状态变量与状态方程-信号与系统课件
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信号与系统 系统的状态变量分析
vC t C i t C R1
iL t
L
R2
v t
信号与系统
则得
1 1 1 t 2 t x t C C 2 t 1 t R1 R 2 t R1 x t 1 2 L L L
若令
1 t vC t , 2 t iL t , 1 t
d dt
vC t ,
2 t
d dt
iL t
is t
系统激励 系统输出
x t i S t
y1 t v t , y 2 t iC t
1 1 t C t R R2 2 1 L 1 C x t R1 L
0 t 1 1 2 t L
是一阶微分方程组，它描述了系统状态变量的一阶导数与状态变量和 激励的关系，称为状态方程；
iL t
1 L
vC t
R1 R2 L
iL t
R1
iS t
v t vC t R1iC t vC t R1iL t R1iS t iC t iL t iS t
y1 (t ) 1 y t y 2 (t ) 0
R1 1 t R1 x t 1 2 t 1
信号与系统
变量代表了 v C
t , i L t 电路的状态，称为状态变量
信号与系统
§ 7.1 系统的状态变量分析
信号与系统
状态变量和状态方程
§7.1 状态、状态变量和状态方程
上面的例子所对应的状态向量X是一个二维列向量，可以
认为它是由二个状态变量 iL，uC所组成的二维空间，这 空间称状态空间。
uC
对于由iL，uC所组成的二维空间,可以确
定一个iL,uC平面,当t 从0→变化时iL
从I0→iL，uC从U0→uC，这样就形成了
O
状态变量在状态空间中运动轨迹。
右图为欠阻尼情况 下的状态轨迹从t=0 到t=时为螺旋线。
过阻尼和欠阻尼情况，固有频率在s复平面的开左半平面， 状态轨迹在t=时到达原点，说明电路是渐近稳定的。
§7.1 状态、状态变量和状态方程
uC
无损耗情况下的状态轨迹是以原点为
对称的椭园。
若状态轨迹是中心在原点的椭园，则说
O
iL
明响应是等幅振荡的（固有频率在虚
轴上）
当固有频率位于 s 复平面的开右 半平面上，响应为增幅振荡，状 态轨迹是向外发散的，电路是不 稳定的。
uC
(I ,U ) 00
O
iL
§7.1 状态、状态变量和状态方程
若状态向量X是具有n个分量的n维列向量，则存在一个n维空间，
系数矩阵A就是 nn 阶矩阵，W为表示电源的m维列向量，B为
nm阶矩阵，X0表示初始状态，状态方程同样表示成
duC dt
1
[( C Ra Rb
Байду номын сангаас
1 Rc
)uC
Ra Rb
eS ]
§7.2 状态方程的建立
另外，若出现电容与理想电压源并联或电感与理想电 流源串联，则电容电压或电感电流将由外加电源电压 或外加电源电流所决定。因此，它们不能作为状态变 量，在这种情况下
《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
《状态方程方程》课件
复杂系统中的状态方程
复杂系统中的状态方程概述
复杂系统通常由大量相互作用的元素组成，其行为难以通过单个元素的行为来预测。复杂系统中的状态方程是描述系 统整体行为的重要工具。
复杂系统中的状态方程的数学形式
复杂系统中的状态方程通常由一组相互耦合的非线性微分方程或差分方程表示，描述了系统中各个元素的状态变化以 及它们之间的相互作用。
先确定有限元的划分，然后构 造每个有限元的近似函数，通 过变分原理得到有限元方程。
适用于具有复杂边界条件的偏 微分方程。
03
状态方程的实际应用
在流体力学中的应用
01
流体力学中的状态方程主要用 来描述流体的状态性质，如压 力、温度、密度等之间的关系 。
02
在流体力学中，状态方程是建 立流体动力学模型的基础，对 于流体流动的模拟、分析和优 化具有重要意义。
复杂系统中的状态方程的求解方法
求解复杂系统中的状态方程的方法有多种，如数值模拟、近似解析法、自适应算法等，具体方法的选择 取决于系统的具体形式和求解要求。
05
习题与思考题
基础习题
总结词
巩固知识点
详细描述
基础习题主要针对状态方程的基本概念、公式和计算方法进行练习，旨在帮助学生巩固所学知识点，提高解题能 力和计算准确性。
详细描述
将原方程中的偏微分项用离 散的差分近似，从而将偏微 分方程转化为离散的差分方 程进行求解。
步骤
先确定离散点，然后将原方 程中的偏微分项用离散的差 分近似，得到离散的差分方 程。
应用范围
适用于具有规则网格的偏微 分方程。
有限元法
总结词
详细描述
步骤
应用范围
一种基于变分原理的数值求解 方法
1第一节动态系统的状态变量和状态变量模型概论
一般说，系统的状态变量 x1(t), x2 (t),..., xn (t) 要满足下列两个
