专题学习-线段的和差倍分
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分(推荐文档)
证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和AC 为边向形外作的正方形。
求证：FH=2AD/ BAC+ / ACN=180证明：延长AD 至N 使AD=DN则ABNC 是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又/ FAH+ / BAC=180 •••△ FAHY NCA ••• FH=AN例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C ,AD 是高，M 是BC 边上的中点。
$•••1求证：DM=2 AB/ 2=Z B •••/ 2=2Z 1•••/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND • DM=2 A B1贝J BFAC••• BF=AE•••△ AEC 心 BFD •DF 二CE 二 CD=2CE作业:1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1线交AC 于F ,求证：AF=2 FC2、AB 和AC 分别切© O 于B 和C, BD 是直径。
求证/ BAC 二Z CBD3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。
求证：BD=2CE例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E ,证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN贝J MN // AC / 1 = / C••• DM=DN例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。
线段的和差倍分问题的证明
ABE DC线段的和差倍分问题的证明证明线段的倍分问题： 一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。
此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM =21AB 二、比例线段法即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得出线段之间的和差倍分关系。
例2 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =21AC ， 求证：CE =2AD 。
对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=． Q A DP C B E AEADF3、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．4、如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，使CD=2BC ，E 在AC 上，且ＡＥ＝2EC ，D 的延长线交AB 于F ，求证：EF DE 27=二、割补法证明线段的和差问题：这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。
即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。
在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。
线段的和差与倍分
线段的和差与倍分学习目标：1．能用直尺和圆规作出线段的和、差。
2．理解线段中点的概念及意义，会用刻度尺画出一条线段的中点，并能用符号语言表示出来学习重难点：线段中点的应用学习过程一、知识回顾1．如何比较线段的长短？2．如图所示，A地到B地有a,b,c,d（图中从上到下）四条道路，其中最短的是，理由是。
二、预习自学活动一、作出符合要求的线段思考，木料截断的位置在什么地方？已知线段AB，画出它的中点C。
A B如图，如果点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，那么点C叫做线段AB的中点。
几何语言：（1）（2）（3）三、例题分析例1、已知C是线段AB上的一点，AC=5厘米，CB=3厘米，M是线段AB的中点，画出符合要求的图形，并求出MC的长。
思考：若例1中点C是直线AB上一点，MC的长是多少呢？（四）课堂总结（1）要得到线段的中点，首先必须确保_________________________________. （2）等分点的概念：类似于中点定义，将线段等分成3份的点叫做线段的三等分点，把线段等分成4份的点叫做线段的四等分点四、达标练习1、如图，已知cm=，DC3=，D是AC的中点，且cmBC4则AB= ，AC=____.2、已知C是线段AB上的一点，6,8==,M是AB的中点。
画出符合要求的AC cm CB cm图形，并求出MC的长。
3、如图，已知线段20是线段的中点，在MB上，N为PB的中点，NB=4cm,=，M AB PAB cm求PM的长。
M P NA B五、课堂小结：本节课我们新学到哪些内容？六、课下作业1、如果点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，那么点M 叫做线段AB 的中点.此时AM 、BM 和AB 有如下关系： .2、如图，已知cm AB 20=，cm CD 8=，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，求EF 的长.3、已知线段cm AB 10=，C 是线段AB 的中点，E 、F 分别为AC 、CB 的中点,求EF 的长. 如果8AB cm =呢？12AB cm =呢？由此可以发现什么规律？4、如图：已知AB:BC:CD=2:3:4，E,F 分别是线段AB,CD 的中点，且AD=45cm ，求线段EF 的长。
第三讲--线段的和差倍分问题
如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．26．如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM′，∴MN2=ND2+BM2．25．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC 得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证△HPG≌△DPF 可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．【解答】解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45°，在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；②结论：DG+DF=DP，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，在△HPG和△DPF中，∵∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，∴DG﹣DF=DP．【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键．例4 （2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．思路分析：（1）过点B 作BG ⊥OE 于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；（2）选择图2，过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B 作BG ⊥OE 于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．