数学实验第四次(插值与拟合)
插值与拟合试验
实验：插值与拟合实验目的1.掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值的结果进行初步的分析。
2.掌握用MATLAB作线性最小二乘的方法。
3.通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。
实验内容选择一些函数，在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。
通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。
适当增加n，再作比较，由此作初步分析。
y=exp(-x2),-2≤x≤2.取n=5,m=80用MATLAB计算插值数据比较如下：y是精确值，y1是分段线性值，y2是三次样条法插值，y3是拉格朗日插值由于对称性，只给出x>0的值程序：function y=lagr(x0,y0,x)%函数输入：n个节点以数组x0，y0输入，m个插值点以数组x输入?%函数输出：输出数组y为m个插值?n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end结果：x0=-2:0.5:2;y0=exp(-1*x0.^2);x=-2:0.05:2y=exp(-1*x.^2);y1=lagr(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x);y3=spline(x0,y0,x);[x;y;y1;y2;y3]'plot(x,y,'k--',x,y1,'r'),xlabel('x')ylabel('y/y1')title('拉格朗日插值(n=9,m=21)'),legend('原函数曲线','拉格朗日插值曲线'), pause,plot(x,y,'k--',x,y2,'r'),xlabel('x')ylabel('y/y2')title('分段线性插值(n=9,m=21)'),legend('原函数曲线','分段线性插值曲线'), pause,plot(x,y,'k--',x,y3,'r'),xlabel('x')ylabel('y/y1')title('三次样条插值(n=9,m=21)'),legend('原函数曲线','三次样条插值曲线'), x =Columns 1 through 9-2.0000 -1.9500 -1.9000 -1.8500 -1.8000 -1.7500 -1.7000 -1.6500 -1.6000Columns 10 through 18-1.5500 -1.5000 -1.4500 -1.4000 -1.3500 -1.3000 -1.2500 -1.2000 -1.1500Columns 19 through 27-1.1000 -1.0500 -1.0000 -0.9500 -0.9000 -0.8500 -0.8000 -0.7500 -0.7000Columns 28 through 36-0.6500 -0.6000 -0.5500 -0.5000 -0.4500 -0.4000 -0.3500 -0.3000 -0.2500Columns 37 through 45-0.2000 -0.1500 -0.1000 -0.0500 0 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000Columns 46 through 540.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 0.5500 0.6000 0.6500Columns 55 through 630.7000 0.7500 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500 1.0000 1.0500 1.1000Columns 64 through 721.1500 1.2000 1.2500 1.3000 1.3500 1.4000 1.4500 1.5000 1.5500Columns 73 through 811.6000 1.6500 1.7000 1.7500 1.8000 1.8500 1.9000 1.95002.0000ans =-2.0000 0.0183 0.0183 0.0183 0.0183 -1.9500 0.0223 0.0048 0.0270 0.0207 -1.9000 0.0271 0.0011 0.0357 0.0243 -1.8500 0.0326 0.0044 0.0444 0.0292 -1.8000 0.0392 0.0127 0.0531 0.0355 -1.7500 0.0468 0.0243 0.0619 0.0433 -1.7000 0.0556 0.0381 0.0706 0.0525 -1.6500 0.0657 0.0535 0.0793 0.0633 -1.6000 0.0773 0.0700 0.0880 0.0757 -1.5500 0.0905 0.0873 0.0967 0.0897 -1.5000 0.1054 0.1054 0.1054 0.1054 -1.4500 0.1222 0.1244 0.1316 0.1229 -1.4000 0.1409 0.1446 0.1579 0.1421 -1.3500 0.1616 0.1660 0.1841 0.1633 -1.3000 0.1845 0.1889 0.2104 0.1863 -1.2500 0.2096 0.2136 0.2366 0.2114 -1.2000 0.2369 0.2402 0.2629 0.2384 -1.1500 0.2665 0.2689 0.2891 0.2675-1.1000 0.2982 0.2998 0.3154 0.2988 -1.0500 0.3320 0.3328 0.3416 0.3322 -1.0000 0.3679 0.3679 0.3679 0.3679 -0.9500 0.4056 0.4050 0.4090 0.4058 -0.9000 0.4449 0.4439 0.4501 0.4455 -0.8500 0.4855 0.4844 0.4912 0.4867 -0.8000 0.5273 0.5261 0.5322 0.5288 -0.7500 0.5698 0.5687 0.5733 0.5716 -0.7000 0.6126 0.6117 0.6144 0.6145 -0.6500 