平面向量与三角函数的综合应用
专题二 三角函数与平面向量的综合应用
的参数 A，ω ，φ，从图象的特征上寻找答案，A 主要由最值 确定，ω 是由周期确定，周期通过特殊点观察求得，如相邻 两个最大、最小值点相差半个周期，φ 可由点在函数图象上 求得，确定 φ 值时，注意它的不惟一性．如果函数的最大值 与最小值不互为相反数，说明解析式为 y＝Asin( ω x＋φ)＋k 的形式．设最大值为 m，最小值为 n，则 A＋k＝m，－A＋k m－n m＋n ＝n，从而 A＝ 2 ，k＝ 2 .
π 由图象最高点为 ， 3得 6
(2)由 (1)知，函数的最小值为－ 3； π π π 由 2x＋ ＝2kπ－ ，k∈Z，得 x＝kπ－ ，k∈ Z， 6 2 3 π ∴函数取得最小值时自变量 x 的集合为x|x＝kπ－ ， k∈ Z. 3
探究提高
确定函数关系式 y＝Asin( ω x＋φ)就是确定其中
题型分类 深度剖析
题型一 三角函数的化简求值问题 3 1 1 例1 求 2 － 2 · 的值． sin 140° cos 140° 2sin 10°
思维启迪 从角、函数名称、式子结构入手找其
特征，构造“相消”、“约分”或构造特殊角．
3cos2140° － sin2140° 1 解 原式＝ · sin2140° cos2140° 2sin 10° 3cos240° － sin240° 1 ＝ · sin240° cos240° 2sin 10° ( 3cos 40° － sin 40° )( 3cos 40° ＋ sin 40° ) 1 ＝ · 1 2 2sin 10° sin 80° 4 2sin(60° － 40° )· 2sin(60° ＋ 40° ) 1 ＝ · 1 2 2sin 10° cos 10° 4 8sin 20° sin 100° 16sin 10° · cos210° ＝ ＝ ＝ 16. cos210° · sin 10° cos210° · sin 10° π 探究提高 若 α＋β＝π，则 sin α＝sin β；若 α＋β＝2，
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用高考数学备考攻略：平面向量与三角函数的综合应用在高考数学中，平面向量与三角函数是两个重要的概念和工具。
它们在各种数学问题中都有广泛的应用，特别是在几何和三角函数的综合题目中。
本文将介绍一些关于平面向量与三角函数的综合应用。
希望通过这些攻略，能够帮助大家在高考中更好地理解和应用这些知识点。
一、平面向量的几何应用平面向量的几何应用主要体现在它们的加法、减法、数量积、向量积等运算上。
下面将介绍其中的一些典型应用。
1. 平面向量的加法平面向量的加法可以用来解决平面上的位移问题。
例如，在平面直角坐标系中，有一个点A(2,3)，以向量a(1,2)为位移，求终点B的坐标。
我们可以通过向量加法得到：B = A + a = (2,3) + (1,2) = (3,5)通过这个简单的例子，我们可以看到，平面向量的加法可以用来求解平面上的位移问题，这在几何中有着重要的应用。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积可以用来解决两个向量之间的夹角问题。
例如，已知两个向量a(3,4)和b(5,12)，求它们的夹角θ。
我们可以通过向量的数量积求解：a·b = |a||b|cosθ其中，“·”表示向量的数量积，|a|和|b|分别表示向量的模，θ表示夹角。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到θ≈0.68弧度。
3. 平面向量的向量积平面向量的向量积可以用来解决平行四边形的面积、三角形的有向面积问题。
例如，在平面直角坐标系中，已知两个向量a(2,3)和b(4,1)，求平行四边形的面积。
我们可以通过向量的向量积求解：S = |a×b|其中，“×”表示向量的向量积，|a×b|为向量的模。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到平行四边形的面积为2。
二、三角函数的综合应用三角函数是数学中的一个重要分支，在高考数学中占有很大的比重。
下面将介绍一些关于三角函数综合应用的例子。
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
三角函数的基本关系与计算平面向量的共线与垂直关系
三角函数的基本关系与计算平面向量的共线与垂直关系三角函数是数学中重要的一部分，它描述了一个角度与其对应的三角比例之间的关系。
在平面向量的应用中，我们也经常需要判断向量之间的共线与垂直关系。
本文将从三角函数的基本关系和计算平面向量的共线与垂直关系两个方面进行探讨。
一、三角函数的基本关系三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义如下：1. 正弦函数（sine）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其正弦值为对边与斜边的比值，记为sinθ。
2. 余弦函数（cosine）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其余弦值为邻边与斜边的比值，记为cosθ。
3. 正切函数（tangent）：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其正切值为对边与邻边的比值，记为tanθ。
这三个函数之间存在基本的关系，可以通过定义和几何关系来推导，具体推导如下：1. tanθ = sinθ / cosθ；2. sin^2θ + cos^2θ = 1，两边同时除以cos^2θ，得到tan^2θ + 1 =sec^2θ，其中secθ为secant函数的值；3. cos^2θ + sin^2θ = 1，两边同时除以sin^2θ，得到1 + cot^2θ =csc^2θ，其中cscθ为cosecant函数的值。
这些基本关系在解三角方程和求解三角函数的值时非常有用。
二、计算平面向量的共线与垂直关系平面向量是在平面内具有大小和方向的量，可以通过坐标或者位移来表示。
当我们需要判断向量之间的共线与垂直关系时，可以利用向量的内积和外积来进行计算。
1. 共线关系若两个向量a和b共线，则它们的数量积等于零，即a·b = 0。
这可以通过向量的坐标表示进行计算。
假设向量a = (x1, y1)和向量b = (x2,y2)，则它们的数量积为x1 * x2 + y1 * y2。
若两个向量的数量积等于零，则它们是共线的。