条件：ⅰ、在任意时刻 t0 ，这组变量的值完全确定系统在该时刻 的状态；ⅱ、当 t t0 的输入u(t)和初始状态 x1(t0 ), x2 (t0 ),..., xn (t0 )
给定时，系统未来时刻的状态可完全唯一的被确定下来。
Sunday, November 08, 2020
13
[线性系统动态方程的方块图]： 1、MIMO系统：
D
U
B
•
X X
A
2、SISO系统：
d
u
B
•
X X
A
C Y
X•
AX
BU
Y CX DU
y
C
X•
AX
Bu
y CX du
Sunday, November 08, 2020
14
小结
动态系统 状态、状态变量（向量）、状态方程和输出方程 状态变量的性质
最小变量组； 个数唯一，选择不唯一； 个数与系统独立储能元件个数同。
动态方程（状态空间表达式）的一般形式和方块 图表示
Sunday, November 08, 2020
15
Sunday, November 08, 2020
11
[动态方程的一般形式]：
X•
AX
BU
Y CX DU
式中：X [x1, x2 ,..., xn ]T
Y [ y1, y2 ,..., ym ]T U [u1, u2 ,..., ur ]T
分别表示n维、m维和r 维状态、输出和输入 列向量。
Sunday, November 08, 2020
7
条件：ⅰ、在任意时刻 t0 ，这组变量的值完全确定系统在该时刻 的状态；ⅱ、当 t t0 的输入u(t)和初始状态 x1(t0 ), x2 (t0 ),..., xn (t0 )
给定时，系统未来时刻的状态可完全唯一的被确定下来。
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[线性系统动态方程的方块图]： 1、MIMO系统：
D
U
B
•
X X
A
2、SISO系统：
d
u
B
•
X X
A
C Y
X•
AX
BU
Y CX DU
y
C
X•
AX
Bu
y CX du
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小结
动态系统 状态、状态变量（向量）、状态方程和输出方程 状态变量的性质
最小变量组； 个数唯一，选择不唯一； 个数与系统独立储能元件个数同。
动态方程（状态空间表达式）的一般形式和方块 图表示
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11
[动态方程的一般形式]：
X•
AX
BU
Y CX DU
式中：X [x1, x2 ,..., xn ]T
Y [ y1, y2 ,..., ym ]T U [u1, u2 ,..., ur ]T
分别表示n维、m维和r 维状态、输出和输入 列向量。
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7
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
信号与系统第五章
信号分配的作用。
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
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y
t
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x
t
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dy t
dt
a0
y
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dt
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x
t
信号与系统全套课件
滤波器设计和应用
滤波器的概念和分类
根据滤波器的频率响应特性，可分为低通、高通、带通和带阻滤 波器等。
滤波器设计方法
包括巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器等设计方法， 以及数字滤波器的设计等。
滤波器的应用
在通信、音频处理、图像处理等领域广泛应用，如信号去噪、平 滑处理、频率选择性传输等。
04 信号与系统复频域分析
状态变量分析法概述
1
状态变量分析法是一种基于系统内部状态变量描 述系统动态行为的方法。
2
它适用于线性时不变系统，可以方便地分析系统 的稳定性、能控性、能观性等重要特性。
3
状态变量分析法通过引入状态变量的概念，将高 阶微分方程转化为一阶微分方程组，从而简化系 统分析和设计的复杂性。
状态方程和输出方程建立
系统函数的性质
系统函数具有因果性、稳定性、频率 响应等性质，这些性质决定了系统的 基本特性和性能指标。
稳定性判据和稳态误差分析
