泛函分析总结

泛函分析知识点小结及应用§1 度量空间的进一步例子设X 是任一非空集合，若对于∈∀y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d,与之对应，且满足 1．非负性：()y x d,0≥，()y x d ,=0y x =⇔;2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);3．三角不等式：对∈∀z y x ,,X ，都有()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,， 则称(X ，d )为度量空间，X 中的元素称为点。

欧氏空间n R 对nR 中任意两点()n x x x x ,,,21 =和()n y y y y ,,,21 =，规定距离为()y x d ,=()2112⎪⎭⎫⎝⎛-∑=n i i i y x .[]b a C ,空间 []b a C ,表示闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x b t a -≤≤max . p l （)1+∞<≤p 空间 记pl ={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<=∑∞=∞=11k p kk k x x x . 设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈p l ，定义 ()y x d ,=p i p i i y x 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=. 例1 序列空间S令S 表示实数列(或复数列)的全体，对{}∞==∀1k k x x ，{}∞==1k k y y ，令 ()y x d ,=∑∞=121k k k k k k y x y x -+-1. 例2 有界函数空间()A B设A 是一个给定的集合，令()A B 表示A 上有界实值(或复值)函数的全体. ∈∀y x ,()A B ，定义 ()y x d ,=()()t y t x At -∈sup .例3 可测函数空间()X M设()X M为X 上实值(或复值)的可测函数的全体，m 为Lebesgue 测度，若()X m ∞<，对任意两个可测函数()t f 及()t g ，由于()()()()11<-+-t g t f t g t f ，故不等式左边为X 上可积函数. 令 ()g f d,=()()()()t 1f t g t d Xf yg t -⎰+-.§2 度量空间中的极限设{}∞=1n n x 是()d X ,中点列，若X x ∈∃，s.t. ()0,lim =∞→x x d n n (*)则称{}∞=1n n x 是收敛点列，x 是点列{}∞=1n n x 的极限.收敛点列的极限是唯一的. 若设n x 既牧敛于x 又收敛y ，则因为()()()0,,,0→+≤≤n n x y d x x d y x d ()∞→n ，而有 ()y x d ,=0. 所以x =y .注 (*)式换一个表达方式：()x x d n n ,lim ∞→=()x x d n n ,lim ∞→. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离()y x d,是x 和y 的连续函数.具体空间中点列收敛的具体意义：1. 欧氏空间n R m x =()()()()m n m m x x x ,,,21 ， ,2,1=m ，为nR 中的点列，x =()n x x x ,,,21 ∈n R ，()x x d m ,=()()()()()()2222211n m n m m x x x x x x -++-+- . x x m → ()∞→m ⇔ 对每个n i ≤≤1，有 ()i m i x x → ()∞→m .2. []b a C , 设{}⊂∞=1n n x []b a C ,，∈x []b a C ,，则()x x d n ,=()()0max →-≤≤t x t x n bt a ()∞→n ⇔ {}∞=1n n x 在[]b a ,一致收敛于x .3. 序列空间S 设m x =()()()(),,,,21m n m m ξξξ， ,2,1=m ，及x =() ,,,,21n ξξξ分别是S 中的点列及点，则()()()∑∞=→-+-=10121,k k m kkm k k m x x d ξξξξ ()∞→m ⇔ m x 依坐标收敛于x .4. 可测函数空间()X M设{}∞=1n n f ⊂()X M ，f ⊂()X M ，则因()f f d n ,=()()()()⎰-+-X nn dm t f t f t f t f 1，有 f f n → ⇔ f f n ⇒. §3 度量空间中的稠密集 可分空间定义 设X 是度量空间，N 和M 是X 的两个子集，令M 表示M 的闭包，若N ⊂M ，则称集M 在集N 中稠密，当N =X 时，称M 为X 的一个稠密子集. 若X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间. 例1 n 维欧氏空间nR 是可分空间. 事实上，坐标为有理数的点的全体是nR 的可数稠密子集. 例2 离散距离空间X 可分 ⇔ X 是可数集. 例3 ∞l 是不可分空间.§4 连续映射 定义 设X =()d X ,，Y =()dY ~,是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射：X =()d X ,T→ Y =()d Y ~,. 0x ∈X ，若∀ε>0，∃δ>0，s.t. ∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε，则称T 在0x 连续：定理 1 设T 是度量空间()d X ,到度量空间()d Y ~,中的映射：()d X ,T →()d Y ~,， 则T 在0x 连续 ⇔ 当n x →0x 时，必有n Tx →0Tx .定理2 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映射 ⇔ 任意开集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的开集.定理2' 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意闭集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的闭集.§5 柯西点列和完备度量空间定义 1 设X =(X ，d )是度量空间，{}∞=1n n x 是X 中的点列. 若>∀ε0,()N ∈=∃εN N ，s.t.当N n m >,时，有()m n x x d ,<ε，则称{}∞=1n n x 是X 中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(X ，d )中每个柯西点列都收敛，则称(X ，d )是完备的度量空间.在一般空间中，柯西点列不一定收敛，如点列1, 1.4, 1,41, ,412.1 在1R 中收敛于2，在有理数集中不收敛.但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.定理1 完备度量空间X 的子空间M 是完备度量空间 ⇔ M 是X中的闭子空间.常见例子：(1)C （收敛的实或复数列的全体）是完备度量空间 (2) []b a C,是完备的度量空间(3) []b a P ,(实系数多项式全体) 是不完备的度量空间§6 度量空间的完备化 定义 1 设(X ,d )，(X ~,d ~)是两个度量空间，若存在X 到X ~上的保距映射T (∀1x ,2x ∈X ，有d ~(T 1x ,T 2x )=d (1x ,2x ))，则称(X ,d )和(X ~,d ~)等距同构，此时称T 为X 到X ~上的等距同构映照。