2. 垂直关系若两个向量a和b垂直，则它们的数量积等于零，即a·b = 0。
(完整版)向量与三角,不等式等知识综合应用
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用常熟市中学 蔡祖才一、高考要求平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）(A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=02．函数y =sin x 的图象按向量a =（32π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +23．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为．4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN u u u u r u u u r与的夹角余弦值为 ．四、典型例题例1 已知a =（3sin ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ）(A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21=ω ( D) 32=ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=θ （ ）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π例3 设向量a r ＝(sin x ，cos x )，b r ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a r ·(a r ＋b r)．使不等式f (x )≥23成立的x 的取值集合为 ．例4 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则()OA OB OC ⋅u u u r u u u r u u u r+的最小值是 ．例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （4π，1）,且当x ∈［0, 4π］时，f (x )取得最大值22－1．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由．例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈，且| m + n |=,5求cos()28θπ+的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习1．已知i r ，j r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r ，且||||a b r r与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）（A ）),21(+∞ （B ）)21,2()2,(-⋃--∞ （C ）),32()32,2(+∞⋃- （D ）)21,(-∞2．在直角坐标系中，O 是原点，OQ =(－2＋cos θ，－2＋sin θ) (θ∈R)，动点P 在直线x =3上运动，若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）（A ） 4 （B ） 5 （C ） 26 （D ）263．已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根，则a r 与b r 的夹角的取值范围是 （ ）（A ）[0，6π] （B ）[,]3ππ （C ）2[,]33ππ （D ）[,]6ππ 4．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=u u u r u u u r，若OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ的取值范围是 （ ）（A ）112λ≤≤ （B ）11λ-≤≤（C ）1122λ≤≤+ （D ）1122λ-≤≤+ 5． 已知向量a r =(cos α，sin α)，b r =(cos β，sin β)，且a b ≠±r r ，那么a b +r r 与a b-r r的夹角的大小是 ．6． 已知向量].2,0[),2sin ,2(cos ),23sin,23(cos π∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-⋅=λ的最小值为32-，则λ的值为 ．7．已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-u r(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n ⋅=u r r（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tanC ． 8．设函数f (x )=a b ⋅r r ，其中向量a r =(2cos x ，1)，b r=(cos x ，3sin2x )，x ∈R ．（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y =2sin2x 的图象按向量c r =(m ，n )(|m |<2π)平移后得到函数y =f (x )的图象，求实数m 、n 的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案课前训练部分1.C2.D3.4.1517典型例题部分例1 A例2 1111sin cos (1cos )(1sin )222ABC S θθθθ∆=----- 当2θπ=即2πθ=时,面积最大.例3 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭例4 如图,OM OA OC OB OA -≥-=⋅⋅=+⋅2)(=.222-=⋅- 即)(+⋅的最小值为:-2.例5 （Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+,1,1b a c a ∴b =c =1－a , ∴f (x )=a +2(1－a )sin(2x +4π).∵x∈［0,4π］, ∴2x +4π∈［4π,4π3］.