高等数学函数的微分
高等数学-函数全微分
d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
9
例3. 设
解: f (x,0,0) x 3 cos x
注意: x , y , z 具有 轮换对称性
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
3、 中间变量只有一个的情形
例如: z f u u x, y
z dz u x du x
z dz u y du y
z u xy
注: 由于 z f u 是一元函数,则它对u 的导数应该
fv
f2
2z u 2
fuu (u, v)
fuu
f11
2z v2
fvv (u, v)
fvv
f22
2z uv 2z vu
fuv (u, v) fvu (u, v)
f
fuv f12 vu f21
称为混合偏导数
当 f12 和 f21 均连续时有 f12 f21
在计算时注意合并同类项!
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
求
解
2z x y
2z yx
2y x2
f2
2y( x
y2 x2
f22 )
高等数学全微分
z A x B y o( ) ,
其中 A B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关
则称函数 f x y ) 在点( x, y) 可微 Ax By
称为函数 f ( x, y) 在点 x y) 的全微分, 记作：
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微 则称此函数在D 内可微.
δa
S b
δb
S c
δc
1 b sin C 2
a 12.5, b 8.3, C
故绝对误差约为
δ
a
1 2
30,
a sin C δ a δ
δ
b
b 0.1201a, bδcCosC18δ0C0
又
1 12.5 8.3 sin 30 25.94
2
所以 S 的相对误差约为
例6.在直流电路中 测得电压 U = 24 伏 相对误差为 0.3; 测得电流 I = 6安 相对误差为 0.5 , 求用欧姆 定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .
f x (0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
偏导数存在
2) 偏导数连续
函数可微
定理1必要条件) 若函数 z = f x y) 在点(x, y) 可微
则该函数在该点偏导数
必存在且有
d z z x z y x y
高等数学微分方程总结
二阶变 y f ( x, y) 令y p( x)
系数
y f ( y, y) 令y p[ y(x)]
1.r1 r2 y c1er1x c2er2x
2.r1 r2 y er1x (c1 c2 x)
3.r1,2 i y ex (c1 cos x c2 sin x) 二阶
一阶
y py qy 0 齐次
[
Q( x)e P( x)dxdx C ]
Bernoulli y P( x) y Q( x) yn (n 0,1) 令 z y1n
全微分方程 P(xy)dx Q(xy)dy 0 dU (xy) P Q y x
1.折线积分 2.凑全微分 3.定积分
二阶线性方程 a0(x) y a1(x) y a2(x) y 0 y a1(x) y a2 (x) y f (x)
于是
F(x) e2x e2x
二、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
•
d2 y dx2
f
(x)
逐次积分求解
•
d2y dx2
f
(x, dy) dx
令
p (x) dy dx
•
d2y dx2
f
(y, dy) dx
令
p(y) dy dx
d p f (x, p) dx
2. 二阶线性微分方程的解法
• 常系数情形
齐次 非齐次
代数法
y py qy 0,
y py qy f ( x)
求解二阶常系数线性方程 二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程
r 2 pr q 0;
(2) 求出特征方程的两个根
r1 与 r2；
高等数学函数的微分
1
1 x
2
d (log a x)
1 x ln a
dx
d (ln x ) 1 dx x
d (arcsin x) 1 dx 1 x2
d (arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x)Leabharlann 11 x2
dx
d
(arccot
x)
1
1 x
2
dx
2.函数和、差、积、商的微分法则
函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分公式及运算法则 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的概念
1、案例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x0x
x (x)2
x
正方形面积 y x2 ,
y (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
dy / 记作
x x0 即 dy / xx0 f (x0 )x.
