠MNB＝∠CNH，∴△BMN≌△HCN（AAS），∴BM＝CH，BN＝HN，∵AE＝BH＝2，∴BN＝1，∴BE＝BM＝BN+EN＝1+4＝5，∴＝．故答案为：5．17．解：（1）BM＝DM，BM⊥DM；如图1，连接AM，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠CAE＝90°，∵M为CE中点．∴CM＝AM，∵BM＝BM，BC＝BA，∴△BCM≌△BAM（SSS），∴∠CBM＝∠MBA＝45°，同理可得∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM，BM⊥DM；（2）如图2，延长BM到N，使BM＝MN，连EN，DN，BD，BE，∵∠CMB＝∠EMN，CM＝ME，∴△CBM≌△ENM（SAS），∴BC＝EN，∠BCM＝∠MEN，∴EN＝AB，∵∠CBA＝∠ADE＝90°，∴∠BCM+∠BAD＝180°，∵∠NED+∠MEN＝180°，∴∠NED＝∠BAD，又∵AD＝DE，∴△END≌△ABD（SAS），∴DB＝DN，∠NDE＝∠BDA，∴∠NDE+∠BDE＝90°，∴∠NDB＝90°，∴DB⊥DN，∴DM⊥BN，∴BE＝EN＝BC＝AB；（3）如图3，连BE，BD交AE于N，在（2）的条件下，CM＝ME，DM⊥BM，∴BE＝BC＝AE＝AB＝2，DE＝DA＝2，∴BD为AE的垂直平分线，∴EN＝DN＝AN＝，∴BN＝＝，∴BD＝+．18．解：（1）观察猜想：①如图1，设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE ＝S△BCD，∴∠DPO＝∠ACO＝60°，∴∠APB＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴CP平分∠APB，∴∠APC＝60°，故答案为AE＝BD，60°．（2）数学思考：：①成立，②不成立，理由：设AC交BD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，∵∠AOP＝∠DOC，∴∠APO＝∠DCO＝60°，∴∠DPE＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴∠DPC＝60°，∴∠APC＝120°，∴①成立，②不成立；拓展应用：设AC交BD于点O．∵∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，∴∠ACE＝∠DCB∴△AEC≌△DBC（SAS），∴AE＝BD，∠CDB＝∠CAE，∵∠AOP＝∠COD，∠CDB＝∠CAE，∴∠DCO＝∠APO＝90°，∴AE⊥BD，故答案为：AE＝BD，AE⊥BD．19．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°＝∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8﹣6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴．20．（1）解：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠C，∵P是BC的中点，∴PB＝PC，在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（ASA），∴AB＝CD＝200米；故答案为：200；（2）①证明：延长EP交BC于F，如图②所示：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDP＝∠FBP，∠DEP＝∠BFP，∵点P是线段BD的中点，∴PB＝PD，在△FBP和△EDP中，，∴△FBP≌△EDP（AAS），∴PF＝PE，BF＝DE，∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，又∵∠ACB＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵PE＝PF，∴PC⊥EF，PC＝EF＝PE；②解：PC⊥PE，PC＝PE；理由如下：延长ED交BC于H，如图③所示：由旋转的性质得：∠CAE＝90°，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴四边形ACHE是矩形，∴∠BHE＝∠CHE＝90°，AE＝CH，∵AE＝DE，∴CH＝DE，∠ADE＝45°，∴∠EDP＝135°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠BHE＝90°，点P是线段BD的中点，∴PH⊥BD，PH＝BD＝PD，△BPH是等腰直角三角形，∴∠BHP＝45°，∴∠CHP＝135°＝∠EDP，在△CPH和△EPD中，，∴△CPH≌△EPD（SAS），∴PC＝PE，∠CPH＝∠EPD，∴∠CPE＝∠HPD＝90°，∴PC⊥PE；故答案为：PC⊥PE，PC＝PE；③解：当α＝135°时，AD⊥AC，过点D作DF⊥BC于F，连接CD，过点C作CN⊥BD于N，如图④所示：则四边形ACFD是矩形，∴CF＝AD＝AE＝2，DF＝AC＝4，∴CD＝＝＝2，BF＝BC﹣CF＝4﹣2＝2，∴BD＝＝＝2，∵DF•BC＝CN•BD，∴CN＝＝＝，BN＝＝＝，∴PN＝BD﹣BN＝×2﹣＝，∴PC＝＝＝．。
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析 第四章 三角形技法2 全等三角形的常见模型
∠A=∠D.请你从中任选一个条件,使△ABC≌△DEF,并写出证明过程.
解:答案不唯一,如选择条件②.证明如下:
∵BE=CF,
∴BE＋EC=CF＋EC,即BC=EF.
= ,
在△ABC和△DEF中,ቐ∠ = ∠,
证:△BDC≌△CEB.
证明:∵AB=AC,∴∠DBC=∠ECB.
∵AD=AE,∴AB－AD=AC－AE,即DB=EC.
= ,
在△DBC和△ECB中,ቐ∠ = ∠,∴△BDC≌△CEB(SAS).
= ,
证明
3.如图,AD⊥AE,AB⊥AC,∠B=∠C,AB=AC.求证:△ABD≌△ACE.
= ,
∴△ACE≌△DCB(SAS),∴∠CAM=∠CDN.
∵ ∠ MDP ＋ ∠ DMP ＋ ∠ MPD= ∠ CAM ＋ ∠ AMC ＋
∠ACM=180°,∠MDP=∠CAM,∠DMP=∠AMC,
∴∠APD=∠ACM=模型类别
一线三等
已知条件
图示
相关结论
腰三角形
已知条件
CA=CB,CD=CE,
∠ACB=∠DCE
图示
相关结论
△BCD≌△ACE
4.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,DE分别交BC,AC
于点F,G.
(1)求证:∠C=∠E.
(2)若∠CAE=24°,求∠EFC的度数.
(1)证明:∵∠BAD=∠CAE,
2025年湖南中考数学一轮复习考点研析
第一部分 考点研析
第四章 三角形
技法2 全等三角形的常见模型
中考数学第一轮复习 三角形
类型之二 三角形的重要线段的应用 命题角度： 1．三角形的中线、角平分线、高 2．三角形的中位线
[2011·成都] 如图 19－1，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、 BC 的中点，若 DE＝4，则 AB＝___8_____.
1．三条边对应相等的两个三角形全等(简记为________)S．SS 2．两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为________)． ASA3．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为
________)．
4．两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为________)．
命题角度： 1．等腰三角形的性质 2．等腰三角形“三线合一”的性质 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质
[2011·株洲] 如图 21－1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.
