2-3连续型随机变量的分布

人教版高数选修2-3第4讲：随机变量及其概率分布(学生版)

随机变量及其概率分布__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解随机变量的概念.2.熟练掌握随机变量的概率分布及其性质.3.能熟练应用两点分布.4.能熟练运用超几何分布.1.随机变量: 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做______________，通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母,,ξηζ)等表示，而用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示随机变量取的可能值.注意:(1)一般地，一个试验如果满足下列条件：i)试验可以在相同的情形下重复进行；ii)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试验，为了方便起见，也简称试验.(2)所谓随机变量，即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f (x )的自变量是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果.(3)一般情况下，我们所说的随机变量有以下两种：如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量.如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.(4)离散型随机变量和连续型随机变量的区别：离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果，但二者之间又有着根本的区别：对于离散型随机变量来说，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值，按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举.2.随机变量的概率分布一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是12,,,,n x x x L 且()i P X x ==,1,2,3,,i p i n =L ①，则称①为随机变量X 的概率分布列.3.随机变量概率分布的性质(1)对于随机变量的研究，我们不仅要知道随机变量取哪些值，随机变量所取的值表示的随机试验的结果，而且需要进一步了解随机变量：取这些值的概率.(2)随机事件A 的概率满足0≤P (A )≤1，必然事件U 的概率P (U )=1.若离散型随机变量X 所有可能取的值为12,,,.n x x x L X 取每一个值i x (i =1，2，…，n )的概率为(),i i P X x p ==○1_______________○2________________________.不满足上述两条性质的分布列一定是错误的，即分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件.(3)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.4.两点分布其中0<p <1，q =1-p ，则称随机变量X 服从参数为p 的两点分布.(1两点分布又称0-1分布.(2)两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩券是否中奖、买回的一件产品是否为正品、新生婴儿的性别、投篮是否命中等等，都可用两点分布来研究.5.超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称随机变量X 服从超几何分布.类型一.随机变量及其概率分布例1：下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ；②一个沿直线y =x 进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ；④1天内的温度.η其中是离散型随机变量的是( ) A.①② B.③④ C ①③ D.②④例2：(1)从一个装有编号为1到10的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X ； (2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X ；练习1：写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X .练习2：一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5，从袋中同时取3个球，用ξ表示取出的3个球中的最大号码，写出随机变量ξ的概率分布.类型二.随机概率分布的性质例3：判断下列表格是否是随机变量的概率分布.类型三.两点分布例4：设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则(0)P ξ=等于( )A.0B.12C.13D.23练习1：在抛掷一枚硬币的随机试验中，令1,0,X ⎧=⎨⎩正面向上正面向下；.如果正面向上的概率为p ；试写出随机变量X 的概率分布表.类型四.随机变量的概率分布性质的应用例5：设随机变量ξ的概率分布为()5kp ξ==ak (k =1，2，3，4，5). (1)求常数a 的值； (2)求3();5P ξ≥(3)求17().1010P ξ<<练习1：袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止.求取球次数X 的概率分布表.类型五.超几何分布例6：设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽取20件，求抽到次品件数ξ的分布表.练习1：在20件产品中，有15件是一级品，5件是二级品，从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？1.抛掷2颗骰子,如果将所得点数之和记为,ξ那么ξ=4表示的随机试验结果是( ) A .2颗都是4点 B .1颗是1点,另1颗是3点C .2颗都是2点D .1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点2.随机变量1ξ是1个无线寻呼台1min 内接到的寻呼次数;随机变量2ξ是某工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径间的尺寸误差;随机变量3ξ是测量1名学生身高所得的数值(精确到1cm );随机变量4ξ是1个沿数轴进行随机运动的质点的坐标,那么这4个随机变量中,离散型随机变量的个数是( )A .1B .2C .3D .4３.命题p :离散型随机变量只能取有限个值;命题q :只能取有限个值的随机变量是离散型随机变量;命题r :连续型随机变量可以取某一区间内的一切值;命题s :可以取某一区间内的一切值的随机变量是连续型随机变量,这四个命题中真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4４.已知随机变量ξ的分布列为1(),2k P k k ξ===1,2,3,,,(24)n P ξ<≤L 则=( ) A.316B.14C.116 D.516５.下列变量中，不是随机变量的是( ) A.某人投篮6次投中的次数 B.某日上证收盘指数 C.标准大气压下，水沸腾时的温度 D.某人早晨在车站等出租车的时间 6.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3 个，那么至少有一个是一等品的概率是( )A.12164320C C C B.22164320C C C C.21316416320C C C C ⋅+ D.以上均不对 7.在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于46781015C C C 的是( )A.(2)P ξ=B.(2)P ξ≤C.(4)P ξ=D.(4)P ξ≤8.如果随机变量ξ的分布列(),1,10k P k k ξ===2,3,4,那么15()22P ξ≤≤=______.__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________基础巩固1.如果ξ是一个离散型随机变量，那么下列命题中不正确的是( ) A.ξ取每个可能值的概率都是非负实数 B.ξ取所有可能值的概率之和为1C.ξ取在某一范围内的值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和D.ξ取在某一范围内的值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2.袋中有完全相同的5个钢球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为ξ，则ξ所有可能取值的个数是()A.25B.10C.7D.63.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于()A.恰有1个是坏的的概率B.恰有2个是好的的概率C.4个全是好的的概率D.至多有2个是坏的的概率4.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是()A.都不是一等品B.恰有1件一等品C.至少有1件一等品D.至多有1件一等品5.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：则q等于()A．1 B．1±22C．1－22D．1＋22６.抛掷两枚骰子，所得点数之和记为,ξ那么5ξ=表示的随机试验的结果是() A.2枚都是5点 B.1枚是1点，另一枚是4点C.1枚是2点，另一枚是3点D.1权是1点，另一枚是4点，或者1枚是2点，另一枚是3点7.设随机变量ξ的分布列2()(),3kP k mξ==⋅k=1,2,3,则m的值为______.8.从有3个果球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________.能力提升1.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率________.2.一个筒中放有标号分别为0，1，2，…，9的十根竹签，从中任取一根，记所取出的竹签上的号数为X.(1)写出X的概率分布；(2)分别求“25(,)32X∈”；“X>7”，“3.5≤X≤6”的概率.3.（2014陕西卷节选）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：5000.5设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列.4.（2014福建卷节选）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(1)顾客所获的奖励额为60元的概率；(2)顾客所获的奖励额的分布列．5.(2014天津卷节选)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．6.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．。