当1－a ＞0时，由a +2(1－a )=22－1, 解得a =－1; 当1－a ＜0时， a +2(1－a )·22=22－1,无解; 当1－a =0时，a =22－1，相矛盾. 综上可知a =－1. ∴f (x )=－1+22sin(2x +4π). (Ⅱ)∵g (x )=22sin2x 是奇函数，将g (x )的图象向左平移8π个单位，再向下平移一个单位就可以得到f (x )的图象. 因此，将f (x )的图象向右平移8π个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x )=22sin2x 的图象.故m u r =(8π，1)是满足条件的一个向量.例6 (cos sin sin )m n θθθθ+=-++u r rm n +=u r r由已知m n +=u r r ,得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+- 过关练习部分1.B2.C3.B4.B 5、2π6. 217（Ⅰ）∵1m n ⋅=u r r∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π= （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =8．（Ⅰ）依题设可知，函数的解析式为f (x )=a b ⋅r r ＝2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π).由1+2sin(2x +6π)=1－3，可得三角方程sin(2 x +6π)=－23．∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π． （Ⅱ）函数y =2sin2x 的图象按向量c r=(m ，n )平移后得到函数y =2sin2(x －m )+n 的图象，即函数y =f(x)的图象.由（１）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m |<2π，∴12m π=-， 1.n =。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。
平面向量主要用来表示空间中的方向和大小，而三角函数则描述了角度和长度之间的关系。
本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并介绍其在数学和物理中的应用。
一、平面向量的表示与性质平面向量可以用有序的数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1为x轴分量，a2为y轴分量。
平面向量有以下性质：1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。
对于向量a(a1, a2)，它的模可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。
2. 向量的方向角：向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角。
根据三角函数的定义，可以得到向量的方向角θ = arctan(a2 / a1)。
3. 向量的单位向量：单位向量是模为1的向量，可以表示为a/|a|。
单位向量的方向与原向量相同，但大小为1。
二、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。
它们的定义如下：1. 正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。
正弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。
余弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。
3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。
正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
三、平面向量与三角函数之间存在着一种重要的关系，即向量的模可以与其方向角的三角函数相关联。
具体而言，对于向量a(a1, a2)，有以下关系：1. a的模与sinθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)2. a的模与cosθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)3. a的模与tanθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)由上述关系可知，向量的模与其方向角的三角函数之间存在着简洁的关系，通过利用这些关系，我们可以在计算中更加方便地处理向量的模和角度。
利用三角函数解决平面向量问题
利用三角函数解决平面向量问题在数学学科中，平面向量问题是一个常见的考察点。
平面向量的运算和性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
而解决平面向量问题中，三角函数是一种常用的工具，它可以帮助我们简化问题的推导和计算过程。
本文将通过几个实际应用的例子，说明如何利用三角函数解决平面向量问题。
首先，我们先来了解一下三角函数的基础知识。
在平面直角坐标系中，我们通常用坐标轴上的角度来表示方向。
而三角函数则是用来描述角度与比例关系的函数。
常用的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。
一、解决平面向量的夹角问题在平面向量的问题中，经常需要求解向量之间的夹角。
这时，我们可以利用三角函数中求角度的函数来解决。
以两个向量A和B为例，设它们的夹角为θ，我们可以通过以下公式来求解夹角：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，A·B表示向量A和向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模。
通过求解夹角，我们可以判断两个向量之间的相对方向关系，并进一步解决问题。
二、解决平面向量的投影问题平面向量的投影问题是另一个常见的问题类型。
在平面直角坐标系中，我们可以将一个向量投影到另一个向量上，从而得到它在另一个向量方向上的分量。
利用三角函数，我们可以很方便地求解向量的投影。