3、定义 函数y = f (x)在任意点x的微分，称为函 数的微分，记为dy或df (x)。即
dy f (x) x
若y = x，则 dy dx (x) x x
dy f (x)dx 微分公式
(1)
(2)
y x02 x0x x0
(1) : x的线性函数,且为y的主要部分;
(2) :x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
因此△y≈2x0△x。
由于y x2 f (x0 ) 2x0 所以y f (x0 )x
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
高等数学第二章：函数的微分
dx
26
注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
11
上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x
A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v
vdu udv v2
18
例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1
x
2
xe ex
x
2
2
,
dy
1
x
高等数学上册第五节函数的微分及其应用
线性主部 (f(x0)0时 )
©
说明: y f( x 0 ) x o ( x ) dyf(x0) x
当 f(x0)0时 , lim y lim y x 0 d y x0 f(x0)x 1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
导数也叫作微商
©
例1 设 y x3, 求当 x 0 1, x0.1及 x0.01
时，函数的增量和微分的值 . 解: 当 x 0 1 时，函数的增量
y f( 1 x ) f( 1 ) ( 1 x )3 1 3
3x3(x)2(x)3 dy 3x
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
©
定义: 若函数 yf(x)在点 x 0 的增量可表示为 y f( x 0 x ) f( x 0 )A xo ( x)
第五节
函数的微分
第二章
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
©
一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
©
四、 微分在近似计算中的应用 （一）函数值的近似计算
高等数学——函数的微分
函数的微分在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量x 有微小变化时，求函数)(x f y =的微小改变量)()(x f x x f y -∆+=∆这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数)(x f ，差值)()(x f x x f -∆+却是一个更复杂的表达式，不易求出其值。
一个想法是：我们设法将y∆表示成x ∆的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题。
微分就是实现这种线性化的一种数学模型。
一、 微分的定义定义 设函数)(x f y =在点x 的某邻域内有定义，若相对于自变量x 的微小增量x ∆，相应的函数增量)()(x f x x f y -∆+=∆可表示为)(x o x A y ∆+∆⋅=∆ （1）其中A 是与x ∆无关的量，则称函数)(x f y =（在点x 处）可微，并且称x A ∆⋅为函数)(x f y =（在点x 处）的微分, 记作dy , 即x A dy ∆⋅= （2）【例1】求函数3x y =在x ∀点处的微分。
解：若自变量x 在点x 处有增量x ∆，则对应的函数增量为2233)()3(3)(x x x x x x x x y ∆⋅∆++∆=-∆+=∆其中23x 显然与x ∆无关，而当0→∆x 时，)()()3(2x o x x x ∆=∆⋅∆+，由微分定义得x x dy ∆=23二、函数可微的条件在微分定义中，虽然知道A 是与x ∆无关的量，但A 到底是怎样的量？我们尚不知晓，并且若每次求微分都用其定义，显然较麻烦，因此需要寻找微分定义中的A 是什么。
从【例1】结果不难猜测“)(x f A '=”，事实上，关于微分有如下定理。
定理 函数)(x f 可微的充分必要条件是)(x f 可导，且函数的微分等于函数的导数与自变量的增量的乘积，即x x f dy ∆'=)( （3）证明：先证必要性。
设)(x f 可微，由微分定义，有)(x o x A y ∆+∆⋅=∆其中A 与x ∆无关。
《函数的微分》教学设计-文档资料
《函数的微分》教学设计本节课是《高等数学》中比较难理解的一节概念课。
本节主要介绍微分的概念。
这节课前承一元函数导数，后接微分的应用，在教材中起着承前启后的作用，又可以用微分来计算函数的增量，这部分内容不仅有着非常广泛的实际应用，同时它还是培养学生数学能力的良好题材。
所以说函数的微分是《高等数学》的重要内容之一。
如何调动学生学习这节课的积极性呢？怎样更好地把本节课讲透能让学生更好地理解呢？本文在这节课的教学设计上给出了新的尝试。
1教学目标1.1知识目标（1）要求学生正确理解微分的概念；（2）能够用微分的定义式去求微分；（3）会解决简单的微分应用题。
1.2能力目标培养学生观察分析、独立思考、猜想归纳以及解决实际问题的能力。
1.3情感目标培养学生主动探索、实事求是、科学严谨的学习和工作作风。
2教学重、难点2.1教学重点微分的概念、微分的求法。
2.2教学难点微分的实际应用。
3教学方法运用引导式、启发式、对比式等多种教学法。
