人教A版高中数学必修五1.2 应用举例1.2.3 精讲优练课型

面积为__________.
3 54
【解题探究】1.典例1中，由三角形的面积及AB，AC的
值可以求出何值？求BC的值采用哪个定理？
提示：由三角形的面积及AB，AC的值可利用S△ABC=
AB·AC·sinA=10 ，求出A.求BC的值可采用余
1 弦2定理.
3
2.典例2中，求△ABC的面积的思路是什么？
cos A 2 5 , 则△ABC的面积为__________. 2 5 AB AC 3
2.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，
已知c=2，C= . (1)若△ABC的面积3 等于 ，求a，b. (2)若sinC+sin(B-A)=2si3n2A，求△ABC的面积.
【解题探究】1.典例1中，求三角形面积的关键是什么？
AB AC
bcsinA=2.
答案：2 2
2.由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4.
(1)因为△ABC的面积等于 ，所以 a1bsinC= ，得
ab=4，
3
2
3
联立方程组
解得a=2，b=2.
a2 b2 ab 4，
ab 4，
(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA，
第3课时 三角形中的几何计算
【知识提炼】
三角形面积的常用公式
(1)S= 1 a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S= 2 absinC= bcsinA= casinB.
1
1
1
(3)S= 2 r(a+b+c)2(r为三角形2 内切圆半径).
1
2
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？ 提示：适用.三角形的面积公式对任意的三角形都成立.
3 AC=3 ，点D在BC边上，AD=BD，求A4D的长.
2
【解题探究】1.典例1中，求AC长度的思路是什么？ 提示：首先根据正弦定理可求出∠BDA的大小，从而能 够结合角平分线判断出三角形为等腰三角形，再利用 余弦定理可求出AC的值. 2.典例2中，求AD长度的思路是什么？ 提示：先用余弦定理求出BC的长，再利用余弦定理求 出AD的长.
2 c 所以1 S△AB2C=
2 bcsinA=
2 sin ×2×2
6
c sin
sin
4
，
2 21 2
1 2
2 7 3 1. 12
2.已知在△ABC中，AB=3，BC= ，AC=4，则AC边上的 13
高为__________.
【解析】设AC边上的高为h，由余弦定理知
cosB=32 ( 13)2 42 13，
即sinBcosA=2sinAcosA.
当cosA=0时， A
，B
，a
4
3，b 2
3.
当cosA≠0时，得2 sinB=6 2sinA3，
3
由正弦定理得b=2a，联立方程组
a2 b2 ab 4，
b
2a，
解得 a 2 3，b 4 3 .
所以△ABC3的面积S3=1 absinC=2 3 .
2.处理三角形问题时常用公式
(1)l=a+b+c(l为三角形的周长).
(2)A+B+C=π.
(3)S= aha(a为BC的边长，ha为BC边上的高). 1 2
(4)S= abc (R是三角形外接圆的半径). 4R
(5)S=2R2sinAsinBsinC(R是三角形外接圆的半径).
(6)海伦公式：S=
1
2.
2
2
3.已知锐角△ABC的面积为3 ，BC=4，CA=3，则角C 3
的大小为( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
【解析】选B.由 ×BC×ACsinC=3 ，得 ×4
1
1
×3sinC= ，所以2 sinC= .所以C=360°或1220°.
又△ABC是3锐3角三角形，所以3C=60°. 2
(2)由sinC+sin(B-A)=2sin2A，结合两角和与差的正 弦公式及倍角公式，可得sinBcosA=2sinAcosA.
【解析】1.因为 cos A ，2 所5 以cosA= 2cos2 A 1 3，
25
25
则sinA=4 .又由 =3，得bccosA=3，所以bc=5，
所以S△AB5C=1
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=2+2-2× × ×
( )=6， 所以12 AC= .
22
答案： 6
6
2.在△ABC中，由余弦定理得，
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=
62+(3 )2-2×6×3 ×cos =90，
3
所以BC2=3 ，
2
4
10
在△ABD中，设∠ADB=θ，则∠ADC=180°-θ， 设AD=x，则BD=x，DC=3 -x，由余弦定理得：
4.边长为4的等边三角形的面积为__________.
【解析】S=1 ×4×4sin60°=4 .
答案：4 2
3
3
【知识探究】 知识点 三角形面积公式 观察图形，回答下列问题：
问题1：若AB=c，AC=b，BC=a，你发现△ABC的面积S可 以直接用a，b，c表示吗？ 问题2：运用三角形面积公式时应注意哪些问题？
(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？ 提示：能.利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角， 再根据面积公式求解.
2.在△ABC中，∠A=45°，AB=1，AC=2，则S△ABC的值 为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D.2 3
【解2 析】选B2.S△ABC= A2 B·ACsinA=
所以sinB2=3 13 13
2 所以S△ABC=
39 13
，
又S△ABC= ×124×3h，13所 2以13329h=3 3.，所以
答案： 1 2
33
h3 3.
2
33
2
类型二 与三角形中线段长度有关的计算问题
【典例】1.(2015·重庆高考)在△ABC中，B=120°，
AB= ，A的角平分线AD= ，则AC=__________. 2.(20215·安徽高考)在△AB3C中，A= ，AB=6，
4 311 3 3 3. 7 2 7 2 14
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD=AB
sinBAD
8=33，3所以BC=BD+CD=5. 14
sinADB 4 3
在△ABC中，由余弦定7 理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB
=82+52-2×8×5× =49.