以向量A在向量B方向上的投影为例，投影向量记作P，其长度为P的模，我们有以下公式：P = |A|·cosθ其中，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
利用这个公式，我们可以通过已知向量的模和夹角，计算出向量的投影。
三、解决平面向量的平衡问题在物理学领域中，平面向量的平衡问题也经常被提到。
平衡问题通常是在已知一些力大小和方向的情况下，求解使体系保持平衡所需的额外力。
这时，我们可以利用三角函数和向量相加减的方法来解决。
以一个由两个力F1和F2组成的平衡系统为例，设额外力为F，我们有以下公式：F = - F1 - F2其中，-F1表示力F1的反方向，同理-F2表示力F2的反方向。
高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)
平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标： 一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ， 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（） 法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形 ，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r， 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （ ）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】 由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】 －14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形， 故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】 如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)， 所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系平面向量是数学中一个重要的概念，而三角函数则是数学中不可或缺的工具。
本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，揭示它们在数学和物理问题中的应用。
一、平面向量的定义与表示方法平面向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
一个平面向量可以由两个有序实数构成，分别表示向量在水平方向和垂直方向的分量。
常用的表示方法有坐标表示法和向量代数表示法。
二、平面向量的加减运算平面向量的加法和减法运算可以理解为将向量按照箭头首尾相接的方式进行连接或相减。
具体计算时，将向量的坐标分量相加或相减即可。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，用符号"·"表示。
数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值与向量的模的乘积。
数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角。
四、平面向量的叉积平面向量的叉积又称为向量积或外积，用符号"×"表示。
叉积的结果是一个向量，垂直于原来两个向量所在的平面，并满足右手定则。
叉积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角，n为垂直于二维平面的单位向量。
五、三角函数的定义与性质三角函数是以三角形的边长比值来定义的。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的定义与性质如下：1. 正弦函数：sinθ = 对边/斜边；2. 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边；3. 正切函数：tanθ = 对边/邻边；4. 三角函数的周期性和奇偶性等性质。
六、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着密切的关系。
具体来说，平面向量A的模可以表示为：|A| = √(x² + y²)，其中(x, y)为向量的坐标分量。
而三角函数中的正弦函数和余弦函数也是以二维平面上的点的坐标为基础来定义的。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，并且它们之间存在着一定的关系。
本文将介绍平面向量与三角函数的相关性质和应用。
一、向量在直角坐标系中的表示在直角坐标系中，一个向量可以由其在横轴上的分量和在纵轴上的分量来表示。
假设有一个平面向量a，其水平分量为a₁，垂直分量为a₂，则可以用有序数对(a₁, a₂)表示向量a。
其中，a₁沿着横轴的正方向表示，a₂沿着纵轴的正方向表示。
二、向量的模和角度表示向量的模表示向量的长度，也叫作向量的大小。
设向量a的模为|a|，则有|a| = √(a₁² + a₂²)。
其中，a₁和a₂分别为向量a在横轴和纵轴上的分量。
另外，向量还可以用角度来表示。
假设有一个向量a，与横轴之间的夹角为θ，则有tanθ = a₂/a₁，即θ = arctan(a₂/a₁)。
其中，arctan表示反正切函数。
三、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法可以类比数的加法和减法。
设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。
向量的加法可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
也就是将两个向量的分量对应相加。
向量的减法可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
也就是将两个向量的分量对应相减。
四、向量与三角函数的关系1. 向量的模和三角函数在直角坐标系中，一个向量的模可以表示为|a| = √(a₁² + a₂²)。
根据直角三角形的性质，我们可以知道，a₁/|a| = cosθ，a₂/|a| = sinθ。
其中，θ表示向量a与横轴之间的夹角。