稳定性判据
通过系统函数的极点分布来判断系统的 稳定性，常用的稳定性判据有劳斯判据 、奈奎斯特判据等。
VS
稳态误差分析
稳态误差是指系统对输入信号响应的稳态 分量与期望输出之间的差值，通过分析系 统函数和输入信号的特性，可以对系统的 稳态误差进行定量评估。
信号与系统全套课件
目 录
• 信号与系统基本概念 • 信号与系统时域分析 • 信号与系统频域分析 • 信号与系统复频域分析 • 离散时间信号与系统分析 • 状态变量分析法在信号与系统中的应用
01 信号与系统基本概念
信号定义与分类
信号定义
信号是传递信息的函数，它可以是时间的函数，也可以是其 他独立变量的函数。在信号处理中，通常将信号表示为时间 的函数，即s(t)。
第十章 状态方程PPT课件
10.1 状态变量和状态方程 10.2 状态方程的列写方法
用途：在时域内分析动态电路 线性动态电路的时域分析法：根据换路后的电路，在 时域中建立含待求量的一个一元n阶微分方程并求解此
状态变量法：根据换路后的电路，在时域中建立含状态
变量的n元一阶微分方程组（也称状态方程），并解此方
程组，再根据用状态变量和激励表示的输出方程来求电路
2020/10/13
4
二. 叠加法：替代定理＋线性叠加定理
用电压为 u C的电压源替代电路中的电容、用电流
为i L 的电流源替代电路中的电感；
求每个独立源单独作用时在电容中产生的电流和 电感中的电压； 应用线性叠加定理将各分量叠加即得到状态方程； 将状态方程整理成标准矩阵形式。
2020/10/13
20响20/应10/1的3 方法。
ห้องสมุดไป่ตู้
1
一. 状态变量
在任意瞬时都能与输入激励一起用一组线性代数方程来 确定电路全部响应的一组独立完备的变量。对于一个电路， 状态变量的选取不是唯一的，但在电路分析中，常取电容电 压和电感电流作为状态变量。
二. 状态方程
用来从已知的激励和初始状态求状态变量的一阶微分方程， 称为状态方程，它描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系。
2020/10/13
2
三. 输出方程
用来从已知的激励和状态变量求响应相量的代数方程，称 为输出方程。它描述了输出与状态变量和激励之间的关系。
iS
R1
R2
C
iL L
2020/10/13
3
一. 观察法
选所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量； 对接有独立电容的节点列写KCL方程，对含有独 立电感的回路列写KVL方程； 若第2)步所列的KCL和KVL方程中含有非状态变 量，则利用适当的KCL和KVL方程，将非状态变量 消去； 将状态方程整理成标准矩阵形式。
用途：在时域内分析动态电路 线性动态电路的时域分析法：根据换路后的电路，在 时域中建立含待求量的一个一元n阶微分方程并求解此
状态变量法：根据换路后的电路，在时域中建立含状态
变量的n元一阶微分方程组（也称状态方程），并解此方
程组，再根据用状态变量和激励表示的输出方程来求电路
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4
二. 叠加法：替代定理＋线性叠加定理
用电压为 u C的电压源替代电路中的电容、用电流
为i L 的电流源替代电路中的电感；
求每个独立源单独作用时在电容中产生的电流和 电感中的电压； 应用线性叠加定理将各分量叠加即得到状态方程； 将状态方程整理成标准矩阵形式。
2020/10/13
20响20/应10/1的3 方法。
ห้องสมุดไป่ตู้
1
一. 状态变量
在任意瞬时都能与输入激励一起用一组线性代数方程来 确定电路全部响应的一组独立完备的变量。对于一个电路， 状态变量的选取不是唯一的，但在电路分析中，常取电容电 压和电感电流作为状态变量。
二. 状态方程
用来从已知的激励和初始状态求状态变量的一阶微分方程， 称为状态方程，它描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系。
2020/10/13
2
三. 输出方程
用来从已知的激励和状态变量求响应相量的代数方程，称 为输出方程。它描述了输出与状态变量和激励之间的关系。
iS
R1
R2
C
iL L
2020/10/13
3
一. 观察法
选所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量； 对接有独立电容的节点列写KCL方程，对含有独 立电感的回路列写KVL方程； 若第2)步所列的KCL和KVL方程中含有非状态变 量，则利用适当的KCL和KVL方程，将非状态变量 消去； 将状态方程整理成标准矩阵形式。
信号与线性系统ppt课件
⑸ 深刻理解单位冲激响应h(t)的意义，并会求解。
⑹ 深刻理解卷积积分的定义、运算规律及主要性质，能会求解卷积积分。