所以AC=7.
1
2
类型三 三角形中的综合问题 【典例】1.(2015·唐山高二检测)在△ABC中，角A，B， C所对的边分别为a，b，c，且满足
提示：解答本题可先求出sinA，再用正弦定理求出AB，
再利用S△ABC=
·BC·AB·sinB，求△ABC的面积. 1
2
【解析】1.由S△ABC= 1×5×8×sinA=10 3， 2
得sinA= 3.因为A为锐角，所以A=60°， 由余弦定理2 得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°
【变式训练】a，b，c分别是锐角△ABC的内角A，B，C
的对边，向量p=(2-2sinA，cosA+sinA)，q=(sinA-
cosA，1+sinA)，且p∥q，已知a= ，△ABC面积
【补偿训练】1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，已知b=2，B= ，C= ，则△ABC的面积为( )
6
4
A.2 3 2 B. 3 1 C.2 3 2 D. 3 1
【解析】选B.因为B= ，C= ，所以A=π-B-C=π- -
6
4
64
=7 .
由1正2 弦定理
，得
即
，所以sinbcB=2sinc.C
=25+64-2×5×8× =49.
1
所以BC=7.
2
答案：7
2.因为cosB=3 ，所以sinB=4 .
5
5
sinA=sin(π-B-C)= sin(
3
B)
=sin cosB-cos sinB4
3
3
23
247
2.
由正弦4定理得 4 ，得AB=2 5 2 5 10
所以S△ABC= ·siBBnCCA· sAAinBBC·sinB= ×1702. ×
2
△ABC的外接圆的面积为S=πR2=2(
5 2. 7
)2π= π.
52
50
7
49
Hale Waihona Puke Baidu
2.(变换条件)若将典例2中条件“C= ，BC=2”变为 “cosA=- 5 ，BC=5”，其他条件不变4 ，试求△ABC的 面积. 13
【解析】由cosA=-5 ，得sinA= 1 cos2A 12 .
13
13
【解析】1.在△ABD中，由正弦定理可知
AD 即AB , sin 120 sinBDA
3 2 ， 3 sinBDA
所以sin∠BDA= ，即2∠BDA=45°， 2
所以∠BAD=15°2，
又因为AD为角A的平分线，
所以∠BAC=30°，∠BCA=30°，即AB=BC2= ， 在△ABC中，由余弦定理可知
答案： 1 2
1
10 4 8 .
2
757
8
7
【延伸探究】 1.(改变问法)若典例2的条件不变，求△ABC的外接圆 的面积是多少？
【解析】设△ABC的外接圆的半径为R，
由正弦定理可知 BC =A2BR， sin A sin C
由典例解析知AB= ，C= ，即 10 =2R，解得R=
10
7
74
，其中p= (a+b+c).
1
p(p a)(p b)(p c)
2
【题型探究】
类型一 与三角形面积有关的计算问题
【典例】1.(2015·福建高考)若锐角△ABC的面积为
10 ，且AB=5，AC=8，则BC等于__________.
2.已3知△ABC中，若cosB= ，C= ，BC=2，则△ABC的
1
13 1
13 16 8.
2
2
3 65 3
【方法技巧】三角形面积计算的解题思路
对于此类问题，一般用公式S= 1 absinC= 1 bcsinA= acsinB进行求解，可分为以下2 两种情况2：
1 (21)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他
途径构造三角形，转化为求三角形的面积.
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理 求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解.
由cosB=3 ，得sinB=4
.
所以sinC5=sin(A+B)=5 sinAcosB+cosAsinB
12 3 5 4 36 20 16 ( ) . 由 所1正以3 弦S5△定ABC理=13得·A5CB=CB6·5CsinAsi6AnC5B·6s55i1n2C54 = 133×，5×
【变式训练】如图，在△ABC中，∠B= ，AB=8，点D 3
在BC边上，且CD=2，cos∠ADC= 1 . 7
(1)求sin∠BAD. (2)求BD，AC的长.
【解析】(1)在△ADC中，因为cos∠ADC=1 ， 7
所以sin∠ADC=4 3， 所以sin∠BAD=s7in(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB
提示：由条件
，利用cosA=2cos2 -1求出
sinA的值.
cos A 2 5
A
25
2
2.典例2中，(1)中如何求a，b的值？(2)由条件 sinC+sin(B-A)=2sin2A可得出怎样的结论？ 提示：(1)利用余弦定理得出a2+b2-ab=4，再由 △ABC的面积等于 ，得出ab=4，联立关于a，b的方 程组，得到a，3 b的值.
【总结提升】 1.运用三角形面积公式时应注意的问题 (1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数 的有关公式. (2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、 余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵 活运用公式.
(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三 角形面积的和.
10 AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cosθ， 即36=2x2-2x2cosθ ① AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos(180°-θ)， 即18=x2+(3 -x)2+2x·(3 -x)·cosθ ② 由①②解得x1=0 ，即AD= 10.
10
10
【方法技巧】三角形中几何计算问题的解题要点及关 键 (1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点， 善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形， 一般问题便能很快解决. (2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐 蔽的几何条件.
2
3
【方法技巧】解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定 理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一 起，要注意选择合适的方法、知识进行求解.
(2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识 综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识 “翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正 弦或余弦定理求解.