常见连续型随机变量的分布
连续型随机变量常见的几种分布

)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有: x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得,
当X~N(0,1)时,
6
解: 设以7:00为起点0,以分为单位 从上午7时起, 每15分钟来 依题意, X ~ U ( 0, 30 ) 一班车,即 1 7:00,7:15, 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间,或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为:
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短,交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走(路程 长,阻塞少)所需时间(分钟)Y~N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问:分别选择哪一条路为好? 解: 依题意,选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
2.4_几种常见的连续型随机变量的分布

F ( x)
x
1 2
e
( x )2 2 2
dt
(2) 正态分布的密度函数 f(x) 的图形的性质
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
, x
正态曲线
(1) f(x) 关于 是对称的.
1 在 点 f(x) 取得最大值 . 2
2.4 几种常见的连续型随机变 量的分布
(1) 均匀分布 (2) 指数分布
(3) 正态分布(重点)
1 、均匀分布
如果随机变量 X 的概率密度为
1 , a xb f ( x) b a 其它 0,
则称 X 在区间 [a, b]上服从均匀分布. 记为 X~U[a, b].
由于 P{c x d } f ( x)dx
b
x
abBiblioteka x例1 设随机变量 X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测,
试求至少有两次观测值大于 3 的概率.
解: 记 A = { X > 3 },
则 P(A) = P( X> 3) = 2/3
设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数, 则 Y~ B(3, 2/3),所求概率为
P (Y ≥ 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3)
(2)该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少?
解 (1)P{在100 h以内需要维修} P( X 100}
100 0
100
f ( x)dx
0.002e0.002 x dx 1 e0.2 0.1813
(2) P{能无故障使用600 h以上} P( X 600}
常见的连续型随机变量的分布

1.均匀分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f2.指数分布 密度分布函数 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ 3.伽玛分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=--0,00,)()(1x x e x x f x ααααλ4.正态分布 密度分布函数 222)(21)(σμπσ--=x e x f5.对数正态分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>=--e l s e x e x x f x ,00,21)(222)(l n σμπσ6.贝塔分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-ΓΓ+Γ=--e l s e x x x r r r r x f r r ,010,)1()()()()(112121217.爱尔兰分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--0,00,)!1()(1x x e x r x f x r r λλ8.拉普拉斯分布 密度分布函数 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=--λμλx e x f 21)(%泊松分布概率密度作图:x=0:20;y1=poisspdf(x,2.5);y2=poisspdf(x,5);y3=poisspdf(x,10);hold onplot(x,y1,':r*')plot(x,y2,':b*')plot(x,y3,':g*')hold offtitle('Poisson 分布')正态分布标准差意义的图示mu=3; sigma=0.5;x=mu+sigma*[-3:-1,1:3];yf=normcdf(x,mu,sigma);P=[yf(4)-yf(3),yf(5)-yf(2),yf(6)-yf(1)];xd=1:0.1:5;yd=normpdf(xd,mu,sigma);%for k=1:3xx{k}=x(4-k):sigma/10:x(3+k);yy{k}=normpdf(xx{k},mu,sigma);endsubplot(1,3,1),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(3),xx{1},x(4)],[0,yy{1},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(1))),hold offsubplot(1,3,2),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(2),xx{2},x(5)],[0,yy{2},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(2))),hold offsubplot(1,3,3),plot(xd,yd,'b');hold onfill([x(1),xx{3},x(6)],[0,yy{3},0],'g')text(mu-0.5*sigma,0.3,num2str(P(3))),hold offv=4;xi=0.9;x_xi=chi2inv(xi,v);x=0:0.1:15;yd_c=chi2pdf(x,v);%。
第六章(三)常用连续型随机变量的理论分布