__5_0_°____.
图 19－2
全等三角形
考点1 全等图形及全等三角形
1．能够完全_____重__合_的两个图形称为全等形，全等图形的形状和 ______大__小都相同．
2．能够完全______重_合_的两个三角形叫全等三角形． [注意] 完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等
大于
[总结] 任意三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝
角，最多有一个直角．
互余
类型之一 三角形三边的关系
命题角度： 1．利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形 2．利用三角形三边的关系求字母的取值范围 3．三角形的稳定性
2021年 中考一轮复习数学——几何小专题：三角形综合之解答题专项(有答案)
2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，点D为BC边上一点，连接AD，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD ＝AE，连接EC．直接写出线段BD与CE的数量关系为，位置关系为．（2）如图2，点D为BC延长线上一点，连接AD，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接EC．①用等式表示线段BC，DC，EC之间的数量关系为．②求证：BD2+CD2＝2AD2．（3）如图3，点D为△ABC外一点，且∠ADC＝45°，若BD＝13，CD＝5，求AD的长．2．如图1，平面直角坐标系中，点A（0，a﹣2），B（b，0），C（b﹣6，﹣b），且a、b 满足a2﹣2ab+2b2﹣16b+64＝0，连接AB、AC，AC交x轴于D点．（1）求C点的坐标；（2）求证：∠OAC+∠ABO＝45°；（3）如图2，点E在线段AB上，作EG⊥y轴于G点，交AC于F点，若EG＝AO，求证：EF＝OD+AG．3．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD．（1）求证：△BOC≌△ADC；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？4．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝5，D为直线BC上一动点，以AD 为边作等边△ADE（A，D，E三点逆时针排列），连接CE．（1）如图1，若D为BC中点，求证：AE＝CE；（2）如图2，试探究AE与CE的数量关系，并证明你的结论；（3）连接BE，在D点运动的过程中，当BE最小时，则线段CD的长为．5．已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．（1）如图1．当PB＝3AP时，△BPC的面积为；（2）直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．①如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，求BB′的长度；②如图3，当PB＝6时，在直线l变化过程中．请直接写出△ACB′面积的最大值．6．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0°＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．（1）依题意补全图形；（2）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；（3）直接写出∠AEB的度数；（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5cm，点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB向终点B运动过．点P作PQ⊥AC于Q，当点P不与点A、B重合时，以线段PQ 为边向右作长方形PQMN，使PN＝2PQ．设长方形PQMN与△ABC的重叠部分面积为S，点P 的运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段BP的长度．（2）当点N落在BC边上时，求t的值．（3）用含t的代数式表示S．（4）当点C与长方形PQMN的顶点所连的直线平分△ABC的面积时，直接写出t的值．8．如图1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于点E，交CD于点F．（1）如图1，若AB＝2AC，求AE的长；（2）如图2，若∠B＝30°，求△CEF的面积；（3）如图3，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：PF+AF＝BC9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C．（1）当AD＝1时，求FB的长；（2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长．10．如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC＝30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连BE．（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+AC＝CE；（3）若AC＝6，CE＝2，则PD的值为（直接写出结果）．参考答案1．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：BD＝CE；BD⊥CE；（2）①BC+DC＝EC；∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴CE＝BD＝BC+CD，故答案为：BC+CD＝EC；②由①知，△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠BCE＝∠DCE＝90°，。
初中数学中考一轮复习专题6 三角形 重点、考点知识、方法总结及真题练习
A.
B.
【答案】A.
C.
D.
【解析】解：三角形具有稳定性．
故选：A．
知识点 2 等腰三角形
等腰三角形的概念不性质
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三
边叫做三角形的底.
2、等腰三角形的性质
①等腰三角形的腰相等
②等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“）
2.如图，在△ABC 中，AB=AC．以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交 AC 的延长线于
点 D，连结 BD．若∠A=32°，则∠CDB 的大小为 度．
【答案】37 【解析】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°， 又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD= ∠ACB=37°．
．
【答案】40° 【解析】解：∵BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∴∠BOC=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A，
3.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，BD 平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数
是
．
【答案】3
【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC 是等腰三角形，
∠ABC=∠ACB=
=72°，
BD 平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，
∴在△ABD 中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD 是等腰三角形，
2022年中考数学九年级一轮复习：三角形综合练习题
在△APC和△QPD中，
，
∴△APC≌△QPD（ASA），
∴AC=QD=BC，
∴BP=BC-PC=QD-CD=CQ，
∴ ；
（2） ，理由如下：
过P作 交BA于F，
∴∠FPA=∠PAC，
∵∠APE=∠ECQ= ，∠AEP=∠QEC，
∴∠PAE=180°-∠AEP- =180°-∠QEC- =∠PQC，
（3）当点P在直线BC上，当 ， ， 时，请利用备用图探究 面积的大小（直接写出结果即可）．
23．如图，在等边 中，点 在 边上，点 为 延长线上一点，连接 ，过点 作 交 延长线于点 ．
（1）如图1，若 ， ， ，求 的长；
（2）如图2，若 ，点 在 的垂直平分线上，点 在 边上，连接 交 于点 ，且 ，求证： ；
∴AF∥DG，
∴∠GDB=∠AEB，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAG=60°，AC=AB=8，
∴∠ADG=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠ABP=∠APQ=90°，
∴∠APB+∠BAP=∠APB+∠HPQ=90°，
∴∠BAP=∠HPQ，
∴△APB∽△PQH，
∴ ，即 ，
∵∠ACQ=90°，
∴∠QCH=∠ACB=45°，
∴∠CQH=90°-∠QCH=45°，
∴CH=QH，
设PH=8m，QH=15m,
∴CH-PH=CP=7，
∴15m-8m=7m=7，
∴∠EAG＝∠F，
中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习(含答案解析)
中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习（含答案解析）一．全等三角形的判定与性质1．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．∵I是△ABD的内心，∴∠BAI＝∠CAI，∵AB＝AC，AI＝AI，∴△BAI≌△CAI（SAS），∴IB＝IC，∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，∴△IDT≌△IDE（AAS），∴DE＝DT，IT＝IE，∵∠BEI＝∠CTI＝90°，∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），∴BE＝CT，设BE＝CT＝x，∵DE＝DT，∴10﹣x＝x﹣4，∴x＝7，∴BE＝7．故选：B．2．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．18【答案】B【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．3．（2022•南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B 顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】①②③【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∵∠A1BA2＝∠ABC＝90∴∠ABA1＝∠CBA2，∵BA1＝BA2，∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确，过点D作DT⊥CA1于点T，∵CD＝DA1，∴∠CDT＝∠A1DT，∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDT＝45°，∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°，∴∠CDT＝∠BCA1，∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确．连接P A，AC．∵A，A1关于DE对称，∴P A＝P A1，∴P A1+PC＝P A+PC≥AC＝，∴P A1+PC的最小值为，故③正确，过点A1作A1H⊥AB于点H，∵∠ADE＝30°，∴AE＝A1E＝AD•tan30°＝，∴EB＝AB﹣AE＝1﹣，∵∠A1EB＝60°，∴A1H＝A1E•sin60°＝×＝，∴＝×（1﹣）×＝，故④错误．故答案为：①②③．4．（2022•朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为．【答案】3或．【解答】解：如图，E点在AD的右边，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD．在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD＝2，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1＝3，∴等边三角形ABC3，如图，E点在AD的左边，同上，△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBD＝120°，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，则∠EBF＝60°，∴EF＝BE＝CD，BF＝BE＝CD，∴CF＝BF+BD+CD＝CD，在Rt△EFC中，CE＝2，∴EF2+CF2＝CE2＝4，∴+＝4，∴CD＝或CD＝﹣（舍去），∴BC＝，∴等边三角形ABC的边长为，故答案为：3或．5．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P 是x轴上一动点，把线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．【答案】2【解答】解：方法一：∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°，∴∠P1AO＝30°，且AO＝4，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，∴P1A＝P1F1＝AF1＝，∴点F1的坐标为（，0），如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO＝F2O＝4，∴点F2的坐标为（0，﹣4），∵tan∠OF1F2＝＝＝，∴∠OF1F2＝60°，∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，∴F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则×OF1×OF2＝×F1F2×h，∴××4＝××h，解得h＝2，即线段OF的最小值为2；方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，∠P AF＝60°，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，在△BAP和△OAF中，，∴△BAP≌△OAF（SAS），∴BP＝OF，∵P是x轴上一动点，∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，∴BP′＝OB＝×4＝2，∴OF的最小值为2，故答案为2．二．勾股定理6．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【答案】48【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．7．