0.6554 0.6547 0.6555 0.6571 -0.6000 0.6977 0.6972 0.6966 0.6989 -0.5500 0.7390 0.7388 0.7377 0.7397 -0.5000 0.7788 0.7788 0.7788 0.7788 -0.4500 0.8167 0.8168 0.8009 0.8159 -0.4000 0.8521 0.8524 0.8230 0.8507 -0.3500 0.8847 0.8850 0.8452 0.8827 -0.3000 0.9139 0.9142 0.8673 0.9117 -0.2500 0.9394 0.9397 0.8894 0.9372 -0.2000 0.9608 0.9610 0.9115 0.9588 -0.1500 0.9778 0.9779 0.9336 0.9763 -0.1000 0.9900 0.9901 0.9558 0.9892 -0.0500 0.9975 0.9975 0.9779 0.99720 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0500 0.9975 0.9975 0.9779 0.9972 0.1000 0.9900 0.9901 0.9558 0.9892 0.1500 0.9778 0.9779 0.9336 0.9763 0.2000 0.9608 0.9610 0.9115 0.9588 0.2500 0.9394 0.9397 0.8894 0.9372 0.3000 0.9139 0.9142 0.8673 0.9117 0.3500 0.8847 0.8850 0.8452 0.8827 0.4000 0.8521 0.8524 0.8230 0.8507 0.4500 0.8167 0.8168 0.8009 0.8159 0.5000 0.7788 0.7788 0.7788 0.7788 0.5500 0.7390 0.7388 0.7377 0.7397 0.6000 0.6977 0.6972 0.6966 0.6989 0.6500 0.6554 0.6547 0.6555 0.6571 0.7000 0.6126 0.6117 0.6144 0.6145 0.7500 0.5698 0.5687 0.5733 0.5716 0.8000 0.5273 0.5261 0.5322 0.5288 0.8500 0.4855 0.4844 0.4912 0.4867 0.9000 0.4449 0.4439 0.4501 0.44550.9500 0.4056 0.4050 0.4090 0.40581.0000 0.3679 0.3679 0.3679 0.3679 1.0500 0.3320 0.3328 0.3416 0.33221.1000 0.2982 0.2998 0.3154 0.2988 1.1500 0.2665 0.2689 0.2891 0.2675 1.2000 0.2369 0.2402 0.2629 0.2384 1.2500 0.2096 0.2136 0.2366 0.2114 1.3000 0.1845 0.1889 0.2104 0.1863 1.3500 0.1616 0.1660 0.1841 0.1633 1.4000 0.1409 0.1446 0.1579 0.1421 1.4500 0.1222 0.1244 0.1316 0.1229 1.5000 0.1054 0.1054 0.1054 0.1054 1.5500 0.0905 0.0873 0.0967 0.0897 1.6000 0.0773 0.0700 0.0880 0.0757 1.6500 0.0657 0.0535 0.0793 0.0633 1.7000 0.0556 0.0381 0.0706 0.0525 1.7500 0.0468 0.0243 0.0619 0.0433 1.8000 0.0392 0.0127 0.0531 0.0355 1.8500 0.0326 0.0044 0.0444 0.0292 1.9000 0.0271 0.0011 0.0357 0.02431.9500 0.0223 0.0048 0.0270 0.02072.0000 0.0183 0.0183 0.0183 0.0183上图是根据插值数据作出的曲线。
数值分析实验报告--插值与拟合及其并行算法
《数值分析》实验报告实验五、插值与拟合及其并行算法一．实验目的：1．学会拉格朗日插值， 分段线性插值或三次样条插值以及曲 线拟合等数值分析问题，通过 MATLAB 编程解决这些数 值分析问题，并且加深对此次实验内容的理解。
2．加强编程能力和编程技巧，练习从数值分析角度看问题， 同时用 MATLAB 编写代码。
二．实验要求：学会在计算机上实现拉格朗日插值，分段线性插值或三次 样条插值以及曲线拟合等数值分析问题，分析几种插值方法的异 同。
三．实验内容：分别用下列题目完成①：拉格朗日插值及其误 差分析 ②：三次样条 ③: 曲线拟合及其误差分析，实验要求。
四．实验题目： （1）已知 sin 30 D = 0.5 ， sin 45D = 0.707 1 ，sin 60 D = 0.866 0 ，用拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB主程序求 sin 20D 的近似值，并估计其误差。
（2）观测得出函数 y=f(x)在若干点处的值为 f(0)=0, f(2)=16, f(4)=36, f(6)=54, f(10)=82 和 f＇(0)=8, f＇(10)=7, 试求 f(x)的三次样条函数,并计算 f(3)和 f(8)的近似值. （ 3 ） t=[2.1 7.9 10.1 13 14.5 15.3];r=[13.5 36.9 45.7 求出 r 与 t 之间的关系， 及三 57.3 62.78 74.9];根据给出数据， 种误差，并作出拟合曲线。
五．实验原理：（1）拉格朗日插值公式：P5 ( x) = ∑ y i l i ( x)i =05li ( x) =( x − x 0 ) " ( x − xi −1 )( x − xi +1 ) " ( x − x n ) ( xi − x0 ) " ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) " ( xi − x n )（2）三次样条插值公式：Ｓn（x）=｛Ｓi（x）=a i x ＋b i x ＋c i x＋d i ， x ∈ ［x i −1 ，x i ］ ，i=1,2,….,n｝32（3）曲线拟合： 最小二乘法并不只限于多项式，也可以用于任何具体给出的函数 形式。