⑺ 会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应rzs(t)。
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引 言 §2.2 系统方程的算子表示法 §2.3 系统的零输入响应 § 2.4 奇异函数 §2.5 信号的脉冲分解 §2.6 阶跃响应和冲激响应 §2.7 叠加积分 §2.8 卷积及其性质 §2.9 线性系统响应时域求解
零输入响应和零状态响应分量；
暂态响应分量和稳态响应分量。
2. 变换域法
系统方程为高阶微分方程或激励信号是较为复杂的函数，利 用时域法求解方程十分困难。为求解方程常采用变换域的方法。
即将自变量从时间变量变换为频率变量、复频率变量等. 如：傅氏变换、拉氏变化等
将求系统的微分方程转换求代数方程
零输入响应和零状态响应的求解
§2.1 引 言
系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。
连续时间系统的分析方法: 时域分析法;变换域分析法
连续时间系统的时域分析法：
在系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函 数自变量均为连续时间 t 的一种分析方法。
连续时间系统的变换域分析法：
为便于求解方程而将时间变量变换成其他变量。
绪论 第一章
连续时域 第二章
离散时域 第七章
信号分解 第三章
付氏变换 第四章
拉普拉斯 变换
第五章
系统函数 第六章
状态变量 第十一章
付氏变换 Z变换 第八~九章
基本概念引导
核心内容
应用和拓宽 加深部分
第二章 连续时间系统的时域分析
⑹ 深刻理解卷积积分的定义、运算规律及主要性质，能会求解卷积积分。
⑺ 会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应rzs(t)。
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引 言 §2.2 系统方程的算子表示法 §2.3 系统的零输入响应 § 2.4 奇异函数 §2.5 信号的脉冲分解 §2.6 阶跃响应和冲激响应 §2.7 叠加积分 §2.8 卷积及其性质 §2.9 线性系统响应时域求解
零输入响应和零状态响应分量；
暂态响应分量和稳态响应分量。
2. 变换域法
系统方程为高阶微分方程或激励信号是较为复杂的函数，利 用时域法求解方程十分困难。为求解方程常采用变换域的方法。
即将自变量从时间变量变换为频率变量、复频率变量等. 如：傅氏变换、拉氏变化等
将求系统的微分方程转换求代数方程
零输入响应和零状态响应的求解
§2.1 引 言
系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。
连续时间系统的分析方法: 时域分析法;变换域分析法
连续时间系统的时域分析法：
在系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函 数自变量均为连续时间 t 的一种分析方法。
连续时间系统的变换域分析法：
为便于求解方程而将时间变量变换成其他变量。
绪论 第一章
连续时域 第二章
离散时域 第七章
信号分解 第三章
付氏变换 第四章
拉普拉斯 变换
第五章
系统函数 第六章
状态变量 第十一章
付氏变换 Z变换 第八~九章
基本概念引导
核心内容
应用和拓宽 加深部分
第二章 连续时间系统的时域分析
信号与系统分析第9章 线性系统的状态变量分析
设iL 0 0, vC 0 0,
et Eut , R 2 L
则
C
i
L
t
E L
te0t
vC t E 1 e 0t 0t 1
0
1 LC
iL t
I Lmax
O 1 0
t
vC t
E
O
t
iL t
I Lmax t0
t 0 t 1 0
E vC t
用状态变量分析系统的优点:
... bn 2
... ... ...
...
bnm
f
m
•
x Ax Bf
3．输出方程
y1 c11 c12 ... c1n x1 d11 d12 ... d1m f1
y2
c21
c22
...
c2n
x2
d21
d22
...
d2m
f2
... .... ... ... ... ... .... ... ... ... ...
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算； (3)便于分析多输入－多输出系统； (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
9.2 连续时间系统状态方程的建立
1．状态变量的选取
对于一个电路,选择状态变量最常用的方 法时取全部独立的电感电流和独立的电 容电压. 状态变量的个数,等于系统的阶数.