等距同构映照是1-1映射. 定理1 (度量空间的完备化定理) 设X =(X ,d )是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X ~=(X ~,d ~)，使X 与X ~的其个稠密子空间W 等距同构，并且X ~在等距同构意义下是唯一的，即若(Xˆ,d ˆ)也是一完备度量空间，且X 与X ˆ的其个稠密子空间W 等距同构，则(X ~,d ~)与(Xˆ,d ˆ)等距同构. §7压缩映照原理及其应用定义 设X 是度量空间，T 是X 到X 中的压映照，若存在一个数α：0<α<1，s.t. ∀x 、y X ∈，成立 ()Ty Tx d ,≤α()y x d , 则称T 是X 到X 中的压缩映照(简称压缩映照).定理1.(压缩映射定理) 设X 是完备度量空间，T 是X 上的压缩映照，则T 有且只有一个不动点(即方程x Tx =有且只有一个解).补充定义：若TX=X,则称X 是T 的不动点，即X 是T 的不动点⇔X 是方程TX=X 的解。

定理2. 设函数()y x f ,在带状域b x a ≤≤，+∞<<∞-y 中处处连续，且处处有关于y 的偏导数()y x f y,'，若存在常数m 和M ， 满足 m <M ，0<m ≤()y x f y,'≤M ， 则方程 ()y x f ,=0 在区间[]b a ,上必有唯一的连续函数()x y ϕ=作为解：()()≡x x f ϕ,0，∈x []b a ,.§8赋范线性空间和Banach 空间线性空间+范数⇒线性赋范空间线性赋范空间+完备性⇒巴拿赫空间定义1 设X 是任一非空集合，若K 是一个数域（R 或C ），如果X 对某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且∀x,y,z ∈X, λ,∈μK, 满足： 1) x+y=y+x （加法交换律） 2) (x+y)+z+x+(x+y) （加法结合律）3) ∈θ∃X, 使x+θ=x （零元素存在性） 4) ∃x ’∈X,使x+x ’=θ （逆元存在性） 5) λ(μx)=μλx=μ(λx) （数乘结合律） 6) 1x=x, 0x=θ7) (λ+μ)x=λx+μx （元素对数的加法分配律） 8) λ(x+y)=λx+λy （数对元素的加法分配律）则称x+y 为x 与y 的和，λx 为数λ与x 的数乘 , 称X 为线性空间或向量空间 (实或复)，X 中的元素称为向量。

定义 (范数，赋范线性空间) 设X 为是实（或复）数域F 的线性空间，若对x X ∀∈，存在一个实数x 于之对应，且满足下列条件：(1) 0≥x ; 且0=x ⇔=0x ； （非负性）(2) α=x x ，α∈F ； （正齐（次）性） (3) +≤+x y x y ，,X ∈x y ； （三角不等式）则称x 为x 的范数(norm)，称(,)X ∙（或：X ）为赋范线性空间定义 完备的赋范线性空间称为巴拿赫（Banach ）空间。

例子：[,]C a b ，空间pl ，n 维Euclidean 空间nR ，[,]a b L ，都是Banach 空间。

度量空间与赋范线性空间 区别：度量空间是定义了度量的线性空间，也就是两个元素之间的“长度”，满足非负性、对称性、三角不等式。

赋范线性空间就是定义了范数的线性空间，其满足范数公理（非负性，齐次性，三角不等式）联系：都是在线性空间的前提下讨论的。