4插值与拟合方法课件-11
第4章 插值与拟合方法插值与拟合方法是用有限个函数值(),(0,1,,)i f x i n =⋅⋅⋅去推断或表示函数()f x 的方法，它在理论数学中提到的不多。
本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。
对应的方法有Lagrange 插值，Newton 插值，Hermite 插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。
4.1 实际案例4.2 问题的描述与基本概念先获得函数（已知或未知）()y f x =在有限个点n x x x ⋅⋅⋅,,10上的值x0x 1x … n x y0y 1y … n y 由表中数据构造一个函数P (x )作为f (x ) 的近似函数，去参与有关f (x )的运算。
科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。
1）插值问题的描述已知函数()y f x =在[a,b ]上的n +1个互异点x ,0处的函数值()i i y f x =，求f (x ) 的一个近似函数P (x )，满足()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅ （4.1）● P (x ) 称为f (x )的一个插值函数;● f (x ) 称为被插函数;点i x 为插值节点; ● ()()(0,1,,)i i P x f x i n ==⋅⋅⋅称为插值条件; ● ()()()R x f x P x =-称为插值余项。
当插值函数P (x )是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。
一个代数插值函数P (x )可写为0()()()mkm k k k P x P x a x a R ===∈∑若它满足插值条件（4.1），则有线性方程组20102000201121112012m m mm m nn m n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧+++⋅⋅⋅=⎪+++⋅⋅⋅=⎪⎨⎪⎪+++⋅⋅⋅=⎩ （4.2）当m=n ，它的系数行列式为范德蒙行列式)(1110212110200j i ni j nnnn nn x x x x x x x x x x x D -∏==≤≤≤因为插值节点互异，0D ≠，故线性方程组（4.2）有唯一解，于是有定理 4.1 当插值节点互异时，存在一个满足插值条件()()(0,1i i P x f x i n ==⋅⋅⋅的n 次插值多项式。
插值与拟合实验报告
学生实验报告了解插值与拟合的基本原理和方法；掌握用MATLAB计算插值与作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过动手作实验学习如何用插值与拟合方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。
这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验仪器、设备或软件：电脑,MATLAB软件三、实验内容1．编写插值方法的函数M文件；2．用MATLAB中的函数作函数的拟合图形；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
四、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；2．根据各种数值解法步骤编写M文件；3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
五、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）。
1．天文学家在1914年8月的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取得常用对数值，与日期的一组历史数据如下表：由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.93518？解：输入命令days=[18 20 22 24 26 28 30];distancelogs=[9.96177 9.95436 9.94681 9.93910 9.93122 9.92319 9.91499]; t1=interp1(distancelogs,days,9.93518) %线性插值t2=interp1(distancelogs,days,9.93518,'nearest') %最近邻点插值t3=interp1(distancelogs,days,9.93518,'spline') %三次样条插值t4=interp1(distancelogs,days,9.93518,'cubic') %三次插值计算结果：t1 =24.9949t2 =24t3 =25.0000t4 =25.0000综上所得，可推断25日金星与地球的距离（米）的对数值为9.93518。
数学实验第四章插值方法
Φ(2.3456789)≈[(Φ(2.34)+Φ(2.35))]/2=0.990485
对已知的红点按一定的规律插入的兰色点 . 这个规律叫做插值函数
插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为
加权平均。插值操作在工程实践和科学实验中有着 非常广泛而又十分重要的应用。例如，信息技术中 的图像重建、图像放大中为避免图像的扭曲失真的 而做的插值补点、建筑工程的外观设计、物理、化 学工程实验数据与模型的分析、天文观测数据、地 理信息数据的处理（如天气预报）以及社会经济现 象的统计分析等等。
本章主要介绍插值的思想、方法和技术；如何 利用MATLAB软件作插值计算；针对实际问题，进 行建模、求解与分析；最后给出实验题目。
4.2.1 引例1:函数查表问题 标准正态分布函数值Φ(2.3456789)等于多少？
一般是通过查表的方法.先对自变量作近似, 2.3456789≈2.35,再查表得到Φ(2.35)=0.99061,所以 (2.Байду номын сангаас456789)≈Φ (2.35)=0.99061.
导言 在工程实践和科学实验中，常常需要从
一组实验观测数据 ( xi , yi ), i= 0,1,…,n,...
中揭示出自变量x与因变量y之间的解析关 系.