2.随机变量的分布函数、连续型

4 2 4 0, x 0,
故X的分布函数为
1 , 0 x 1,
F(x)
4 3 ,
1 x 2,
4
F(x)
1, 2 x.
1
O
0O
1
O
它是一条阶梯形曲线，
2
x
设离散型随机变量X 的分布律为
P( X xi ) pi , i 1,2, ,
则离散型随机变量X的分布函数
F( x) P( X x) P( X xi )
a, 2
得a 2
于是X的密度函数为 2e2 x ,
f (x) 0,
x0 x0
P( X 1) 2e2xdx e2 . 1
3、正态分布如果连续型随机变量X的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e
2 2
,xR
2
那么称随机变量X服从参数为， 2的正态分布，
～记为X N（， 2）, R, 0.
本节我们来研究一维随机变量取值的统计规律性。为此先考虑下面的例子。
例1 设随机变量X在区间[0，1]上取值，当0 a 1
时，概率P（0 X a）与a2成正比例。
试求X的分布函数F（x）
解：X的分布函数为：
y
0
F
(
x)
x2
1
x0 0 x1
1 x
1 o1x
由此例我们看到，F ( x)处处连续，并且其
2
2
x, (3)
x 1 1 x F (xx).1
1
（3）当x 1时, F( x)
x
f (t)dt
x
0dt 0
当 1 x 1时, F( x)
x f (t )dt

