二次函数的图像和性质第二课时课件
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26.2二次函数的图象与性质(第2课时)课件(共12张PPT)
为0 。
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C
)
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
4.已知抛物线y=2x2-＜1上有两点(x1,y1 ) ,(x1,y1 ) 且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
5.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并 且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该 二次函数解析式。
1.5
1
0.5
y3x2 1
1
2
-0.5
-1
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 y 1x2 2 3
5 4
y
3 y 1 x2 2
3
3 2
的图像
1
x
–5 –4 –3 –2 –1O –1
–2
y 1x2 2
–3
3
–4
–5
12345
y 1 x2 2 3
y 1 x2 3
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图 象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
1
-6 -4 -2
2
4
6
x y=3x2 y=3x2–1
… –1 –0.6
…3
1.08
…2
0.08
（2）二次函数 y=3x²－1 的图 象与二次函数
y=3x²的图象有 什么关系？
-2
-1
–0.3
0
0.3
0.27
0
0.27
–0.73 – 1 –0.73
y 3x2
2
0.6 1 … 1.08 3 … 0.08 2 …
谢谢观赏
You made my day!
二次函数的图象和性质-课件
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题3 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x 2，y 2x2
2
的图象，这两个函数的图象与函数 y = x2 的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象有什么特点？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
• 学习重点： 观察图象，得出二次函数 y = ax2 的图象特征和性质．
1．复习研究函数的一般方法
问题1 你认为我们应该如何研究函数的图象和性质？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题2 类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函 数 y = x2 的图象，你能说说它的图象特征和性质吗？
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
问题4 类比 a＞0 时的研究过程，画图研究当 a＜0 时，二 次函数 y = ax2 的图象特征．
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题5 你能说出二次函数 y = ax2 的图象特征和性质吗？
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
归纳： 一般地， 抛物线 y = ax2 的对称轴是 y 轴， 顶点是 原点． 当 a＞0 时， 抛物线开口向上，顶点是抛物线的最 低点； 当 a＜0 时， 抛物线开口向下，顶点是抛物线的最 高点． 对于抛物线 y = ax2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越 小．
《二次函数的图像与性质》PPT课件
(2)抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的异同点:
相同点： ①形状大小相同 ②开口方向相同 ③对称轴相同
不同点：顶点的位置不同， 抛物线的位置也不 同．
y y=x2+1
10
9
y=x2
8
7
6
5
4
3 2
y=x2－1
1●
-5 -4 -3 -2 -1●o 1 2 3 4 5 x ●
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线
二次函数的图像与性质
学习目标
• 1、能画出y=ax2+ k；y=a(x-h)2的图象，并 能根据图象探索出它的性质。
• 2、能灵活应用y=ax2+ k；y=a(x-h)2的性质 解决相关问题。
二次函数y＝x2的图象是____，它的开口向 _____，顶点坐标是_____；对称轴是______， 在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在 对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y ＝x2当x＝______时， y有最______值，其最 ______值是______。
后，得到抛物线y=(x-3)2
5、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位，得到抛
物线y=(x-1)2,则m= -10 ,n= 25 .
6.已知二次函数y=8(x -2)2 当 x>2 时，y随x的增大而增大, 当 x<2 时，y随x的增大而减小.
7.抛物线y=3(x-8)2最小值 0 .
8.抛物线y=-3(x+2)2与x轴y轴的交点坐标分别为 (-2,0) (0,-12).