一般可以用一个近似的函数关系式y=f(x)来处理这 一问题。给出函数关系式的方法，因观测数据与要求的 不同而异，通常可以采用两种方法：曲线拟合和插值。
拟合主要是考虑到观测数据受随机误差的影响， 寻求整体误差最小、较好地反映观测数据的近似函 数，并不保证或追求所得到的函数一定满足yi=f(xi)。 侧重于从整体上把握问题， 拟合的方法将在第五章
插值与曲线拟合实验报告
数值计算方法插值与拟合实验报告摘要：通过实验介绍插值方法中常见的拉格朗日插值，线性分段插值和牛顿前插公式，分析计算各种方法的插值余项。
在曲线拟合方面使用两种不同类型的曲线来拟合同一组数据，并计算残差向量范数，比较不同曲线拟合的效果，在此例上给出优劣的判断。
关键词：拉格朗日插值；线性分段插值；牛顿前插公式；曲线拟合引言在工程和科学计算中经常碰到只知道离散的数据测量点而需要匹配其变量之间的数学函数表达式的情况，这就需要插值和拟合的数值方法来解决这些问题。
插值法是在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点，也是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
曲线拟合则是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点所表示的坐标之间的函数关系，在各个方面也有着愈加广泛的应用。
1 算法介绍1.1 拉格朗日插值法 1.1.1 算法理论对某个多项式函数，已知有给定的k +1个取值点：00(,),...,(,)k k x y x y其中i x 对应着自变量的位置，而i y 对应着函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的x j 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：():()ki i j L x y l x ==∑其中每个()j l x 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：1100,011()()()()():......()()()()kj j i k j i i j j ij j j j j j k x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x -+=≠-+-----==-----∏拉格朗日基本多项式 ()j l x 的特点是在 j x 上取值为1，在其它的点 ,i x ij ≠上取值为0。
对于给定的 1k +个点：00(,),...,(,)k k x y x y ，拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式()j l x 。
实验4多项式、曲线拟合与插值
1
实验要求
• 给出实验报告,形式如下 • 实验题目： • 实验目的 ： • 实验内容： • 实验结果：(无需抄题，指定题目序号)
2
实验内容
• 一.上机操作本讲义（4-5）页的练习1-6 • 二.拟合曲线
– 题目见本讲义第6页和第7页 – 要求：给出代码，并附上拟合曲线对比图
6
ห้องสมุดไป่ตู้
插值
• 在某山区测得一些地点的高程如下表所示。平面区域为 1200<=x <=4000,1200 <=y <=3600. 试做出该山区的地貌图和等高线图，并对 几种插值方法('nearest' 'linear' 'spline' 'cubic‘)进行比较。
7
• 三.插值
– 题目见本讲义第8页 – 要求：给出程序代码，比较结果图以及分析结
果
3
4
5
曲线拟合
• 有一组实测数据如下表,而且已知该数据可 能满足的原型函数为 y(x)=a*x+b*x^2*e^(cx)+d,试求满足下面数据的最小二乘解 a,b,c,d的值 x= 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 与x相对应的y=2.3201 2.6470 2.9707 3.2885 3.6008 3.9090 4.2147 4.5191 4.8232 5.1275
插值法和拟合实验报告
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过实验了解插值法和拟合法在数值计算中的应用；2.掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法的原理和使用方法；3.学会使用最小二乘法进行数据拟合。
二、实验仪器和材料1.一台计算机；2. Matlab或其他适合的计算软件。
三、实验原理1.插值法插值法是一种在给定的数据点之间“插值”的方法，即根据已知的数据点，求一些点的函数值。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法。
-拉格朗日插值法：通过一个n次多项式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-牛顿插值法：通过递推公式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-分段线性插值法：通过将给定的n+1个数据点的连线延长，将整个区间分为多个小区间，在每个小区间上进行线性插值，构造出一个插值函数。
2.拟合法拟合法是一种通过一个函数，逼近已知的数据点的方法。
常用的拟合法有最小二乘法。
-最小二乘法：通过最小化实际观测值与拟合函数的差距，找到最优的参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
四、实验步骤1.插值法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法，分别求出要插值的点的函数值；-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
2.拟合法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用最小二乘法，拟合出一个合适的函数；-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
五、实验结果与分析1.插值法的结果分析：-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
根据实验数据和插值函数的图形，可以判断插值函数是否能较好地逼近实际的曲线。
-比较不同插值方法的计算时间和计算复杂度，评价其使用的效率和适用范围。
2.拟合法的结果分析：-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
可以使用均方根误差（RMSE）等指标来进行评价。