(一)抽样分布的含义与无偏估计量 1、抽样分布的含义:统计推断是以总 体分布和样本抽样分布的理论关系为 基础的。 由总体中随机地抽取若干个体组成样 本,即使每次抽取的样本含量相等, 其统计量也将随样本的不同而有所不 同。因而样本统计量也是随机变量, 也有其概率分布,我们把统计量的概 率分布称为抽样分布。
如果总体是无限总
体,那么可以得到 无限多个随机样本。
随机样本1 2 3
……
无穷个样本
图 总体和样本的关系
如果从容量为N的有限总体抽样,若每次抽取容量为n的 样本,那么一共可以得到 N n个样本(所有可能的样本个数)。 抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数,全部可能 的样本都被抽取后可以得到许多平均数。 如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构
正态分布的分位点的定义:
3、正态分布分位点计算
标准正态分布 N (0,1) 密度函数图形为:
x 图中的点 称为标准正态分布的 (1 )% 的分位点,相当于已知
F(x ) p( X x ) 1
求其中的 x
4、单侧概率与双侧概率 •统计学中,把随机变量 x 落在区间 (μ-kσ,μ+kσ)之外的概率称为双侧(两 尾)概率,记作α。 •对应于双侧概率可以求得随机变量x 小于μ-kσ或大于μ+kσ的概率,称为 单侧概率,记作α/2。
2、无偏估计 • 在统计学上,如果所有可能样本的 某一统计数的平均数等于总体的相 应参数,则称该统计数为总体相应 参数的无偏估计值。
• 设有一N=3的总体,具有变量3,4, 5;求得μ=4,σ2=0.6667, σ=0.8165 • 现以n=2作独立的回置抽样,总共得 Nn=32=9个样本。 • 抽样结果列入下表:
2.4连续型随机变量及其概率密度函数

-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣 琪 琪 桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5,
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
(2)随机变量 X 的取值不小于 2,即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3
常见的连续型随机变量

第五节 常见的连续型随机变量
7
例 1(续)
所以,
PB P10 X 15 P25 X 30
P40 X 45 P55 X 60
15
1 dx 30
1
45
dx
1
60
dx
1
dx
10 60
25 60
40 60
55 60
1 3
.
第五节 常见的连续型随机变量
8
例2
设随机变量 服从区间 3, 6上的均匀分布,求方程
上的均匀分布.
第五节 常见的连续型随机变量
6
例 1(续)
其密度函数为
f
x
1 60
0
0 x 60
其它 .
令 B 被带往甲地 .
开往甲地汽车的到达时间:
7:00, 7:15, 7:30, 7:45, 8:00; 开往乙地汽车的到达时间:
7:10, 7:25, 7:40, 7:55, 8:10.
k!
k 0, 1, , n, .
设随机变量T 的分布函数为 FT t .
则当 t 0 时, FT t 0 ;
第五节 常见的连续型随机变量
18
例 4(续)
当 t 0时, FT t PT t 1 PT t
1 P在长度为 t 的时间间隔内随机事件 A 没发生
1 PX 0 1 et .
4x2 4 x 2 0
有实根的概率.
解:
由于随机变量 服从区间 3, 6上的均匀分布,所以
的密度函数为
f
x
1 9
0
3 x6
其它 .
第五节 常见的连续型随机变量
9
例 2(续)
讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

,.第七讲连续型随机变量(续)及 随机变量的函数的分布3. 三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布设连续型随机变量X 具有概率密度)5.4(,,0,,1)(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它b x a ab x f则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).X 的分布函数为)6.4(.,1,,,,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F(2)指数分布设连续型随机变量X 的概率密度为)7.4(,,0,0,e1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它x x f x θθ其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.容易得到X 的分布函数为第二章 随机变量及其分布§4 连续型随机变量 及其概率密度1=2,.)8.4(.,0,0,1)(/⎩⎨⎧>-=-其它x e x F x θ如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9)事实上}.{e ee )(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=>>⋂+>=>+>--+-θθθ性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.(3)正态分布设连续型随机变量X 的概率密度为)10.4(,,e21)(222)(∞<<-∞=--x x f x σμσπ其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).显然f(x)≥0, 下面来证明1d )(=⎰+∞∞-x x f令t x =-σμ/)(, 得到f (x )的图形:,.dx edx et x 22)(2222121-∞+∞---∞+∞-⎰⎰=πσπσμ.1d 21d 21)11.4(π2d d e,,d d ,de 22)(20222/)(22/2222222======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--∞∞---∞-+∞∞-+∞∞-+-∞∞--x ex e r r I u t e I t I t x r u ttπσπθσμπ于是得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:(1).曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意h>0有P{μ-h<X ≤μ}=P{μ<X ≤μ+h}.(2).当x=μ时取到最大值.π21)(σμ=f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。
概率论与数理统计2_3连续型随机变量