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt △DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A 重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【答案】21【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F 作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．8．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【答案】80【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI 于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．三．等腰直角三角形（共2小题）9．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE ＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得P A+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【答案】B【解答】解：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠AEC+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，∵tan∠CDF＝＝＝2，∴CJ＝m，∵AO⊥DE，CJ⊥DE，∴AO∥CJ，∴＝＝＝，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，P A+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC ＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，∴∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD＝t，∴2+t＝t，∴t＝+1，∴CE＝BD＝t＝3+，故④错误．故选：B．10．（2022•绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝2，CD＝2，则△ABE的面积为．【答案】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB＝2，∵∠ADC＝90°，CD＝2，∴AD＝，∵，∴DF＝，∴AF＝，∴CF＝，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，∴EF＝，∴AE＝，∴．故答案为：．11．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△P AB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．【答案】B【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，∵S△P AB +S△ABC＝S△PBC+S△P AC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△P AB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．12．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．【答案】C【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF ＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠F AP，∴△CPN∽△FP A，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴＝，∵CE＝+，∴＝，∴CH＝2，故选：C．13．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．3【答案】C【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．14．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，如图：∵CD⊥x轴，CE⊥y＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，∴AC＝＝＝BC＝AB，在Rt△BCD中，BD＝＝＝，在Rt△AOB中，OB＝＝＝，∵OB+BD＝OD＝m，∴+＝m，化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，解得m＝或m＝﹣（舍去），∴m＝，故选：C．三．等腰直角三角形（共1小题）15．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为．【答案】7【解答】解：设MN交BC于D，连接EC，如图：由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE＝4，∴∠ECB＝∠B＝45°，∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，在Rt△ACE中，AE＝＝＝3，∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，故答案为：7．四．等边三角形的性质（共2小题）16．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC +S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，故选：C．17．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC 上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为．【答案】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案为：．五．含30度角的直角三角形（共1小题）18．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D ＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m （结果取整数，参考数据：≈1.7）．【答案】370【解答】解：解法一：如图，延长DC，AB交于点G，过点N作NH⊥AD于H，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△DCM是等边三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．六．等腰直角三角形（共2小题）19．（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若AB＝2，则AM的长为（）A．4B．2C．D．【答案】B【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，∴DA＝DM＝DB，∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，∴△AMB是等腰直角三角形，∴AM＝AB＝×2＝2，故选：B．20．（2022•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D 为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P 的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为．【答案】或【解答】解：如图：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∵点D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，∵∠ADQ＝90°，∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，∴AQ＝＝＝，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，∴AQ′＝＝＝，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，故答案为：或．30。
中考数学一轮综合复习同步讲义(第9课全等三角形)
中考数学一轮分复习第09课 全等三角形知识点：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧；倍长中线：截长补短：角平分线上：已知角平分线及垂足在上一点到一边距离：已知角平分线及平分线辅助线做法：共边问题：重叠角问题：已知两角，已知两边，全等三角形判定方法：角平分线画法：角平分线判定：角平分线性质：，，，，全等三角形判定：全等三角形性质：定义：全等三角形课堂练习：1.下列说法错误的有（ ）①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④边数相同的图形一定能互相重合．A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个2.已知△ABC 与△DEF 全等,∠A=∠D=900，∠B=370，则∠E 的度数是（ ）A.37°B.53°C.37°或63°D.37°或53°3.如图，已知∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需条件（ ）A.AB=AD,BC=DEB.BC=DE,AC=AEC.∠B=∠D,∠C=∠ED.AC=AE,AB=AD4.在△ABC 中，AC=5，中线AD=4，则边AB 的取值范围是( )A.1<AB<9B.3<AB<13C.5<AB<13D.9<AB<135.一个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、6,若这两个三角形全等,则x+y=6.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于F,交DE于G,∠ACB=∠AED=1050，∠CAD=150 ,∠B=∠D=300，则∠1的度数为第6题图第7题图第8题图7.如图,AB=DB,∠ABD=∠CBE,请添加一个适当条件，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900，BC=2cm,CD⊥AB，在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm，则AE= cm．9.如图，已知AB⊥BD 于B，ED⊥BD 于D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=____.10.如图,F在正方形ABCD的边BC边上,E在AB 的延长线上,FB=EB,AF 交CE 于G,则∠AGC的度数是______.11.如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E 为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC 全等,这样的三角形最多可以画出_____个．12.如图，AE=DB,BC=EF,BC∥EF,求证:△ABC≌△DEF．13.如图∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE，BD=CE.求证：AB=AC.14.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．15.如图,E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE∥CF，AE=CF,BE=DF.求证：△ADE≌△CBF．16.如图,ΔABC和ΔBDE是等边三角形,D在AE 延长线上.求证:BD+DC=AD.17.如图,在△ABC中,∠ACB=900，AC=BC,D是AB上一点,AE⊥GD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F.求证：AE=EF+BF.18.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=900，BE⊥AD,垂足为E.求证：BE=DE．19.已知,在ΔABC中,∠B=2∠C,AD平分∠A交BC于D点,求证：AC=AB+BD.20.如图,等腰 Rt△OAB中,∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中,∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．21.已知在Rt△ABC中,∠C=900，AC=BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为C．求证：△DBE的周长等于AB的长．22.已知,如图,在四边形ABCD中,BC>AB，AD=DC,BD平分∠ABC.求证:∠BAD+∠BCD=180°.23.如图①,点E在正方形ABCD边BC上,BF⊥AE于F,DG⊥AE于G,可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）拓展：如图②,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E、F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF．应用：如图③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,B＞BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为9,则△ABE与△CDF的面积之和为．第09课全等三角形测试题日期：月日满分：100分时间：20分钟姓名：得分：1.如图∠1=∠2=200，AD=AB,∠D=∠B，E 在线段BC 上，则∠AEC=（）A.200B.700C.500D.800第1题图第2题图第3题图2.某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去3.已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°4.如图,已知点A、D、C、F在同一直线上,AB=DE，BC=EF,要使△ABC≌△DEF，还要添加一个条件是（）A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EFD.∠A=∠EDF第4题图第5题图第6题图5.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC≠BD，则图中全等三角形有（）A.4对B.6对C.8对D.10对7.在下列定理中假命题是（）A.一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B.一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D.两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形8.如图,△ABC中,∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E,若AC=10cm,则△DBE的周长等于( )A.10cm B.8cm C.6cm D.9cm第8题图第9题图9.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.1 处B.2 处C.3 处D.4 处10.若两个三角形的面积相等, 则这两个三角形________全等．（选择：一定或不一定）11.已知:如图,∠B=∠DEF,AB=DE,要说明△ABC≌△DEF，（1）若以“ASA”为依据,还缺条件 .（2）若以“AAS ”为依据,还缺条件 .（3）若以“SAS ”为依据,还缺条件 .12.如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC=600，BC=6，把△ABC 沿直线AD 折叠,点C 落在C /处,连接BC /，那么BC /的长为 ．第12题图 第13题图 第14题图13.如图,△ABD 与△AEC 都是等边三角形,AB ≠AC,下列结论中：①BE=DC ；②∠BOD=60°；③△BOD ∽△COE.正确的序号是 14.如图,△ABD 的三边AB 、BC 、CA 的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将△ABD 分为三个三角形，则CAO BCO ABO S S S ∆∆∆:: 等于______.15.如图,AB ∥CD,O 是∠BAC 、∠ACD 的平分线的交点,OE ⊥AC 于E,且OE=3,则AB 与CD 间的距离等于16.如图,AC ⊥BC,BD ⊥AD,AC 与BD 交于O,AC=BD.求证：（1）BC=AD ；（2）△OAB 是等腰三角形．17.如图,已知AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且BD=CD.求证：BE=CF ．18.如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC,E 是AB 的中点,连接DE 并延长交CB 的延长线于点F,点G 在边BC 上，且∠GDF=∠ADF ．（1）求证:△ADE ≌△BFE ；（2）连接EG,判断EG 与DF 的位置关系并说明理由．。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-相似三角形(解析版)
