正态分布 t分布

未知时，以样本标准差 S 代替 σ 所得到的统 计量
xμ S/ n
态分布，而是服从 t 分布(t-distribution)。 它的概率分布密度函数如下：
t 分布概率密度曲线特点: 1、t 分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条 t 分布概率密度曲线。 2、t 分布概率密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称， 且在t＝0时，取得最大值。 3、与标准正态分布曲线相比，t 分布曲线顶部略低， 两尾部稍高而平。df 越小这种趋势越明显。df 越大，t 分布越趋近于标准正态分布。当n >50时，t 分布与标 准正态分布的区别很小；n >100时，t 分布基本与标准 正态分布相同；n→+∞时，t 分布与标准正态分布完全 一致。
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x=
1 2
x
-3 -2 -1 0
x=
1 2 3 x
x=
不同均数 均值 反映随机变量的平均水平（位置参数），向 右平移表示逐渐增大，向左平移表示逐渐减小。
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴永不相交 （2）曲线是单峰的,它关于直线 x=μ对称 1 （3）曲线在 x=μ 处达到峰值(最高点) σ 2π （4）曲线与横轴 x所夹面积为1
例3 某地1986年120名8岁男孩身高均数为 X =123.02cm ，标准差为S=4.79cm，试估 计: (1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8 岁男孩总数的百分比； (2)身高在120cm～128cm者占该地8岁男孩总 数的百分比; (3)该地80%的男孩身高集中在哪个范围？
t 分布
利用公式，查附表得： (1) P(x＜1.64) =Φ(1.64) =0.9495 (2) P (x≥2.58) =1-Φ(2.58) =1-0.9951 =0.0049 (3) P (│x│≥2.56) =2-2Φ(2.56) =2-2×0.9948 =0.0104 (4) P (0.34＜x≤1.53) =Φ(1.53)-Φ(0.34) = 0.9370-0.6331=0.3039 (5) P(x＜-1.82) =1-Φ(1.82) =1-0.9656 =0.0344
在总体中随机抽取一部分个体作为样本，进行调 查研究以推论总体的方法，称为统计推断。
总体
抽样研究：
假定某年某地所有13岁女学生身高服 从总体均值 =155.4cm , 总体标准差 2 =5.3cm的正态分布N（ , σ ）。在这样 一个有限的总体中作随机抽样，共抽100 次，每次均抽取30例（ni =30）组成一份 样本。
样 本
抽样研究：
n=30
X 1 , S1 X 2 , S2
…
, 2
X 3 , S3
由抽样而引起的样本均数与总体均数之间的 差别及样本均数与样本均数之间的差别称为抽 样误差。 从正态分布的同一总体中随机抽取例数相等 的若干个样本，分别计算它们的均数，这些样 本均数的标准差称为标准误。
….
X n , Sn
在生产中，正常生产条件下各种产品的质量指标； 在生物学中，同一物种的某一特征； 在气象中，某地每年八月份平均气温/湿度以及降雨量等； 在医学中，身高、体重、脉搏、血红蛋白、血清总胆固醇等。
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及 科学技术的许多领域中，在概率和统计中占有 重要地位。
一、正态分布的定义及其性质
二、标准正态分布
由上述正态分布的特征可知，正态分布是 依赖于参数 μ和 σ2(或σ )的一簇分布，正态曲 线的位置及形态随 μ和 σ2的不同而不同。这就 我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在 3 , 3 以外 取值的概率只有0.3％。 给研究具体的正态总体带来困难，需将一般 的正态分布 N(μ,σ2) 转换为 μ=0, σ2=1 的正态 分布。
（6）均数相等、方差不等的正态分布图
μ=0 μ=-1 σ =0.5 μ=1
不同方差
-3
-2
-1
0
1
2
3
标准差σ 反映随机变量的分散程度（形状参数），
σ 越大曲线越“矮胖”，表示分布越分散；σ 越小曲线
越“瘦高”，表示分布越集中。
（四）正态曲线下的概率（面积）规律
=0.5
μ=0
=1 =2
若 x ~ N ( , ) , 则对于任何实数a、b, 正态曲 线与横轴所夹面积即为概率：
正态分布的 两个参数
具有中间高、两头低、左右对称的基本特征
2
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（三）正态曲线的性质
f ( x)
1 e 2
( x )2 2 2
（5）方差相等、均数不等的正态分布图
y
μ= -1 σ=0.5 μ=0 σ=1
-3 -2 -1 0
μ=1
1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