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若不计高阶无穷小,有
f ( x)
f (a)1ຫໍສະໝຸດ oP{ x X x x } f ( x )x
的概率近似等于
a
x
它表示随机变量 X 取值于 ( x, x x ]
x)) x x ff ((x
在连续型随机变量理论中所起的作用与
P X xk pk
x2 , f ( x) A, 0, 0 x 1 1 x 2 其它
求 (1)常数A; ( 2) P{0 X 3};
(3)分布函数F(x).
2
解: (1)由于f(x)是一个密度函数,
由
f ( x)dx 1, 得
2 2 1
x dx
0
1
Adx 1
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例3.设随机变量X在[2,8]上服从均匀分布,求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.
解:由于X服从均匀分布,故X的概率密度为
1 , 2 x8 f ( x) 6 0, 其它
方程有实根等价于4X236≥0 , 即X≥3或X≤3. 从而, P{y2+2Xy+9=0 有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
f(x)
, x
其中μ,σ(σ>0)为常数,则称X服从参 数为μ,σ2的正态分布或高斯(Gauss) 分布,记作 X~ N(μ,σ2)
0
x
分布函数
F(x)
x 1 e 2 ( t )2 2 2
F ( x)
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例 2 设打一次电话所用的时间 X(单位:分钟)是
1 以λ = 为参数的指数随机变量.如果某人刚 10 好在你前面走进公用电话间,求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率.
x 1 −10 e f ( x ) = 10 0
解: X 的密度函数为
x>0 x≤0
则 P{10 ≤ X ≤ 20 }
−∞
1 e 2π
t2 − 2
d t , − ∞ < x < ∞.
标准正态分布的密度函数图形
例1 证明 Φ(−x) = 1−Φ(x). 证明 Φ( − x ) = ∫
∞
−x
−∞
1 e 2π
x2 − 2
dx
1 e dx =∫ x 2π x2 ∞ 1 −2 e dx =∫ −∞ 2π x2 x 1 −2 e dx −∫ −∞ 2π
b
E( X 2 ) = ∫
+∞
−∞
x 2 f ( x)dx = ∫
b
a
1 2 a 2 + ab + b 2 x dx = 3 b−a
2 2
a + ab + b a + b (b − a ) 2 D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = − = 3 12 2
பைடு நூலகம்
(2)Y 表示他一周(五天工作日)步行上班的天数 ) 表示他一周(五天工作日) Y 服从 的二项分布, n = 5, p = e −2 的二项分布,即 Y ~ b(5, e −2 )
P{Y ≥ 1} = 1 − P{Y = 0} = 1 − (1 − e −2 )5
三、正态分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
2 = 3
二、指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 λe −λx , x ≥ 0, f ( x) = x < 0. 0, 其中 λ > 0 为常数, 则称 X 服从参数为λ 的指数 分布. 记作X ~ e(λ ) ,或 X ~ E(λ).
分布函数
1 − e−λx , x ≥ 0, F ( x) = x < 0. 0,
解
0.2e−0.2 x , x > 0; X ~ f ( x) = x ≤ 0. 0,
分钟) (1)则他步行上班(等车超过 分钟)的概率为 )则他步行上班(等车超过10分钟
P{ X > 10} = 1 − P{ X ≤ 10} = 1 − ∫ 0.2e−0.2 x dx = e−2
0
10
分布函数
x < a, 0, x − a F ( x) = , a ≤ x < b, b − a x ≥ b. 1,
F ( x)
1•
a o
• •
b
x
均匀分布的期望与方差
E( X ) = ∫
+∞
−∞
1 1 x d x = (a + b ). xf ( x) d x = ∫ ab−a 2
问车门高度应如何确定? 问车门高度应如何确定? 设车门高度为h 解 设车门高度为 cm,按设计要求 ,
h−170 ) ≥ 0.99 故 P( X ≤ h) = Φ( 6 查表得 Φ (2.33) ≈ 0.99
P( X ≥h) ≤ 0.01 即 P( X ≤h) ≥ 0.99
因为分布函数非减
h − 170 ∴ ≥ 2.33 6
正态变量的标准化
X ~ N ( µ , σ 2 ) ,则 定理 若
U= X −µ
σ
~ N (0, 1).
F (x) = P{X ≤ x} = P{
X −µ
σ
≤
x−µ
σ
} = Φ(
x−µ
σ
)
已知 X ~ N ( µ, σ 2 ),求 P{c ≤ X ≤ d }.