4教学设计4.1课题引入函数的微分是一个抽象的概念，为了使其更加形象化，便于学生理解接受，可先从一个简单的物理问题入手。
例如可以让一个小球从某一点处开始做自由落体运动，其路程函数为，点对应的是小球在时刻的位置，当时间经过后，小球到达点，求这段时间内的路程的改变量。
通过对问题的求解分析，得到函数微分的初步模型。
但是这只是从这个具体的物理问题得出的分析结果，它是否具有一般性呢？接下来就可以进行一般性分析了，从而得出微分的定义。
从这个实际物理问题入手，而不是先从微分定义讲起，更容易激起学生对本节课的学习兴趣。
从问题的提出、解决到最后微分概念的提炼，让学生体会到数学源于实践，并且实际问题的牵引容易激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。
4.2概念分析微分的定义给出后，教师先让学生回忆什么是线性主部，然后帮助学生自己总结出微分的实质。
教师不但从代数角度给出微分定义，为了更好地让学生理解微分这个抽象定义，可以再从几何角度来研究一下微分的几何意义。
高等数学大学数学——微分
微分形式的不变性： 由复合函数的微分法则可见，无论u是自变量还是 另一个变量的可微函数，微分形式dy f (u)du保持不变。 这一性质称为微分形式不变性。
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复合函数的微分法则：dyf (u)du或dyyudu。 例3． 例1 设y e
dy (e
a x b x2
函数的和差积商的微分法则： d(uv)dudv， d(uv)vduudv，
这是因为： d(uv)(uvuv)dx uvdxuvdx， 又 udxdu，vdxdv，
所以
d(uv)vduudv。
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铃
函数的和差积商的微分法则： d(uv)dudv， d(uv)vduudv， d(Cu)Cdu， u vdu udv d( ) (v 0)。 2 v v
y yf(x) N M a O
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T
dy Dy
Dx x0
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x0 +Dx
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x
结束 铃
三、微分法则
基本初等函数的微分公式： d(xm) mx m1dx， d(sin x) cos xdx，
1 d(log ax) dx， a x ln a 1 d(ln x) dx， x 1 1 d(arcsin x) d(arcsin x) dx， dx， 1 x 22 1 x 1 d(arccos x) dx， 1 x2 1 d(arctg x) dx， 2 1 x 1 d(arcctg x) dx。 2 1 x
§3.5 微 分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分法则 四、微分在近似计算中的应用
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高等数学微积分知识整理
f -1 f f f n nn n高等数学微积分知识整理第一章 极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性 *单调性的定义（以递增为例）：∀x 1 , x 2 ∈ D f ，若x 1＜x 2时f (x 1 ) ≤ f (x )在D f 上严格单调递增。
f (x 2 )，则f (x )在D f 上单调递增；将≤ 改为＜，则*有界的定义： ∃M ＞0，对于∀x ∈ A ⊆ D f ，都有| f (x ) |≤ M ，则f (x )在A 上有界。
（f (x )≥m ∈R ，则 f (x )下有界；反之则上有界。
只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。
）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。
*反函数存在的可能情况：①y 与 x 一一对应；②f (x )是某区间上的严格单调函数 （反函数的单调性与原来的函数相同）* D = R ；当x ∈ D 时，f -1 ( f (x )) = x ；当x ∈ R 时，f ( f -1 (x )) = x 。
4、初等函数：包括 6 大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。
二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：ε-N 语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N 的限制，从而找到 N ；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1） 若lim a = A ，则{a - A }是无穷小量。
（一种证明极限的方法） n →∞（2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。
（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。
6、收敛数列的性质 （1） 收敛数列必然有界 （2） 收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。
高等数学上册第七章微分方程
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
必需全为 0 ,
在I 上都 线性无关.
