常见连续型随机变量的分布

应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 某些元件或设备的寿命服从指数分布 例如 电力设备的寿命、 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布. 寿命等都服从指数分布
对于任意的 0 < a < b, b P(a < X <b) = ∫ λe−λxdx a
= F(b) − F(a) = e−λa −e−λb
例 2 设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
1 以λ = 为参数的指数随机变量．如果某人刚 10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
x 1 −10 e f ( x ) = 10 0
解： X 的密度函数为
x>0 x≤0
则 P{10 ≤ X ≤ 20 }
∞
∞ ( x − µ )2 − 2σ 2
dx
= µ.
D( X ) = σ 2
正态分布下的概率计算
( t − µ )2 x − 2σ 2 −∞
1 P{ X ≤ x } = F ( x ) = ∫e 2 πσ
=?
dt
原函数不是 初等函数
方法一:利用 方法一 利用MATLAB软件包计算 利用 软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算 方法二 转化为标准正态分布查表计算
= 1 ห้องสมุดไป่ตู้ P{− 6 ≤ X − 2 ≤ 6}
= 2 × [1 − Φ (2 )] = 2 × (1 − 0.9773) = 0.0454
8−2 −4 − 2 = 1 − [Φ ( ) − Φ( )] 3 3
= 1 − [Φ (2 ) − Φ (− 2 )]
例7、 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头 机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～ 0.01以下来设计的 机会在0.01以下来设计的.设男子身高 ～N (170,62),
( x − µ )2 − 2σ 2
1 f ( x) = e , − ∞ < x < +∞ , 2 πσ 其中 µ , σ ( σ > 0 ) 为常数 , 则称 X 服从参数为 µ , σ 的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( µ , σ 2 ).
正态概率密度函数的几何特征
(1) 曲线关于 x = µ 对称; ( 2) 当x = µ时, f ( x )取得最大值 ( 3) 当 x → ±∞ 时, f ( x ) → 0;
d − µ c − µ 即 P{c ≤ X ≤ d} =Φ −Φ . σ σ
设随机变量X～ 例6 设随机变量 ～N(2，9)，试求 ， ， (1)P{1≤X≤5}（2） P{X > 0} （3） P{∣X-2∣ > 6} （ ） ） ∣ - ∣ 解： ⑴．P{ ≤ X < 5} = F (5) − F (1) 1 1 5−2 1− 2 = Φ( ) = Φ (1) − Φ − ) − Φ( 3 3 3 1 = Φ (1) + Φ − 1 = 0.8413 + 0.6293 − 1
= 1 − Φ ( x ).
x2 − 2
标准正态分布的密度函数为偶函数
Φ (0)=0.5
Φ (−a) = 1 − Φ (a)
P ( X > a ) = 1 − Φ (a )
P ( a < X < b ) = Φ (b ) − Φ ( a )
Φ ( X < a) = Φ (a) − Φ (−a) = Φ (a) − [1 − Φ (a)] = 2Φ (a) − 1
2
{
则
P( A) = P (4ξ ) − 4 × 4 × (ξ + 2 ) ≥ 0
2
{
}
}
= P{ (ξ + 1)(ξ − 2 ) ≥ 0 }
= P{ξ ≤ −1或 ξ ≥ 2}
= P{ξ ≤ −1} + P{ξ ≥ 2}
61 1 =∫ dx + ∫ dx −3 9 2 9 −1
2 4 = + 9 9
2 = 3
二、指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 λe −λx , x ≥ 0, f ( x) = x < 0. 0, 其中 λ > 0 为常数, 则称 X 服从参数为λ 的指数 分布. 记作X ~ e(λ ) ，或 X ~ E(λ).
分布函数
1 − e−λx , x ≥ 0, F ( x) = x < 0. 0,
∴ h ≥ 2.33 × 6 + 170 ≈ 184cm
练习: 练习
1、 已知 、 已知X~N(3,22),且 P{X>C}=P{X≤C}，则C=( 3 ). 且 图示: 图示
正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 正态分布是最常见最重要的一种分布 例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、 测量误差 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、 正常情况下生产的产品尺寸 直径、长度、重量 直径 高度等都近似服从正态分布. 高度等都近似服从正态分布
3
= 0.4706
0−2 = 1 − Φ( ) 3
(2)．P { X > 0} = 1 − P { X ≤ 0}
2 2 = 1 − Φ − = Φ = 0.7486 3 3
(3)．P { X − 2 > 6} = 1 − P { X − 2 ≤ 6}
= 1 − P{− 4 ≤ X ≤ 8}
标准正态分布
当正态分布 N ( µ, σ 2 ) 中的 µ = 0, σ = 1 时, 这样 的正态分布称为标准正 态分布, 记为 N (0, 1).
标准正态分布的概率密度表示为
1 ϕ ( x) = e 2π
x2 − 2
, − ∞ < x < ∞,
标准正态分布的分布函数表示为
Φ( x ) = ∫
x
第五节 常见连续型随机变量的分布
一、均匀分布 二、指数分布 三、正态分布
一、均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a ≤ x ≤ b, f ( x) = b − a 0, 其它, 则称 X 在区间 [ a, b] 上服从均匀分布 , 记为 X ~ U [ a, b].
−∞
1 e 2π
t2 − 2
d t , − ∞ < x < ∞.
标准正态分布的密度函数图形
例1 证明 Φ(−x) = 1−Φ(x). 证明 Φ( − x ) = ∫
∞
−x
−∞
1 e 2π
x2 − 2
dx
1 e dx =∫ x 2π x2 ∞ 1 −2 e dx =∫ −∞ 2π x2 x 1 −2 e dx −∫ −∞ 2π
( 4 ) 曲线在 x = µ ± σ 处有拐点 ;
1 ; 2 πσ
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ , 改变 µ 的大小时 , f ( x ) 图形的形状不变 , 只是沿 着 x 轴作平移变换 ;
(7 ) 当固定 µ, 改变 σ 的大小时 , f ( x ) 图形的对称轴 不变 , 而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦 , σ越大, 图形越矮越胖 .