2.（2015•随州）问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．【类比引申】如图（2），四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB=AD ，∠B+∠D=180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍有EF=BE+FD ．26．已知二次函数y=x 2﹣（2k +1）x +k 2+k （k ＞0），若该二次函数与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：．（3）由题意可得：点P的坐标为（0，1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，y BC=﹣kx+k2+k，当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+，则代入原式可得：y=，则点Q坐标为运用距离公式得：AQ2=（）2+（）2=，则OA2=k2，AB2=1，故+=+1==，则．。
线段与角的和差倍分计算
线段与角的和差倍分计算一、线段的和差倍分计算已知线段AB＝a，延长BA至点C，使AC＝AB.D为线段BC的中点。
求CD的长度和a的值。
解析：根据线段的定理，AC=AB+BC，又因为BC=2CD，所以AC=AB+2CD。
又因为AC=2AB.D，所以AB+2CD=2AB.D，化简得CD=(2D-1/2)a，a=3AD。
在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB＝1.5 cm，求BC的长度。
解析：因为O是AC的中点，所以OC=OA，又因为OB=1.5 cm，所以BC=BO+OC=1.5+OA。
根据勾股定理，OA^2+AC^2=OC^2，代入已知条件，得到OA=√(25-3.75)=4.3301.所以BC=1.5+4.3301=5.8301，约等于6 cm。
某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B，___。
现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在哪里？解析：根据三角形中位线定理，AC^2+BD^2=2AM^2+2MC^2.又因为AC=CD=DB，所以AM=MC=MD=MB=AC/2=CD/2=DB/2.所以AC^2+BD^2=4AM^2+4MC^2=8AM^2，所以AM^2=(AC^2+BD^2)/8.因为AC=CD=DB=AB/3，所以AB^2=3AC^2=3BD^2，代入上式得到AM^2=AB^2/12.所以M在AB的中点。
点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度。
解析：根据线段的定理，AC=AB/2=2cm，BD=AB/2=2cm，又因为CD=AC/2=1cm，所以CD的长度为1cm。
已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长。
解析：根据线段的定理，AC+CB=AB，所以AB=AC+CB=8+2EB=18.又因为D和E分别是AB和CB的中点，所以DE=AD-EB=AB/2-EB=9/2.线段AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，M，N分别是CD，AB的中点，且MN＝2 cm，求AB的长。
证题技巧之三——证明线段或角地和差倍分
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长〔或大〕折半②短〔或小〕加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，终究是折半还是加倍要以有利于利用条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，如此要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD是△ABC的中线，ABEF和ACGH是分别以AB和AC为边向形外作的正方形。
求证：FH=2AD证明：延长AD至N使AD=DN如此ABNC是平行四边形∴=AB=FA AC=AH又∠FAH+∠BAC=180°∠BAC+∠A=180°∴△FAH≌△NCA ∴FH=AN ∴FH=2AD例2、△ABC中，∠B=2∠C，AD是高，M是BC边上的中点。
求证：DM=12AB 证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 如此 MN ∥AC ∠1=∠C ∠2=∠B ∴∠2=2∠1 ∴∠1=∠DNM ∴DM=DN又 AN=DN=ND ∴DM=12AB 例3 △ABC 中，AB=AC ，E 是AB的中点，D 在AB 的延长线上，且DB=AC 。
求证：CD=2CE证明：过B 作CD 的中线BF如此 BF ∥12AC ∠A=∠DBF ∵AB=AC ，E 是AB 的中点∴BF=AE又DB=AC ∴△AEC ≌△BFD ∴DF=CE ∴CD=2CE作业：1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求证：AF=12FC 2、AB 和AC 分别切⊙O 于B 和C ，BD 是直径。
求证∠BAC=2∠CBD3、圆内接△ABC 的AB=AC ，过C 作切线交AB 的延长线于D ，DE 垂直于AC 的延长线于E 。
线段的和差倍分教案
线段的和差倍分教案篇一：三角形专题线段的和差倍分专题：三角形之线段的和差倍分1、在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE。
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，问DE 、AD、BE 有何关系，并说明理由。
A2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D. 求证：DE?AD?BE.3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD4、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：?BD=CF?BD=2CE．5、?如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D 点作EF∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE+CF．?在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，过D点作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，试探究BE、EF与CF的数量关系．篇二：【教案】2.4线段的和与差2.4线段的和与差教学目标1．理解线段可以相加减，掌握用直尺、圆规作线段的和、差. 2．利用线段的和与差进行简单的计算。
教学重点和难点重点：用直尺、圆规作线段的和、差。
难点：进行简单的计算。