DMU
第五节 二阶线性微分方程解的结构
两个函数在区间 I 上线性无关的充要条件:
(1) 当p2 4 q 0 时, ②有两个相异实根
则微分
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为 y C1 er1 x C2 er2 x
DMU
第六节 常系数齐次线性微分方程
(2) 当p2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
可化为变量分离方程的类型
• 形如 dy g的(方y )程，称为齐次方程 dx x
如何求解满足上述条件的齐此方程
令 y u, y ux x
du u x du ,
dx
dx
x du g(u) u dx
du g(u) u
dx
x
化为一个变量可分离的方程
DMU
第二节 可分离变量的微分方程 齐次方程
第一节 微分方程的概念
微分方程的预备知识
➢ 微分方程
y P(x) y Q(x)y f (x)
➢ 阶：最高阶导数的阶数 ➢ 解：使方程成为恒等式的函数
➢ 通解： y (c1, c2, , cn )
➢ 特解：满足初始条件的解 ➢ 初始条件：
y(x0 ) y0, y(x0 ) y1, , y(n1) (x0 ) yn1
第二章第五节 函数的微分
高等数学
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0+∆x时, ∆y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0, f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|∆x|很小时, |∆y−dy|比|∆x|小得多. 因此, 在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代 替曲线段. 记 自变量的微分, ∆y = ∆x = dx 称∆x为 自变量的微分 记作 dx dy = f ′(x) 导数也叫作微商 则有 dy = f ′(x) dx 从而 dx
高等数学
§2.5函数的微分 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
高等数学
一、微分的概念 引例: 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 + ∆x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A= x2 , 当 x 在 x0 取 得增量 ∆x 时, 面积的增量为 (∆x)2 x0∆x ∆x 关于△x 的 ∆x →0时为 线性主部 高阶无穷小 故 称为函数在 x0 的微分
高等数学
2、 微分的四则运算法则 、 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
= du ± dv = vdu + udv
3. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
= f ′(u) ϕ′(x) dx dy = f ′(u) du
du
微分形式不变
高等数学
若y=f(u), u=j(x), 则dy=f ′(u)du. 例3 y=sin(2x+1), 求dy. 解 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u) =cos udu =cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)⋅2dx =2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4. y =ln(1+ex2 ) , 求 dy. 解 dy =d ln(1+ex2 ) = 1 2 d(1+ex2 ) 1+ex 1 ⋅ex2d(x2) = 1 ⋅ex2 ⋅2xdx = 2xex2 dx = . x2 x2 x2 1+e 1+e 1+e
高等数学教学教案 函数的微分
y = f（x0+x）f（x0）= Ax + o (x) …… （*）
成立（其中，A 与x 无关）. 则称函数 y=f（x）在点 x0 可微，称 Ax 为函数在点 x0 的微分，即为 dy = Ax； 若（*）不成立，则称 y = f（x）在点 x0 不可微. 规定：自变量的微分，就是它的增量，即：
近似值. 这一项被称为y 的线性主要部分. 定义：自变量 x 的变化量x 与 x 是无关的，称为自变量的微分，记为 dx；而因变量相应的变化量y 的
线性主要部分 f (x) x f (x)dy则称为函数 y=f（x）在点 x 处相应于自变量的变化量x 的微分，用 df（x）
或 dy 表示，即：
dy df (x) f (x)dx.
讲解方法四
引进实际问题，由研究函数的改变量 y = f（x0+x） f（x0）与自变量改变量 x 之间的关系，计 算函数改变量的大小，引发出微分的根本思想是在局部范围内用线性函数来近似函数的本质.
例如：
计算正方形面积增量
S=2xx + (x)2
计算圆面积增量
S=2 rr + (r)2
计算球体积增量 计算自由落体路程增量
x
y)斜率为
f
' ( x)
的唯一确定的
切线存在. 切线在切点 P(x,y)附近与曲线密合，并且在相当靠近切点的地方，密合得难以区分. 这在分析上意味着
在点 x 的小邻域内，函数值 y = f（x）可用切线上相应点的纵坐标值来近似. 而在 x 充分小的邻域内，近似误 差 R 与x 相比是微不足道的.
