连续型随机变量函数的分布
随机变量函数的分布
二 、连续型随机变量函数的分布 2.分布函数法 一般地，若已知X的概率密度为 fX(x),求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)分两个步骤： 10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y); 20 由 fY(y) = F (y) 求出 fY (y)
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ， （－∞<x< +∞ ）,又函数y = g(x)处处可导，且严格单 调，其反函数为x = h(y )，则Y = g(X)也是一连续型随 机变量，且密度函数为
h y f[ h ( y )], y f y Y , 其他 0
计算离散型随机变量函数的分布的方法： 首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值
y g ( x )( i 1 ， 2 ， .) i i
如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 Y P y1 p1 y2 p2 … … yi pi … …
如果 yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在
0 , y25 /4 F (y) * 25 /4y9 1, y9
F ( y ) P { Y y } P { X / 4 y }
2
P { X 4 y / }
4 y /
f ( x ) dx X
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
其中， m g ( in{ ), g ( )}, m g ( ax ), g ( )
注意 若f(x)在有限区间[a,b]外等于0,则只需设在[a,b] ( x ) 0 [ 或 g ( x ) 0 ]. 上有 g
连续型随机变量常见的几种分布
)
29
◆ 对任意区间 ( x1 , x2 ], 则有： x1 X x2 ) P ( x1 X x2 ) P ( x2 x1 ( )
(
)
30
(6) 3 原则 由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
6
解： 设以7:00为起点0，以分为单位 从上午7时起， 每15分钟来 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 一班车，即 1 7:00，7:15， 0 x 30 f ( x ) 30 7:30 其 它 等时刻有汽 0 车到达汽站 为使候车时间X 少于 5 分钟， 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 故所求概率为：
2( 2) 1 2 0.9772 1 0.9544
33
例4. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程短，交通拥挤)
所需时间(分钟) X ~ N (27,52 ), 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟)Y～N (30,22 ) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: 30 27 ) A 路: P ( X 30) 1 P ( X 30) 1 ( 5 1 (0.6) 1 0.7257 0.2743
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
7
候车时间超过10分钟,则乘客必须在7:00到7:05或 7:15到7:20之间到达车间
P (0 x 5) P (15 x 20)
连续型随机变量的分布与例题讲解
(3) f(x) = F ¢ x) = (
1 (- ? p (1 + x 2 )
x< +
ì
- 3x
)
, x > 0, x £ 0,
例2
ï ke 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) = ï í ï 0, ï î
试确定常数
k，并求其分布函数 F(x)和 P{X>0.1}. 解：由
+?
ò
+
f (x)dx = 1 得
X ~ W (m, , ).
Weibull 分布的分布函数为
F ( x)
x
m
(t )
m 1
( t )m
e
dt 1 e
( x )m
(x )
——位置参数
——尺度参数
m ——形状参数
Weibull 分布概括了许多典型的分布。
本次课小结：
即是说该大学的实录线约为 512 分。 （三） 对数正态分布 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
1 (ln x )2 2 f ( x) 2 x e 2 0
4
基
本 内
容
备 注
其中， ， 0 为常数，则称 X 服从参数为 和 的对数正态分布，记作
（四）Weibull 分布 定义：若随机变量 X 的概率密度函数为
( x ) m ( x )m1 e x f ( x) x 0
m
其中， m, , 0 为常数，则称 X 服从参数为 m, , 的 Weibull 分布，记作
故知，X~N( 450 ,1002 ) 又设该大学实录线为 a，由题设知：
第六章(三)常用连续型随机变量的理论分布
(一)抽样分布的含义与无偏估计量 1、抽样分布的含义：统计推断是以总 体分布和样本抽样分布的理论关系为 基础的。 由总体中随机地抽取若干个体组成样 本，即使每次抽取的样本含量相等， 其统计量也将随样本的不同而有所不 同。因而样本统计量也是随机变量， 也有其概率分布，我们把统计量的概 率分布称为抽样分布。
如果总体是无限总
体，那么可以得到 无限多个随机样本。
随机样本1 2 3
……
无穷个样本
图 总体和样本的关系
如果从容量为N的有限总体抽样，若每次抽取容量为n的 样本，那么一共可以得到 N n个样本(所有可能的样本个数)。 抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能 的样本都被抽取后可以得到许多平均数。 如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构
正态分布的分位点的定义：
3、正态分布分位点计算
标准正态分布 N (0,1) 密度函数图形为：
x 图中的点 称为标准正态分布的 (1 )% 的分位点，相当于已知
F(x ) p( X x ) 1
求其中的 x
4、单侧概率与双侧概率 •统计学中，把随机变量 x 落在区间 (μ-kσ,μ+kσ)之外的概率称为双侧(两 尾)概率，记作α。 •对应于双侧概率可以求得随机变量x 小于μ－kσ或大于μ+kσ的概率，称为 单侧概率，记作α／2。
2、无偏估计 • 在统计学上，如果所有可能样本的 某一统计数的平均数等于总体的相 应参数，则称该统计数为总体相应 参数的无偏估计值。
• 设有一N=3的总体，具有变量3，4， 5；求得μ=4，σ2=0.6667， σ=0.8165 • 现以n=2作独立的回置抽样，总共得 Nn=32=9个样本。 • 抽样结果列入下表：
第三节连续型随机变量及其概率密度
则称X服从0 1分布.