高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-1-1离散型随机变量

一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变
量．
答案： B
2．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完则停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果为 ()
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．前5次均未击中目标解析：射击次数X是一随机变量，“X＝5”表示试验结果“前4次均未击中目标”．答案： C
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长． [思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．
(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，是随机的，故是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
人教版高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布
第二章随机变量及其分布
2．1 离散型随机变量及其分布列 2．1.1 离散型随机变量
课前预习
1．在一块地里种下10颗树苗，成活的树苗棵树为X. [问题1] X取什么数字？ [提示] X＝0,1,2…10.
2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果．
3．一个袋中装有5个白球和5个红球，从中任取3个．其中所含白球的个数记为ξ，则随机变量ξ的值域为________．
解析：依题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，故ξ的值域为{0,1,2,3}．
答案： {0,1,2,3}
4．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ ＝4所表示的随机试验的结果．
[问题2] 这种试验的结果能用数字表示吗？ [提示] 可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上． [问题3] 10件产品中有3件次品，从中任取2件，所含次品个数为x，试写出x的值． [提示] x＝0,1,2.

概率论-2-3 常见离散型随机变量的分布

回顾：随机变量的分类随机变量
离散型连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅要知道 X 取哪些值,而且还要知道它取这些值的概率各是多少,这就需要分布的概念.有没有分布是区分一般变量与随机变量的主要标志.
例某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服装？
解设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk

Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格品，现从中随机抽取一件，若规定
X

2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt

X越落平f在(缓xμ),的值表最附明大近X取的值值概为越率分越f 散大.;反之21,当σ越大,则y=f(x)的图形
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其密度函数为
f
x
1 30
0 x 30
0 其它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ，则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等数学（下）二重积分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解

2-3 随机变量的分布函数

P{3 X 5} F(5) F(3) 1 ,
2
2 2 22
P{2 X 3} F(3) F(2) P{X 2} 3 .
4
请同学们思考
不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?
答不一定. 例如抛均匀硬币, 令
1, 出正面;
1, 出正面;
X1 1, 出反面. X2 1, 出反面.
离散型随机变量的分布函数的图形是阶梯曲
线。它在X的一切有概率（指正概率）的点 xk 都有一个跳跃，其跃度为 X 取值 xk 的概率 pk 。
例2 一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数.
当 x 1时,
F(x) P{X x}
P{X 0} P{X 1}
11 22
1.
0,
得
F
(
x)
1
2
,
1,
x 0, 0 x 1, x 1.
二、分布函数的性质
(1) 0 F ( x) 1, x (,);
(2) F ( x1) F ( x2 ), ( x1 x2 ); 证明由 x1 x2 { X x1} { X x2 }, 得 P{X x1} P{X x2},
?
F ( x2 )
F ( x1 ) 分布函数
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
2.分布函数的定义
定义设 X 是一个随机变量, x是任意实数,函数
F(x) P{X x} x
称为X的分布函数. 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值
的概率情况. (2)分布函数 F ( x) 是 x 的一个普通实函数.

北师大版高中数学选修2-3课件：2.6 正态分布(共46张PPT)

重点难点
[重点] 认识分布密度曲线的特点，曲线所表示的意义；正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) . [难点] 认识分布密度曲线的特点，曲线所表示的意义；通过正态分布曲线的图形特征，归纳正态分布曲线的性质．
教学建议
如何使学生从抽象转化到具体、直观的问题里来，是我们教学的一个重点和难点．要借助具体实例及多媒体课件演示，有条件的让学生也上机进行实习，通过实验了解一些概念的形成过程．具体的方法是利用直方图来引进正态曲线．
例2 某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.52)，质量人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
解：由于X服从正态分布N(4，0.52)，由正态分布的性质可知，正态分布N(4， 0.52)在(4－3×0.5，4＋3×0.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∉(2.5，5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的．
预习探究
正态分布密度曲线
正态曲线
预习探究
预习探究
预习探究
[思考] 某一集成块使用寿命X可看作是连续型随机变量吗? 解:可以,因为它的可能取值是任何一个非负实数,我们是无法一一列出的.
预习探究
[思考] 正态分布密度函数f(x)有最值吗?
预习探究
[讨论] 正态分布中的参数μ,σ的含义分别是什么?
6．结合正态分布曲线的图形特征，归纳正态分布曲线的性质．正态分布曲线的作图较难，教材没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质．
三维目标

2-3 随机变量的分布函数(xu)

x x0
F(x)