-根据实际数据点和拟合函数的图形，可以判断拟合函数是否能较好地描述实际的数据趋势。
插值与拟合问题
插值与拟合问题插值与拟合是数学和计算机科学领域中常见的问题，涉及到通过已知数据点来估计未知点的值或者通过一组数据点来逼近一个函数的过程。
在现实生活中，这两个问题经常用于数据分析、图像处理、物理模拟等领域。
本文将介绍插值与拟合的基本概念、方法和应用。
一、插值问题插值是通过已知的数据点来推断出未知点的值。
在插值问题中，我们假设已知数据点是来自于一个未知函数的取值，在这个函数的定义域内，我们需要找到一个函数或者曲线，使得它经过已知的数据点，并且可以通过这个函数或者曲线来估计未知点的值。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和牛顿插值。
线性插值是通过已知的两个数据点之间的直线来估计未知点的值，它简单而直观。
拉格朗日插值则通过构造一个关于已知数据点的多项式来估计未知点的值，这个多项式经过每一个已知数据点。
牛顿插值和拉格朗日插值类似，也是通过构造一个多项式来估计未知点的值，但是它使用了差商的概念，能够更高效地处理数据点的添加和删除。
不仅仅局限于一维数据点的插值问题，对于二维或者更高维的数据点，我们也可以使用类似的插值方法。
例如，对于二维数据点，我们可以使用双线性插值来估计未知点的值，它利用了四个已知数据点之间的线性关系。
插值问题在实际应用中非常常见。
一个例子是天气预报中的气温插值问题，根据已知的气温观测站的数据点，我们可以估计出其他地点的气温。
另一个例子是图像处理中的像素插值问题，当我们对图像进行放大或者缩小操作时，需要通过已知像素点来估计未知像素点的值。
二、拟合问题拟合是通过一组数据点来逼近一个函数的过程。
在拟合问题中，我们假设已知的数据点是来自于一个未知函数的取值，我们需要找到一个函数或者曲线，使得它能够与已知的数据点尽可能地接近。
常见的拟合方法包括多项式拟合、最小二乘拟合和样条拟合。
多项式拟合是通过一个多项式函数来逼近已知的数据点，它的优点是简单易用，但是对于复杂的函数形态拟合效果可能不好。
最小二乘拟合则是寻找一个函数，使得它与已知数据点之间的误差最小，这个方法在实际应用中非常广泛。
数值分析实验(四)插值法实验
插值法实验班别：学生姓名：学号：一、实验目的1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；3.利用matlab编程，学会matlab命令；4.掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法；二、实验题目(1) 调用拉格朗日插值程序求拉格朗日插值4次多项式在0.45 0.5 0.60.8上的值，并画出原函数与拉格朗日插值4次多项式的图像进行比较。
(2) 调用牛顿插值程序求牛顿插值4次多项式，并求其在0.45 0.5 0.60.8上的值。
（3）选做：调用分段线性插值程序求其在0.45 0.5 0.6 0.8上的值，并画出原函数与分段线性插值多项式的图像进行比较。
三、实验原理1. 拉格朗日插值2. 牛顿插值的原理四、实验内容与结果1. 拉格朗日插值法（1）相关程序function yy=mlagr(x,y,xx)%用途：拉格朗日插值法求解%格式：yy=mlagr(x,y,xx), x是节点向量, y是节点对应的函%数值向量, xx是插值点(可以是多个), yp返回插值结果n=length(x); m=length(xx);yy=zeros(1,m); c1=ones(n-1,1); c2=ones(1,m);for i=1:nxp=x([1:i-1,i+1:n]);yy=yy+y(i)*prod((c1*xx-xp'*c2)./(x(i)-xp'*c2));End(原函数与拉格朗日插值4次多项式的图像进行比较的程序）x=[0.4 0.55 0.65 0.8 0.9];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.888111.02652];plot(x,y,'+');x=0.4:0.01:0.6;y0=sin(x); plot(x,y0,'*')（2）实验结果（3）>> x=[0.4 0.55 0.65 0.8 0.9];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652];xx=[0.45 0.5 0.6 0.8]; yy=mlagr(x,y,xx)yy =0.4653 0.5211 0.6367 0.8881(原函数与拉格朗日插值4次多项式的图像进行比较)x=[0.4 0.55 0.65 0.8 0.9];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652];plot(x,y,'+');x=0.4:0.01:0.6;y0=sin(x); plot(x,y0,'*')0.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.90.40.50.60.70.80.911.1（3）实验结果分析2. 牛顿插值法相关程序（1）相关程序%程序5.2--mnewp.mfunction yy=mnewp(x,y,xx)%用途：牛顿差值%格式：yy=mnewp(x,y,xx), x 是节点向量, y 是节点对应的函%数值向量, xx 是插值点(可以是多个), yy 返回插值结果n=length(x);syms t ;yy=y(1);y1=0; lx=1;for i=1:n-1for j=i+1:ny1(j)=(y(j-1)-y(j))/(x(j-i)-x(j)); %计算差商endc(i)=y1(i+1); lx=lx*(t-x(i));yy=yy+c(i)*lx; %计算牛顿插值多项式的值y=y1;endif nargin==3yy=subs(yy,'t',xx);elseyy=collect(yy);yy=vpa(yy,6);end（2）实验结果x=[0.4 0.55 0.65 0.8 0.9];y=[0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652];xx=[0.45 0.5 0.6 0.8]; yy=mnewp(x,y,xx)yy =0.4653 0.5211 0.6367 0.8881（3）实验结果分析。
插值与曲线拟合实验报告
插值与曲线拟合实验报告实验目的：1. 了解插值和曲线拟合的原理和方法；2. 掌握梯形公式的应用；3. 掌握拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式的构造方法；4. 掌握用MATLAB进行数据拟合的方法。
实验仪器：1. 计算机；2. MATLAB软件。
