第三讲--线段的和差倍分问题

如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．

（3）解：BE+DF=EF；理由如下：

延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：

∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，

∴∠NBC=∠D，

在△NBC和△FDC中，，

∴△NBC≌△FDC（SAS），

∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，

∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，

∴∠BCE+∠FCD=70°，

∴∠ECN=70°=∠ECF，

在△NCE和△FCE中，，

∴△NCE≌△FCE（SAS），

∴EN=EF，

∵BE+BN=EN，

∴BE+DF=EF．

26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．

（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，

延长EO交CF于点G，只要证明

△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角

形，即可解决问题．

图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长

EO交FC的延长线于点G，证明方法

类似．

【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，

∴∠AEO=∠CFO=90°，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF．

（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．

图3中的结论为：CF=OE﹣AE．

选图2中的结论证明如下：

延长EO交CF于点G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴AE∥CF，

∴∠EAO=∠GCO，

在△EOA和△GOC中，

，

∴△EOA≌△GOC，

∴EO=GO，AE=CG，

在RT△EFG中，∵EO=OG，

∴OE=OF=GO，

∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°，

∴△OFG是等边三角形，

∴OF=GF，

∵OE=OF，

∴OE=FG，

∵CF=FG+CG，

∴CF=OE+AE．

选图3的结论证明如下：

延长EO交FC的延长线于点G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴AE∥CF，

∴∠AEO=∠G，

在△AOE和△COG中，

，

∴△AOE≌△COG，

∴OE=OG，AE=CG，

在RT△EFG中，∵OE=OG，

∴OE=OF=OG，

∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°，

∴△OFG是等边三角形，

∴OF=FG，

∵OE=OF，

∴OE=FG，

∵CF=FG﹣CG，

∴CF=OE﹣AE．

26．如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAD=90°．

又∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°．

∴∠BAG+∠BAE=45°．

∴∠GAE=∠FAE．

在△GAE和△FAE中，

∴△GAE≌△FAE．

②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，

∴AB=AH，GE=EF=5．

设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．

在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．

解得：x=6．

∴AB=6．

∴AH=6．

（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°．

由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．

∴∠NDM′=90°．

∴NM′2=ND2+DM′2．

∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，

∴∠EAF=∠FAM′=45°．

在△AMN和△ANM′中，，

∴△AMN≌△ANM′．

∴MN=NM′．

又∵BM=DM′，

∴MN2=ND2+BM2．

25．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．

①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的

数量关系，并证明你的结论．

（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），

过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、

DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；

若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC 得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；

②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；

（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证△HPG≌△DPF 可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．

【解答】解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，

∴∠GPH=∠FPD，

∵DE平分∠ADC，

∴∠PDF=∠ADP=45°，

∴△HPD为等腰直角三角形，

∴∠DHP=∠PDF=45°，

在△HPG和△DPF中，

∵，

∴△HPG≌△DPF（ASA），

∴PG=PF；