教学时间：1课时教学类型：新授教学过程：一、复习旧知，作好铺垫1．已知线段AB，用圆规、直尺画出线段CD，使线段CD=AB. 2．两点间的距离是指（）A.连结两点的直线的长度；B.连结两点的线段的长度；C.连结两点的直线；D.连结两点的线段.二、创设情景，激趣导入1．我们知道数（如有理数）可以相加减，那么作为几何图形的线段是否可以相加减呢？12．观察：如图所示，A、B、C三点在一条直线上，1）图中有几条线段？2）这几条线段之间有怎样的等量关系？A B C学生讨论三、尝试探讨，学习新知1．显然，图中有三条线段：AB、AC、BC,它们有如下的关系AB+ BC= AC，AC- BC= AB，AC- AB= BC2．由此，你可以得到怎样的结论两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的和（或差）3．例题1：如图,已知线段a、b,1）画出一条线段, 使它等于a+b2）画出一条线段, 使它等于a-b※学生尝试画图※教师示范，（注意画图语句的叙述）解：（1）①画射线OP;②在射线OP上顺次截取OA=a,AB=b线段OB就是所要画的线段.（2）①画射线OP;②在射线OP上截取OC=a，在射线OC上截取CD=b线段OD就是所要画的线段.2 b4.在例题1中为什么CD要“倒回”截？不“倒回”截行吗？5．思考：你会作一条线段使它等于2a吗？1）学生讨论2）2a是什么意思？（a+a）3）那么na（n为正整数，且n1）具有什么意义？6．尝试：例题2 如图,已知线段a、b,画出一条线段，使它等于2a-b1）学生独立完成2）反馈，纠正这两个例题是线段的和、差、倍的具体画法，教师在画图的过程中，要边画边讲．注意讲清以下问题：(1)先画的图形是已知的线段a，b．(2)画射线的目的是确定整个图形的起点，由于在没有画完的情况下，终点不能确定，而这种只有起点而没有终点的状态，只有用射线描述最为合适．(3)什么叫“顺次截取”？就是要沿着射线的方向，从起点开始，依照计算的顺序截取．(4)线段的和、差在画图中的区别是什么？“和”是在截取时不改变方向．而“差”在截取时的方向是变化的．3通过这两个例题．使学生能够掌握线段的和、差、倍的画图．(5)两个例题讲完后可以安排一个练习：已知线段a，b，c(a＞b ＞c)，画一条线段，使它等于2a+3b-c．7．将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点.若已知点M是线段AB的中点，你能得到哪些等量关系.AM?MB，AM?MB，BM?ABAB?2AM，AB?2MB8．已知线段AB，你会画出它的中点C吗？除了用尺测量，你还有其他方法吗？9．介绍用尺规作线段AB 的中点C.注意语言的叙述：解：（1）以点A为圆心，以大于AB的长a为半径作弧，以点B 为圆心，以a为半径作弧，两弧分别相交于点E、点F；（2）作直线EF，交线段AB于点C.点C就是所求的线段AB的中点. 1212四、反馈小结、深化理解1．学生自己总结本节课的学习内容，应回答出线段的和、差、倍、分的画法；线段中点的定义． 4a2．线段的和、差、倍的画法中应注意的问题．如步骤、方向等．3．一些关键词的用法，如“连结”、“顺次”等．五、学习训练与学习评价建议一、判断题（每题4分，共20分）(1)连接A、B两点，那么线段AB叫做A、B两点的距离.（）(2)连接A、B两点的线段的长度，叫做A、B两点的距离.（）(3)若AB＝BC，则B是线段AC的中点.（）(4)若AB=AM+BM，则点M在线段AB上.（）(5)若点M在线段AB外，则必有ABAM+MB.（）二、填空题（每题5分，共20分）(1)点M把线段PQ分成两条相等的线段，点M叫做线段PQ的______，这时有PQ=_______=_______.(2)延长线段AB到C，使BC=AB，反向延长AC到D使AD=AC，则CD=_______AB.(3)如图1.3-4，如果A、B两点将MN三等分，C为BN的中点，BC=5cm，则MN=________.(4)如图1.3-5，在直线PQ上要找一点A，使PA=3AQ，则A点应在________.图1.3-4图1.3-5 5篇三：线段和差倍分怎样证明线段的和差倍分问题怎样证明线段的倍分问题【典型例题】常规题型1、已知：如图所示，点D、E分别是等边?ABC的边AC、BC上的点，AD=CE，BD、AE交于点P，BQ?AE于Q．求证：PQ? 12PB．B C常规题型2、已知：如图所示，在?ABC中，AB=AC，?A?120?，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N．求证：CM=2BM．C N A能力挑战1、如图所示，在?ABC中，AB?12BC，D是BC的中点，M是BD的中点．求证：AC=2AM． ABD能力挑战2、已知：如图所示，在?ABC中，BD是AC边上的中线，BH平分?CBD,AF?BH，分别交BD、BH、BC于E、G、F．求证：2DE=CF．AD EBQ【经典练习】1、如图所示，已知?ABC中，?1??2，AD=DB，DC?AC．求证：AC? 1AB．21 2CD 2、已知：如图所示，D是?ABC的边BC上一点，且CD=AB，?BDA??BAD，AE是?ABD的中线．求证：AC=2AE． A E?AB于3、已知：如图所示，在?ABC中，AB=AC，?BAC?120?，D 是BC的中点，DEEE．求证：EB=3EA．AED?BAC?120?，4、已知：如图所示，在?ABC中，AB=AC，P是BC 上一点，且?BAP?90?．求证：PB=2PC．B P5、已知：如图所示，锐角?ABC中，?B?2?C，BE是角平分线，AD?BE，垂足是D．求证：AC=2BD．C6、如图所示，在?ABC中，AB=AC，?BAC?90?，BE平分?ABC，交AC于D，CE?BE于E点，求证：CE?1BD．2B C怎样证明线段的和差问题【典型例题】常规题型1、如图所示，已知?ABC中，?A?60?，BD、CE分别平分?ABC和?ACB，BD、CE交于点O．求证：BE+CD=BC． AEDB C能力挑战1、如图所示，在等腰直角三角形ABC中，?BAC?90?，AD=AE，AF?BE交BC于F，过点F作FG?CD于M，交BE延长线于点G，求证：BG=AF+FG．G AEB C能力挑战2、如图所示，在?ABC中，AB=AC，?A?100?，BE平分?ABC，求证：AE+BE=BC．AC B【练习】1、如图所示，已知?ABC中，?A?2?B，CD是?ACB的平分线，求证：BC=AC+AD．BC2、如图所示，若E为正方形ABCD的边BC上一点，AF为?DAE 的平分线，AF与CD相交于F点．求证：AE=BE+DF． A DFB3、如图所示，已知?ABC和?ADE均为等边三角形，B、C、D 在一直线上，求证：CE=AC+CD．ED?C?90?，4、如图所示，已知在?ABC中，AC=BC，AD是?BAC的平分线，求证：AB=AC+CD．CDB A5、如图所示，等边?ABC和等边?BDE，点A在DE的延长线上，求证：BD+DC=AD．CA B证明线段的和差倍分问题作业1、如图所示，在等腰三角形ABC中，P是底边BC上的任意一点．（1）求证：P点(本文来自： 千叶帆文摘:线段的和差倍分教案)到两腰的距离之和等于腰上的高．（2）若P点在BC的延长线上，那么点P到两腰的距离与腰上的高三者之间存在什么关系？AFE BC2、如图所示，等腰三角形ABC中，AB=AC，?A?108?，BD平分?ABC．求证：BC=AB+DC．ADC B3、如图所示，已知?ABC是等腰三角形，AB=AC，?BAC?45?，AD 和CE是高，它们相交于H，求证：AH=2BD．E H4、如图所示，在?ABC中，?ACB?90?，P是AC的中点，过A过BP的垂线交BC延长线于点D，E是垂足．若?DBE?30?，求证：BP=4PE．D。
(完整版)线段和差倍分及其应用专题
线段的和差倍分及其应用专题知识点：A、线段的和、差如图：①AB= + ；②AC= －；③BC= －；B、线段的中点如图：∵点C是线段AB的中点；∴①= =21；②=2 =2 ；解题思想：求线段的长度时，通常需要依据条件将线段表示成两线段的和、差。
★☆★解题需注意题设条件中的语言表达，能准确地把文字语言转化成图形语言，并要求能准确地书写符号语言。