这时X的分布函数为：
F(x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
2. 二项分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，，n，且分布律为：
P(X
k)
C
k n
pk qnk，k
0，1，，n，0
p
1，q
1
p，
则称X服从二项分布， 记为：X～B(n，p). 3. 泊松分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，2,，且分布律为：
2
Acos
xdx
2 A sin
x
2
0
2 A，
2A 1，
(2) (3)
P(0 X
当x
2
时4，) F
( x042)故12coAsxxdf12x(.t)d12t
sin
x
4
0
x
0dt
2 4
.
0.
当
2
x
2
时，
F
(
x)
2 0dt
x
2
1 2
cos
tdt
1 2
(sin
x
1).
当x
2
时，F
6
三、几种常见的连续型分布
1. 均匀分布：设X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a x b，
0， 其它.
则称X在区间[a，b]上服从均匀分布，记为 X～U[a，b].
0， x a，
易求X的分布函数为
F
(
x
)
x b
a a
，a
1， x
2.4连续型随机变量及其概率密度函数
-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣 琪 琪 桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3
3.5 两个随机变量的函数的分布
两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压 ,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z = g ( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工 作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和： 两者之和：
Z = X +Y
当 z > 0 时 Z = X + Y 的概率密度为
f (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) d y
= ∫ αe − α ( z − y ) βe − βy d y
(1 − e − αz )(1 − e − βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) ⋅ FY ( z ) = 0, z ≤ 0.
Z = max{ X , Y }的概率密度为
αe − αz + βe − βz − (α + β )e −( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z ≤ 0. 0,
分布函数为
Fmax ( z ) = P { M ≤ z } = P { X ≤ z ,Y ≤ z }
=P { X ≤ z } P {Y ≤ z }.
即有 Fmax ( z ) = FX ( z )FY ( z ). 类似地, 类似地
可得 N = min{ X , Y }的分布函数为
Fmin (z ) = P { N ≤ z } = 1 − P{ N > z } (z
连续随机变量的分布函数与概率密度函数的特征
连续随机变量的分布函数与概率密度函数的特征连续随机变量是概率论与数理统计中重要的概念，它的分布函数和概率密度函数是描述其特征的重要工具。
本文将从连续随机变量的定义入手，逐步介绍其分布函数和概率密度函数的概念、性质和计算方法。
一、连续随机变量的定义在概率论与数理统计中，随机变量是指一个可能的结果对应一个实数的变量。
连续随机变量是指其可能的结果在一个区间内连续分布的随机变量。
连续随机变量可以取区间内的任何一个值，并且可以取到任何一个值的概率都不为零。
二、分布函数分布函数是描述连续随机变量的分布情况的函数，通常用F(x)表示，其中x为实数。
分布函数是表示随机变量X小于或等于某个实数x的概率，即F(x) = P(X ≤ x)。
分布函数具有以下性质：1. F(x)是非减的数函数，即对于任意的x1 < x2，有F(x1) ≤ F(x2)。
2. 当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1。
3. 分布函数是右连续的，即F(x)在任意实数点x处连续。
三、概率密度函数概率密度函数是描述连续随机变量的分布情况的函数，通常用f(x)表示，其中x为实数。
概率密度函数是表示随机变量X在某个实数x附近取值的概率。
概率密度函数满足以下条件：1. f(x) ≥ 0，即概率密度函数的取值非负。
2. 在整个定义域上的积分等于1，即∫f(x) dx = 1。
概率密度函数与分布函数之间存在以下关系：1. 概率密度函数是分布函数的导数，即f(x) = F'(x)。
2. 分布函数可以通过概率密度函数来计算，即F(x) = ∫f(t) dt，其中积分区间为负无穷到x。
四、特征与计算方法1. 均值连续随机变量的均值（期望值）可以通过积分的方法计算，即E(X) = ∫x f(x) dx。
2. 方差连续随机变量的方差可以通过均值和积分的方法计算，即Var(X) = E[(X - E(X))^2] = ∫(x - E(X))^2 f(x) dx。
2.3连续型随机变量及其分布
2、指数分布 定义3 设连续型随机变量X的概率密度为
ex, x0,
f (x)0,
其它 ,
其中λ >0为常数,则称随机变量X服从参数为θ 的 指数分布.
分布函数为
1ex, x0,
F(x) 0,
其它 .