P {c ≤ X ≤ d } = F (d ) − F (c) = Φ d − µ − Φ c − µ . σ σ
( x − µ )2 − 2σ 2
1 f ( x) = e , − ∞ < x < +∞ , 2 πσ 其中 µ , σ ( σ > 0 ) 为常数 , 则称 X 服从参数为 µ , σ 的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( µ , σ 2 ).
正态概率密度函数的几何特征
(1) 曲线关于 x = µ 对称; ( 2) 当x = µ时, f ( x )取得最大值 ( 3) 当 x → ±∞ 时, f ( x ) → 0;
∞
∞ ( x − µ )2 − 2σ 2
dx
= µ.
D( X ) = σ 2
正态分布下的概率计算
( t − µ )2 x − 2σ 2 −∞
1 P{ X ≤ x } = F ( x ) = ∫e 2 πσ
=?
dt
原函数不是 初等函数
方法一:利用 方法一 利用MATLAB软件包计算 利用 软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算 方法二 转化为标准正态分布查表计算
2
设随机变量ξ 服从区间[− 3, 6]上的均匀分布,
试求方程 4 x 2 + 4ξ x + (ξ + 2) = 0
有实根的概率.
例1
解 随机变量ξ 的密度函数为 :
1 f (x ) = 9 0 −3≤ x ≤ 6 其它
设:A = 方程4 x + 4ξ x + (ξ + 2 ) = 0有实根
d − µ c − µ 即 P{c ≤ X ≤ d} =Φ −Φ . σ σ
设随机变量X~ 例6 设随机变量 ~N(2,9),试求 , , (1)P{1≤X≤5}(2) P{X > 0} (3) P{∣X-2∣ > 6} ( ) ) ∣ - ∣ 解: ⑴.P{ ≤ X < 5} = F (5) − F (1) 1 1 5−2 1− 2 = Φ( ) = Φ (1) − Φ − ) − Φ( 3 3 3 1 = Φ (1) + Φ − 1 = 0.8413 + 0.6293 − 1
2
{
则
P( A) = P (4ξ ) − 4 × 4 × (ξ + 2 ) ≥ 0
2
{
}
}
= P{ (ξ + 1)(ξ − 2 ) ≥ 0 }
= P{ξ ≤ −1或 ξ ≥ 2}
= P{ξ ≤ −1} + P{ξ ≥ 2}
61 1 =∫ dx + ∫ dx −3 9 2 9 −1
2 4 = + 9 9
例2 已知 X ~ N (0,1),求 P{1.25 ≤ X < 2}. 解
P{1.25 ≤ X < 2}
= Φ (2) − Φ (1.25)
= 0.9773 − 0.8944
= 0.0829 .
例3 设X~N(0,1),求 P(X>-1.96) 求 - 解: P(X>-1.96) =1-Φ(-1.96) =1-[1-Φ(1.96)] - = Φ(1.96) =0.975
标准正态分布
当正态分布 N ( µ, σ 2 ) 中的 µ = 0, σ = 1 时, 这样 的正态分布称为标准正 态分布, 记为 N (0, 1).
标准正态分布的概率密度表示为
1 ϕ ( x) = e 2π
x2 − 2
, − ∞ < x < ∞,
标准正态分布的分布函数表示为
Φ( x ) = ∫
x
( 4 ) 曲线在 x = µ ± σ 处有拐点 ;
1 ; 2 πσ
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ , 改变 µ 的大小时 , f ( x ) 图形的形状不变 , 只是沿 着 x 轴作平移变换 ;
(7 ) 当固定 µ, 改变 σ 的大小时 , f ( x ) 图形的对称轴 不变 , 而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦 , σ越大, 图形越矮越胖 .
2
+∞
x f ( x)dx = ∫ λ x e
0
= −x e
DX = 2
2 − λ x +∞ 0
+ ∫ 2 xe
0
+∞
−λ x
dx = λ 2
λ
2
−
1
λ
2
=
1
λ2
例3
某人乘车或步行上班,他等车的时间 (单位:分钟) 某人乘车或步行上班,他等车的时间X(单位:分钟) 服从参数为0.2的指数分布 如果等车时间超过10分钟 的指数分布, 分钟, 服从参数为 的指数分布,如果等车时间超过 分钟, 他就步行上班. 他就步行上班 若以Y 表示他一周(五天工作日)步行上班的天数, 若以 表示他一周(五天工作日)步行上班的天数, 他一周内至少有一天步行上班的概率. 求:他一周内至少有一天步行上班的概率
正态分布的期望与方差
1 E ( X ) = ∫ xf ( x ) d x = ∫ x ⋅ e −∞ −∞ 2πσ x− µ 令 = t ⇒ x = µ + σ t, σ t2 − 1 +∞ E( X ) = ( µ + σt )e 2 d t ∫−∞ 2π t2 t2 1 ∞ −2 σ ∞ −2 =µ ∫−∞e d t + 2π ∫−∞te d t 2π
∴ h ≥ 2.33 × 6 + 170 ≈ 184cm
练习: 练习
1、 已知 、 已知X~N(3,22),且 P{X>C}=P{X≤C},则C=( 3 ). 且 图示: 图示
=e
−10 λ
−e