如：“点C在线段AB上”与“点C在直线AB上”，你能根据文字语言将其转化成图形语言吗？试一试！例题讲解：【例1】、如图,D是AB的中点, E是BC的中点,BE=51AC=2cm,线段DE的长,求线段DE的长.练习：1、如图，AB=24cm，C、D点在线段AB上，且CD=10cm，M、N分别是AC、BD的中点，求线段MN的长．A BCA BC2、如图，C为线段AB的中点，N为线段CB的中点，CN=1cm.求图中所有线段的长度的和．3、在同一条公路旁，住着五个人，他们在同一家公司上班，如图9,不妨设这五个人的家分别住在点ABDEF位置，公司在C点，若AB=4km，BC=2km，CD=3km，DE=3km，EF=1km，他们全部乘出租车上班，车费单位报销．出租车收费标准是：起步价3元（3km以内，包括3km），以后每千米1.5元（不足1km，以1km计算），每辆车能容纳3人．（1）若他们分别乘出租车去上班，公司需支付车费多少元？（2）如果你是公司经理，你对他们有没有什么建议？4、如图所示，沿江街AB段上有四处居民小区A．C．D．B，且有AC=CD=DB，为改善居民的购物环境，想在AB上建一家超市，每个小区的居民各执一词，难以定下具体的建设位置，高经理是超市负责人，从便民、获利的角度考虑，你觉得他会把超市建在哪儿？为什么？【例2】、点C 、D 顺次将线段AB 分成三部分，且AC = 2CD ，CD ：DB = 1 ：3，M 、N 分别为AC 、BD 的中点，MN = 7cm ，求线段AB 的长度。
数轴中动点问题(2)——线段间和差倍分关系(方法专题);人教版七年级上学期培优专题讲练(含答案)
专题十四：数轴中动点问题（2）——线段间和差倍分关系方法点睛数轴上的动点问题，若是告诉了动点的运动速度，一般设运动时间为t，用含t的式子表示出动点及点与点之间的距离（用绝对值表示距离），再通过题目中给出的和差倍分关系列方程求解（解方程时注意分类讨论）。
典例精讲1．已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是-3和9。
（1）点C是数轴上A、B之间的一个点，使得AC+OC＝BC，求出点C所对应的数；（2）在（1）的条件下，点P、点Q为数轴上的两个动点，点P从A点以1个单位长度每秒的速度向右运动，点Q同时从B点以2个单位长度每秒的速度向左运动，点P运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．设它们的运动时间为t秒，当OP+BQ＝3PQ时，求t的值．举一反三2．如图，已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别为-30，-10以及10．动点P、Q 分别从A、C同时出发向左运送，动点R从B点出发向右运动；P点的运动速度为8个单位长度/秒，Q点的运动速度为4个单位长度/秒，R点的速度为2个单位长度/秒。
设动点P、Q的运动时间是t秒．若M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，当t为何值时恰好满足MR＝2RN．专题过关3．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b 满足|a+3|+（b+3a）2＝0．点P从A点以3个单位每秒向右运动，点Q同时从B点以2个单位每秒向左运动，AP+BQ＝2PQ，则运动时间t的值是___________．4．如图，在数轴上，点O为原点，点A、B对应的数分别为a、b，且满足|a+2|+（b﹣6）2＝0．（1）求点A、点B在数轴上表示的数；（2）动点P从点A出发，沿数轴以1个单位/秒的速度匀速向左运动；同时点Q从点B 出发，沿数轴以2个单位/秒的速度匀速向左运动，点M为PQ的中点，设点P、Q的运动时间为t秒，请用含t的式子表示点M在数轴上表示的数；（3）在（2）的条件下，在点P、Q运动过程中，若OM=18PQ，求t的值，并直接写出此时点M在数轴上对应的数．5．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，C是AB 的中点，且a、b满足|a+3|+（b+3a）2＝0．（1）求点C表示的数；（2）点P从A点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点Q同时从B点出发，以每秒1个单位速度向左运动，若AO+BC＝PQ，求时间t；（3）若点P从A向右运动，点D为AP中点，在P点到达点B之前，求2BD﹣BP的值．【参考答案】1。
六年级春季班第16讲：线段的相等与和、差、倍-张教师版
AB线段的相等与和、差、倍是初中数学六年级下学期第3章第1节的内容．重点是学会用数学符号表示两条线段的大小关系，能用等式表示两条线段的和、差、倍的关系，掌握两点之间距离的概念，理解“两点之间，线段最短”的意义及线段的中点的意义．另外，需学会用直尺、圆规等工具画线段，及其和、差、倍，并学会用作图语言描述画法．1、 线段的表示（1）可以用两个大写英文字母表示一条线段的两个端点．如图所示： 线段可以用表示端点的两个字母A 、B 表示，记作线段AB ． （2）也可以用一个小写英文字母，如图所示： 线段可以用小写英文字母a 表示，记作线段a ． 2、 线段的大小比较通常，把比较两条线段的长短称作两条“线段的大小的比较”． 线段的大小比较有两种方法：度量法和叠合法．叠合法如下：将线段AB 移到线段CD 的位置，使端点A 与端点C 重合，线段AB 与线段CD 叠合．这时 端点B 可能的位置情况如下表：线段的相等与和、差、倍内容分析知识结构模块一：线段的大小的比较知识精讲a3、如图，已知线段a，用圆规、直尺画出线段AB，使AB = a．（1）画射线AC；（2）在射线AC上截取线段AB = a．（以点A为圆心，a为半径画弧，交射线AC于点B）线段AB就是所要画的线段．a A B C4、两点之间的距离：联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离．两点之间，线段最短．例题解析【例1】判断题：（1）在“线段AB”中，A、B分别表示这条线段的两个端点．（）（2）“线段AB”与“线段BA”指的是同一条线段．（）（3）“射线AB”与“射线BA”也指同一条射线．（）（4）射线AB的端点是点A和点B．（）（5）线段AB和线段CD，如果点A和点B落在线段CD内，则AB < CD．（）【难度】★【答案】（1）√；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√．【解析】线段可以用表示端点的两个字母表示；射线有一个端点，无限长；线段的大小比较有两种方法：度量法和叠合法【总结】本题主要考察线段的表示，线段的大小比较及射线的含义．AB D【例2】 过一点可做______条直线，过两点可作_____条直线． 【难度】★【答案】无数，一条．【解析】根据直线的性质，两点确定一条直线． 【总结】本题主要考察直线的性质．【例3】 线段有______个端点，射线有______个端点，直线有______个端点． 【难度】★ 【答案】2，1，0．【解析】线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点． 【总结】本题主要考察线段，射线及直线的含义．【例4】 如图所示，图中共有______条线段，共有______条射线． 【难度】★ 【答案】10，10．【解析】线段有两个端点，有限长；射线有一个端点，向一端无限延伸． 【总结】本题主要考察线段，射线的定义．【例5】 如图所示，图中最短的线段是______，最长的线段是______，点B 与线段CD 的位置关系是__________． 【难度】★【答案】BC ，AD ，点B 在线段CD 的反向延长线上．【解析】从直线外一点向直线所作的所有线段中，垂线段最短； 点与线段的位置关系有两种：在线段上和在线段的延长线上． 【总结】本题主要考察垂线段的性质及线段的大小比较．【例6】 下列画图画法的语句正确的是（ ）A ．画直线AB 、CD 相交于点MB ．直线AB 、CD 相交于点MC ．在射线OC 上截取线段PC = 3厘米D ．延长线段AB 到点C ，使BC = AB【难度】★★AB CAB C D【答案】D ．【解析】A 错误，直线AB 、CD 不一定相交，有可能平行；B 错误；C 错误，C 点不固定； 故选D ．【总结】本题主要考察了直线、射线，线段的定义，主要是画图语言的表述．【例7】 如图，已知AB < CD ，则AC 与BD 的大小关系是（ ）A ．AC > BDB ．AC = BD C ．AC < BDD ．不能确定【难度】★★ 【答案】C ．