2
设随机变量ξ 服从区间[− 3， 6]上的均匀分布，
试求方程 4 x 2 + 4ξ x + (ξ + 2) = 0
有实根的概率．
例1
解 随机变量ξ 的密度函数为 ：
1 f (x ) = 9 0 −3≤ x ≤ 6 其它
设：A = 方程4 x + 4ξ x + (ξ + 2 ) = 0有实根
例2 已知 X ~ N (0,1),求 P{1.25 ≤ X < 2}. 解
P{1.25 ≤ X < 2}
= Φ (2) − Φ (1.25)
= 0.9773 − 0.8944
= 0.0829 .
例3 设X~N(0,1),求 P(X>-1.96) 求 - 解: P(X>-1.96) =1-Φ(-1.96) =1-[1-Φ(1.96)] - = Φ(1.96) =0.975
正态分布的期望与方差
1 E ( X ) = ∫ xf ( x ) d x = ∫ x ⋅ e −∞ −∞ 2πσ x− µ 令 = t ⇒ x = µ + σ t, σ t2 − 1 +∞ E( X ) = ( µ + σt )e 2 d t ∫−∞ 2π t2 t2 1 ∞ −2 σ ∞ −2 =µ ∫−∞e d t + 2π ∫−∞te d t 2π
=e
−10 λ
−e
−20 λ
= e −1 − e −2 = 0.2325
指数分布的期望与方差
E ( X ) = ∫ xf ( x ) d x = −∞
+∞
∫
+∞
0
x ⋅ λe
−λx
dx
1
= − xe
E( X ) = ∫
2 −∞
− λ x +∞ 0
2
+∫ e
0
+∞
−λ x
+∞
dx =
2 −λ x
λ
dx
（2）Y 表示他一周（五天工作日）步行上班的天数 ） 表示他一周（五天工作日） Y 服从 的二项分布， n = 5, p = e −2 的二项分布，即 Y ~ b(5, e −2 )
P{Y ≥ 1} = 1 − P{Y = 0} = 1 − (1 − e −2 )5
三、正态分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
正态变量的标准化
X ~ N ( µ , σ 2 ) ，则 定理 若
U= X −µ
σ
~ N (0, 1).
F (x) = P{X ≤ x} = P{
X −µ
σ
≤
x−µ
σ
} = Φ(
x−µ
σ
)
已知 X ~ N ( µ, σ 2 ),求 P{c ≤ X ≤ d }.
P {c ≤ X ≤ d } = F (d ) − F (c) = Φ d − µ − Φ c − µ . σ σ
分布函数
x < a, 0, x − a F ( x) = , a ≤ x < b, b − a x ≥ b. 1,
F ( x)
1•
a o
• •
b
x
均匀分布的期望与方差
E( X ) = ∫
+∞
−∞
1 1 x d x = (a + b ). xf ( x) d x = ∫ ab−a 2
b
E( X 2 ) = ∫
+∞
−∞
x 2 f ( x)dx = ∫
b
a
1 2 a 2 + ab + b 2 x dx = 3 b−a
2 2
a + ab + b a + b (b − a ) 2 D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = − = 3 12 2
P(|X|<1.96)
P(|X|<1.96) =2Φ(1.96)-1 =0.95 -
例4 设X~N(0,1),P(X≤a)=0.9515,P(X≤b)=0.0495, 求a,b. 所以,a>0, 解:Φ(a)=0.9515>1/2, 所以 反查表得:Φ(1.66)=0.9515, 故a=1.66 反查表得 而Φ(b)=0.0495<1/2, 所以 所以,b<0, Φ(-b)=1- Φ(b)=1- 0.0495 =0.9505, -b>0, 反查表得: 反查表得 Φ(1.65)=0.9505, 即-b=1.65, 故 b=-1.65 -
2
+∞
x f ( x)dx = ∫ λ x e
0
= −x e
DX = 2
2 − λ x +∞ 0
+ ∫ 2 xe
0
+∞
−λ x
dx = λ 2
λ
2
−
1
λ
2
=
1
λ2
例3
某人乘车或步行上班，他等车的时间 （单位：分钟） 某人乘车或步行上班，他等车的时间X（单位：分钟） 服从参数为0.2的指数分布 如果等车时间超过10分钟 的指数分布， 分钟， 服从参数为 的指数分布，如果等车时间超过 分钟， 他就步行上班. 他就步行上班 若以Y 表示他一周（五天工作日）步行上班的天数， 若以 表示他一周（五天工作日）步行上班的天数， 他一周内至少有一天步行上班的概率. 求：他一周内至少有一天步行上班的概率
解
0.2e−0.2 x ， x > 0； X ~ f ( x) = x ≤ 0. 0，
分钟） （1）则他步行上班（等车超过 分钟）的概率为 ）则他步行上班（等车超过10分钟
P{ X > 10} = 1 − P{ X ≤ 10} = 1 − ∫ 0.2e−0.2 x dx = e−2
0
10
问车门高度应如何确定? 问车门高度应如何确定? 设车门高度为h 解 设车门高度为 cm,按设计要求 ,
h−170 ) ≥ 0.99 故 P( X ≤ h) = Φ( 6 查表得 Φ (2.33) ≈ 0.99
P( X ≥h) ≤ 0.01 即 P( X ≤h) ≥ 0.99
因为分布函数非减
h − 170 ∴ ≥ 2.33 6