F ( x0
),
( x0 ).
即任一分布函数处处右连续.
反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是
某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.
3
重要公式
(1) P{a X b} F(b) F(a), (2) P{X a} 1 F(a).
X

1, 0,
出正面, 出反面.
求随机变量 X 的分布函数.
解 p{ X 1} p{X 0} 1 , 2

当x 0时,
0
F( x) P{X x 0} 0,

1
x
7

0

1
x
当0 x 1时,
F( x) P{X x} P{X 0} 1 ; 2
当x 1时,
F(x) P{X x}
P{X 0} P{X 1}
11 22
1.
0,
得
F
(
x
)

1

2
,
1,
x 0, 0 x 1, x 1.
8
请同学们思考
不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?
答不一定.例如抛均匀硬币, 令
1, 出正面;
5
离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{X x} pk P(X xk ).
xk x
xk x
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
分布函数 F ( x) P{X x} pk

人教A版高中数学选修2-3课件正态分布

P(70－10<X≤70＋10)＝0.6826，所以不及格的学生的比为 1 (1－0.6826)＝0.1587，
2
即成绩不及格的学生占15.87%.
例3、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正
态分布 N (70,102 ) ，如果规定低于60分为不及格，
求：
（1）成绩不及格的人数占多少？
（2）成绩在80~90内的学生占多少？ (2)成绩在80～90内的学生的比为 1 [P(70－2×10<X≤70＋2×10)－0.6826]
3.操作应用，巩固新知
例1、(1)在某次数学考试中，考生的X~N(90,100). 考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是 0.9544
(2)设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0)=,
=. 0.5 P(2 X 2) 0.9544
(3)已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）， P(X<4)=0.84则P(X<0)等于( A )
人教A版数学选修2-3
2.4 正态分布（2）
频率组距
8
6
4
2
1.正态分布密度曲线简称正态曲线
o
, ( x)
1
-( x- )2
e 2 2 , x (, )
2
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总
体的平均数与标准差。
2.正态分布:
0
ab
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
B:在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有 12名。试问此次参赛的学生总数约有多少人？
请各位老师多多批评与指导！谢谢！

概率2-3连续型随机变量及其概率密度-2

x
e
dt , x
概率论
( x)
( x )
概率论
7. 标准正态分布与一般正态分布的关系定理1
X 若 X ~ N , , 则 Z ~ N 0 , 1 .
2
标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.
概率论
例2 在一公共汽车站有甲、乙、丙 3人，分别等1、2、3路公交车，设每人等车时间（分钟）都服从[0，5] 上的均匀分布，求3人中至少有2人等车时间不超过2分钟的概率。
概率论
（II）指数分布 1. 含义：随机变量X描述对某一事件发生的等待时间，各种不会变老的物品寿命。 2. 密度函数：若 r .v. X具有概率密度

x 2
2
Φ(x)
概率论
作业
58页，24，25，26，27，29，30
概率论
3σ准则
由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时， P{|X| ≤ 1}=2 Φ(1)-1=0.6826 P{|X| ≤ 2}=2 Φ(2)-1=0.9544 P{|X| ≤ 3}=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
概率论
(2) X ~ N ( , 2 ), 求区间概率
X 若 X ~ N ( , ), 则 Y ~N(0,1)
2
P{ a X
a b Y } b} P{
b a ( ) ( )
概率论
例3 若 r. v. X～N(10,4),求 P{10<X<13}, P{│X-10│<2}. 例4 若 r. v. X～N(μ,σ2), P{X ≤ -1.6}=0.036， P{X ≤ 5.9}=0.758，求 P{X> 0}

讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

,.第七讲连续型随机变量（续）及随机变量的函数的分布3. 三种重要的连续型随机变量（1）均匀分布设连续型随机变量X 具有概率密度)5.4(,,0,,1)(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它b x a ab x f则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).X 的分布函数为)6.4(.,1,,,,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F（2）指数分布设连续型随机变量X 的概率密度为)7.4(,,0,0,e1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它x x f x θθ其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.容易得到X 的分布函数为第二章随机变量及其分布§4 连续型随机变量及其概率密度1=2,.)8.4(.,0,0,1)(/⎩⎨⎧>-=-其它x e x F x θ如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9)事实上}.{e ee )(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=>>⋂+>=>+>--+-θθθ性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.（3）正态分布设连续型随机变量X 的概率密度为)10.4(,,e21)(222)(∞<<-∞=--x x f x σμσπ其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).显然f(x)≥0, 下面来证明1d )(=⎰+∞∞-x x f令t x =-σμ/)(, 得到f (x )的图形:,.dx edx et x 22)(2222121-∞+∞---∞+∞-⎰⎰=πσπσμ.1d 21d 21)11.4(π2d d e,,d d ,de 22)(20222/)(22/2222222======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--∞∞---∞-+∞∞-+∞∞-+-∞∞--x ex e r r I u t e I t I t x r u ttπσπθσμπ于是得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:（1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意h>0有P{μ-h<X ≤μ}=P{μ<X ≤μ+h}.（2）.当x=μ时取到最大值.π21)(σμ=f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。

概率论与数理统计第二章--随机变量及其分布

第十四页，编辑于星期二：四点四十二分。
由于 X的取值点 3,4,5,6将R分成五个区间，
因此我们分段讨论可得，
?0,
x ? 3,
F( x )
F (x) ? ????00..02,5,
3 ? x ? 4, 4 ? x ? 5,
1
0.5
?0.5, 5 ? x ? 6,
0.2
?
0.05
??1,
x ? 6.
且每台设备在一天内发生故障的概率都是
0.01. 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员.假设一台设备的故障可由一人来处理，且每人每天也仅能处理一台设备. 试分别在以下两种情况下求该公司设备发生故障而当天无人修理的概率。（1）三名修理工每人负责包修 60台（2）三名修理工共同负责 180台
则称 X服从参数为 p的两点 (或0-1)分布.
第十九页，编辑于星期二：四点四十二分。
?二项分布
例4. 设射手每一次击中目标的概率为 p，现连续射击n次，求击中次数 X 的概率分布 .
若随机变量X的概率分布为
Pn (k)
?
P
(
X
?
k)?C
k
n
p
k
(1
?
p)n?k ,
k ? 0,1,? , n
其中 0< p<1,称X服从参数为n和 p的二项分布，
第二十一页，编辑于星期二：四点四十二分。
?泊松分布
若随机变量 X的概率分布为
P( X ? k) ?e? ? ? k , k?0,1,2,? ? ,
k!
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松
分布，简记为 X ~ P (? )

概率论与数理统计2_3连续型随机变量

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若不计高阶无穷小，有
f ( x)
f (a)1ຫໍສະໝຸດ oP{ x X x x } f ( x )x
的概率近似等于
a
x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x x ]
x)) x x ff ((x
在连续型随机变量理论中所起的作用与
P X xk pk
x2 , f ( x) A, 0, 0 x 1 1 x 2 其它
求 (1)常数A; ( 2) P{0 X 3};
(3)分布函数F(x).
2
解: (1)由于f(x)是一个密度函数,
由

f ( x)dx 1, 得
2 2 1
x dx
0
1
Adx 1
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例3.设随机变量X在[2，8]上服从均匀分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.
解：由于X服从均匀分布，故X的概率密度为
1 , 2 x8 f ( x) 6 0, 其它
方程有实根等价于4X236≥0 , 即X≥3或X≤3. 从而， P{y2+2Xy+9=0 有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
f(x)
, x
其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参数为μ,σ2的正态分布或高斯（Gauss）分布,记作 X～ N（μ,σ2）
0
x
分布函数
F(x)
x 1 e 2 ( t )2 2 2
F ( x)

3-2连续型随机变量的联合分布和边际分布

0
x
1,
fX (x)
2x, 0 x 1 0, 其它.
当0 x 1,
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
1 2x
,
0,
x y x, 其它。
(3)
P(X
1 |Y
0)
P(X
1 ,Y 2
0)
2
P(Y 0) y
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
0
2
yx
11
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
G
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
例2 设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度
2e(2 x y) , x 0, y 0,
f (x, y) 0,
4o 对于任意 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 , 有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 ) 0.
y
(x1, y2) (x2, y2)
(x1, y1) (x2, y1)
x
证明 P{ x1 X x2 , y1 Y y2 } P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1, y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1} P{ X x1,Y y2 } P{ X x1,Y y1} 0, 故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 ) 0.
f (x, y)d y