专题22相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a cb d(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【考点总结】二、相似三角形【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．角三角形的应用比例线段的性质(1)基本性质：a b ＝c d ad ＝bc ；(2)合比性质：a b ＝c d a ＋b b ＝c ＋d d ；(3)等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．3．子母型．4．旋转型．【类型】一、平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC ＝BD·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【类型】二、相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DO CO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．【类型】三、子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF .【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE .参考答案1．(1)证明：∵ED ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC.又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC.∴AE AC ＝DE BC.∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC.∵ED ∥BC ，∴∠DE B ＝∠EBC.∴∠DBE ＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴AE AC ＝BD BC.即AE·BC ＝BD·AC.(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高，h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高，h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝12·DE·h △ADE 12·DE·h △BDE ＝h △ADE h △BDE ＝32.∴h △ADE h △ABC ＝35.∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝35.∵DE ＝6，∴BC ＝10.2．解：相似．理由如下：因为EO BO ＝DO CO，∠BO E ＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ，所以△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB.所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO.因为∠ADE ＝∠DCO ＋∠DEO ，∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO ，所以∠ADE ＝∠ABC.又因为∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC.3．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAC ＝∠A DB ＝90°.又∵∠CBA ＝∠ABD(公共角)，∴△ABC ∽△DBA.∴AB AC ＝DB DA，∠BAD ＝∠C.∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC.∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C.∴∠BDF ＝∠BAD.又∵∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF.∴DB AD ＝DF AF .∴AB AC ＝DF AF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，D E ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB ＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD 2，AF·AC ＝AD 2，∴AE·AB ＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC.又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝AB AC.∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE ＝BD CE.技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BFAF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC .【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.参考答案1．解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 上的两个三等分点，∴BE ＝EF ＝FC.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD.∴DF 是△ACE 的中位线．∴DF ∥AE ，且DF ＝12AE.∴DF ∥PE.∴∠BEP ＝∠BFD.又∵∠EBP 为公共角，∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF ＝BP BD.∵BF ＝2BE ，∴BD ＝2BP.∴BP ＝PD.∴DF ＝2PE.∵DF ∥AE ，∴∠APQ ＝∠FDQ ，∠PAQ ＝∠DFQ.∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD ＝AP DF.设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a.∴PQQD ＝AP DF ＝3 2.∴BP PQ QD ＝53 2.2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G.又∵D 为C F 的中点，∴CD ＝DF.在△ADF 和△GDC DAF ＝∠G ，ADF ＝∠CDG ，＝CD ，∴△ADF ≌△GDC(AAS )．∴AF ＝CG.∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2.∵AB ∥CG ，∴∠CGE ＝∠BAE ，∠BCE ＝∠ABE.∴△ABE ∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52.3．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴∠PFC ＝∠PDB ，∠PCF ＝∠PBD.∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BD CF.∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF.∴BP CP ＝BD EC.4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥A B ，交DE 于点F ，(第4题①)∴∠FCD ＝∠B.又∵∠D 为公共角，∴△CDF ∽△BDE.∴CF BE ＝CD BD.∵点M 为AC 边的中点，∴AM ＝CM.∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠MCF.又∵∠AME ＝∠CM F ，∴△AME ≌△CMF.∴AE ＝CF.∵AE ＝14AB ，BE ＝AB －AE ，∴BE ＝3AE.∴AE BE ＝13.∵CF BE ＝CD BD，∴AE BE ＝CD BD ＝13，即BD ＝又∵BD ＝BC ＋CD ，∴BC ＝2CD.(第4题②)(方法二)如图②，过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ，∴AE AF ＝AM AC.又∵点M 为AC 边的中点，∴AC ＝2AM.∴2AE ＝AF.∴AE ＝EF.又∵AE AB ＝14，∴BF EF＝2.又∵CF ∥DE ，∴BF FE ＝BC CD ＝2.∴BC ＝2CD.(第4题③)(方法三)如图③，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，∴∠AEF ＝∠B.又∵∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ABC.∴EF BC ＝AE AB ＝AF AC.由AE ＝14AB ，知EF BC ＝AE AB ＝AF AC ＝14，∴EF ＝14BC ，AF ＝14AC.由EF ∥CD ，易证得△EFM ∽△DCM ，∴EF CD ＝MF MC.又∵AM ＝MC ，∴MF ＝12MC ，∴EF ＝12CD.∴BC ＝2CD.(第4题④)(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ，∴∠F ＝∠D ，∠FAE ＝∠B.∴△AEF ∽△BED.∴AE BE ＝AF BD.∵AE ＝14AB ，∴AE ＝13BE.∴AF ＝13BD.由AF ∥CD ，易证得△AFM ∽△CDM.又∵AM ＝MC ，∴AF ＝CD.∴CD ＝13BD.∴BC ＝2CD.点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF ＝BF·EC.2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，求证：AB·DF ＝BC·EF.【类型】二、三点定型法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.求证：DC AE ＝CF AD .4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.求证：AM 2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BF BE ＝AB BC .9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MN AC .【类型】六、等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝AC AB .【类型】七、等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF.12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB·PC.参考答案1．证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M.∵CM ∥AB ，∴∠FCM ＝∠B ，∠FMC ＝∠FDB.∴△CMF ∽△BDF.∴BF CF ＝BD CM.又∵CM ∥AD ，∴∠A ＝∠ECM ，∠ADE ＝∠CME.∴△ADE ∽△CME.∴AE EC ＝AD CM.∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD CM ＝AD CM .∴BF CF ＝AE EC.即AE·CF ＝BF·EC.2．证明：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，易知△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC.∴EF DF ＝CE DG ，AB BC ＝AD DG.∵AD ＝CE ，∴CE DG ＝AD DG .∴AB BC ＝EF DF.即AB·DF ＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A E ∥D C ，∠A ＝∠C.∴∠CDF ＝∠E.∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE ＝CF AD.4．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠BEM ＝90°，∠D ＋∠DEA ＝90°.∵∠BEM ＝∠DEA ，∴∠B ＝∠D.又∵M 为BC 的中点，∠BAC ＝90°，∴BM ＝AM.∴∠B ＝∠BAM.∴∠BAM ＝∠D.即∠EAM ＝∠D.又∵∠AME ＝∠DMA.∴△AME ∽△DMA.∴AM MD ＝ME AM.即AM 2＝MD·ME.5．证明：如图，连接PM ，PN.∵MN 是AP 的垂直平分线，∴MA ＝MP ，NA ＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°，∴∠5＝∠7.∴△BPM ∽△CNP.∴BP CN ＝BM CP.即BP·CP ＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠EDB ＝180°，∠ACB ＋∠FED ＝180°.∴∠FED ＝∠EDB.又∵∠EDF ＝∠DBE ，∴△DEF ∽△BDE.(2)由△DEF ∽△BDE 得DE BD ＝EF DE.即DE 2＝DB·EF.又由△DEF ∽△BDE ，得∠GED ＝∠EFD.∵∠GDE ＝∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF.∴DG DE ＝DE DF.即DE 2＝DG·DF.∴DG·DF ＝DB·EF.7．