【解析】因为AB < CD ，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上，所以AB +BC < CD +BC ， 即AC < BD ．【总结】本题主要考察线段的大小比较．【例8】 如图，已知ABC 中，边AB 的长大于边AC 的长，试用圆规、直尺在线段AB 上画出线段AD ，使AD = AC ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】由题意得：如图以点A 为圆心，AC 长为半径画弧 交AB 于点D ，则AD =AC ． 【总结】本题主要考察尺规作图的方法．【例9】 图中共有几条线段？几条射线？ 【难度】★★ 【答案】6，12．【解析】图中线段有BC 、CD 、BD 、AB 、AC 、AD 共6条；射线有12条，注意分别以A 、B 、C 、D 为端点的射线各有3条．【总结】本题主要考察线段，射线的端点特征；在线段、射线的计数时，注意不重复不遗漏．ABCD【例10】 如图，已知线段AB 、线段 CD ．利用圆规和无刻度的直尺比较这两条线段的大小． 【难度】★★ 【答案】AB > CD ．【解析】以点A 为圆心，CD 为半径画弧，与线段AB 的交点 在线段AB 上，故AB > CD ．【总结】本题主要考察度量法和叠合法比较线段大小．【例11】 已知平面上有4个点，无三点共线，请问，这4个点可以构成多少条线段？若有5个点呢（其他条件不变）？若有6个点呢（其他条件不变）？若有n 个点呢（其他条件不变）？【难度】★★★ 【答案】6，10，15，()12n n -．【解析】过两点的线段有1条，过三点不在同一直线上的4点的线段有4×3÷2=6条； 过任何三点都不在同一直线上的5点的线段有5×4÷2=10条； 过任何三点都不在同一直线上的6点的线段有6×5÷2=15条；按此规律，由特殊到一般：平面内有n 个点且任意三点都不在同一直线上，一共可以画的线段条数为()12n n -．【总结】本题主要考察线段的计数，注意不重复不遗漏．【例12】 已知一条直线上有4个点，则以这4个点为端点的线段有多少条？若有5个点呢（其他条件不变）？若有6个点呢（其他条件不变）？若有n 个点呢（其他条件不变）？【难度】★★★ 【答案】6，10，15，()12n n -．【解析】当直线上有4个不同点，共有线段6条； 当直线上有5个不同点，共有线段10条； 当直线上有6个不同点，共有线段15条； 所以，一条直线上有n 个不同的点时共有线段()12n n -条．【总结】本题主要考察线段的计数，综合性较强，要找出其中的规律，注意不重复不遗漏．b 【例13】 图中共有多少条线段？ 【难度】★★★ 【答案】33．【解析】图中共有线段：3×2÷2×4+5×4÷2×2+1=33（条）【总结】本题主要考察线段的计数，按照前面总结的规律去计算，注意不要遗漏．1、 线段的和（或差）两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的长度的和（或差）． 2、 线段的中点将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．【例14】 如图，已知线段a 、b ．（1）画出一条线段，使它等于a b +； （2）画出一条线段，使它等于b a -． 【难度】★ 【答案】略．【解析】（1）如图所示，画线段AC 使AC =a ，再延长AC 至B ，使BC =b ，则线段AB 即 为所求线段；（2）作线段AM ，在线段AM 上截取AC =b ，在线段CA 上截取CB =b ，则线段AB 即 为所求线段．【总结】本题主要考察利用尺规作图作出线段的和差．模块二：画线段的和、差、倍知识精讲例题解析ab ABCDABC【例15】 如图，已知线段a 、b ．（1）画出一条线段，使它等于2a ； （2）画出一条线段，使它等于2a b -． 【难度】★ 【答案】略．【解析】（1）如图所示，画线段AB 使AB =a ，再延长AB 至C ，使BC =a ，则线段AC 即为 所求线段；（2）作射线AM ，在射线AM 上截取AB =BC =a ，在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 即为所求线段．【总结】本题主要考察利用尺规作图作出线段的和差．【例16】 根据图形填空：（1）AD =______+ BC +______= AC + ______= AB + ______； （2）AB = AD -______；（3）AC = AD -______= BC +______． 【难度】★【答案】（1）AB ，CD ，CD ，BD ；（2）BD ；（3）CD ，AB ．【解析】由图形可知，（1）AB ，CD ，CD ，BD ；（2）BD ；（3）CD ，AB ． 【总结】本题主要考察线段的和差．【例17】 如图，已知点C 是线段AB 的中点，则AC =____AB ，AB = 2____= 2____，12AB =______=______． 【难度】★【答案】12，AC ，BC ，AC ，BC ．【解析】因为点C 是线段AB 的中点，所以AC =122AB ，AB =2AC =2BC ，12AB AC BC ==． 【总结】本题主要考察线段的中点的性质，注意找出线段间的数量关系．ABCD 【例18】 如图，已知点C 是线段AB 的中点，AC = 20，BD = 29，则AB =______，DC = ______． 【难度】★★ 【答案】40，9．【解析】因为点C 是线段AB 的中点，AC =20，所以AC =BC =20 AB =2AC =40 ，CD =BD -BC =29-20=9． 【总结】本题主要考察线段的和差计算．【例19】 线段AB = 2厘米，延长线段AB 至点C ，使得BC = 2AB ，则AC =_____厘米． 【难度】★★ 【答案】6．【解析】因为AB = 2厘米，BC = 2AB ， 所以BC =4厘米， AC=AB + BC =6厘米． 【总结】本题主要考察线段的和差计算，注意根据图新判断线段间的关系．【例20】 线段AB = 2厘米，反向延长线段AB 至点C ，使得BC = 3AB ，则AC =_____厘米． 【难度】★★ 【答案】4．【解析】因为AB = 2厘米，BC = 3AB ，所以BC = 6厘米，AC = 2 AB ，所以AC = 4厘米． 【总结】本题主要考察线段的和差计算．【例21】 线段AB = 2005厘米，P 、Q 是线段AB 上的两个点，线段AQ = 1200厘米，线段BP = 1050厘米，那么线段PQ =______厘米．【难度】★★ 【答案】245．【解析】因为AB = 2005，AQ = 1200，BP = 1050，所以120010502005245PQ AQ BP AB =+-=+-=厘米．【总结】本题主要考察线段的和、差，注意根据题意判定P 、Q 的相对位置．【例22】 如图，线段AD = 90厘米，B 、C 是这条线段上的两点，AC = 70 厘米，且13CD BC =，则AB 的长为______． 【难度】★★ 【答案】10厘米．【解析】因为AD = 90厘米，AC = 70 厘米， 所以CD = AD-AC = 20 厘米，因为13CD BC =，所以BC = 60 厘米， 因为 AC=AB +BC ，所以 AB = 10 厘米．ABAABCDE【例23】 如图，已知D 为线段AB 的中点，E 为线段BC 的中点，若AC = 12，EC = 4，求线段AD 的长度． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】因为E 为线段BC 的中点， 所以EC =EB ， 因为EC = 4，所以BC=2EC=8， 因为AC = 12， 所以AB = AC -BC = 12- 8=4，因为D 为线段AB 的中点，所以AD=12AB =2．【总结】本题主要考察线段的和差计算，注意判定线段间的数量关系．【例24】 如图点A 、B 、C 、D 、E 在同一条直线上，已知AB = a ，AD = b ，CD = c ，CE = d ，用含a 、b 、c 、d 的式子表示BC 、DE 的长． 