3．状态方程的矢量表示
•
x1
a11
a12
...
a1n x1 b11
b12
... b1m f1
状态、状态变量、状态空间、状态方程和动态方程
系统输入U(t)以及时间t的关系的方程就称作系统的输出方程,
如式(2-2)所示。
其中,G=(g1,g2,…,gm ),G 是一个函数矢量。
第2章 状态空间分析法
在现代控制理论中,用系统的状态方程和输出方程来描
述系统的动态行为,状态方程和输出方程合起来称作系统的
状态空间表达式或动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况,一般控制系统可以分
取每个积分器的输出端信号为状态变量x1 和x2,积分器的输
入端即ሶ 1 和ሶ 2,从图可得系统状态方程:
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-6 求如图2-10(a)所示系统的动态方程。
图2-10 方块图
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
2.4 由系统的微分方程或传递函数求其动态方程
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-2-电路如图2-6所示。以ei 作为系统的控制输入u(t),
eo 作为系统输出y(t)。建立系统的动态方程。
图2-6 RLC 电路
第2章 状态空间分析法
解 该RLC 电路有两个独立的储能元件L 和C,我们可以
取电容C 两端电压和流过电感L 的电流作为系统的两个状态
性,因此会产生一定程度上的结构差异,这也会导致动态方程
差异的产生;从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问
题,更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生,因而也产生
了不同的动态方程。所以说系统动态方程是不唯一的。
第2章 状态空间分析法
例如图2-11所示的传递函数的直接法实现,按照图上所
示各状态变量的取法,我们有式(2-24)所示动态方程。如果将
如式(2-2)所示。
其中,G=(g1,g2,…,gm ),G 是一个函数矢量。
第2章 状态空间分析法
在现代控制理论中,用系统的状态方程和输出方程来描
述系统的动态行为,状态方程和输出方程合起来称作系统的
状态空间表达式或动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况,一般控制系统可以分
取每个积分器的输出端信号为状态变量x1 和x2,积分器的输
入端即ሶ 1 和ሶ 2,从图可得系统状态方程:
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-6 求如图2-10(a)所示系统的动态方程。
图2-10 方块图
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
2.4 由系统的微分方程或传递函数求其动态方程
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
第2章 状态空间分析法
例2-2-电路如图2-6所示。以ei 作为系统的控制输入u(t),
eo 作为系统输出y(t)。建立系统的动态方程。
图2-6 RLC 电路
第2章 状态空间分析法
解 该RLC 电路有两个独立的储能元件L 和C,我们可以
取电容C 两端电压和流过电感L 的电流作为系统的两个状态
性,因此会产生一定程度上的结构差异,这也会导致动态方程
差异的产生;从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问
题,更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生,因而也产生
了不同的动态方程。所以说系统动态方程是不唯一的。
第2章 状态空间分析法
例如图2-11所示的传递函数的直接法实现,按照图上所
示各状态变量的取法,我们有式(2-24)所示动态方程。如果将
第7章系统的状态变量分析ppt课件
7.2 连续时间系统状态方程的建立
7.2.1 根据电路图列写状态方程 对于纯正电路，其状态方程直观列写的一般步骤是： （1）选所有独立电容电压和独立电感电流作为状态
变量； （2）为保证所列出的状态方程等号左端只为一个状
态变量的一阶导数，必须对每一个独立电容写出只含此 独立电容电压一阶导数在内的节点（割集）KCL方程， 对每一个独立电感写出只含此电感电流一阶导数在内的 回路KVL方程；
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
（3）若第（2）步所列出KCL、KVL方程中含有非 状态变量，则利用适当的节点KCL方程和回路KVL方 程，将非状态变量消去；
（4）将列出的状态方程整理成式（7―3）的矩阵 标准形式。
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
例7―1 写出图7.3所示电路的状态方程，若以电流 iC和电压u为输出，列出输出方程。
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
1 a111 a122 a1nn b11 f1 b12 f2 b1m fm 2 a211 a222 a2nn b21 f1 b22 f2 b2m fm n an11 an22 annn bn1 f1 bn2 f2 bnm fm
a2
－ － － a1
a0
图7.5 例7―2系统的模拟框图 《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
解 选择各积分器的输出为状态变量，从右边到 左边依次取为λ1(t)、λ2(t)和λ3(t)，如图所示。根据各 积分器输入―输出和加法器的关系，可写出状态方程 为
1(t) 2 (t) 2 (t) 3(t) 3(t) a01(t) a12 (t) a23(t) f (t) y(t) b01(t) b12 (t) b23(t)
7.2.1 根据电路图列写状态方程 对于纯正电路，其状态方程直观列写的一般步骤是： （1）选所有独立电容电压和独立电感电流作为状态
变量； （2）为保证所列出的状态方程等号左端只为一个状
态变量的一阶导数，必须对每一个独立电容写出只含此 独立电容电压一阶导数在内的节点（割集）KCL方程， 对每一个独立电感写出只含此电感电流一阶导数在内的 回路KVL方程；
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
（3）若第（2）步所列出KCL、KVL方程中含有非 状态变量，则利用适当的节点KCL方程和回路KVL方 程，将非状态变量消去；
（4）将列出的状态方程整理成式（7―3）的矩阵 标准形式。
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
例7―1 写出图7.3所示电路的状态方程，若以电流 iC和电压u为输出，列出输出方程。