2. 向量的加法与三角函数设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。
根据向量的加法性质，a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
根据向量的模和三角函数的关系，可以得到|a + b| = √((a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)²) = √(a₁² + a₂² + b₁² + b₂² + 2(a₁b₁ + a₂b₂))。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量是一个拥有大小和方向的量。
它可以表示为一个有序的数对(a, b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量。
平面向量在几何、物理和工程等领域中具有广泛的应用。
与此同时，三角函数是数学中重要的函数类别之一。
它们描述了角度和边长之间的关系，并且在三角学、物理学和工程学等学科中扮演着重要的角色。
本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并说明它们在解决实际问题中的应用。
1. 平面向量的表示与三角函数平面向量可以由其模长和方向角来表示。
模长表示向量的大小，方向角表示向量与x轴的夹角。
根据三角函数的定义，我们可以将平面向量与三角函数联系起来。
1.1 向量的模长与三角函数给定一个平面向量(a, b)，它的模长可以表示为|v| = √(a^2 + b^2)。
在直角三角形中，我们可以将a和b看作直角边的长度。
根据三角函数的定义，我们可以得到：sinθ = b / |v|cosθ = a / |v|其中，θ表示向量与x轴的夹角。
1.2 向量的方向角与三角函数方向角可以通过反三角函数来计算。
给定一个平面向量(a, b)，我们可以计算其方向角θ：θ = arctan(b / a)在计算方向角时，应注意选择合适的反三角函数以确保在不同象限中得到正确的值。
2. 平面向量的运算与三角函数平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
与此同时，三角函数也可以应用于向量的运算中。
2.1 向量的加法与三角函数设有两个平面向量u = (a, b)和v = (c, d)，它们的和向量w = u + v可以表示为：w = (a + c, b + d)在计算过程中，我们可以将三角函数应用于向量的对应分量上。
2.2 向量的减法与三角函数同样地，给定两个平面向量u = (a, b)和v = (c, d)，它们的差向量w = u - v可以表示为：w = (a - c, b - d)我们可以通过将三角函数应用于向量的对应分量来计算差向量。
三角函数与平面向量
现向量的旋转。
向量角度与三角函数： 向量的夹角可以通过 三角函数进行计算。
向量投影与三角函数： 向量的投影长度和方 向可以通过三角函数
进行计算。
三角函数在向量 运算中的应用， 如向量的点乘和
叉乘
向量在三角函数 中的应用，如利 用向量表示三角 函数图像的平移
和旋转
三角函数与平面向量的运算性质 及其相互转化
三角函数与平面向量在解题中的 综合运用
总结三角函数与平面向量之间的 关系及其对数学发展的影响
发展趋势：随着数学理论和 应用的不断发展，三角函数 和平面向量理论将进一步完 善，其在物理、工程等领域 的应用将更加广泛。
未来研究方向：深入研究三角函 数和平面向量的性质和关系，探 索其在解决实际问题中的应用， 同时寻求与其他数学领域的交叉 融合，以推动数学理论的发展。
增大而增大或减小。
三角函数定义：以角 为变量，单位圆上点
的坐标为值的函数
三角函数周期性：单位 圆上三角函数值的周期
性变化
单位圆上三角函数表 示：通过单位圆上点 的坐标计算三角函数
值
三角函数性质：在单 位圆上表示的三角函 数的性质，如正弦、
余弦、正切等
向量的模：表示 向量的大小，计 算公式为 $\sqrt{x^2 + y^2}$
复合函数：通过 将一个三角函数 作为另一个函数 的自变量，可以 形成复合函数。
向量加法：满足平行四边形法则和三角形法则 向量数乘：标量与向量的乘积，结果仍为向量 向量点乘：两个向量的点乘结果为标量，满足分配律和交换律 向量叉乘：两个向量的叉乘结果仍为向量，垂直于原向量构成的平面
三角函数与向量 点乘的性质
向量垂直：当两个 向量的夹角为90 度时，它们被称为 垂直向量。
三角函数与平面向量
汇报人：张老师 2023-11-25
目 录
• 三角函数概述 • 三角函数运算 • 平面向量基础 • 平面向量与三角函数的关系 • 三角函数与平面向量的应用 • 总结与展望
01
三角函数概述
三角函数的定义与基本性质
1. 正弦函数（sine） • 定义：对于任意角x，正弦函数定义为对边长度与斜边长度的比值，即sin(x) = 对边 / 斜边。 • 性质：正弦函数的值域为[-1,1]，周期为2π。
辑思维，提升问题解决能力。
未来学习中可能遇到的相关主题与展望
相关主题
在未来学习中，学生可能会遇到与三角函数和平面向量 紧密相关的主题，如复数、微分学、积分学、线性代数 等。
展望
对于更深入的学习和理解，学生可以进一步探索这些相 关主题，以构建更为完整和深入的数学知识体系。
如何在日常生活中应用这些知识
在工程中的应用（如位移、速度、加速度的计算）
要点一
位移、速度、加速度计算
要点二
工程测量
在工程领域，经常需要计算物体的位移、速度和加速度。 通过三角函数和平面向量的结合，可以有效地描述和计算 这些物理量，为工程设计提供准确的数据支持。
在土地测量、建筑设计等工程中，三角函数和平面向量可 用于计算角度、距离等参数，确保工程的准确性和稳定性 。
解决问题
01
三角函数与平面向量可以用于解决日常生活中的许多问题，比
如计算距离、角度，确定物体的运动轨迹等。
导航
02
在地理位置定位和导航中，经常会使用到三角函数与平面向量
的知识。
设计与制作
03
在建筑、艺术、设计等领域，利用三角函数与平面向量可以进
行精确的测量和计算，以实现设计和制作的准确性。
高考中的三角函数与平面向量问题
高考中的三角函数与平面向量问题
内容索引
考点自测 题型分类 深度剖析 课时作业
考点自测
1.(2016·全国Ⅱ)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长度，则平移
后图象的对称轴为
A.x＝k2π－π6(k∈Z)
√B.x＝k2π＋π6(k∈Z)
C.x＝k2π－1π2(k∈Z)
123456
解答
解答
2.(2016·北京)在△ABC 中，a2＋c2＝b2＋ 2ac.