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠DEB ＝∠AGB ＝90°.∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠AB G ＝90°.∴∠P ＝∠ABG.∴△AEP ∽△DEB.∴AE DE ＝PE BE.即AE·BE ＝PE·DE.又∵∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°.∴∠ACE ＝∠CBE.∴△AEC CEB.∴AE CE ＝CE BE.即CE 2＝AE·BE.∴CE 2＝DE·PE.8．证明：由题意得∠BDF ＝∠BAE ＝90°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠ABE.∴△BDF ∽△BAE.∴BD AB ＝BF BE.∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA.∴△ABC ∽△DBA.∴AB BC ＝BD AB.∴BF BE ＝AB BC.9．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝AB AD，∠BAM ＝∠DAN.又AD ＝BC ，∴AM AN ＝AB BC.∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠MAD ＝∠AMB ＝90°.∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°.∴∠B ＝∠MAN.∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB ＝MN AC.10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°.又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ABD ∽△ADE.∴AD AB ＝AE AD.即AD 2＝AE·AB.同理可得AD 2＝AF·AC.∴AE·AB ＝AF·AC.∴AE AF ＝AC .11．证明：连接PC ，如图所示．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB.∴BP ＝CP.∴∠1＝∠2∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4.∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC.∴CP PE ＝PF CP，即CP 2＝PF·PE.∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE·PF.12．证明：如图，连接PA ，∵EP 是AD 的垂直平分线，∴PA ＝PD.∴∠PD A ＝∠PAD.∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP.又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∴∠B ＝∠CAP.又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB ＝PC PA.即PA 2＝PB·PC.∵PA ＝PD ，∴PD 2＝PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且CD BD ＝32，则CE CA 的值为（）A ．35B ．23C ．45D ．32【答案】A【提示】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．【详解】解：∵DE //AB ，∴32CE CD AE BD ==∴CE CA 的值为35．故答案为A ．【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【提示】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可【详解】∵//DE BC ，∴AD AE DB EC =，即932AE =，∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=．故选C ．【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知DAB CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定A ABC DE ∽△△的是（）A ．AB AC AD AE =B ．AB BC AD DE =C ．B D ∠=∠D ．C AED∠=∠【答案】B【提示】利用相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE ，∴∠DAE=∠BAC ，A 、若AB AC AD AE =，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项A 不符合题意；B 、若AB BC AD DE =，且∠DAE=∠BAC ，无法判定△ABC ∽△ADE ，故选项B 符合题意；C 、若∠B=∠D ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项C 不符合题意；D 、若∠C=∠AED ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项D 不符合题意；故选：B ．【题型】四、相似三角形的性质例4、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（）A ．30B ．25C ．22．5D ．20【答案】D【提示】首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．【详解】解：根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20故本题选择D【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ，如图所示．若测得BE ＝90m ，EC ＝45m ，CD ＝60m ，则这条河的宽AB 等于()A ．120mB ．67.5mC ．40mD ．30m【答案】A 【解析】∵∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠CED,∴△ABE ∽△DCE,∴AB BE CD CE=.∵BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，∴()906012045AB m ⨯==故选A.【物高问题】【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∶OD =1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5【答案】C【提示】根据位似图形的性质即可得出答案．【详解】由位似变换的性质可知，//,//AB DE AC DF∴12OA OB OD OE ==12AC OA DF OD ∴==∴△ABC 与△DEF 的相似比为：1∶2∴△ABC 与△DEF 的面积比为：1∶4故选C ．【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm【答案】A【提示】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm ,∵三角尺与投影三角尺相似,∴8：x ＝2：5,解得x ＝20.故选:A .相似三角形（达标训练）一、单选题1．如图，已知∥DE BC ，12AD BD =，则ADE V 与ABC 的周长之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:9D ．1:3【答案】D 【分析】根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可得：ABC ADE ∽，相似三角形的对应边成比例，且周长比等于相似比，据此即可解答．【详解】解：∵∥DE BC ，∴ADE B ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ABC ADE ∽，∵AD ：DB =1：2，∴AD ：AB =1：3，∴13ADE ABC C C ∆∆=：：，即ADE 与ABC 的周长比为1：3．故选：D ．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键．2．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定方法可得AEC △∽ADB ，AEC △∽FEB ，AEC △∽FDC △，可求解．【详解】解：A A ∠=∠ ，90AEC ADB ∠=∠=︒，AEC ∴ ∽ADB ，ACE ABD ∴∠=∠，又90AEC BEC ∠=∠=︒ ，AEC ∴ ∽FEB ，ACE ACE ∠=∠ ，90AEC ADB ∠=∠=︒，AEC ∴ ∽FDC △，故选C【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】B【分析】容易证明两个三角形相似，求出相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【详解】解：由题意得DE 为△ABC 的中位线，那么DE ∥BC ，DE ：BC =1：2．∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC 的周长之比为1：2，∴△ADE 与△ABC 的面积之比为：4，即14．故选：B ．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决此题关键．4．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（）A ．C BAD∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠C ．AC AD BC AB =D ．2AB BD BC=⋅【答案】C【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：C BAD ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项A 不符合题意；BAC BDA ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项B 不符合题意；AC AD BC AB=，但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C 符合题意；2AB BD BC =⨯即AB BC BD AB=，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．5．已知ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，若8AD =，12A D ''=，则ABC 与A B C ''' 的面积比是（）A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．9；4【答案】B【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．【详解】ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，8AD =，12A D ''=，∴两三角形的相似比为：:8:122:3AD A D '=='，则ABC 与'''A B C 的面积比是：4：9．故选：B【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高为1.5m ，测得AB ＝3m ，AC ＝10m ，则建筑物CD 的高是_____m ．【答案】5【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD 的长，从而可以解答本题．【详解】∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB ∥DC ，∴AEB ADC ∠=∠，ABE ACD ∠=∠，又∵A A ∠=∠，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝BE CD，∵BE ＝1.5m ，AB ＝3m ，AC ＝10m ，∴3 1.510CD=，解得，5CD =，即建筑物CD 的高是5m ，故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识，正确得出相似三角形是解题的关键．7．如图所示，要使ABC ADE ～，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）【答案】ADE B∠=∠【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明ABC 与ADE V 相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似．【详解】解：添加ADE B ∠=∠，A A∠=∠ ABC ADE∴ ～故答案为：ADE B ∠=∠．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．三、解答题8．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且AD :AB =AE :AC =2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)BC=6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即23 AD AEAB EC==，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴AD DEAB BC=，243BC=，∴BC=6．【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（）A ．DE DF AE BF =B ．EF DF AD DB =C ．EF DF CD BF =D ．EF DF CD DB=【答案】C【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD ∥BF ，依据平行线成比例的性质和相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD ，∵EF ∥CD ，∴EF ∥AB ，∴DE DF AE BF =，△DEF ∽△DAB ，∴EF DF AB DB=，∵AB =AD =CD ，∴EF DF AD DB =，EF DF CD DB=，∴选项A 、B 、D 正确；选项C 错误；故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 的长度为多少？（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【分析】根据三角形ABC 是正三角形，可得∠A =∠B =60°，△AFD ∽△BFG ，即可求出FG =7，而AD =10，DF =14，BF =8，可得AB =32=AC ，故CG =AC -AF -FG =9．【详解】解： 三角形ABC 是正三角形，60A B ∴∠=∠=︒，AFD BFG ∠=∠ ，AFD BFG ∴∆∆∽，∴DF AF FG BF =，即14168FG =，7FG ∴=，10AD = ，14DF =，8BF =，32AB ∴=，32AC ∴=，321679CG AC AF FG ∴=--=--=；故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明AFD BFG ∆∆∽，从而求出FG 的长度．3．