若 f 在区间 I 的每一点可微，则称 f 在 I 上可微. 讲解方法三
高等数学导数、微分、不定积分公式
高等数学导数、微分、不定积分公式一、基本导数公式：'k1. kx2. x n'nx n 13. a x 'a x ln a4. e x'xe5. log a x'1 x ln a'16. ln x x'cos x7. sin x8. cosx'sin x'9. tan x sec2 x'csc2 x 10. cot11. secx 'secx tan x12. cscx'csc x cot x'113. arcsin x1x2'1 14. arccosx1 x2'115. arctan x1x2'1 16. arc cot1x2二、基本微分公式：1.d kx k2.d x n nx n 1dx3.d a x a x ln adx4.d e x e x dx5.d ln x1dxx6.d1dxlog a xx ln a7.d sin x cosxdx8.d cosx sin xdx9.d tan x sec2 xdx10.d cot x csc2 xdx11.d secx secx tan xdx12.d cscx cscxcot xdx13.d arcsinx1dxx2114.d arccosx1dx1x215.d1dxarctanxx21116.d arc cot x2 dxx1- 1 -高等数学导数、微分、不定积分公式三、不定积分基本公式：1.kdxkxc2.x ndxx n 1cn 13. e x dxe xc4.a x dxax1 cln a5.1dxln | x |cx6. sin xdxcosxc7.cos xdxsin xc8. tan xdxln | cosx | c9.cot xdxln |sin x |c10. cscxdxln |cscxcot x | c11. secxdxln |secxtan x |c12.1dxcsc 2xdxcot xcsin 2x13.1dx2tan xc2sec xdxcos x114.1 x 2dxarctanxc15.1dxarcsin xc1x216.secx tan xdxsecxc17.cscx cot xdxcscxc18.dx 1arctan xcx 2a2aa19.dx 1ln |xa |cx 2a22axa20.dxarcsin xca 2x 2a21.dxln | xx 2a 2|cx2a222.dxln | xx2a2|cx 2a 2xdx12cx12xx 2dx2ln 1 xc21x 2dx1x 3c12 dxarctan xc3112 dx1xcxx- 2 -高等数学导数、微分、不定积分公式四、特殊的三角函数值：030°45°60°90°sin x01231222cosx13210 222tan x0313无3cot x无31303五、三角函数的和差化积公式：sin sin2sin cos22sin sin2cos.sin22 cos cos2cos.cos22 cos cos2sin.sin22六、三角函数的积化和差公式：sin cos 1sin sin 2cos sin 1sin sin 2cos cos 1cos cos 2sin sin 1cos cos 2幂的公式 :sin 21cos2a2cos21cos 22七、万能公式：令 tanxt则 x=2arctantd x2 d t2 1 t 2x x2sinxcosx2 tanx2t222 sin2sin cos2 2 x 2 x 2 x 1 t 22sin12cos tan222x2x2xt2cosxcos2sin21tan212x2x2x1t2sin1cos22tan22tanx2ttan x2x 112t2tan2八、平方关系：sin2cos211 tan2sec21 cot2csc2九、导数关系：tan .cot1sin .csc1cos .sec1十、商的关系：sin seccostancsccsc cscsincotsec- 3 -。
高等数学 第2章 第七节 函数的微分
2
3、问题：函数可微的条件是什么？
A?
设函数 y f ( x) 在点 x0 可微, 则有(1)成立，即 y Ax o(x)
等式两端除以
x ,得
y A o(x) .
x
x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到
f x0
ex e x ,
微分公式
d x x 1dx ,
dsin x cos xdx, dcos x sin xdx,
dtan x sec2 xdx, dcot x csc2 xdx, dsecx secx tan xdx, dcsc x csc x cot xdx,
d a x a x ln adx,
d ex e xdx, 8
loga
x
1 x lna
,
ln 1 ,
x
arcsin x 1 ,
1 x2
arccos x 1 ,
1 x2
arctan x 1 ,
1 x2
arc cot x 1 .
1 x2
2.函数的和、差、积、商的微分法则
d log a
x
1 x ln a
dx,
dln x 1 dx,
cos x e13x 3dx e13x sin xdx
e13x (3cos x sin x)dx.
例7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。
(1)d(__) xdx;(2)d(__) costdt
解: (1)因为 d ( x 2 ) 2 xdx.
可见，xdx 1 d x2 2
1、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行 到dy、dx 。
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2、定义 设函数 y = f (x) 在点 x0 处可导，则
称 f ( x0 )x 为函数 f (x) 在点 x0 的微分,
dy / 记作
xx0 即 dy /xx0 f (x0 )x.