大值，这个最大值等
-6
于 c。
-8
总结： 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的 图象形状 相，同只是位置不同；当c>0时，函数 y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 上平移c 个单位
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
二次函数的图像和性质ppt课件
二次函数的图像和性质ppt课件
contents
目录
• 引言 • 二次函数的定义和公式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的实际应用 • 总结与回顾 • 课后作业与思考题
01 引言
课程背景介绍
01
二次函数是数学中基础知识之一 ，掌握好二次函数的图像和性质 对于后续学习代数、几何等数学 领域都有重要的意义。
二次函数的定义
01
02
03
定义
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、 $c$是常数，$a \neq 0$ ）的函数叫做二次函数。
解释
二次函数是包含未知数的 二次多项式的函数，其未 知数的最高次数为2。
示例
$y = 2x^2 + 3x - 4$是 一个二次函数。
二次函数的公式
01
02
03
04
当x增大时，如果a>0，y值会 随之增大；如果a<0，y值会
随之减小。
当x增大时，如果a>1，y值会 快速增大；如果0<a<1，y值
会缓慢增大。
当x减小时，如果a>0，y值会 随之减小；如果a<0，y值会
随之增大。
当x减小时，如果a>1，y值会 快速减小；如果0<a<1，y值
会缓慢减小。
减。
当$\Delta = 0$时，函
数有一个实根；当
$\Delta < 0$时，函数
没有实根。
极值：当$a > 0$时，二 次函数在区间$(-\infty, -b/2a)$上单调递增，在 区间$(-b/2a,+\infty)$ 上单调递减，此时$b/2a$为极小值点；当 $a < 0$时，二次函数在 区间$(-\infty, -b/2a)$ 上单调递减，在区间$(b/2a,+\infty)$上单调递 增，此时$-b/2a$为极 大值点。
contents
目录
• 引言 • 二次函数的定义和公式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的实际应用 • 总结与回顾 • 课后作业与思考题
01 引言
课程背景介绍
01
二次函数是数学中基础知识之一 ，掌握好二次函数的图像和性质 对于后续学习代数、几何等数学 领域都有重要的意义。
二次函数的定义
01
02
03
定义
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、 $c$是常数，$a \neq 0$ ）的函数叫做二次函数。
解释
二次函数是包含未知数的 二次多项式的函数，其未 知数的最高次数为2。
示例
$y = 2x^2 + 3x - 4$是 一个二次函数。
二次函数的公式
01
02
03
04
当x增大时，如果a>0，y值会 随之增大；如果a<0，y值会
随之减小。
当x增大时，如果a>1，y值会 快速增大；如果0<a<1，y值
会缓慢增大。
当x减小时，如果a>0，y值会 随之减小；如果a<0，y值会
随之增大。
当x减小时，如果a>1，y值会 快速减小；如果0<a<1，y值
会缓慢减小。
减。
当$\Delta = 0$时，函
数有一个实根；当
$\Delta < 0$时，函数
没有实根。
极值：当$a > 0$时，二 次函数在区间$(-\infty, -b/2a)$上单调递增，在 区间$(-b/2a,+\infty)$ 上单调递减，此时$b/2a$为极小值点；当 $a < 0$时，二次函数在 区间$(-\infty, -b/2a)$ 上单调递减，在区间$(b/2a,+\infty)$上单调递 增，此时$-b/2a$为极 大值点。
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT教学课件(第2课时)
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，
y=−
− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶
点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表,
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
新知讲解
然后描点画图,
y
y = 2x2+1
8
y = 2x2 -1
6
4
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的
a<0,开口向下
=
−
-4
− .
如图所示
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，
y=−
− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶
点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表,
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
新知讲解
然后描点画图,
y
y = 2x2+1
8
y = 2x2 -1
6
4
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的
a<0,开口向下
=
−
-4
− .
如图所示
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
二次函数的图像与性质第二课时说课课件
讲授新课：逐步深入，化解难点
引入二次函数的定义和一般形式，解释 二次函数系数对图像的影响。
通过图像展示二次函数的开口方向、对 称轴和顶点等性质，帮助学生形成直观
认识。
详细讲解二次函数的最大值和最小值问 题，引导学生理解最值的求解方法和实
际意义。