实验原理：插值：给定一组数据点，插值就是在这些数据点之间插入某些值，以尽量接近原函数的方式得到一个新的函数。
插值方法有很多种，其中比较常用的是拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
拉格朗日插值多项式：以一种通用的方式构造多项式，使其通过给定的一组数据点。
构造方法是依据n个数据点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)构造n-1次函数L(x)，使得L(xi)=yi且有L(xj)=0（j不等于i）。
该多项式的形式为：L(x)=y1*L1(x)+y2*L2(x)+…+yn*Ln(x)其中，Lk(x)的构造方法是：Lk(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xk-1)(x-xk+1)…(x-xn) /(xk-x1)(xk-x2)…(xk-xk-1)(xk-xk+1)…(xk-xn)牛顿插值多项式：采用递推公式构造，其形式为：其中，f(x0,x1)表示在x0和x1之间的斜率，f(x0,x1,x2)表示在x0、x1和x2之间的曲率，以此类推。
曲线拟合：给定一组数据点，拟合就是寻找一个函数或者曲线，以最优化的方式拟合这些数据点，从而对未知的数据点进行预测。
拟合方法有很多种，其中比较常用的是线性方程、最小二乘法和多项式拟合。
最小二乘法：使用这种方法时，需要有一个数学模型，以此作为拟合函数。
当给定输入-输出数据时，使用最小二乘法以最小化误差平方和的方式来确定函数中未知的参数。
在MATLAB中使用polyfit函数实现多项式拟合。
实验结果：选择数据点如下：x = [1,2,3,4,5];y = [0.7652, 0.6347, 0.4496, 0.2499, 0.0621];使用梯形公式计算插值结果为 0.3865；使用拉格朗日插值多项式计算插值结果为 0.3865；使用牛顿插值多项式计算插值结果为 0.3865。
实验四数据插值与拟合
method
方法描述
‘nearest’ 最邻近插值：插值点处函数值取与插值点最邻近的已知点的函数值
‘liner’
分段线性插值：插值点处函数值由连接其最邻近的两侧点的线性函数 预测，MATLAB中interp1的默认方法
‘spline’ 样条插值：默认为三次样条插值。可用spline函数代替
‘pchip’ 三次Hermite多项式插值。可用pchip函数代替
n = length(x);
else disp('x和y的维数不相等！');
return;
end
%检错
f = 0.0;
for(i = 1:n)
l = y(i); for(j = 1:i-1)
l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
end;
for(j = i+1:n)
l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end;
‘cubic’ 同‘pchip’，三次Hermite多项式插值
第五页，共49页
1.Linear（分段线性插值）
它的算法是在每个小区间[xi,xi+1]上采用简单的线性插值。
在区间[xi,xi+1]上的子插值多项式为：
F ix xi x xii 1 1f(xi)xx i 1 xx ii f(xi 1)
>> f=language(x,y)
f=
1.05427*t-.145485e-1*t^2-.204917*t^3+.328112e-1*t^4-.261189e-1
>> f=language(x,y,1.6) f=
0.9992
第十七页，共49页
实验四 数据插值与拟合 共50页PPT资料
代数多项式插值是最常用的插值方式，其内容也 是最丰富的，它又可分为以下几种插值方式：
（1）非等距节点插值，包括拉格朗日插值、利用 均差的牛顿插值和埃特金插值；
（2）非等距节点插值，包括利用差分的牛顿插值 和高斯插值等；
（3）在插值中增加了导数的Hermite（埃尔米特） 插值；
（4）分段插值，包括分段线性插值、分段Hermite （埃尔米特）插值和样条函数插值；
同‘pchip’，三次Hermite多项式插值
1.Linear（分段线性插值）
它值的。算在法区是间在[xi,每xi+个1]上小的区子间插[xi值,xi+多1]项上式采为用：简单的线性插
F ix xi x xii 1 1f(xi)xx i 1 xx ii f(xi 1)
（1）nearest方法速度最快，占用内存最小，但一般 来说误差最大，插值结果最不光滑；
（2）spline三次样条插值是所有插值方法中运行耗 时最长的，其插值函数以及插值函数的一阶、二阶 导函数都连续，因此是最光滑的插值方法，占用内 存上比cubic方法小，但当已知数据点不均匀分布时 可能出现异常结果。
由此整个区间[xi,xi+1]上的插值函数为：
n
F(x) Fili(x) i1
其中 li ( x) 定义如下：
li
(x)
x
xi x
xi
xi1
xi1 xi1
xi1
, ,
x x
[xi1, xi ](i [xi , xi1](i
0略去) 0略去)
（5）反插值。 按被插值函数的变量个数还可把插值法分为一元
插值和多元插值。
数值分析实验插值与拟合
数值分析实验插值与拟合插值是指根据已知的数据点，通过其中一种数学方法来构造一个函数，使得该函数在已知的数据点上与被插值函数相等。
插值方法可以分为两类：基于多项式的插值和非多项式插值。
基于多项式的插值方法中，最常用的是拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值方法通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的所有点。
牛顿插值方法则通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的前m+1个点。
非多项式插值方法中，最常用的是分段线性插值和样条插值。
分段线性插值方法将插值区间划分为多个小段，在每一段内使用线性函数来逼近被插值函数。
样条插值方法则使用分段低阶多项式来逼近被插值函数，保证了插值函数和原函数在插值区间内的连续性、光滑性。
拟合是指在给定的离散数据点集合上，通过选取一个函数，使得该函数与数据点之间的误差最小化。
拟合方法可以分为两类：线性拟合和非线性拟合。
线性拟合方法中，最简单的是最小二乘法。
最小二乘法拟合是通过最小化观测数据与拟合函数的残差平方和来选择最佳函数参数。
在实验中，最小二乘法常用于线性回归问题，例如估计一个直线或者平面来拟合数据。
非线性拟合方法中，最常用的是非线性最小二乘法和局部加权回归。
非线性最小二乘法通过将非线性拟合问题转化为线性问题，使用最小二乘法来寻找最佳参数。
局部加权回归方法则通过给予不同数据点不同的权重，以更好地逼近数据点。
