新教材人教版高中数学必修1 第三章 3.3

又函数 y＝x2 在[0，＋∞)上单调递增，且 0.31<0.35，
∴0.312<0.352，即(－0.31)2<0.352.
答案
金版点睛 比较幂值大小的方法
比较幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则 考虑构造幂函数，然后根据所构造的幂函数的性质如单调性、奇偶性等来解 决问题．
在
第一象限内的图象为 C3.
[答案] D
解析
答案
金版点睛 解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函 数图象越远离 x 轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限
(1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的 大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
[跟踪训练3] (1)比较下列各组数的大小：
①23
1 2
与35
1 2
；②－3.143 与－π3；
(2)已知幂函数 y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3，当 x∈(0，＋∞)时，y 随 x 的增
2．函数 y＝x3 的图象大致是图中的( )
答案 B 解析 ∵函数 y＝x3 是奇函数，且 α＝3>1，则其为增函数，且 y 随 x 的 增大急剧增大，∴函数图象为 B.
答案
解析
3．设 a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．b<a<c B．a<c<b C．a<b<c D．c<b<a
1
内的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x 2 或 y＝x3)来判断．
[跟踪训练2] (1)如图是幂函数 y＝xm 与 y＝xn 在第一象限内的图象，则 ()
A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1
(2)已知函数 y＝ |x|. ①求定义域； ②判断奇偶性； ③已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定 单调区间．
1
(2)已知 y＝(m2－4m＋4)xm－1 ＋2n－3 是幂函数，求 m，n 的值．
答案 (1)B (2)见解析
答案
解析 (1)y＝x12＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2 由于系数是 2，因此不是幂 函数；y＝x2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出， 常函数 y＝1 的图象比幂函数 y＝x0 的图象多了一个点(0,1)，所以常函数 y＝1 不是幂函数．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x3＋2是幂函数．( × ) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．( × ) (3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数无关．( × ) (4)当x＞1时，函数y＝x2的图象总在函数y＝x3的图象的下方．( √ )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
[解析] 由于在第一象限内直线 x＝1 的右侧，幂函数 y＝xα 的图象从上
到下相应的指数 α 由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线 x＝1 右侧的
“高低”关系是“指大图高”，故幂函数 y＝x2 在第一象限内的图象为 C1，y
＝x－1 在第一象限内的图象为
C4，y＝x
1 2
在第一象限内的图象为
C2，y＝x－12
3．3 幂函数
(教师独具内容)
课程标准：1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y＝x，y＝
x2，y＝x3，y＝1x，y＝x
1 2
的图象，并能通过图象了解幂函数的图象与性质.3.
能正确应用幂函数的知识解决相关问题．
教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质．
教学难点：应用幂函数的知识解决相关问题．
答案
金版点睛 判断函数是幂函数的依据
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α 为常数)的形 式，即满足：①指数 α 为常数；②底数 x 为自变量；③系数为 1.
[跟踪训练1] (1)在函数 y＝x12，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 中，幂函数的 个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)(
2)
－1 2
，(
3)－12 ；
(3)(－0.31)2,0.352.
1
1
1
[解] (1)∵y＝x 2 在[0，＋∞)上单调递增，且 2.3<2.4，∴2.3 2 <2.4 2 .
(2)∵y＝x－12 在(0，＋∞)上单调递减，且 2< 3，
∴( 2)－12 >( 3)－12 .
(3)∵y＝x2 为 R 上的偶函数，∴(－0.31)2＝0.312.
m2－4m＋4＝1，
(2)由题意得m－1≠0， 2n－3＝0，
所以 m＝3，n＝32.
解得mn＝＝323，，
解析
题型二 幂函数的图象及应用
例2
幂函数
y＝x2，y＝x－1，y＝x
1 2
，y＝x－12
在第一象限内的图象依次源自是图中的曲线( )A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
1
1
例 4 若(3－2m) 2 >(m＋1) 2 ，求实数 m 的取值范围．
1
[解] 因为 y＝x 2 在定义域[0，＋∞)上单调递增，
3－2m≥0，
所以m＋1≥0， 3－2m>m＋1，
解得－1≤m<23.
故实数 m 的取值范围为－1，23.
答案
金版点睛 利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大 小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：
答案 A
解析 a＝2－6＝8－2，b＝3－4＝9－2，c＝7－2，由幂函数 y＝x－2 在(0，＋∞) 上单调递减，可知 b<a<c.
答案
解析
4．已知幂函数 f(x)的图象过点(4,2)，则 f18＝________.
答案
2 4
解析 设幂函数为 y＝xα(α 为常数)．
∵函数 f(x)的图象过点(4,2)，∴2＝4α，
答案
随堂水平达标
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝5x
B．y＝x5
C．y＝5x
D．y＝(x＋1)3
答案 B 解析 由幂函数的定义知函数 y＝5x 不是幂函数；函数 y＝5x 是正比例 函数，不是幂函数；函数 y＝(x＋1)3 的底数不是自变量 x，不是幂函数；函数 y＝x5 是幂函数．
答案
解析
(1)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.
(2)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.
(3)若y＝axa2－
1 2
是幂函数，则该函数的值域是________．
答案 (1)3 (2)－8 (3)[0，＋∞)
答案
核心素养形成
题型一 幂函数的定义 例 1 已知幂函数 y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指 出其定义域．
∴α＝12，∴f(x)＝x
1 2
，
∴f18＝18
1 2
＝
2 4.
答案
解析
5．已知幂函数 y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称，且在区间(0，＋ ∞)上单调递减，求 f(x)的解析式．
解 ∵幂函数 y＝x3m－9 在区间(0，＋∞)上单调递减， ∴3m－9<0，即 m<3. 又∵m∈N*，∴m＝1,2. 又 y＝x3m－9 的图象关于 y 轴对称，即该函数是偶函数， ∴3m－9 是偶数．∴m＝1. ∴f(x)＝x－6.
知识点三 一些常用幂函数的性质
【新知拓展】 1．幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα ＋6等的函数都不是幂函数．
2．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调 递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一 象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点 趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
[解] ∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3 为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1. 当 m＝2 时，m2－2m－3＝－3，则 y＝x－3，且有 x≠0； 当 m＝－1 时，m2－2m－3＝0，则 y＝x0，且有 x≠0. 故所求幂函数的解析式为 y＝x－3 或 y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}．
核心概念掌握
【知识导学】
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数 □01 y＝xα 叫做幂函数(power function)，其中 □02 x 是自变 量， □03 α 是常数．
知识点二 一些常用幂函数的图象
1
同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 2 的图象(如 图)．
③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于 y 轴的对称图象， 即得函数 y＝ |x|的图象，如图所示．