巩固练习：针对训练，提高能力
提供多种类型的练习题，包括求解析 式、判断图像形状、求最值等，让学 生全面巩固所学知识。
课后拓展延伸建议
深入研究
选择一个具体的二次函数 ，深入研究其图像和性质 ，并撰写研究报告；
拓展应用
尝试将二次函数应用于实 际问题中，例如解决最优 化问题；
自主探索
探索二次函数与其他数学 知识点的联系，例如与三 角函数、数列等的结合。
个性化辅导策略
针对学生的不同兴趣点，提供与二次函数相关的趣味 数学题目或数学史话等阅读材料，激发学生的学习兴 趣；
知识点梳理与分析
知识点2
二次函数的图像特征
分析
学生需要掌握二次函数的图像是一条抛物线，理解抛物线的开口方向、顶点、对称轴等基本概念，并能够根据函 数的表达式绘制出相应的图像。
知识点梳理与分析
知识点3
二次函数的性质
分析
学生需要深入理解二次函数的性质，包括开口方向（由$a$的正负决定）、顶点坐标（可以通过公式 $-frac{b}{2a},f(-frac{b}{2a})$求得）、对称轴（$x=-frac{b}{2a}$）等。同时，要了解这些性质在实 际问题中的应用。
定期查看学生作业，了解学生对知 识点的掌握情况。
小组讨论表现
评估学生在小组讨论中的贡献，包 括提出问题和解答问题的能力。
结果性评价方法
单元测试
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
《二次函数的图像和性质》第二课时课件
的开口向__下___，对称轴是__x_=_1__，顶点是_2(_1_,_0_)_．
抛物线
y 1 x 12
2
y
1 2
x
1与2 抛物线
有什么关系？
y 1 x2 2
可以发现,把抛物线
y 1 x2 2
向左平移1个单位,就得到
抛物线 y 1 x 12 ;把抛物线 y 1 x2 向右平移1个单位，
2
y 1 x2 2
－4 －2 －2
24
－4
y 1 x 12
－6
y 1 x 12
2
2
可以看出，抛物线 y 1 x 12的开口向下,对称轴
2
是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它
记作x=－1,顶点是(-1,0);抛物线 y 1 x 12
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x 12
2
··· －2
1 2
0
1 2
－2 －4.5 －8
···
y 1 x 12
2
··· －8 －4.5 －2
1 2
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 －2 ···
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
－6
24
y 1 x 12
5.函数y=-2x2+4的图象开口向__下__，对称轴是__y_轴__， 顶点坐标是__(0_,_4)___，当x=__0__时，函数有最__大__值 为__4__；当x<0时，y随x的增大而__增__大___，当x>0时， y随x的增大__减__小___.
抛物线
y 1 x 12
2
y
1 2
x
1与2 抛物线
有什么关系？
y 1 x2 2
可以发现,把抛物线
y 1 x2 2
向左平移1个单位,就得到
抛物线 y 1 x 12 ;把抛物线 y 1 x2 向右平移1个单位，
2
y 1 x2 2
－4 －2 －2
24
－4
y 1 x 12
－6
y 1 x 12
2
2
可以看出，抛物线 y 1 x 12的开口向下,对称轴
2
是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它
记作x=－1,顶点是(-1,0);抛物线 y 1 x 12
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x 12
2
··· －2
1 2
0
1 2
－2 －4.5 －8
···
y 1 x 12
2
··· －8 －4.5 －2
1 2
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 －2 ···
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
－6
24
y 1 x 12
5.函数y=-2x2+4的图象开口向__下__，对称轴是__y_轴__， 顶点坐标是__(0_,_4)___，当x=__0__时，函数有最__大__值 为__4__；当x<0时，y随x的增大而__增__大___，当x>0时， y随x的增大__减__小___.
二次函数的图象与性质(第二课时)课件
当c> 0 时,向上平移c个单位长度得到；
当c＜ 0 时,向下平移-c个单位长度得到；
规律：上加下减
课堂小结
图
象
抛
物
线
开口方向
性 质
对称轴:轴
增 减 性
与y=ax 2
的关系
轴对称图形
随堂训练
1.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
（, ）
y轴
有最高点
向上
(, )
y轴
有最低点
−
=
为
.
4.从＝ −3的图象上可以看出，当− ≤ ≤ 时，的取值范围是 − ≤ ≤ .
5.在同一坐标系中，函数 = + 与 = + 的图象的相对位置可以是（ A
O
O
A
B
O
C
O
D
6.已知二次函数＝ + ,当x取，（ ≠ ）时，函数值相等，则当x＝x1+x2
向下
(, −)
y轴
有最高点
2
x +2的顶点坐标是 (, ) ，对称轴是
y轴
2.抛物线 = −
，在对
称轴的左侧，随的增大而 增大 ；当 =
时，有最 大 值
是 .它可以由抛物线 = − x2向 上 平移 个单位得到.
3.已知二次函数 = − 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
y=3x2-1
当c＜ 0 时,向下平移-c个单位长度得到；
规律：上加下减
课堂小结
图
象
抛
物
线
开口方向
性 质
对称轴:轴
增 减 性
与y=ax 2
的关系
轴对称图形
随堂训练
1.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
（, ）
y轴
有最高点
向上
(, )
y轴
有最低点
−
=
为
.