【难度】★★【答案】BC b a c =--；DE d c =-．【解析】由条件知，BC AD AB CD b a c =--=--；DE CE CD d c =-=-． 【总结】本题主要考察线段的和差计算．【例25】 两条长度不等的线段，它们的长度和为a ，一条线段的2倍等于另一条线段的3倍，求这两条线段的长度差．（结果用a 表示） 【难度】★★【答案】15a ．【解析】设长线段长度为3x ，则短线段长度为2x ；由题意得，3x +2x =a ， 解得：x =15a ；则这两条线段的长度差为1325x x x a -==．【总结】本题主要考察线段的和差，注意利用方程的思想去求解．【例26】 已知线段AB ，用直尺、圆规作出它的中点C ． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】以端点A 为圆心，大于线段AB 的二分之一长度为半径，画弧；然后以B 为圆心，相同长度为半径画弧，两弧交点的连线与已知线段的交点就是线段中点C ． 【总结】本题主要考察利用尺规画图作出线段的中点．【例27】两条线段的长度分别为6和8，使这两条线段在同一直线上，并有一个端点重合，求这两条线段的中点所确定的线段的长度．【难度】★★★【答案】1或7．【解析】当两条线段的端点在重合端点的同一侧时，所求线段的长度为（8-6）÷2=1；当两条线段的端点在重合端点的两侧时，所求线段的长度为（8+6）÷2=7．【总结】本题主要考察线段的和差，注意分类讨论．【例28】如图，点A、B、C、D在同一条直线上，已知21ACCD=，35ABBD=，求AB : BC : CD．【难度】★★★【答案】AB : BC : CD=9:7:8．【解析】因为35ABBD=, 所以设AB=3x，则BD=5x，AB=8x；因为21ACCD=，所以1833CD AD x==，21633AC AD x==，所以167333BC AC AB x x x=-=-=，所以AB : BC : CD=783::9:7:833x x x=．【总结】本题主要考察线段的和与差，注意利用比例的关系进行求解．【例29】在直线上顺次排列的四个点A、B、C、D满足AB : BC : CD = 2 : 3 : 4，AB的中点M点与CD的中点N点的距离是3厘米，求BC的长．【难度】★★★【答案】1.5厘米．【解析】根据题意，设AB=2x，则BC=3x，CD=4x，因为点M是AB的中点，点N是CD的中点，所以BM=x，CN=2x，因为MN=MB+BC+CN，所以MN=6x，因为MN=3，所以6x=3，x=0.5，即BC =1.5厘米．【总结】本题主要考察线段的和差，注意利用方程的思想去解决．A B C D E【例30】 如图，线段AB = BC = CD = DE = 1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于多少？ 【难度】★★★ 【答案】20厘米．【解析】图中共有10条线段，其中AB = BC = CD = DE = 1厘米，AC = BD = CE = 2厘米， AD = BE = 3厘米，AE = 5厘米，所以所有线段的长度之和等于20厘米． 【总结】本题主要考察线段的和差倍，注意找出所有的线段来．【习题1】 用叠合法比较线段AB 与线段CD 的大小，把点A 与点C 重合，当点B 在线段CD 上，则AB ______CD ；若点B 在线段CD 的延长线上，则AB ______CD ；如点B 与点D 重合，则AB ______CD ． 【难度】★ 【答案】<，>，=．【解析】利用叠合法比较线段大小． 【总结】本题主要考察叠合法比较线段大小．【习题2】 把一段弯曲的公路改为直路，可以缩短路程，其理由是_________________． 【难度】★【答案】两点之间线段最短． 【解析】两点之间线段最短． 【总结】本题主要考察线段的性质．【习题3】 判断下列语句是否正确：（1）点A 与点B 的距离就是线段AB ；（ ）（2）若线段AM 与线段BM 相等，则M 是线段AB 的中点．（ ） 【难度】★【答案】（1）×；（2）×．【解析】（1）线段AB 的长度是点A 与点B 之间的距离；（2）当点M 在线段AB 上时，且线段AM 与线段BM 相等，则M 是线段AB 的中点． 【总结】本题主要考察线段的性质及线段的中点．随堂检测AB CD E F【习题4】 如果点M 在线段AB 上，那么下列各式中不能说明点M 为线段AB 中点的语句是（ ）A ．12AM AB =B ．2AB BM =C ．AM BM =D ．AM MB AB +=【难度】★ 【答案】D ． 【解析】因为12AM AB =，2AB BM =，AM BM =，均能说明点M 为线段AB 中点， 而AM MB AB +=，则不能，故选D ．【总结】本题主要考察两点间的距离，掌握线段中点的概念是关键．【习题5】 找出图中的所有线段，并将它们表示出来． 【难度】★★【答案】线段AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ． 【解析】图中的线段有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ， DF ，EF ，共有线段15条．【总结】本题主要考察线段的含义，注意不要遗漏．【习题6】 已知M 是线段AB 上的一点，点C 是线段AM 的中点，点D 是线段MB 的中点，AM = 8厘米，MD = 2厘米，则BC =______厘米．【难度】★★ 【答案】8．【解析】由条件知：AM =2AC =2CM ， BM =2DM =2BD ，因为AM = 8厘米，MD = 2厘米， 所以CM =4厘米，BM =4厘米，BC =8厘米． 【总结】本题主要考察线段的和差倍，注意掌握线段间的数量关系．a cb 【习题7】 已知线段AB = 6 cm ，延长AB 到C ，使12BC AB =，反向延长AB 到D ， 使14AD BD =，则线段CD = ______cm ． 【难度】★★ 【答案】11． 【解析】因为12BC AB =,14AD BD =, AB = 6 cm ， 所以BC =3 cm ，AD =2 cm ，所以CD =11 cm ．【总结】本题主要考察线段的和差倍，关键是正确画图，准确找出线段间的关系．【习题8】 已知线段a 、b 、c ，画出线段AB 使122AB a b c =+-．【难度】★★★ 【答案】略．【总结】本题主要考察线段的和差倍．【习题9】 已知在平面上有10个点，无三点共线，请问这10个点可以构成多少条线段？ 【难度】★★★ 【答案】45条．【解析】可以构成线段10×9÷2=45（条）．【总结】本题主要考察线段的计数，注意不重复不遗漏，找出相应的规律．【习题10】 在直线上有两点A 、B ，它们的距离等于10，在该直线上另有一点P ，P 到A 、B 的距离之和为12，请判断点P 与点A 的位置关系． 【难度】★★★【答案】点P 在线段AB 延长线上时，AP =11；点P 在线段BA 延长线上时，AP =1． 【解析】由条件知，AB =10，AP +BP =12， 当点P 在线段AB延长线上时，AP =11； 当点P 在线段BA 延长线上时， AP =1．【总结】本题主要考察两点间的距离，综合性较强，注意分类讨论，正确画图很重要．【作业1】 下列语句错误的是（ ）A ．线段AB 和线段BA 是同一条线段 B ．射线AB 和射线BA 不是同一条射线C ．“延长线段AB 到点C ”与“延长线段BA 到点C ”意义相同D ．直线不能比较大小 【难度】★ 【答案】C ．【解析】“延长线段AB 到点C ”与“延长线段BA 到点C ”方向不同，意义也不一样； 故选C ．【总结】本题主要考察直线、射线、线段的特征．【作业2】 比较下列各图中线段AB 与CD 的大小． 【难度】★★【答案】AB>CD ，AB>CD ．【解析】分别将线段AB 移到线段CD 的位置，使端点A 与端点C 重合，线段AB 与线段CD 叠合； 这时端点B 都在的线段AB 延长线上，所以AB>CD ． 【总结】本题主要考察线段的比较大小，度量法和叠合法．【作业3】 如图，直线上有A 、B 、C 三点，图中共有______条射线，______条线段． 