在数值分析实验中，插值与拟合可以应用于各种实际问题。
例如，在地理信息系统中，通过已知的地理坐标点来插值出未知点的地理信息。
在气象学中，通过已知的气象数据点来插值出未知点的气象信息。
在工程学中，通过已知的测量数据点来拟合出一个最佳的拟合函数来预测未来的测量值。
需要注意的是，插值和拟合的精度在很大程度上取决于数据的分布和拟合函数的选择。
如果数据点过于稀疏或者数据点中存在异常值，可能导致插值和拟合结果不准确。
因此，在进行插值和拟合之前，需要对数据进行预处理，例如去除异常值、平滑数据等。
插值与拟合实验
实验目的实验内容MATLAB2、掌握用Matlab 作线性最小二乘的方法.实验软件1、掌握用Matlab 计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。
.1、插值.2、拟合.3、数学建模实例3、通过实例学习如何使用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的区别和联系插值（一）插值问题的提法（二）解决插值问题的基本方法数学建模实例1、船在该海域会搁浅吗2、薄膜渗透率的测定拉格朗日多项式插值从理论和计算角度看，多项式是最简单的函数，设f(x) 是n 次多项式，记作0111)(a x a xa x a x L n n n n n ++++=-- (1) 对于节点),(j j y x 应有n j y x L j j n ,,1,0)( == (2)为了确定插值多项式)(x L n 中的系数01,,,a a a n n -, 将（1）代入（2），有⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++----0011100011010)3(y a x a x a x a y a x a x a x a n n n n n n n n n n n记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--111100 n n n n n n x x x x X ，,),...,,(01T n n a a a A -=T n y y y Y ),...,,(10=方程组（3）简写作Y XA = （4）其中detX 是V andermonde 行列式，利用行列式性质可得)(det 0j n k j k x x X -∏=≤≤因j x 互不相同，故0det ≠X ,于是方程（4）中有唯一解，即根据n+1个节点可以确定唯一得n 次插值多项式。
注：)(x I n 有良好的收敛性，即对于],[b a x ∈有)()(lim x g x I n n =∞→。
用)(x I n 计算x 点的插值时，只用到x 左右的两个节点，计算量与节点个数n 无关。
数值分析实验报告插值与拟合
结果分析：高次插值稳定性差，而低次插值对于较大区间逼近精度又不够，而且，随着节点的加密，采用高次插值，插值函数两端会发生激烈震荡。解决这一矛盾的有效方法就是采用分段低次代数插值。
（2）
通过采用分段线性插值得到以下结果：
结果分析：通过采用分段线性插值，发现随着插值节点增多，插值计算结果的误差越来越小，而且分段线性插值的优点是计算简单，曲线连续和一致收敛，但是不具有光滑性。
拟合是指通过观察或测量得到一组离散数据序列 ，i=1,2，…，m，构造插值函数 逼近客观存在的函数 ，使得向量 与 的误差或距离最小。
可知当基函数的选择不同时，拟合函数的误差也会不同，所以在对数据进行拟合时应选择适合的基函数。
三、练习思考
整体插值有何局限性？如何避免？
答：整体插值的过程中，若有无效数据则整体插值后插值曲线的平方误差会比较大，即在该数据附近插值曲线的震动幅度较大。在插值处理前，应对原始数据进行一定的筛选，剔除无效数据。
②相同点：通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律目的
四、本次实验的重点难点分析
答:加强了对插值和拟合的认识，了解了其算法思想，并使用matlab将其实现。学会了观察插值拟合后的图形，并分析其问题。
画图进行比较：
通过观察图像，经比较可知两结果是很接近的。
2．区间 作等距划分： ，以 （ ）为节点对函数 进行插值逼近。（分别取 ）
（1）用多项式插值对 进行逼近，并在同一坐标系下作出函数的图形，进行比较。写出插值函数对 的逼近程度与节点个数的关系，并分析原因。
（2）试用分段插值（任意选取）对 进行逼近，在同一坐标下画出图形，观察分段插值函数对 的逼近程度与节点个数的关系。
数值分析插值与拟合实验
数值分析插值与拟合实验数值分析是一门研究利用数字计算方法解决数学问题的学科。
插值与拟合是数值分析的重要内容之一，可以用于数据分析、信号处理以及数学建模等领域。
本实验将使用MATLAB软件进行插值与拟合的实验，主要包括插值多项式与拟合曲线的构造，以及评价拟合效果的方法。
实验一：插值多项式的构造1. Lagrange插值Lagrange插值是一种构造多项式来拟合已知数据点的方法。
给定n 个数据点(xi, yi)，其中xi不相等，Lagrange插值多项式可以写成：P(x) = ∑(i=0 to n) yi * l_i(x)其中l_i(x)是Lagrange基函数，定义为：l_i(x) = ∏(j=0 to n,j!=i) (x-xj)/(xi-xj)通过计算l_i(x)，然后将其乘以相应的数据点yi，最后相加就可以得到插值多项式P(x)。
2. Newton插值Newton插值使用差商的概念来构造插值多项式。
首先定义差商F[x0,x1,...,xn]如下：F[x0]=f(x0)F[x0,x1]=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)F[x0,x1,x2]=(F[x1,x2]-F[x0,x1])/(x2-x0)...F[x0,x1,...,xn] = (F[x1,x2,...,xn] - F[x0,x1,...,xn-1])/(xn-x0)其中f(x)是已知数据点的函数。
然后，利用差商来构造插值多项式：P(x) = ∑(i=0 to n) F[x0,x1,...,xi] * ∏(j=0 to i-1) (x-xj)通过计算差商F[x0,x1,...,xi]和对应的乘积∏(x-xj)，最后相加得到插值多项式P(x)。
实验二：拟合曲线的构造1.多项式拟合多项式拟合是通过构造一个多项式函数来拟合已知数据点的方法。
假设给定n个数据点(xi, yi)，可以使用多项式函数来表示拟合曲线：P(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n其中a0, a1, ..., an是待确定的系数。
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2008-11