4.从＝ −3的图象上可以看出，当− ≤ ≤ 时，的取值范围是 − ≤ ≤ .
5.在同一坐标系中，函数 = + 与 = + 的图象的相对位置可以是（ A
O
O
A
B
O
C
O
D
6.已知二次函数＝ + ,当x取，（ ≠ ）时，函数值相等，则当x＝x1+x2
向下
(, −)
y轴
有最高点
2
x +2的顶点坐标是 (, ) ，对称轴是
y轴
2.抛物线 = −
，在对
称轴的左侧，随的增大而 增大 ；当 =
时，有最 大 值
是 .它可以由抛物线 = − x2向 上 平移 个单位得到.
3.已知二次函数 = − 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
y=3x2-1
二次函数 的图象和性质_第二课时-课件
把C（2，8）代入上式，
则有a（2+2）（2-1）=8，∴a=2。 ∴此函数的表达式为y=2x2+2x-4。
其顶点坐标为 ( 1 ， 9)。 22
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识★▲ 活动2 提升型例题
例4：如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为
把A（﹣1，0）、B（4，0）代入原函数解
析式得出：a 5，b 15。
4
4
所以这个二次函数的 解析式为：
y 5 x2 15 x 5。 44
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识★▲
活动2 提升型例题
例4：如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为 （﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC。 （1）求点C的坐标； （2）求二次函数的解析式，并化成一般形式。
解析：可设交点式y＝a（x－1）（x－3），然后把B 点坐标代入求出a即可；
解：∵对称轴是直线x＝2， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0）。 设抛物线解析式为y＝a（x－1）（x－3）， 把B（0，－3）代入得a（－1）×（－3）＝－3，解得a＝－1， ∴抛物线解析式为y＝－（x－1）（x－3）＝－x2＋4x－3。
（0，-3），则有 9a 3b
c
0，
4a 2b c 3， 解得
c 3。
a 1， b 2， c 3。
∴函数的表达式为y=x2-2x-3，其对称轴为直线x=1。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识★▲
《二次函数的图像与性质》PPT课件 (公开课获奖)2022年青岛版 (5)
最||值 当x =0时,y最||小值为0. 当x =0时,y最||大值为0.
y x2
抛物线y =x2与y = -x2 关于x轴对称
抛物线y =x2与y = -x2 关于原点中|心对称
y x2
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y =2x²+1的图象与 二次函数y =2x²的图象.
二次函数y =2x²+1的图象与二次函数y =2x²的图象 有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对 称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
3.把函数y =3x2 +2的图象沿x轴对折 ,得到的图 象的函数解析式为 y = -3x2 -2.
4.〔m,n)在y =ax2 +a的图象上 ,〔 - m,n 〕 _在____〔在 ,不在〕y =ax2 +a的图象上.
5. 假设y =x2 +〔2k -1〕的顶点位于x轴上方 , 那么＞
k_______
二次项系数为 -2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
位置不同; 最||大值不同: 分别是1和0..
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y =3x²-1的图 象与二次函数y =3x²的图象.
二次函数y =3x²一l的图象与二次函数y =3x²的 图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口 方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
2、二次函数极值为2 ,且过〔3 ,1〕、 〔 -1,1〕两点 ,求二次函数的表达式 .
解：设y =a(x -h)2 +2
例题选讲
例 4 有一个抛物线形的立交桥拱 ,这个桥拱的最||大高
度 为16m ,跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里 解：(设如抛以物以线以的下表图达)式,为求y抛物=线ax的2＋表b达x＋式c．,
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5.函数y=-2x2+4的图象开口向__下__，对称轴是__y_轴__， 顶点坐标是__(0_,_4)___，当x=__0__时，函数有最__大__值 为__4__；当x<0时，y随x的增大而__增__大___，当x>0时， y随x的增大__减__小___.
6.函数y =-2(x+1)2的图象开口向__下__,对称轴是直__线__x=_-,1 顶点坐标是_(_-_1,_0_),当x=__-_1 _时,函数有最_大___值为__0__； 当x_<___-1_时,y随x的增大而增大,当x_>___-1_时,y随x的增 大而减小. 7.抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2的__形_状____ 相同，_位__置____不同.抛物线y=3x2-4是由抛物线y=3x2向 __下_平移___4_单位而得到；抛物线y=3(x-1)2是由抛物线 y=3x2向__右__平移__1__单位而得到.
