高考数学(四海八荒易错集)专题14 直线和圆 理

专题14 直线和圆

1．已知圆M ：x 2

＋y 2

－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2

＋(y －1)2

＝1的位置关系是( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 答案 B

解析 ∵圆M ：x 2

＋(y －a )2

＝a 2

， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，

2．已知点A (2，3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．[3

4

，2]

B ．(－∞，3

4

]∪[2，＋∞)

C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)

D ．[1,2]

答案 B

解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过点P (1,1)，

k PA ＝

3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝3

4

； 若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，结合图象(图略)得k ≤3

4

或k ≥2，故选B.

3．若方程(x －2cos θ)2

＋(y －2sin θ)2

＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x ，y )都满足不等式y ≥

3

3

x ，则θ的取值范围是( )

A ．[π6，7π6]

B ．[5π12，

13π12]

C ．[π

2，π]

D ．[π

3

，π]

答案 D

解析 根据题意可得，方程(x －2cos θ)2

＋(y －2sin θ)2

＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x ，y )都满足不等式y ≥

33x ，表示方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)在y ＝3

3

x 的左上方(包括相切)， ∴⎩⎪⎨

⎪⎧

|2sin θ－

3

3

×2cos θ|1＋13

≥1，

2sin θ>33

×2cos θ，

∴sin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π6≥12，∵0≤θ<2π，∴θ∈[π3，π]，故选D. 4．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y

取得最小值时，过点P 引圆(x －12)2＋(y ＋14)2＝12的

切线，则此切线段的长度为________． 答案

6

2

解析 由题意可知，

5．已知a ∈R ，方程a 2x 2

＋(a ＋2)y 2

＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______________．半径是________．

答案 (－2，－4) 5

解析 由已知方程表示圆，则a 2

＝a ＋2，

解得a ＝2或a ＝－1.

当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2

＋y 2

＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2

＋(y ＋4)2

＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．

6．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2

＋y 2

－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________． 答案 4π

解析 圆C ：x 2

＋y 2

－2ay －2＝0，即C ：x 2

＋(y －a )2

＝a 2

＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，

解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.

7．已知以点C (t ，2

t

)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．

(1)求证：△OAB 的面积为定值；

(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． (1)证明 由题意知圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2

＋4t

2.

则圆C 的方程为(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2

＋4t

2，

令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4

t

；

令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .

故S △OAB ＝12|OA |×|OB |＝12×|2t |×|4

t |＝4，

即△OAB 的面积为定值．

(2)解 ∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN .

∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝1

2

x ，

线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意，应舍去． 综上，圆C 的方程为(x －2)2

＋(y －1)2

＝5.

易错起源1、直线的方程及应用

例1、(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5

D ．1或2

(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－1

2

B.1

2或－6 C ．－12或12

D ．0或1

2

答案 (1)C (2)B

【变式探究】已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为( ) A ．1

B ．2