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
1 a111 a122 a1nn b11 f1 b12 f2 b1m fm 2 a211 a222 a2nn b21 f1 b22 f2 b2m fm n an11 an22 annn bn1 f1 bn2 f2 bnm fm
a2
－ － － a1
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图7.5 例7―2系统的模拟框图 《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
解 选择各积分器的输出为状态变量，从右边到 左边依次取为λ1(t)、λ2(t)和λ3(t)，如图所示。根据各 积分器输入―输出和加法器的关系，可写出状态方程 为
1(t) 2 (t) 2 (t) 3(t) 3(t) a01(t) a12 (t) a23(t) f (t) y(t) b01(t) b12 (t) b23(t)
信号与系统课件
例1
0-和0+初始值举例 和 初始值举例1 初始值举例
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。 已知 ， ， ， 和 。 解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 将输入 代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 1） （1） 利用系数匹配法分析 上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 分析： 也成立， 利用系数匹配法分析：上式对于 也成立 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 项的系数应相等。 区间等号两端 项的系数应相等 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而 应包含冲激函数， 由于等号右端为 ， 应包含冲激函数 y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 在 处将发生跃变， 。 处将发生跃变 不含冲激函数， 将含有δ’(t)项。由于 但y’(t)不含冲激函数，否则 不含冲激函数 否则y”(t)将含有 将含有 项 y’(t)中不含 中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 处是连续的。 中不含 ， 在 处是连续的 ■ ▲ 第 24 页 y(0+) = y(0-) = 2 故 第 24 页
例1
例2
当微分方程右端含有冲激函数时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。 否则不会跃变。
三.零输入响应和零状态响应 零输入响应和零状态响应
y(t) = yzi(t) + yzs(t) ,也可以分别用经典法求解。 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yzi(j)(0+), yzs(j)(0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计 算。 y(j)(0-)= yzi(j)(0-)+ yzs(j)(0-) y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+) 对于零输入响应，由于激励为零，故有 yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yzs(j)(0-)=0 yzs(j)(0+)的求法下面举例说明。
《信号与系统说课》课件
2023
PART 02
信号的基本概念
REPORTING
信号的定义
总结词
信号是传输信息的媒介，它可以是电信号、光信号、声信号等。
详细描述
信号是用来传输信息的媒介，它可以由各种物理量来表示，如电压、电流、光 强、声音等。这些物理量在不同的时间和空间中变化，从而携带信息。
信号的分类
总结词
信号可以根据不同的特性进行分类，如连续信号和离 散信号、确定信号和随机信号等。
了解信号与系统在通信、雷达 、图像处理等领域的应用。
课程内容
信号的基本概念、性质和 分类。
信号的时域和频域表示方 法。
傅里叶变换及其性质，包 括频谱分析和调制解调等 。
信号与系统在通信、雷达 、图像处理等领域的应用 案例分析。
线性时不变系统的基本理 论和系统分析方法，包括 系统函数、稳定性分析等 。
2023
REPORTING
《信号与系统说课》 ppt课件
2023
目录
• 课程介绍 • 信号的基本概念 • 系统的基本概念 • 信号与系统的关系 • 信号与系统的应用 • 课程总结与展望
2023
PART 01
课程介绍
REPORTING
课程背景
信号与系统是通信、电子、计算机等相关专业的核心课程，具有广泛的应用背景。
2023
PART 03
系统的基本概念
REPORTING
系统的定义
总结词
系统是由相互关联、相互作用的元素 组成的具有一定结构和功能的整体。
详细描述
系统可以是一个物体、一个过程或者 一个抽象的概念，它由多个部分组成 ，这些部分之间相互作用、相互依赖 ，共同实现系统的整体功能。
信号与系统_张华清_第八章系统的状态变量分析
其特征根 1 2 2 是二重根。
齐次解的函数表达式为：
yh (k) (C1k C2 )(2)k， k 0
在特征根是共轭复根的情况下，齐次解的形式可以是等 幅、增幅或衰减等形式的正弦（或余弦）序列。
假设 1, 2 e j 是一对共轭复根，则在齐次解中，相
应部分齐次解为： C1 cos(k) C2 sin(k) k
k
例3.2-5
信号与系统 第三章例题
例3.2-5 已知某线性时不变离散系统的差分方程如下式所示，
试写出其齐次解的函数形式。
y(k) 4y(k 1) 4y(k 2) e(k) 3e(k 1)
解
此差分方程所对应的特征方程为
2 4 4 0 ( 2)2 0
法。
离散系统的数学模型为差分方程，所谓离散系统的时域 分析，就是在时间域（简称时域）中求解差分方程，以及求 解系统的单位序列响应、阶跃响应等。
求解差分方程与求解微分方程有许多相似之处，其经典 解法的全解也可分为齐次解和特解。
离散系统按照响应的不同来源也可分为零输入响应和零 状态响应；求零状态响应也可利用卷积计算求解。
其特征根为： 1 2，2 3 则其齐次解可写为： yh (k) C1(2)k C2 (3)k， k 0
将 y(0) = 1， y(1) = 0，代入上式，可得
C1 C2 1 2C1 3C2
0
C1 C2
3 2
所以
yh (k) 3(2)k 2(3)k， k 0
解
此齐次差分方程所对应的特征方程为
4 23 22 2 1 0 ( 1)2 (2 1) 0
状态变量与状态方程
1 L1
uC
R1 L1
iL1
1 L1
uS1
d iL2 dt
1 L2
uC
R2 L2
iL2
1 L2
uS
2
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。