如图，在平面直角坐标系中有A ，B 两点，其中点A 的坐标是（-2，1），点B 的横坐标是2，连接AO ，BO ．已知90AOB ∠=︒，则点B 的纵坐标是（）A ．B ．4CD ．2【答案】B 【分析】先过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质列出比例式，计算求解即可．【详解】解：过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90ACO ODB ∠=∠=︒，90B BOD ∠+∠=︒，90AOB ∠=︒Q ，90AOC BOD ∴∠+∠=︒，B AOC ∴∠=∠，ACO ∴ ∽ODB △，AC CO OD DB∴=，又A 的坐标是()2,1-，点B 的横坐标是2，∴AC ＝1，CO ＝2，OD ＝2，122DB∴=，即4DB =，∴:B 的纵坐标是4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键．4．如图，D 是ABC △的边上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（）A ．AD AF BD EF =B ．AF DF AE EB =C ．=AD AE AB AC D ．CAF FE DE B =【答案】D【分析】根据DF BE ∥，DE BC ∥找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等，判断即可．【详解】解：DF BE ∥，AD AF BD EF∴=，故A 选项比例式正确，不符合题意；DF BE ∥，ADF ABE ∴△∽△，DF AF EB AE∴=，故B 选项比例式正确，不符合题意；DE BC ∥，AD AE AB AC∴=，故C 选项比例式正确，不符合题意；DE BC ∥，DE AF BC FEAF AC =≠∴故D 选项比例式不正确，符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应线段．二、填空题5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长BD 为4m ，墙上的影子CD 长为1m ，同一时刻一根长为1m 的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m ，则树的高度为______m ．【答案】9【分析】设地面影长对应的树高为m x ，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x ，然后加上墙上的影长CD 即为树的高度．【详解】解：设地面影长对应的树高为m x ，由题意得，140.5x =，解得8x =，墙上的影子CD 长为1m ，∴树的高度为()819m +=．故答案为：9．【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．6．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD =，点F 在BC 的延长线上，AF 与BD 相交于点E ，与CD 边相交于点G ．如果2AD CF =，那么DEG ∆与CFG ∆的面积之比等于______．【答案】16:7##167【分析】根据ADG FCG ∆∆∽和ADE FBE ∆∆∽，根据相似三角形对应边成比例和相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：AD BC ，ADG FCG ∴∆∆∽，2AD AG CF GF∴==，∴ADG ∆与CFG ∆的面积之比4:1，AD BC ，ADE FBE ∴∆∆∽，25AD AE BF EF ∴==，令GF a =，则2AG a =，设,2AE x EG a x ==-，:(2)2:5x a a x ∴+-=，67x a ∴=，68,77AE a EG a ∴==，:3:4AE EG =，∴DEG ∆与ADE ∆的面积之比是4:3，∴DEG ∆与CFG ∆的面积之比是16:7．故答案为：16:7．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形三、解答题7．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，连接AF 交CG 于点K ，H 是AF 的中点，连接CH ．(1)求tan ∠GFK 的值；(2)求CH 的长．【答案】(1)12(2)CH =【分析】（1）由正方形的性质得出AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∠G =90°，证出ADK FGK V :V ，得出比例式求出3342GK DG ==，即可得出结果；（2）由正方形的性质求出AB =BC =1，CE =EF =3，∠E =90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，求出AM =4，FM =2，∠AMF =90°，根据正方形性质求出∠ACF =90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出12CH AF =，根据勾股定理求出AF ，即可得出结果．（1）解：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∠G =90°，∴DG =CG -CD =2，AD GF ∥，∴ADK FGK V :V ，∴DK ：GK =AD ：GF =1：3，∴3342GK DG ==，∴312tan 32GK GFK FG ∠===；（2）解：∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，∴AB =BC =1，CE =EF =3，∠E =90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，如图所示：则AM =BC +CE =1+3=4，FM =EF-AB =3-1=2，∠AMF =90°，∵四边形ABCD 和四边形GCEF 是正方形，∴∠ACD =∠GCF =45°，∴∠ACF =90°，∵H 为AF 的中点，∴12CH AF =，在Rt △AMF 中，由勾股定理得：22224225AF AM FM =+=+=，∴152CH AF ==．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．8．如图所示，BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上，13BC AB AE ==，，与FB 交于点G ，连接AF ，满足ABF ∽CEB ，其中A 对应C B ，对应E F ，对应B(1)求证：30FAD ∠=︒．(2)若13CE =，求tan FEA ∠的值．【答案】(1)见解析937【分析】（1）由相似可得FAB BCE ∠∠=，再由矩形的性质得AD BC ∥90DAB ABC ∠∠==︒，，从而可求得180FAD DAB DAC ∠∠∠++=︒，则有FAD BAC ∠∠=，即可求得FAD ∠的度数；（2）结合（1）可求得73AE =，再由相似的性质求得33AF =tan FEA ∠的值．（1）ABF ∽CEB ，FAB BCE ∠∠∴=，四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC DAB ABC ∠=∠=︒∥，，DAC ACB ∴∠=∠，180BCE ACB ∠∠+=︒ ，180FAB DAC ∠∠∴+=︒，即180FAD DAB DAC ∠∠∠++=︒，90180FAD DAC ∠∠∴+︒+=︒，90FAD DAC ∠∠∴+=︒，90DAB ∠=︒ ，90BAC DAC ∠∠∴+=︒，FAD BAC ∠∠∴=，在Rt ABC中，tan 3BC BAC AB ∠== ，30BAC ∴∠=︒，30FAD ∠∴=︒；（2）由（1）得9030ABC BAC ∠∠=︒=︒，，2212AC BC ∴==⨯=，17233AE AC CE ∴=+=+=，ABF ∽CEB ，AF AB BC CE∴=，即113AF =，∴=AF 由（1）得：90FAD DAC ∠∠+=︒，则90FAE ∠=︒，在Rt FAE中，tan 3AF FEA AE ∠==【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得FAD BAC ∠∠=．。
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_三角形中位线定理-综合题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_三角形中位线定理-综合题专训及答案三角形中位线定理综合题专训1、(2017扬州.中考真卷) 我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC=，OC△OA=；（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON= AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．2、(2016滨湖.中考模拟) 如图（1），∠AOB=45°，点P、Q分别是边OA，OB上的两点，且OP=2cm．将∠O沿PQ折叠，点O落在平面内点C处．（1）①当PC∥QB时，求OQ的长度；②当PC⊥QB时，求OQ的长．（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长．3、(2019永康.中考模拟) 如图，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，点A的坐标为（4，0），点D在边AB上，且tan∠AOD＝，点E是射线OB上一动点，EF⊥x轴于点F，交射线OD于点G，过点G作GH∥x轴交AE于点H.（1）求B，D两点的坐标；（2）当点E在线段OB上运动时，求∠HDA的大小；（3）以点G为圆心，GH的长为半径画⊙G.是否存在点E使⊙G与正方形OABC 的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标.4、(2019城.中考模拟) 锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，点E在边AB上.（1）如果DE∥BC，那么DE＝BC（2）如果DE＝BC，那么DE∥BC.判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例.5、(2019莘.中考模拟) 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E．（1）求证：AE=AC；（2）若AE=5，DE=3，连接OE，求tan∠OEC的值．6、(2017商河.中考模拟) 已知：在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P（0，t）是y轴上的一个动点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．（2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S 是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值．（3）如图2，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由．7、(2018通城.中考模拟) 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠CAB=120°，⊙O的半径等于5，求线段BC的长．8、(2012贵港.中考真卷) 如图，在▱ABCD中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．（1）求证：AF=DF；（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的长．9、(2020曲靖.中考模拟) 已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：四边形AGBD为平行四边形；（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论．10、(2018陇南.中考真卷) 已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H 分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．11、(2017乌鲁木齐.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．12、(2019邓州.中考模拟) 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC 上，AD=AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN.（1）观察猜想，如图中ΔPMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图，ΔADE绕点A按逆时针方向旋转，则ΔPMN的形状是否发生改变？并就如图说明理由.（3）拓展延伸，若ΔADE绕点A在平面内自由旋转，AD=2，AB=6，请直接写出ΔPMN的周长的最大值.13、(2020济宁.中考真卷) 如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．（1）求证:△AEH≌△AGH；（2）当AB=12，BE=4时：①求△DGH周长的最小值；②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．14、(2020银川.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上中点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE.（1）求证：DF= AC（2）试判断四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；15、(2020南昌.中考模拟)（1）化简：（2）如图，在四边形中，，，，分别是，，的中点，连接，．求证：．三角形中位线定理综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
数学中考总复习(一轮复习)第17讲全等三角形
第17讲全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理 1•性质(1) _________________________ 全等三角形的对应边，对应角 。
(2) ________________________________ 全等三角形的对应边的中线 _______________________ ，对应角平分线 _____________________________________ ，对应边上的高 __________ ，全等三角 形的周长 _________ ，面积 _________ 。
2•判定定理(1)三边分别 _________ 的两个三角形全等(简写“边边边”或“ _______ ”)。
微拨炉：已知两边和一角判定三角形全等时，没有“ SSA ”定理，即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。
二、角的平分线1•性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 ___________ 。
2•判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 ____________ 。
3•三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 微拨炉： 1•三角形的角平分线是一条线段，不是射线。
2•角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。