24
－4
y 1 x 12
－6
y 1 x 12
2
2
可以看出，抛物线 y 1 x 12的开口向下,对称轴
2
是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它
记作x=－1,顶点是(-1,0);抛物线 y 1 x 12
的开口向__下___，对称轴是__x_=_1__，顶点是_2(_1_,_0_)_．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x 12
2
··· －2
1 2
0
1 2
－2 －4.5 －8
···
y 1 x 12
2
··· －8 －4.5 －2
1 2
0
1 －2
2
···
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
－6
24
y 1 x 12
2
y 1 x2 2
－4 －2 －2
二次函数的图像和性质第二 课时课件
学习目标：
1.会画出y=ax2+k这类函数的图象．通过比较，了解
这类函数的性质．
2. 会画出y=a(x-h)2这类函数的图象．通过比较，了
解这类函数的性质．
3.了解经过沿y轴向上或向下平移，可由抛物线y=ax2 得到抛物线y=ax2+k．沿x轴向右或向左平移，可由 抛物线y=ax2得到抛物线a(x-h)2
2
－2 －2 －4
y 1 x2 －6 2
24
y 1 x 12
2
归纳: 二次函数y=a(x-h)2 的性质
y=a(x-h)2的图象是抛物线
a＞0时,开口向上,最低点是顶点;对称轴是直线x=h, 顶点坐标是 (h,0) .当x<h时y随x的增大而减小；当 x>h时y随x的增大而增大；
y 1 x 12
抛物线 y 1 x 12 y 1 x 1与2 抛物线
2
2
有什么关系？
y 1 x2 2
可以发现,把抛物线
y 1 x2 2
向左平移1个单位,就得到
抛物线
y 1 x 12
2
;把抛物线
y 1 x2 向右平移1个单位，
2
就得到抛物线 y 1 x 12
．
2
－4
y 1 x 12
大而增大
最小值 y随x的增
是k 大而减小
（0,k）
最大值
是k
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
合作探究二: 二次函数y=a(x-h)2的图象
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，
2
2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：
函数
开口方向
对称 顶 点坐 y的 轴 标 最值
增减性
在对称 在对称 轴左侧 轴右侧
y=ax2
a＞0 向上 y轴 a＜0 向下 y轴
a＞0 向上 y轴
y=ax2+k
a＜0 向下 y轴
最小值 y随x的增
（0,0） 是0 大而减小
（0,0）
（0,k）
最大值 是0
y随x的增
2 －4 －2
－2
y 1 x 12
2
24
a＜0时，开口向下, 最高点是顶 点; 对称轴是 直线x=h ,顶点坐
－4
标是 (h,0) . 当x<h时y随x的
－6
y 1 x2 2
增大而增大；当x>h时y随x的增
大而减小；
1.抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线 y=0.5x2 先向 左 .
移2个单位得到.
2.已知s= –(x+1)2,当x为 –1 时，s取最为 大 . 值为 0 .
3.顶点坐标为(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的函数解 析式是( D ).
A.y=(x+1)2
B. y= –(x+1)2
C.y=(x–1)2
D. y= –(x–1)
4.函数y=2x2的图象是_抛__物___线，开口向_上_,对称轴是 _y_轴___，顶点坐标是_(_0_,_0_)__，当x=__0_时，函数有最 __小__值为__0__；在对称轴左侧， y随x的增大而 __减__小___，在对称轴右侧， y随x的增大而___增__大__.
用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开
口方向、对称轴以及顶点坐标.
合作探究一: 二次函数y=ax2 ＋k的图象
参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.
x ... ... -3 2 -1 0 1 2 3 ... ...
y=x2+1 ... ... 10 5 2 1
2 5 10 ... ...
y=x2-1 ... ... 8 3 0 -1 0 3 8 ... ...
1
答：形状相同，位置不同. 三个图象之间通过沿y轴平 移可重合.
结论 上下平移，上加下减
归纳: 二次函数y=ax2 ＋k的性质
1.二次函数y=x2+k的图象是什么？ 答：是抛物线
6.函数y =-2(x+1)2的图象开口向__下__,对称轴是直__线__x=_-,1 顶点坐标是_(_-_1,_0_),当x=__-_1 _时,函数有最_大___值为__0__； 当x_<___-1_时,y随x的增大而增大,当x_>___-1_时,y随x的增 大而减小. 7.抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2的__形_状____ 相同，_位__置____不同.抛物线y=3x2-4是由抛物线y=3x2向 __下_平移___4_单位而得到；抛物线y=3(x-1)2是由抛物线 y=3x2向__右__平移__1__单位而得到.