若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。
对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。
说明： （1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入 的线性组合； （2）状态变量应线性独立；
（3）状态变量的选择并不是唯一的 。
▲
■
第6页
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。
iL2
1 L2
uS
2
一组代数方程
状态与状态变量的定义
系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。
状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。
▲
■
第5页
在初始时刻的值称为初始状态。
第八章 系统的状态变量分析
前面几章的分析方法称为外部法，它强调用系统 的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。 其特点： （1）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系 统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。
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▲ ■ 第 10 页
Байду номын сангаас
▲ ■ 第 9页
矩阵形式
状态方程
输出方程
(t ) Ax (t ) Bf (t ) x y (t ) Cx (t ) Df (t )
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵
注：1、A、B、C、D均为时间t的函数，对于LTI系统，则为 常数，不随时间t改变。 2、状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程 的建立。通常，选动态元件的输出为状态变量
状态与状态变量的定义 系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。 状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。
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在初始时刻的值称为初始状态。 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。 说明： （1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入 的线性组合； （2）状态变量应线性独立； （3）状态变量的选择并不是唯一的 。
▲
■
第 6页
状态空间的提出与卡尔曼
• 状态方程的系数为n×n阶矩阵，且其行列 式不为0，即R(A)为满秩。 • 状态空间 • 系统状态可用状态空间中的点来表示 • 卡尔曼与卡尔曼过滤器 • 状态空间可用于线性时变系统
▲
■
第 7页
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
▲ ■ 第 8页
动态方程的一般形式
n阶多输入-多输出LTI 连续系统，如图 。 其状态方程和输出方程为
f1(t) f2(t) ┇ fp(t)
{xi(t0)}
y1(t) y2(t) ┇
yq(t)
1 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b11 f1 b12 f 2 b1 p f p x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b21 f1 b22 f 2 b2 p f p x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn1 f1 bn 2 f 2 bnp f p x
R1
从一个电路系统实例引入 a iL1 L1 R2 a iL2 L2
iC uC u us2
us1
d u 1 1 du C C iL1 iL 2 C iL 2 iL1 0 dt C C dt d iL1 1 R1 1 d iL1 uC iL1 u S 1 R1iL1 L1 uC u S 1 0 dt L1 L1 L1 dt d iL 2 1 R2 1 d iL 2 uC iL 2 u S 2 L2 R2iL 2 u S 2 uC 0 dt L2 L2 L2 dt
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。
▲ ■ 第 4页
系统的输出容易地由三 个内部变量和激励求出：
d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R 1 uC 1 iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R 1 uC 2 iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2
u (t ) R2 i L 2 (t ) u S 2 (t ) 一组代数方程 iC (t ) i L1 (t ) i L 2 (t )
本章将介绍的内部法——状态变量法是用n个状态 变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系 统。 优点有： （1）提供系统的内部特性以便研究。 （2）便于分析多输入多输出系统； （3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用 于时变系统和非线性系统。
▲
■
第 2页
§8.1 状态变量与状态方程
一、状态与状态变量的概念 以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。 这时可列出方程
第八章
系统的状态变量分析
前面几章的分析方法称为外部法，它强调用系统 的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。 其特点： （1）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系 统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。
■
第 1页
内部法——状态变量法
y1 c11 x1 c12 x 2 c1n x n d11 f1 d12 f 2 d1 p f p y 2 c 21 x1 c 22 x 2 c 2n x n d 21 f1 d 22 f 2 d 2 p f p y q c q1 x1 c q 2 x 2 c qn x n d q1 f1 d q 2 f 2 d qp f p
▲ ■ 第 3页
R1 iL1
L1
a iL2 L2 iC u
R2
us1
