泛函分析知识总结

泛函分析知识总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔x=y（非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x、y之间的度量或距离（matric或distance），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space)。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴定义在X中任意两个元素x，y确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

举例离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点x,y ∈X ，令()1x y d x y =0x=y≠⎧⎨⎩，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。

序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d(x,y)＝1121i i i i i iςηςη∞=-+-∑； 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义d(x,y)＝At ∈sup )()(t y t x -可测函数空间M(X)：M(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体。

d(f,g)=dt t g t f t g t f x ⎰-+-)()(1)()(C[a,b]空间（重要的度量空间）：C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对C[a,b]中任意两点x,y ，定义d(x,y)＝)()(max t y t x bt a -≤≤ l 2：无限维空间（重要的度量空间）★ 例、是考试中常考的度量空间。

2．度量空间中的极限，稠密集，可分空间0x 的ε—领域：设（X ，d ）为度量空间，d 是距离，定义{}00(,)U x x X εε==∈∣d(x,x ）＜为0x 的以ε为半径的开球，亦称为0x 的ε—领域。

注：通过这个定义我们可以从点集这一章学到的知识来定义距离空间中一个点集的内点，外点，边界点及聚点，导集，闭包，开集等概念。

度量空间的收敛点列：设(X ，d)是一个度量空间，{}n x 是（X ，d ）中点列,如果存在x X ∈，{}n x 收敛于x ，使lim n n x x →∞=，即(,)0()n d x x n →→∞，称点列{}n x 是（X ，d ）中的收敛点列，x 叫做点列{}n x 的极限，且收敛点列的极限是唯一的。

注：度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。

有界集：设M 是度量空间（X ，d ）中的点集，定义,()(,)sup x y MM d x y δ∈=为点集M 的直径。

若()M δ∞＜，则称M 为（X ，d ）中的有界集。

（类似于n R ，我们可以证明一个度量空间中收敛点列是有界点集） 闭集：A 是闭集⇔A 中任意收敛点列的极限都在A 中，即若n x A ∈，n=1,2，....n x x →,则x A ∈。

（要会证明）举例n 维欧氏空间nR 中，点列依距离收敛(,)0k d x x →⇔依分量收敛。

C[a,b]空间中，点列依距离收敛(,)0k d x x →⇔依分量一致收敛。

序列空间S 中，点列依坐标收敛。

可测函数空间M(X)：函数列依测度收敛于f ，即 (,)0n n d f f f f →⇔⇒。

稠密子集和可分度量空间有理数集在实数集中的稠密性，它属于实数集中，现把稠密性推广到一般的度量空间中。

定义：设 X 是度量空间，E 和M 是X 的两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E ⊂M ，则称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 为可分空间。

注：可分空间与稠密集的关系：由可分空间定义知，在可分空间X 中一定有稠密的可数集。

这时必有X 中的有限个或可数个点在X 中稠密。

举例①n 维欧式空间n R 是可分空间：坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密子集。

②离散度量空间X 可分⇔X 是可数集。

（因为X 中无稠密真子集，X 中唯一的稠密只有X 本身）③l ∞是不可分空间。

数学知识间都有联系，现根据直线上函数连续性的定义，引进了度量空间中映射连续性的概念。

3. 连续映射定义：设X=（X ，d ） Y=（Y ，~d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射0x єX ，如果对∀ε>0，∃δ>0 ，使对X 中一切满足d （x ，0x ）<δ的x ，有~0(,x )d Tx T ε＜，则称T 在0x 连续。

（度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间 Y R =时，映射就是度量空间上的函数。

）注：对于连续可以用定义证明，也可以用邻域的方法证明。

下面用邻域描述：对T 0x 的ε-邻域U ，存在0x 的某个δ—邻域V ，使T V ⊂U ，其中T V 表示V 在映射T 作用下的像。

定理1：设T 是度量空间（X ，d ）到度量空间（Y ，~d ）中映射，T 在0x X ∈连续⇔当0n x x →()n →∞时，必有0()n Tx Tx n →→∞。