(1)求 B 的大小；
解 由 a2＋c2＝b2＋ 2ac，得 a2＋c2－b2＝ 2ac.
由余弦定理，得
cos
a2＋c2－b2 B＝ 2ac ＝
22aacc＝
2 2.
又 0＜B＜π，所以 B＝π4.
123456
解答
(2)求 2cos A＋cos C 的最大值.
解答
(2)若bcos C＋ccos B＝1，△ABC的周长为5，求b的长. 解 由余弦定理可知，
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 bcos C＋ccos B＝b· 2ab ＋c· 2ac ＝22aa2＝a＝1， 由(1)知ca＝ssiinn CA＝2，则 c＝2， 由周长a＋b＋c＝5，得b＝2.
D.x＝k2π＋1π2(k∈Z)
12345
解析 答案
2.(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B＝π4，BC 边上的高等于13BC，则 cos A 等于
A.3
10 10
B.
10 10
√C.－
10 10
D.－3
10 10
解析 设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意 B＝π4，可知 BD＝13BC，
三角函数与平面向量的关系及应用
三角函数与平面向量的关系及应用一、引言三角函数和平面向量是高中数学中重要的概念，它们相互关联，不仅可以帮助我们解决有关角度和距离的问题，还有广泛的实际应用。
本文将探讨三角函数与平面向量的关系，以及它们在实际问题中的应用。
二、三角函数与平面向量的关系1. 向量的模与方向角平面向量可以表示为以原点为起点的有向线段，它具有模和方向两个重要的性质。
向量的模即向量的长度，可以通过勾股定理计算。
而方向角表示了向量相对于正 x 轴的角度，可以用三角函数来表示。
2. 向量的坐标表示与三角函数之间的关系在平面直角坐标系中，向量可以用其在 x 轴和 y 轴上的投影表示。
设向量的坐标为 (x, y)，则它的模可以表示为√(x² + y²)。
通过简单的几何推导，我们可以发现，向量和 x 轴的夹角的余弦值等于它的 x 分量与模的比值，即cosθ = x/√(x² + y²)；而正弦和向量和 y 轴的夹角的余弦值相等，即sinθ = y/√(x² + y²)。
3. 向量之间的夹角与三角函数的关系对于两个向量 u 和 v，它们之间的夹角可以通过它们的数量积和模的关系来计算。
设夹角为θ，则有cosθ = (u·v)/(|u||v|)，其中 ·表示向量的数量积，|u| 和 |v| 分别表示向量 u 和 v 的模。
三、三角函数与平面向量的应用1. 导航系统导航系统通过使用平面向量和三角函数来确定用户的位置和方向。
通过已知的坐标系和三角函数，导航系统可以计算出用户到目的地的方位角和距离，并提供相关的导航指引。
2. 物体运动的分解与合成物体的运动可以看作是在平面坐标系中的向量运动。
通过分解和合成运动向量，我们可以对物体的运动进行分析和计算，提供准确的速度、加速度等信息。
3. 力的分解在物理学中，力也可以看作是一个向量，具有大小和方向。
通过向量的分解，我们可以将一个力分解为两个分力的合力，从而更好地理解和计算复杂的力系统。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量是研究空间中的对象之一。
它由有向线段表示，具有大小和方向。
而三角函数则是描述角度的函数，涉及到三角形的性质和三角函数的定理。
在本文中，将会探讨平面向量与三角函数之间的关系。
一、平面向量的表示平面向量可以使用坐标的形式进行表示。
假设有平面上的一个向量A，可以使用(x, y)来表示向量A的坐标。
其中，x表示向量A在x轴上的投影长度，y表示向量A在y轴上的投影长度。
例如，向量A = (3,4)表示向量A在x轴上的投影长度为3，在y轴上的投影长度为4。
二、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度，可以使用勾股定理来计算。
设向量A = (x, y)，则向量A的模为|A|=√(x²+y²)。
方向角可以使用反正切函数来计算。
设向量A的方向角为θ，可以使用θ=arctan(y/x)来计算。
三、向量的加法与减法平面向量之间可以进行加法和减法运算。
设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的加法可以表示为A + B = (x1+x2,y1+y2)；向量A与向量B的减法可以表示为A - B = (x1-x2, y1-y2)。
四、向量的数量积与夹角向量的数量积可以用来研究向量之间的夹角关系。
设向量A = (x1,y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的数量积可以表示为A·B = x1x2 + y1y2。
根据数量积的定义，向量A与向量B之间的夹角θ可以使用余弦函数来表示，即cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)。
五、向量的叉积与正弦值除了数量积之外，向量还可以进行叉积运算。
向量的叉积可以用来研究向量之间的正弦值关系。
设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的叉积可以表示为A×B = x1y2 - x2y1。
根据叉积的定义，向量A与向量B之间的正弦值可以使用叉积的模除以向量A与向量B的模的乘积来表示，即sinθ = |A×B| / (|A|·|B|)。
第一讲 三角函数与平面向量综合考点
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）第一讲 三角函数与平面向量综合考点题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2010）已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅=，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例2】 （浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例3】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =． （1）求cos C ；题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例4】（2007年高考陕西卷）()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法【例5】（2007年高考湖北卷）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量,24π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．2cos 234x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例6】（2006年高考湖北卷）设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集.【跟踪训练】1．设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量(sin ,cos ),(sin ,3cos )a x x b x x =-=-，(cos ,sin ),c x x x R =-∈．（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d ．地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）2．已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<．（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值．3.(北京理） 已知函数12sin(2)4()cos x f x xπ--=. （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α的第四象限的角，且tan α43=-，求()f α的值.地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）4.（北京）已知函数f(x)=xxcos 2sin 1-(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan α=34-，求f(α)的值.5.（北京）已知函数2π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．数学史人物：戈特弗里德·威廉·莱布尼茨莱布尼茨，一般指戈特弗里德·威廉·莱布尼茨弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz ，1646年—1716年），德国哲学家、数学家，和牛顿先后独立发明了微积分。