连续型随机变量分布密度

连续型随机变量分布密度随机变量是概率论和统计学中的重要概念，它描述了随机事件的不确定性。

连续型随机变量是一个可以取任意实数值的随机变量。

在概率论和统计学中，我们经常对连续型随机变量的分布进行研究。

分布密度函数是描述连续型随机变量分布的一种方式。

一、连续型随机变量分布密度的定义连续型随机变量的分布可以用分布密度函数来描述。

连续型随机变量X的分布密度函数是一个非负的函数f(x)，它满足以下两个条件：1. f(x)≥0，对于任意的x∈R； 2. 在实轴的某一区间[a, b]上，f(x)的积分值等于该区间上随机变量的概率：P(a≤X≤b)=∫f(x)dx。

二、连续型随机变量分布密度的性质连续型随机变量分布密度函数具有以下性质： 1. f(x)在定义域上非负； 2. f(x)的积分值等于全体实轴上随机变量的概率，即∫f(x)dx=1； 3. f(x)的大小表示了在相应x附近的概率密度。

概率密度越大，表示随机变量在该处取值的概率越大； 4. 对于区间[a, b]上的一个任意子区间[c, d]，有P(c≤X≤d)=∫[c,d]f(x)dx。

三、常见的连续型随机变量分布密度 1. 均匀分布均匀分布是最简单的连续型随机变量分布。

在[a, b]区间内，均匀分布的密度函数为： f(x)={1/(b-a)，a≤x≤b；0，其他}。

2.正态分布正态分布是一种在自然界中广泛存在的分布。

它以均值μ和标准差σ为参数，其密度函数为：f(x)={1/(σ√(2π))e(-((x-μ)2)/(2σ^2))}。

3.指数分布指数分布常用于描述时间段发生某事件的概率密度。

其密度函数为：f(x)={λ*e^(-λx)，x≥0；0，x<0}。

4.γ分布γ分布是指数分布的推广形式，也广泛应用于概率论和统计学中。

其密度函数为：f(x)={((1/(βα))x^(α-1)e(-x/β))/(Γ(α))}。

四、连续型随机变量分布密度的应用连续型随机变量分布密度广泛应用于许多实际问题的建模和分析中。

连续型随机变量常见的几种分布 (2)

（三倍标准差原则）
33
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例3. 已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正
态分布 N(50,0.752),如果规定零件的长度在
501.5毫米之间为合格品.
求:生产零件是合格品的概率
解: X～ N(5,0 0.725) 所求的概率为：
P(X501.5)P (4.5 8 X5.5 1 )
30
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(6) 3 原则
由标准正态分布的查表计算可以求得，当X～N(0,1)时，
P( |X| 1) = 2 (1)- 1 = 0.6826
P( |X| 2) = 2(2)- 1 = 0.9544
P( |X| 3) = 2 (3)- 1 = 0.9974
这说明：X 的取值几乎全部集中在 [ -3, 3 ] 区间内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3%
(x)
(x)
密度函数 ( x )
24
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分布函数 ( x )
▲ 标准正态分布的重要性
任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换
x 转化为标准正态分布.
引理: 若X～ N(,2),则:ZX～ N(0,1)
(一般正态分布与标准正态分布的关系)
证明: Z X 的分布函数 : 为
12
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德莫佛
高斯
(1). 正态分布的定义
若随机变量 X 的概率密度为：
f (x)
1
( x )2
e , 2 2 x
2
其中: 和 2都是常数，任意， >0，则称 X 服从参数为和 2 的正态分布.