在映射中我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。

原像的定义：映射T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映射，称集合{x ∣x ∈X ，Tx ⊂M ⊂Y}为集合M 在映射T 下的原像，简记为1T M -。

★可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明，也可以用原像的定义来证明。

定理2：度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射⇔Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集（除此之外，利用1T -（M 的补集）=（1T M -）的补集，可将定理中开集改成闭集，定理也成立。

）注：像开原像开，像闭原像闭，映射连续。

在数学分析中有学过收敛点列，柯西点列，但研究都在R 中。

现在我们可类似的给出度量空间中柯西点列的概念。

4. 柯西（Cauchy ）点列和完备的度量空间。

柯西点列的定义 ：设X=（X ，d ）是度量空间，{n x }是X 中的点列，对∀ε>0，∃正整数N=N （ε），使当ｎ，ｍ>N 时，必有ｄ（n x ，m x ）<ε，则称{n x }是X 中的柯西（Cauchy ）点列或基本点列。

【会判断：柯西点列是有界点列】我们知道实数集的完备性，同时在学习数列收敛时，数列收敛的充要条件是数列是Cauchy列，这由实数的完备性所致。

在度量空间中，这一结果未必成立。

但在度量空间中的确存在完备的度量空间。

完备的度量空间的定义：如果度量空间（X，d）中每一个柯西点列都在（X，d）中收敛，那么称（X，d）是完备的度量空间．★但要注意，在定义中要求X中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点。

举例（记住结论）有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但n维欧式空间n R是完备的度量空间。

在一般度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点列：C、C[a,b]、l∞也是完备的度量空间。

定理完备度量空间X的子空间M，是完备空间⇔M是X中的闭子空间。

P［ａ，ｂ］（表示闭区间［ａ，ｂ］上实系数多项式全体，作为C［ａ，ｂ］的子空间）是不完备的度量空间．5. 度量空间的完备化。

等距映射：设（X，d），~~ ,X d（）是两个度量空间，T是从X到~X上的映射，即对∀x,y X∈,~d(Tx,Ty)=d(x,y),则称T是等距映射。

定义：设（X，d），~~ ,X d（）是两个度量空间，如果存在一个从X到~X上的等距映射T，则称（X，d）和~~ ,X d（）等距同构，此时T称为X到~X上的等距同构映射。

（像的距离等于原像的距离）注：在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一的。

定理1（度量空间的完备化定理）：设X=（X，d）是度量空间，那么一定存在完备度量空间~~~=,X X d（），使X与~X的某个稠密子空间W等距同构，并且~X在等距同构下是唯一的,即若（ˆX，ˆd）也是一个完备的度量空间，且X 与ˆX 的某个稠密子空间等距同构，则~~,X d （）与（ˆX ，ˆd ）等距同构。

(不需要掌握证明但是要记住结论) 定理1的改述：设X=X （，d ）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间~~~=,X X d （），使X 为~X 的稠密子空间。

6. 压缩映射原理及其应用（重点内容，要求掌握并会证明）学习完备度量空间概念，就需要应用，而压缩映像原理是求解代数方程、微分方程、积分方程，以及数值分析中迭代算法收敛性很好的工具，另外要学会如何求不动点。

压缩映射定义：X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，如果存在一个数α，0,1α∈（），使 对∀ x ，y X ∈，d （Tx ，Ty ）≦αd （x ，y ） 则称T 为压缩映射。

（压缩映射定理）设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且仅有一个不动点（即方程Tx=x ，有且只有一个解）。

（x 是T 的不动点⇔x 是方程Tx=x 的解）这个定理对代数方程、微分方程、积分方程、数值分析的解的存在性和唯一性的证明中起重要作用。

压缩映射原理的应用：在众多情况下，求解各种方程的问题可以转化为求其某一映射的不动点，现在以大家熟悉的一阶常微分方程(,)dy f x y dx = （1） 为例来说明这一点。