例说平面向量与三角函数的综合性问题
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２抓 表 现 手 法 中 的 以 动 写 静 、 小 见 ． 以 大、 虚实 结 合 等 ３抓 修 辞 手 法 中 的 比 喻 、 人 、 张 、 ． 拟 夸 抒 发 了作 者 怎 样 的 思 想 感 情 或 间 接 流 露 出 作 者 怎 样 的 情 感 。 其 主 要 方 法 就 是 运 用 上 面 所 说 的 联 系 法和 诗 词 的 艺 术 手 法
…
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微点深化 平面向量与三角函数的综合应
用
平面向量与三角函数是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇命题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.
【例1】 (2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π].
(1)若a ∥b ，求x 的值；
(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，
即sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6. (2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3. ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3， 当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；
当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.
【例2】 (2018·南京模拟)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，t 为实数.
(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫25，0，求t 的值； (2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2α＋π4的值. 解 (1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫25，0，
所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，
即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.
所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.
因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75， 所以sin α＝（cos α＋sin α）－（cos α－sin α）2＝35，所以t ＝sin 2α＝925.
(2)因为t ＝1，且a ·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α.
因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815
， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π4
1－tan 2α·tan π4＝815＋11－815
＝237. 探究提高 三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：
(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.
【训练1】 (2018·苏、锡、常、镇调研)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围. 解 m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12×cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6＋12. (1)∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，
∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C ).
∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，
∴cos B ＝12，B ＝π3.∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫A 2＋π6＋12，故1＜f (A )＜32. 故f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32. 【训练2】 (2018·南通、扬州等六市调研)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a
＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32. (1)若|a ＋b |＝|c |，求sin(α－β)的值；
(2)设α＝5π6，0＜β＜π，且a ∥(b ＋c )，求β的值.
解 (1)因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32， 所以|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β).
因为|a ＋b |＝|c |，所以|a ＋b |2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，
所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.
(2)因为α＝5π6，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.依题意，b ＋c ＝⎝
⎛⎭⎪⎫－sin β－12，cos β＋32. 因为a ∥(b ＋c )，所以－32⎝
⎛⎭⎪⎫cos β＋32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin β－12＝0. 化简得12sin β－32cos β＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫β－π3＝12.因为0＜β＜π， 所以－π3＜β－π3＜2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.。