注意分清题设和结论。
高频考点1、全等三角形的判定与性质 【范例】如图，在△ ABC 中，AB=CB ，■ ABC =90，D 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 边上, 且 BE 二 BD ，连接 AE 、DE 、DC 。
(2)两边和它们的夹角分别________ 的两个三角形全等(简写“边角边”或 ”) (3)两角和它们的夹边分别________ 的两个三角形全等(简写“角边角”或”)(4)斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(简写“斜边、直角边”或 ”)(1)求证：△ ABE ◎△ CBD(2)若• CAE =30 ［求• BDC 的度数D得分要领：判定全等三角形的基本思路1•已知两边：（1）找夹角（SAS） ; （2）找直角（HL或SAS） ; （3）找第三边（SSS）。
专题15 三角形的概念和性质核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮
专题15 三角形的核心知识点精讲1.理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线；2.理解并掌握三角形的中位线的性质；3.理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围；4.掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理；5.能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明。
考点1：三角形边角关系（1）三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。
考点2：三角形的重要线段考点3：三角形的内角和定理及推论①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。
③直角三角形的两个锐角互余。
【题型1：三角形的三边关系】【典例1】（2023•宿迁）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A．2，2，4B．1，2，3C．3，4，5D．3，4，81．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，62．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A．1B．5C．7D．93．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【题型2：三角形内角和定理及推论】【典例2】（2021•辽宁）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80°B．95°C．100°D．110°1．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是三角形．2.（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝°．3．（2021•毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°【题型3：三角形中的重要线段】【典例3】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是度．1．（2021•雅安）如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，DE交AC于点G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．则S△CEG的值为（）A．2B．4C．6D．82．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝．3．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为．一．选择题（共11小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°2．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为（）A．74°B．32°C．22°D．16°3．AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（）A．25°B．60°C．85°D．95°4．若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm5．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（）A．56°B．34°C．36°D．24°6．如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A．B．C．D．7．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（）A．75°B．60°C．105°D．120°8．下列图形中，是直角三角形的是（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（）A．5°B．8°C．10°D．12°10．一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠α的度数为（）A．65°B．67.5°C．75°D．80°11．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数小20°，则∠2的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．55°二．填空题（共3小题）12．如图，AD是△ABC的中线，若AB＝6，AC＝5，则△ABD与△ACD的周长之差为1．13．将一副三角板如图所示放置，使点D在BC上，DC∥AE，则∠EFB的度数为．14．一块板材如图所示，测得∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，根据需要∠ADC为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动∠A，则可将∠A（选填“增加”或“减少”）．三．解答题（共2小题）15．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．（1）求证：DF∥BC；（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．16．如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝70°．（1）求∠ADB的度数；（2）若DE⊥AC，求∠EDC的度数．一．选择题（共4小题）1．如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交B C于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（）A．α﹣B．2α﹣βC．α+D．3α﹣β2．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G∥BC，B'E∥FG，则∠C'FE的度数是（）A．B．90°﹣C．α﹣90°D．2α﹣180°3．如图所示，将含角45°的直角三角板与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．85°B．60°C．50°D．95°4．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC ＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④二．填空题（共3小题）5．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝．6．如图，在△ABC中，BE，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BE，CD相交于一点P，若∠A＝5 0°，则∠BPC＝．7．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝70°，∠D＝10°，则∠P的度数为．三．解答题（共2小题）8．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由．（2）题（1）中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC的度数．（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度数．9．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．（1）当∠ABC＝64°，∠ACB＝66°时，∠D＝°，∠P＝°；（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度数；（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．1．（2022•淮安）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，92．（2022•玉林）请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）A．0.5cm B．0.7cm C．1.5cm D．2cm3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线4．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC ＝．5．（2022•常州）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是．。
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_角平分线的性质-综合题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_角平分线的性质-综合题专训及答案角平分线的性质综合题专训1、(2017葫芦岛.中考真卷) 如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM 交于点D和点E．（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC= ，请直接写出线段AD和DF的长．2、(2012沈阳.中考真卷) 已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=4 ，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上．（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．3、(2015丹东.中考真卷) 在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN 中，∠MPN=90°．（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m•BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．4、(2019上海.中考真卷) 如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE上AD，交BD的延长线于点E.（1）求证：∠E＝∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值.5、(2016漳州.中考真卷) 现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）6、(2016福州.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．7、(2017高唐.中考模拟) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．8、(2017微山.中考模拟) 已知：如图，AD是△ABC的中线，∠ACE是△ABC的外角．（1）读下列语句，尺规作图，保留作图痕迹．①作∠ACE的角平分线，交BA延长线于点F；②过点D作DH∥AC，交AB于点H，连接CH．（2）依据以上条件，解答下列问题．①与△AHD面积相等的三角形是；②若∠B=40°，∠F=30°，求∠BAC的度数．9、(2017深圳.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E 做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．10、(2019防城.中考模拟) 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC的中点，作DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F求证：DE＝DF.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C①.在△BDE和△CDF中，∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，BD＝CD，∴△BDE≌△CDF②.∴DE ＝DF③.（1）上面的证明过程是否正确？若正确，请写出①、②和③的推理根据. （2）请你写出另一种证明此题的方法.11、(2018安顺.中考真卷) 如图，在中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；（2）若，AB=12，求半圆O所在圆的半径.12、(2020通州.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线．AE的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC＝2，tanB＝，求⊙O的半径r的值．13、(2020杭州.中考模拟) 数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S= ，其中p= （a+b+c）.这个公式称为“海伦公式”.数学应用：如图1，在△ABC中，已知AB=9，AC=8，BC=7.（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积.14、(2020城.中考模拟) 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．15、(2021镇江.中考模拟) 如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．角平分线的性质综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