uC
us2
d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R 1 uC 1 iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R 1 uC 2 iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2
Байду номын сангаас
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矩阵形式
状态方程
输出方程
(t ) Ax (t ) Bf (t ) x y (t ) Cx (t ) Df (t )
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵
注：1、A、B、C、D均为时间t的函数，对于LTI系统，则为 常数，不随时间t改变。 2、状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程 的建立。通常，选动态元件的输出为状态变量
状态与状态变量的定义 系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。 状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。
▲ ■ 第 5页
在初始时刻的值称为初始状态。 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。 说明： （1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入 的线性组合； （2）状态变量应线性独立； （3）状态变量的选择并不是唯一的 。
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第 6页
状态空间的提出与卡尔曼
• 状态方程的系数为n×n阶矩阵，且其行列 式不为0，即R(A)为满秩。 • 状态空间 • 系统状态可用状态空间中的点来表示 • 卡尔曼与卡尔曼过滤器 • 状态空间可用于线性时变系统
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二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
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动态方程的一般形式
n阶多输入-多输出LTI 连续系统，如图 。 其状态方程和输出方程为
f1(t) f2(t) ┇ fp(t)
{xi(t0)}
y1(t) y2(t) ┇
yq(t)
1 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b11 f1 b12 f 2 b1 p f p x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b21 f1 b22 f 2 b2 p f p x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn1 f1 bn 2 f 2 bnp f p x
R1
从一个电路系统实例引入 a iL1 L1 R2 a iL2 L2
iC uC u us2
us1
d u 1 1 du C C iL1 iL 2 C iL 2 iL1 0 dt C C dt d iL1 1 R1 1 d iL1 uC iL1 u S 1 R1iL1 L1 uC u S 1 0 dt L1 L1 L1 dt d iL 2 1 R2 1 d iL 2 uC iL 2 u S 2 L2 R2iL 2 u S 2 uC 0 dt L2 L2 L2 dt
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。
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系统的输出容易地由三 个内部变量和激励求出：
d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R 1 uC 1 iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R 1 uC 2 iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2
u (t ) R2 i L 2 (t ) u S 2 (t ) 一组代数方程 iC (t ) i L1 (t ) i L 2 (t )
本章将介绍的内部法——状态变量法是用n个状态 变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系 统。 优点有： （1）提供系统的内部特性以便研究。 （2）便于分析多输入多输出系统； （3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用 于时变系统和非线性系统。
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第 2页
§8.1 状态变量与状态方程
一、状态与状态变量的概念 以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。 这时可列出方程
第八章
系统的状态变量分析
前面几章的分析方法称为外部法，它强调用系统 的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。 其特点： （1）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系 统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。
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第 1页
内部法——状态变量法
y1 c11 x1 c12 x 2 c1n x n d11 f1 d12 f 2 d1 p f p y 2 c 21 x1 c 22 x 2 c 2n x n d 21 f1 d 22 f 2 d 2 p f p y q c q1 x1 c q 2 x 2 c qn x n d q1 f1 d q 2 f 2 d qp f p
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R1 iL1
L1
a iL2 L2 iC u
R2
us1
uC
us2
d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R 1 uC 1 iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R 1 uC 2 iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2