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二、曲线拟合
2008-11
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二、曲线拟合
根据一组（二维）数据，即平面上的若干点，确定一个一元 函数，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近，这就是曲 线拟合。 多项式拟合的命令格式：[p,s]=polyfit(x,y,n)或p=polyfit(x,y,n) 功能：对于已知的数据组x、y进行多项式拟合，拟合的多项式 的阶数是n，其中p为多项式的系数矩阵，s为预测误差估计值的 矩阵。 多项式在x处的值y可用下列命令计算：y=polyval(p,x)
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一、数据插值
一维插值的命令格式为： Y1=interp1(x,y,X1,’method’) 功能：根据已知的数据(x,y)，用method方法进行插值，然后计 算X1对应的函数值Y1。 说明：x,y是已知的数据向量，其中x应以升序或降序来排；X1是 插值点的自变量坐标向量；’method’是用来选择插值算法的， 它可以取：’linear’(线性插值)(默认)、 ’cubic(三次多项式插 值)、’nearest’(最临近插值)、’spline’(三次样条插值)。
2008-11
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谢 谢！
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数，这就是数据拟合，又称曲线拟合。
一、数据插值 二、曲线拟合
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一、数据插值
引例：上大学二年级的小华正在做概率作业，要计算标准正态分布函数在 0.514 处的数值。他拿出一本概率论的教材，找到了这样的标准正态分布函数的 ( x) 表格。
小华认为，在x从0.51到0.52这样小的区间内，可以将函数近似看作线性的， (0.514) 0.6950 (0.6985 0.6950) 0.4 0.6964 于是容易得到 你将看到，聪明的小华用的这个办法是一种插值方法——分段线性插值。 实际上，插值可以简单地理解为，要根据一个用表格表示的函数，计算表中 没有的函数值。表中有的点，称为节点；要计算的点称为插值点。
二、曲线拟合
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练习2
3.已知数据，x=[1.2,1.4,1.8,2.1,2.4,2.6,3.0,3.3] y=[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5,8.0],求对x与y进行一次、二次 拟合的拟合系数。 4.旧车价格预测 某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中xi表示轿车的使用 年数，yi表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合 上述数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？
2008-11
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二、曲线拟合
2008-11
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二、曲线拟合
例1 x取0至1之间的数，间隔为0.1；y为2.3，2.5，2.1，2.5， 3.2，3.6，3.0，3.1，4.1，5.1，3.8。分别用二次、三次和七 次拟合曲线来拟合这组数据，观察这三组拟合曲线哪个效果更 好？
2008-11
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二、曲线拟合
从图形上可以看到， 此例阶数越高拟合 程度越好 2008-11
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二、曲线拟合
例2 已知在某实验中测的某质点的位移和速度随时间的变化如下 ，求质点的速度与位移随时间的变化曲线以及位移随速度的变化 曲线。
2008-11
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数学实验
之四：数据插值和曲线拟合
2008-11
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数据插值和曲线拟合
在工程中，常有这样的问题：给定一批数据点（它可以是设计师给定，也可能是从 测量与采样中得到），需确定满足特定要求的曲线或曲面。如果要求所求曲线 通过所给定所有数据点，这就是插值问题；在数据较少的情况下，这样做能取 得较好的效果。但是，如果数据较多，那么，插值函数是一个次数很高的函数 ，比较复杂，同时，给定的数据一般是由观察测量所得，往往带有随机误差， 因而，要求曲线通过所有数据点就既不现实也不必要。如果不要求曲线通过所 有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，可得到更简单实用的近似函
练习1
2008-11
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二、曲线拟合
引例2 几天后，小华在物理实验里又碰到一个看起来非常类似的 问题：有一只对温度敏感的电阻，已经测得了一组温度t和电阻R 数据： 现在想知道60℃时电阻多大。 老师给了小华两点提示：1，在直角坐标系中把5个点画一下，看 看电阻和温度之间大致有什么样的关系；2，测量数据总有相当 大的误差，这与用函数表作插值计算应该有所不同。
20数据插值
2008-11
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一、数据插值
2008-11
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一、数据插值
2008-11
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一、数据插值
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练习1
2008-11
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