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三角形认识综合复习一选择题：1.有5根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个2.在△ABC中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（）A．B． C． D．3.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF=2，则S△ABC等于( )A．16 B．14 C．12 D．104.三角形两边长为6与8，那么周长的取值范围（）A．2<<14 B．16<<28 C．14<<28 D．20<<245.如图，已知点D是△ABC的重心，连接BD并延长，交AC于点E，若AE=4，则AC的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．126.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=( )A．40° B．30° C．20° D．10°7.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定8.在△ABC中，三边长分别为、、，且＞＞，若=8，=3，则的取值范围是（）A.3＜＜8B.5＜＜11C.6＜＜10D.8＜＜119.一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为( )A．5 B．6 C．7 D．810.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等A．10 B．7 C．5 D．411.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则∠BDC 等于（）A．60° B．60° C．70° D．75°12.已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315° B．270° C．180° D．135°13.如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系是( )A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠314.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )A． B．C． D．15.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90° B．100° C．130° D．180°16.如图所示，分别以边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为（）A． B． C．D．17.如图，已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）A．3个 B.4个C．5个D．6个18.一个六边形的六个内角都是120o，连续四条边的长依次为 1,3,3,2，则这个六边形的周长是( )A. 13B. 14C. 15D. 1619.如图，P为边长为2的正三角形内任意一点，过P点分别做三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则PD+PE+PF 的值为( )A．B． C．2 D．20.图1为一张三角形ABC纸片，点P在BC上，将A折至P时，出现折痕BD，其中点D在AC上，如图2所示，若△ABC的面积为80，△ABD的面积为30，则AB与PC的长度之比为（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：821.已知三角形的边长分别为4、a、8，则a的取值范围是；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长为．22.一个等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分成的两部分之差是3cm，则它的腰长是23.一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是边形，它的内角和是 .24.如图在△ABC中，∠A=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，则∠D的度数为．25.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=______．26.如图，在四边形ABCD中,∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=240°,则∠P=_________°.27.如图,在四边形ABCD中,∠ɑ，∠β分别是∠BAD、∠BCD相邻的补角,∠B＋∠CDA=140°,则∠ɑ+∠β等于________________．28.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．29.如图，已知∠A=ɑ，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1，得∠A1；若∠A1BC 的平分线与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2……∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线相交于点A2016，得∠A2016，则∠A2016= ．(用含ɑ的式子表示)30.如图，在四边形ABDC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，E、F分别是BD、CD的三等分点，连接AE、AF、EF.若四边形ABDC的面积为7，则△AEF的面积为．三简答题：31.若是的三边的长，化简.32.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．33.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm.(1)求△ABC的面积；(2)求CD的长；(3)作出△ABC的中线BE，并求△ABE的面积．34.如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠ADE．35.一个凸多边形，除了一个内角外，其余各内角的和为2 750°，求这个多边形的边数.36.如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D；（1）若∠ABC=60°，∠DCE=70°，则∠D= °；（2）若∠ABC=70°，∠A=80°，则∠D= °；（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）37.我们知道三角形一边上的中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形．如图，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD=S△ACD．(1)如图2，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8，求△BEF的面积S△BEF。
（3）如图，△ABC的面积为1．分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1．再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长n次后得到的△A n B n C n的面积为．38.如图1，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N，试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）39.已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积_______△ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：，解得_______，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为_______．（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．40.已知△ABC中，∠A=30°．(1)如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= °．(2)如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °.(3)如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n-1（内部有n-1个点），求∠BO n-1C（用n的代数式表示）．(4)如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n-1，若∠BO n-1C=60°，求n的值．参考答案1、C【解答】解：可搭出不同的三角形为：2cm、3cm、4cm；2cm、4cm、5cm；2cm、5cm、6cm；3cm、4cm、5cm；3cm、4cm、6cm；3cm、5cm、6cm；4cm、5cm、6cm共7个．故选C．2、C【解答】解：在△ABC中，画出边AC上的高，即是过点B作AC边的垂线段，正确的是C．故选C．3、A4、B5、B【考点】三角形的重心．【解答】解：∵D是△ABC的重心，∴BE是AC边的中线，E是AC的中点；又∵AE=4，∴AC=8．故选：B6、【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．故选：D．7、C8、D9、C【解答】解：∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°，∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7，则这个多边形的边数是7，故选C．【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键．10、C11、C【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣∠A=65°，∵沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，∴∠BCD=∠ACB=45°，∴∠BDC=180°﹣∠B﹣∠BCD=70°．故选C．12、【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选：B．13、D14、C15、B【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．19、B20、A【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E；由题意得：S△ABD=S△PBD=30，∴S△DPC=80﹣30﹣30=20，∴=，由题意得：AB=BP，∴AB：PC=3：2，故选A．21、4＜a＜12 20 ．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：8﹣4＜a＜8+4，即4＜a＜12，∵这个三角形中有两条边相等，∴a=8或a=4（不符合三角形的三边关系，不合题意，舍去）∴周长为4+8+8=20，故答案为：4＜a＜12；20．22、8_cm__．23、5,54024、25°．【解答】解：由三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE，∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∴（∠A+∠ABC）=∠D+∠ABC，∴∠D=∠A，∵∠A=50°，∴∠D=25°；故答案为：25°．25、120°．【解答】解：∵∠ABC=42°，∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°．∴∠ACB=180°﹣42°﹣60°=78°．又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD．∴∠FBC=，∠FCB=．又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°．∴∠BFC=180°﹣21°﹣39°=120°．故答案为：120°．26、3027、140°28、360°．【解答】解：如图，连接AD．∵∠1=∠E+∠F，∠1=∠FAD+∠EDA，∴∠E+∠F=∠FAD+∠EDA，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BAD+∠ADC+∠B+∠C．又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案为：360°．129、2016232、△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积和，DE＝DF，求得DE的长为2㎝33、解：(1)24 cm2(2)S△ABC＝×10×CD＝24，∴CD＝4.8 cm(3)作图略，S△ABE＝12 cm234、65°35、分析：由于除去的一个内角大于0°且小于180°，因此题目中有两个未知量，但等量关系只有一个，在一些竞赛题目中常常会出现这种问题，这就需要依据条件中两个未知量的特殊含义去求值.解：设这个多边形的边数为(为自然数)，除去的内角为°(0＜＜180)，36、【解答】解：（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC=60°，∴∠DBC=30°，∵∠DCE=70°，∴∠D=∠DCE﹣∠DBC=70°﹣30°=40°；（2）∵∠ABC=70°，∠A=80°，∴∠ACE=150°∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°，∠DCE=∠ACE=75°，∴∠D=∠DCE﹣∠DBC=75°﹣35°=40°；（3）不变化，理由：∵∠DCE=∠DBC+∠D，∴∠D=∠ACE﹣∠ABC=（∠A+∠ABC）﹣∠ABC=∠A．故答案为40；40．37、（1）S△ABF= S四边形CEFD 理由略…（2）2；（3）7n；38、【解答】解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°﹣∠A﹣∠D，在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠B﹣∠C，∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），∴180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣∠B﹣∠C，∴∠A+∠D=∠B+∠C；（2）∵∠D=40°，∠B=36°，∴∠OAD+40°=∠OCB+36°，∴∠OCB﹣∠OAD=4°，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB，又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，∴∠P=∠DAM+∠D﹣∠PCM=（∠OAD﹣∠OCB）+∠D=×（﹣4°）+40°=38°；（3）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，所以，∠OCB﹣∠OAD=∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM=∠D﹣∠P，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB，∴（∠D﹣∠B）=∠D﹣∠P，整理得，2∠P=∠B+∠D．39、【解答】解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD=CD，∴，，∴S△ABD=S△ACD，（2）解方程组得，∴S△AOD=S△BOD=10，∴S四边形ADOB=S△AOD+S△AOE=10+10=20，故答案为：得，20；（3）如图3，连结AO，∵AD：DB=1：3，∴S△ADO=S△BDO，∵CE：AE=1：2，∴S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得：S△ABE=S△ABC=40，S△ADC=S△ABC=15，可列方程组为：，解得：，∴S四边形ADOE=S△ADO+S△AEO=x+2 y=13．40、（1）105（2）80（3）（4）n=5。