【难度】★ 【答案】6，3．【解析】由图可知，图中共有6条射线：以A 、B 、C 为端点的射线分别有2条，共6条； 图中共有3条线段分别是：AB ，AC ，BC ．【总结】本题主要考察射线、线段的定义，注意不重复，不遗漏．课后作业BCD【作业4】线段AB =182厘米，点C是线段AB的中点，则线段BC =______厘米．【难度】★★【答案】174．【解析】因为点C是线段AB的中点，AB =182厘米，所以117=24BC AB=厘米．【总结】本题主要考察线段的中点所具有的性质，注意分数的计算．【作业5】延长线段AB至点C，使13B C A B=，D是AC的中点，若DC = 2厘米，则AB =______厘米．【难度】★★【答案】3．【解析】因为D是AC的中点，DC = 2厘米，所以AC = 2DC = 4厘米，因为13BC AB=, 所以334AB AC==厘米．【总结】本题主要考察线段的倍分运算，注意找出线段间的数量关系来．【作业6】已知线段AB，点D为线段AB的中点，延长线段AB到C，使点B为线段AC的中点，反向延长线段AB到E，使得点A为线段DE的中点，则BC =______AE．【难度】★★【答案】2．【解析】因为点A为线段DE的中点，所以DE=2AE．因为点D为线段AB的中点，B为线段AC的中点，所以BC =AB=DE，即BC=2AE．【总结】本题主要考察线段的中点，关键是正确画图．【作业7】延长线段AB到C，使AC = 3AB，在AB反向延长线上取一点D，使AD = AB，若点E是AB的中点，DE = 7.2 cm，求CD的长．【难度】★★【答案】19.2 cm．【解析】因为点E是AB的中点，AD = AB，所以AB=AD =2AE，所以DE=3AE，因为DE = 7.2 cm，所以AE = 2.4 cm，AB= 4.8 cm，因为AC = 3AB，所以CD =4AB = 19.2 cm．【总结】本题主要考察线段的和差倍的相关计算，注意进行分析．【作业8】 如图，已知AE = 14 cm ，B 为AE 上一点，且AB : BE = 3 : 4，C 为AE 中点，D为BE 中点，求线段CD 的长． 【难度】★★★ 【答案】3 cm ．【解析】因为AB : BE = 3 : 4，所以设AB =3x ，则BE =4x ，AE =7x ，因为AE = 14 cm ， 所以x =2 cm ，所以AB =6 cm ， BE =8 cm ，因为C 为AE 中点，D 为BE 中点， 所以CE =12AE =7 cm ， DE =12BE =4 cm ，所以743CD CE DE =-=-=cm ．【总结】本题主要考察线段的和差计算，注意找出线段间的关系．【作业9】 已知A 、B 、C 为一直线上三点，且AB = 10 cm ，BC = 20 cm ，则AC 的长度为多少？ 【难度】★★★【答案】30 cm 或10 cm ．【解析】当点A 、C 在点B 两侧时，AC=AB+BC=30 cm ； 当点A 、C 在点B 同侧时，AC=BC - AB=10 cm ．【总结】本题主要考察线段的和差，注意分类讨论，综合性较强．【作业10】 在直线l 上有100个点，以这100个点为端点的线段有多少条？ 【难度】★★★ 【答案】4950．【解析】以这100个点为端点的线段有：100×99÷2 = 4950（条）． 【总结】本题主要考察线段的计数，注意不重复，不遗漏．。
中考数冲刺几何题型专项突破：专题一截长补短证明线段和差倍分等问题
中考数冲刺几何题型专项突破专题一截长补短证明线段和差倍分问题【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法截长法：如图2,在EF上截取EG=AB,在证明GF = CD即可；补短法：如图3,延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH = EF即可.【类型】一、截长截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BM OA DFC ( SAS),则MC=FC=FG , △ BCM^ DCF ,可得△ MCF为等腰直角三角形，又可证△ CFE=45 , △ CFG=90 ,△ CFGS MCF, Fg CM,可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF , 于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM为平行四边形，可得CM=FG=CF ；可得△ BFC=\ BDC=45 ，得△ MCF=90 ；于是△ BM OA DFC (AAS ), BM=DF ,又得△ BMC^DFC=135于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△ BCD和厶MCF。
方法三：如图3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△ DFK，可证得△ DFC=\ KFG=135 ，所以△ DFCX A KFG（SAS），所以KG=DC=BC ，△FKG=A FDC=A CBF，KGA BC，得四边形BCGK 为平行四边形，BK=CG ，于是BF=BK+KF=CG+DF.方法四:如图3所示，在BF上截取BK=CG ,可得四边形BCGK为平行四边形,BC=GK=DC , BC A KG ,△GKF=A CBF=A CDF,根据四边形BCFD为圆的内接四边形,可证得△ BFC=45，△ DFC=\ KFG，于是△ DCFX A KGF （AAS），DF=KF，于是BF=BK+KF=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△ BDC 和^ KDF。
线段及角的和差倍分计算
线段及角的和差倍分计算
首先我们来介绍线段的和、差计算方法。
1.线段的和计算：
设线段AB的长度为a，线段BC的长度为b，那么线段AC的长度为
a+b。
2.线段的差计算：
设线段AB的长度为a，线段BC的长度为b，那么线段AC的长度为，
a-b，即两个线段长度的差的绝对值。
接下来我们来介绍角的和、差计算方法。
1.角的和计算：
设角A的度数为α，角B的度数为β，那么角A和角B的度数和为
α+β。
2.角的差计算：
设角A的度数为α，角B的度数为β，那么角A和角B的度数差为，α-β，即两个角度数的差的绝对值。
--------------------------------------------
下面我们来介绍线段和角的倍数计算方法。
1.线段的倍数计算：
设线段AB的长度为a，倍数为n，那么线段AB的n倍长度为na。
2.角的倍数计算：
设角A的度数为α，倍数为n，那么角A的n倍度数为nα。
需要注
意的是，角度的n倍有时候不是一个具体的度数，而是一种表示角度大小
关系的相对概念。
线段和角的等分计算方法：
1.线段的等分计算：
设线段AB的长度为a，要将其等分成n份，那么每一份的长度为a/n。
例如，要将线段AB等分成3份，那么每一份的长度为a/3
2.角的等分计算：
设角A的度数为α，要将其等分成n份，那么每一份的度数为α/n。
例如，要将角A等分成2份，那么每一份的度数为α/2。
人教七下线段的和差倍分计算专题
线段的和差倍分计算一.和差问题1.线段上有1个点。
如线段AB上有一点M和：AB=+差：AM=—BM=—2.线段上有2个点。
如点M、N是线段AB上的两个点。
和：AB=++；AN=+；MB=+差：AM=AB—;AM=AN—;MN=AB——;MN=AN—MN=MB—;NB=AB—;NB=MB—。
2．如图，若线段AC=4cm，BC=3.5cm，求线段AB的长.思路指引：（1）已知条件有哪些？求什么？（2）利用线段的和还是差来求线段AB的长？（3）在右边的框里填写推理步骤。
