泛函分析知识总结

泛函分析知识总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

泛函分析知识总结与举例、应用

学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；

二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、度量空间和赋范线性空间

（一）度量空间

度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推

广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：

1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔x=y（非负性）

2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）

3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）

则称d(x,y)是x、y之间的度量或距离（matric或distance），称

为(X,d)度量空间或距离空间(metric space)。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）

注意:⑴定义在X中任意两个元素x，y确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义

引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件

1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的

点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。 举例

离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点x,y ∈X ，令

()1x y d x y =0x=y

≠⎧⎨⎩，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。

序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d(x,y)＝1121i i i i i i

ςηςη∞=-+-∑； 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数

全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义d(x,y)＝

A

t ∈sup )()(t y t x -

可测函数空间M(X)：M(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体。d(f,g)=dt t g t f t g t f x ⎰-+-)()(1)

()(

C[a,b]空间（重要的度量空间）：C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续

函数全体，对C[a,b]中任意两点x,y ，定

义

d(x,y)＝)()(max t y t x b

t a -≤≤ l 2

：无限维空间（重要的度量空间）

★ 例、是考试中常考的度量空间。

2．度量空间中的极限，稠密集，可分空间

0x 的ε—领域：设（X ，d ）为度量空间，d 是距离，定义

{}00(,)U x x X εε==∈∣d(x,x ）＜为0x 的以ε为半径的开

球，亦称

为0x 的ε—领域。

注：通过这个定义我们可以从点集这一章学到的知识来定义距离空间中一个点

集的内点，外点，边界点及聚点，导集，闭包，开集等概念。

度量空间的收敛点列：设(X ，d)是一个度量空间，{}n x 是（X ，d ）中点列,如果

存在x X ∈，{}n x 收敛于x ，使lim n n x x →∞

=，即(,)0()n d x x n →→∞，称点列{}n x 是（X ，d ）中的

收敛点列，x 叫做点列{}n x 的极限，且收敛点列的

极限是唯一的。

注：度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。 有界集：设M 是度量空间（X ，d ）中的点集，定义,()(,)sup x y M

M d x y δ∈=为点集

M 的直径。若()M δ∞＜，则称M 为（X ，d ）中的有界集。

（类似于n R ，我们可以证明一个度量空间中收敛点列是有界点集） 闭集：A 是闭集⇔A 中任意收敛点列的极限都在A 中，即若n x A ∈，n=1,2，

....n x x →,则x A ∈。（要会证明）

举例

n 维欧氏空间n

R 中，点列依距离收敛(,)0k d x x →⇔依分量收敛。 C[a,b]空间中，点列依距离收敛(,)0k d x x →⇔依分量一致收敛。

序列空间S 中，点列依坐标收敛。

可测函数空间M(X)：函数列依测度收敛于f ，即 (,)0n n d f f f f →⇔⇒。

稠密子集和可分度量空间

有理数集在实数集中的稠密性，它属于实数集中，现把稠密性推广到一般的度量空间中。

定义：设 X 是度量空间，E 和M 是X 的两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E ⊂M ，则称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠

密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 为可分空间。

注：可分空间与稠密集的关系：由可分空间定义知，在可分空间X 中一定有稠

密的可数集。这时必有X 中的有限个或可数个

点在X 中稠密。

举例

①n 维欧式空间n R 是可分空间：坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密子集。 ②离散度量空间X 可分⇔X 是可数集。

（因为X 中无稠密真子集，X 中唯一的稠密只有X 本身）

③l ∞是不可分空间。

数学知识间都有联系，现根据直线上函数连续性的定义，引进了度量空间中映射连续性的概念。

3. 连续映射

定义：设X=（X ，d ） Y=（Y ，~

d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射

0x єX ，如果对∀ε>0，∃δ>0 ，使对X 中一切满足d （x ，0x ）<δ的x ，有~

0(,x )d Tx T ε＜，则称T 在0x 连续。

（度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射

是值域空间 Y R =时，映射就是度量空间上的函数。）