人教版高中数学选修2-3《2.4正态分布》

频率组距
一.引入
总体密度曲线.
a
b
x
高尔顿钉板试验频率分布直方图
一.
正态曲线
像这种具有“中间高，两头低”的特征的总体密度曲线,称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
y
总体密度曲线
二.正态曲线
O
x
正态曲线对应的函数为： ( x )2 1 2 2 ( x ) e ,xR 2
-

95.45%
+
P ( 2 X 2 ) 0.9545
2.28% 2.28%
-2

99.73%
+2
P ( 3 X 3 ) 0.9973
0.13%
0.13%
-3

+3
五.特殊区间的概率
正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ) 之内，在此区间以外取值的概率只有0.0026.像这种概率很小（一般不超过5 ％）的情况发生称为小概率事件，我们认为这种情况几乎不可能发生。 3σ原则——实际生活中，服从正态分布N(μ，σ2) 的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
C
)
七. 小结
你能总结一下这节课学了什么内容吗？ 1.··· 2.··· 3.···
八. 布置作业
《高中新课程学习指导》作业与测评（38） A级—2,3,4,6,8,9 B 级— 2 ，6 C级
【例1】(成才P119例1)如图是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布概率密度函数的解析式,并求出总体随机变量的数学期望和方差.
六.典型例题题型一 .正态曲线及性质 y
1 2
5 10 15
20 25 30 35

概率论与统计第二章第三节连续型随机变量

x
于是当△x( > 0)充分小时, P{x<X≤x+ △x}≈f(x)△ x。这表明f(x)
本身并非概率，但它的大小却决定了X 落入区间[x ,x+△x]内的概
率的大小．即f(x) 反映了点x 附近所分布的概率的“疏密”程度 ――
连续型随机变量的一个重要特征是：连续型随机变量取任意
一个指定值的概率均为零，即P{X =x0}=0．
例7 若X ～N(0，1) ，当α = 0.10、α = 0.05、α = 0.01 时，分别确定u0，使得P{|X|＞u0} = α．
解 P{|X|＞u0} = P{X＜－u0}＋ P{X＞u0} = φ(－u0)＋1－P{X≤－u0} =1－φ(u0) ＋1－ φ(u0) = 2－2 φ(u0) ．
均匀分布的密度函数与分布函数的图形如图．
均匀分布是常见的连续分布之一．例如数值计算中的舍入误差、在每隔一定时间有一辆班车到来的汽车站上乘客的候车时间等常被假设服从均匀分布．此外，均匀分布在随机模拟中亦有广泛应用．
例3 某市每天有两班开往某旅游景点的列车, 发车时间分
别为早上7点30分和8点．设一游客在7 点至8点间任何时刻到达
P{|X|＜2｝=2Φ(2) －1=2×0.9772－1 = 0.9544
P{|X|＜3｝=2Φ(3) －1 = 2×0.9987－1 = 0.9974
对于X ～ N (, 2 )
P{| X | 1} P{ X }
=Φ(1)－Φ(－1) = 0.6826
P{| X | 2} P{ 2 X 2 }
(2)
F(x)
x
f (t)dt
当x＜0 ,
F
(
x)
x

2-3连续型随机变量及其概率密度

f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
就称 X 服从[a,b] 上的均匀分布，记为 X ~ U[a,b]．
【注】 X 的分布函数为
0, x a,
F ( x)
x
b
a a
,
a
x
b,
1, b x.
均匀分布与第一章中介绍的几何概型原理相通，适用于一维
的几何概型试验．此时， X 落入某区间 I 内（上）的概率为 P{X I} P{X I I [a,b]} I I [a,b]的长度． ba
(b ) (a ) ．
特别地， P{X b} (b ), P{X a} 1 ( a ) 。
其中 (a ) 和 (b ) 可查表得．
•22
例 3.5 设随机变量 X ~ N(1, 4) ，分别计算
P{X 3}， P{1 X 5} ．
解由题意知， 1, 2 ．
y (x)
y
y (x) 1
1 2
O
x
O
x
•20
由于(x) 为偶函数，利用本节例 3.2 的结论，有
F(x()x)
F((x)x)
1；1；F(0()0)
1
1；；P{PX{ X
x}x}
2F(Fx)(x)1．1．
22
当 x 0 时， (x) 可以通过直接查标准正态分布表求得．
当 x 0 时， (x) 1 (x) ，再查标准正态分布表可得．
【注 7】如果 X ~ N(0,1) ，则对于任意的实数 a,b (a b) ， P{a X b} (b) (a) ，
其中 (a), (b) 可查标准正态分布表计算．
•21