3．如图，若线段AC=4，AB=7，求线段CB的长.4、已知线段AB=8点C在线段AB上，且BC=3，求线段AC的长.二.线段中点的图形及符号语言：线段中点的三种表示方法：如图（1）∵C 是线段AB 中点∴=（2）∵C 是线段AB 中点∴=2或=2（3）∵C 是线段AB 中点∴=12或=12三应用新知1：已知：如图线段AB=6cm,点C 是线段AB 的中点，求线段BC 的长解：∵C 是线段AB 中点∴=12又∵AB=6∴=12=12=答：线段BC 的长是________2已知：如图，若线段CA=5cm,点C 是线段AB 的中点，求线段BC 的长3已知：如图，若线段CB=7cm,点C 是线段AB 的中点，求线段BA 的长C A练习：A 层1、已知点M 是线段AE 的中点，则AM=______,AE=____MEAM=_____AE2已知，点F 是线段AB 的中点，线段BF=6cm ，求线段AB 的长B 层1.如图：AB=4cm ，BC=3cm ，如果O 是线段AC 的中点，求线段OB 的长度．解：∵AB=4，BC=3，AC=______+______=4+3=7又∵O 为AC 的中点，∴OC=______AC=______=______∴OB=OC-BC=_____-______=__________2.已知：如图，AB=16cm ，点C 为AB 的中点，点D 为CB 的中点，求线段CD 的长3、如图，C 为线段AB 的中点，D 在线段CB 上，DA=8，DB=6，求CD 的长。
【初三】线段、角的和差倍分
初中数学竞赛专题选讲线段、角的和差倍分一、内容提要证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。
一.转化为证明相等的一般方法㈠通过作图转化1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等㈡应用有关定理转化1.三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半3.直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和5.等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍6.三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶17.有关比例线段定理二.用代数恒等式的证明1.由左证到右或由右证到左2.左右两边分别化简为同一个第三式3.证明左边减去右边的差为零4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论二、例题例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高求证：DC＝AB＋BD分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。
可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。
∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。
分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。
三角形专题-线段的和差倍分
专题：三角形之线段的和差倍分
1、在△ABC 中，∠ACB= 900，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E 。
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： DE=AD+BE 。
（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时， 问DE 、AD 、BE 有何关系，并说明理由。
2、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D . 求证：DE AD BE =-.
3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .
求证：（1）FC =AD ；
（2）AB =BC +AD
A
4、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：①BD=CF
②BD=2CE．
5、①如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D点作EF∥BC交AB于E，
交AC于F，求证：EF=BE+CF．
②在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，过D点作EF∥BC交AB于E，交AC于F，
试探究BE、EF与CF的数量关系．。
第5课 线段的和差倍分及画法(1)
第5课线段的和差倍分及画法(1)班别：学号姓名：学习目的:1, 掌握线段的和差倍分的意义2, 掌握画法包括(1)用刻度尺量度计算后画;(2)用直尺和圆规画(尺规作图) 学习过程:一,例题学习:例1、已知：线段a、b，求作线段：（1）AB=a+b；（2）CD=a－b ；（3）EF=2a－b。
（保留作图痕迹）。
a解：（1）作法：①画出射线AD；②截取线段AC=a；③截取线段CB=b；∴线段AB=a+b。
(2)作法：①画出射线CF；②截取线段CA=a；③在AC上截取线段AD=b；∴线段CD= a－b。
(3)作法：①画出射线ED；②截取线段EM=2a；③截取线段MF=b；(1)B A 线段EF=2a －b 。
三,练习:A 组:1,已知线段a,求作线段AB ，使它等于a .作法：①画出射线AC ；②截取线段AB=a ；则线段AB=a 。
2、已知：线段a 、b ，求作线段：（不写做法，保留作图痕迹）。
（1）MN=a+b ；（2）GH=2b －a 。
解：（1）则线段MN=a+b（2）则线段GH=2b －a3,延长线段AB 至点C ，使得线段BC=AB 。
（不写作法，但要保留作图痕迹。
）概括：点B 把线段AC 分成相等的两条线段AB 和BC ，点B 叫做线段AB 的中点。
如图：点C 是线段MN 的中点，(1)若MC=4cm ，则NC= cm;MN= cm;(2)若MN=10cm ，则MC= cm; NC= cm; a C N(2)B A (2)B A E D C B A 4,反向延长线段AB 至点D ，使得线段BD=2AB 。
B 组:1、已知：线段AB ，求作线段AB 的三等分点M 和N 。
2、已知点A 是BC 的中点，E 是CD 的中点，BC=8cm ，CD=10cm ，求AE 的长。
解:∵点A 是BC 的中点, BC=8cm∴AC= BC= cm∵E 是CD 的中点, CD=10cm∴CE= CD= cm∴AE= + = cm。
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线段的和差倍分作图与计算
1、已知线段AB=80，M 为AB 中点，P 在MB 上，N 为PB 中点，且NB=14，求AP 长。
2、已知P 为线段AB 上一点，M 、N 分别是AP 、BP 中点，试说明MN=2
1AB 。
3、线段AB ＝1.8，延长AB 至C ，使得BC ＝3AB ，D 为BC 中点，求BD 的长。
4、已知线段AB 上有C 、D 两点，AD=35，BC=44，AC=2/3BD ，求AB 的长。
5、如图，C 、D 是AB 上两点，E 、F 分别是AC 、DB 中点，EF ＝m ，CD ＝n ，求AB 长。
6、已知线段AB ＝12，点C 在直线AB 上，且BC ＝6，M 是AC 中点，求AM 长。
（提示：
不只一种可能哦）
7、已知线段AB=12，在AB 上有C 、D 、M 、N 四点，且AC ∶CD ∶DB=1∶2∶3，AM=
21AC ，
DN=41
DB ，求MN 的长。
（提示：……上题提示了，还要提示？！）8、如图，C 、D 将AB 分成2∶3∶4三部分，E 是AB 中点，ED ＝2，求AB 的长。
9、在一条直线上有A 、B 、C 三点，M 为AB 中点，N 为BC 中点，若AB=a ，BC=b ，试
用a 、b 表示线段MN 的长度。
10、已知：线段a 、b ，求作：
①a +b
② 2a +b
③ 2b －a。