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－4
y 1 x 12
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y 1 x 12
2
2
可以看出，抛物线 y 1 x 12的开口向下,对称轴
2
是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它
记作x=－1,顶点是(-1,0);抛物线 y 1 x 12
的开口向__下___，对称轴是__x_=_1__，顶点是_2(_1_,_0_)_．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x 12
2
··· －2
1 2
0
1 2
－2 －4.5 －8
···
y 1 x 12
2
··· －8 －4.5 －2
1 2
0
1 －2
2
···
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y 1 x 12
2
－2 －2 －4
－6
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y 1 x 12
2
y 1 x2 2
－4 －2 －2
二次函数的图像和性质第二 课时课件
学习目标：
1.会画出y=ax2+k这类函数的图象．通过比较，了解
这类函数的性质．
2. 会画出y=a(x-h)2这类函数的图象．通过比较，了
解这类函数的性质．
3.了解经过沿y轴向上或向下平移，可由抛物线y=ax2 得到抛物线y=ax2+k．沿x轴向右或向左平移，可由 抛物线y=ax2得到抛物线a(x-h)2
2
－2 －2 －4
y 1 x2 －6 2
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y 1 x 12
2
归纳: 二次函数y=a(x-h)2 的性质
y=a(x-h)2的图象是抛物线
a＞0时,开口向上,最低点是顶点;对称轴是直线x=h, 顶点坐标是 (h,0) .当x<h时y随x的增大而减小；当 x>h时y随x的增大而增大；
y 1 x 12
抛物线 y 1 x 12 y 1 x 1与2 抛物线
2
2
有什么关系？
y 1 x2 2
可以发现,把抛物线
y 1 x2 2
向左平移1个单位,就得到
抛物线
y 1 x 12
2
;把抛物线
y 1 x2 向右平移1个单位，
2
就得到抛物线 y 1 x 12
．
2
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y 1 x 12
大而增大
最小值 y随x的增
是k 大而减小
（0,k）
最大值
是k
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
合作探究二: 二次函数y=a(x-h)2的图象
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，
2
2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：
函数
开口方向
对称 顶 点坐 y的 轴 标 最值
增减性
在对称 在对称 轴左侧 轴右侧
y=ax2
a＞0 向上 y轴 a＜0 向下 y轴
a＞0 向上 y轴
y=ax2+k
a＜0 向下 y轴
最小值 y随x的增
（0,0） 是0 大而减小
（0,0）
（0,k）
最大值 是0
y随x的增
2 －4 －2
－2
y 1 x 12
2
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a＜0时，开口向下, 最高点是顶 点; 对称轴是 直线x=h ,顶点坐
－4
标是 (h,0) . 当x<h时y随x的
－6
y 1 x2 2
增大而增大；当x>h时y随x的增
大而减小；
1.抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线 y=0.5x2 先向 左 .
移2个单位得到.
2.已知s= –(x+1)2,当x为 –1 时，s取最为 大 . 值为 0 .
3.顶点坐标为(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的函数解 析式是( D ).
A.y=(x+1)2
B. y= –(x+1)2
C.y=(x–1)2
D. y= –(x–1)
4.函数y=2x2的图象是_抛__物___线，开口向_上_,对称轴是 _y_轴___，顶点坐标是_(_0_,_0_)__，当x=__0_时，函数有最 __小__值为__0__；在对称轴左侧， y随x的增大而 __减__小___，在对称轴右侧， y随x的增大而___增__大__.
用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开
口方向、对称轴以及顶点坐标.
合作探究一: 二次函数y=ax2 ＋k的图象
参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.
x ... ... -3 2 -1 0 1 2 3 ... ...
y=x2+1 ... ... 10 5 2 1
2 5 10 ... ...
y=x2-1 ... ... 8 3 0 -1 0 3 8 ... ...
1
答：形状相同，位置不同. 三个图象之间通过沿y轴平 移可重合.
结论 上下平移，上加下减
归纳: 二次函数y=ax2 ＋k的性质
1.二次函数y=x2+k的图象是什么？ 答：是抛物线