x2
x1
e

( x )2 2 2
dx
标准化变换：
x2 x1 ( ) ( )
P( x1


x


x2
)
区间的上下限作适当变换(标准化)，就可用查标 准正态分布表的方法求得概率了。
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例2 令:
设 x服从 μ=30.26, σ2=5.102的正态分布，试求
概率密度曲线
频率 组距
“中间高，两头低， 左右对称”
身高 (cm)
身高 （cm）
正态曲线(normal curve)
是一条高峰位于中央，两侧逐 渐下降并完全对称，曲线两端 永远不与横轴相交的“钟型” 曲线。
正态分布（normal distribution）是一种很重要的连续 型随机变量的概率分布。实际中许多随机现象都服从或 近似服从正态分布。
Z 得： xμ / n
f (t )
[( df 1) / 2] t2 (1 ) (df / 2) df df 1
df 1 2
式中，t 的取值范围是（-∞，+∞）； df = v = n-1为自由度。 t 分布取值可以查附表。
，则Z～N(0,1)。当总体标准差σ 记为t 。t 统计量不再服从标准正
P (21.64＜x≤32.98) ?
x 30.26 Z 5.10
则 z 服从标准正态分布，故
P (21.64 x 32.98) P ( 21.64 30.26 x 30.26 32.98 30.26 ) 5.10 5.10 5.10
=P(-1.69≤ z ＜0.53) =Φ(0.53)-Φ(-1.69) =Φ(0.53)-(1-Φ(1.69))=0.6546
正态分布、t 分布
上述数据的分布有怎样的特点？
频数分布表与频数分布图
频数分布表
某中学男生身高频数分布表 组段 153.5~157.5 157.5~161.5 161.5~165.5 165.5~169.5 169.5~173.5 173.5~177.5 177.5~181.5 181.5~185.5 频数 5 8 10 15 18 15 8 5 频率 （ %） 5.95 9.52 11.90 17.86 21.43 17.86 9.52 5.95 累计频率 （%） 5.95 15.47 27.38 45.24 66.67 84.52 94.05 100.00 频率/组距 (概率密度) 0.015 0.024 0.030 0.045 0.054 0.045 0.024 0.015
将其变换为服从标准正态分布的随机变量
随机变量z 服从标准正态分布，记作
z～N(0,1)
标准正态分布对应的分布函数记作Φ(z)：
( z)
z，z～N(0,1)。

z
1 2

e

t 2
2
dt
4
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三、标准正态分布的概率计算 设z 服从标准正态分布，则 z 在（z1,z2]区间 内取值的概率为：
身高 （cm) 频率 组距
频率分布图（直方图）
100名中学男生身高的频率分布直方图
频率 组距 频率 组距
200名中学男生身高的频率分布直方图
身高 （cm)
身高 （cm)
1
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样本容量增大时频率分布直方图
频率 组距
数据无限增多组距无限缩小，那么频率分布直方 图的顶边近似成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概 率密度曲线。 概率密度曲线的形状特征：
P ( z1 z z 2 ) 1 1 2
P(z 1＜z ≤z 2)＝Φ(z 2)-Φ(z 1) P(0＜z ≤z 1)＝Φ(z 1)-Φ(0) P(z ≤z 1) =Φ(z 1) P(z ＞z 1) =1-Φ(z 1) P(│z│≤z 1)＝2Φ(z 1)-1
标准正态分布 下的公式
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从某中学男生中随机抽取出84名，测量身高， 数据如下（单位：cm) :
164 181 170 168 159 185 169 164 179 156 175 155 169 169 180 164 182 168 161 182 170 178 174 159 154 172 167 173 160 182 163 164 164 174 173 163 165 166 175 168 161 176 167 170 167 172 172 169 161 174 181 171 171 168 171 161 169 177 177 181 176 174 170 185 178 175 173 175 167 172 172 174 157 162 161 165 168 178 174 171 172 174 172 155