3、定义 函数y = f (x)在任意点x的微分，称为函 数的微分，记为dy或df (x)。即
四、微分的应用
例 [金属立体受热后体积的改变量] 某一正方体金属的边长为2cm，当金属受热 边长增加0.01cm时，体积大约改变了是多少？ 解 设边长为xcm的正方体的体积为V立方厘米
d
(arcቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan
x)
1
1 x2
dx
d
(arccot
x)
1
1 x
2
dx
2.函数和、差、积、商的微分法则
设 u、v 都是可导函数，c 为常数，则
d(u v) = du dv. d(uv) = vdu + udv. d(cu) = cdu.
d
v u
udv vdu u2
(u 0).
例 5 设函数 y = e1-3x cosx，求 dy . 解 dy = d(e1-3x cosx)
(sec x)sec x tan x d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x d(csc x)csc x cot xdx
(a x )a x ln a
d(ax)ax ln adx
(e x)e x
d(ex)exdx
(log
a
x)
1 x ln
a
(ln x ) 1 x
= e1-3x d(cos x) + cosxd(e1-3x ) = e1-3x (- sin x)dx + cosx e1-3x (-3)dx = - e1-3x (sin x + 3cos x)dx .
3、微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(不考虑f ( x0 ) 0的特殊情况）
即
y lim x0 x
f (x0 ) 0
y x
f (x0 ) a
其中a是△x→0时的无穷小。
于是
y f (x0) x a x
(1)
(2)
(1)是x的线性函数f (x0)x，
(2)x 是比x高阶无穷小（x 0),
因此，当△x很小时， y f (x0 ) x
dy = [sin(1 - 2x)]dx = cos(1 - 2x) (1 - 2x)dx = - 2cos(1 - 2x)dx.
方法2 把 (1 - 2x) 看成中间变量 u ,则有 dy = d(sinu) = cosudu = cos(1 - 2x)d(1 - 2x) = - 2cos(1 - 2x)dx.
(2) 若x是中间变量时, x (t), 对于复合函数y f ((t)) 有
dy f ( x)(t)dt (t)dt dx, dy f ( x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分形式的不变性
例 7 设函数 y = sin(1 - 2x)，求dy . 解 方法1 利用微分公式 dy = y dx计算, 有
函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分公式及运算法则 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的概念
1、案例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x (x)2
x0x
x
正方形面积 y x2,
y (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(arcsin x) 1 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
(arctan
x)
1 1 x2
(arccot
x)
1
1 x2
d
(log a x)
1 x ln a
dx
d (ln x ) 1 dx x
d (arcsin x) 1 dx 1 x2
d (arccos x) 1 dx 1 x2
解 因为 dy = ( x2 )′dx = 2xdx = 2xx,
所以
dy x3 23 0.01 0.06, x0.01
而 y (x x)2 – x2 = 2xx + (x)2
= 0.06+ (0.01)2 = 0.0601.
例 2 求函数 y = lnsinx 的微分. 解 dy = (lnsinx)′dx = cot xdx .
(2)
y x02 x0x x0
(1) : x的线性函数,且为y的主要部分;
(2) :x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
因此△y≈2x0△x。
由于y x2 f (x0) 2x0 所以y f (x0 )x
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
设f ( x)在x0处可导, 且f ( x0 ) 0,
dy f (x) x
若y = x，则 dy dx (x) x x
dy f (x)dx 微分公式
说明（1）x 很小时，y dy
(2)dy f (x)dx
dy f ( x).
dx
导数也叫作微商
(3)可导 可微
例 1 求函数 y = x2 在 x = 3, x = 0.01 时的
dy 和 y.
前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是
微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇 到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变 量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的 增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较 繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 念——微分。
二、微分的几何意义
如图所示， PN = dx，NM = y，f (x)= tan dy= f (x)dx = tan PN = NT，
即函数 y = f (x) 的微分 dy y
就是曲线 y = f (x) 在点 x 处的切线纵坐标增量，
y=f (x)
M
P
T dy
N
O
x x + x x
三、微分公式与微分运算法则
1．基本初等函数的微分公式
(x m)m x m1
d(x m)mx m1dx
(sin x)cos x
d(sin x)cos xdx
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec 2 x
d(tan x)sec 2xdx
(cot x)csc 2x
d(cot x)csc 2xdx