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
可得：
（1）P(Xt)et(t0) （2）P ( t 1 X t2 ) e t 1 e t2 ( 0 t 1 t2 )
P ( 1 0 X 1 5 ) P ( 2 5 X 3 0 ) 1 5 1 d x 3 0 1 d x 1
1 0 3 0 2 5 3 0 3
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
练习 设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程
4 x24 K x K 20
(1)P{X10}0 10P{X10}00 1F(10)00
0,
x 1b,
a a
,
x a, a x b, x b.
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
均匀分布的概率密度的图形
均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等长 度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度 成正比，而与子区间的起点无关。
均匀分布的分布函数的图形
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
例3 设公交车站从上午7时起，每15分钟来一班车. 某乘客在7时到7时半之间随机到达该站，试求 他的候车时间不超过5分钟的概率.
解：该乘客于7时过X分到达该车站.依题意 X U(0,30) 候车时间不超过5分钟，即10X15或 25X30
连续型随机变量分布函数
连续型随机变量分布函数1. 随机变量的分布函数背景：对于非离散型的随机变量X XX，其取值不能一一列举出来，因此就不能像离散型随机变量那样使用分布律描述它。
非离散型随机变量有很多种，其中连续型随机变量极其常见，因此我们重点研究连续型随机变量。
对于连续性随机变量，在某个点的概率为0 00，另外，实际中，对于元件的寿命，测量的误差等，研究其落在某个区间的概率更有意义，因此我们引出了随机变量的分布函数定义：设X XX是一个随机变量，x xx 是任意实数，函数F ( x ) = P { X ≤x } , −∞< x < ∞F(x)=P\{X \leq x\},-\infty<x<\inftyF(x)=P{X≤x},−∞<x<∞则为X XX的分布函数。
虽然对于离散型随机变量，我们可以使用分布律来全面地描述它，但为了从数学上能够统一地对随机变量进行研究，因此，我们针对离散型随机变量和非离散型随机变量统一地定义了分布函数。
性质1 o F ( x ) 1^o \quad F(x)1oF(x)是一个不减函数对于任意实数 x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) x_1,x_2(x1<x_2)x1,x2(x1<x2),有F ( x 2 ) −F ( x 1 ) = P { x 1 < X ≤x 2 } ≥0F(x_2)-F(x_1) = P\{x_1<X \leq x_2\} \geq 0F(x2)−F(x1)=P{x1<X ≤x2}≥0 成立2 o 2^o\quad2o 0 ≤F ( x ) ≤1 ，F ( −∞) = 0 ，F ( ∞) = 1 0\leq F(x)\leq 1，\quad F(-\infty) = 0，\quad F(\infty) = 10≤F(x)≤1，F(−∞)=0，F(∞)=13 o 3^o\quad3o F ( x + 0 ) = F ( x ) F(x+0)=F(x)F(x+0)=F(x), 即F ( x ) F(x)F(x) 是右连续的用分布函数表示事件概率P { X ≤b } = F ( b ) P\{X\leq b\}=F(b)P{X≤b}=F(b)P { X > a } = 1 −P { X ≤a } = 1 −F ( a ) P\{X>a\}=1-P\{X\leq a\} = 1-F(a)P{X>a}=1−P{X≤a}=1−F(a) P { a < X ≤b } = P { X ≤b } −P { X < = a } = F ( b ) −F ( a ) P\{ a<X\leq b\}=P\{X\leq b\}-P\{X<=a\} = F(b)-F(a)P{a<X≤b}=P{X≤b}−P{X<=a}=F(b)−F(a)P { X < b } = F ( b −0 ) P\{X< b\}=F(b-0)P{X<b}=F(b−0)P { X ≥b } = 1 −P { X < b } = 1 −F ( b −0 ) P\{X\geq b\}=1-P\{X< b\} = 1- F(b-0)P{X≥b}=1−P{X<b}=1−F(b−0) P { X = b } = P { X ≤b } −P { X < b } = F ( b ) −F ( b −0 ) P\{X = b\}=P\{X \leq b\}-P\{X < b\} = F(b)-F(b-0)P{X=b}=P{X≤b}−P{X<b}=F(b)−F(b−0)注意这里的F ( b −0 ) F(b-0)F(b−0)表示分布函数F ( x )F(x)F(x) 在x = b x=bx=b处理左极限。
随机变量的分布函数、连续型
02
偏度是描述数据分布不对称性的量，即三阶中心矩与三阶原点矩的比值。偏度 大于0表示分布右偏，偏度小于0表示分布左偏。
03
峰度是描述数据分布形态陡峭或扁平程度的量，即四阶中心矩与四阶原点矩的 比值。峰度大于3表示分布比正态分布更陡峭，峰度小于3表示分布比正态分布 更扁平。
PART 04
连续型随机变量的应用
用。
PART 03
连续型随机变量的性质
REPORTING
WENKU DESIGN
概率密度函数（PDF）
概率密度函数（PDF）描述了随机变量取值在 某个区间的概率，即密度函数值与该区间长度 之积等于该区间内事件发生的概率。
PDF具有非负性，即对于所有实数x， PDF(x)≥0。
整个实数轴上的概率总和为1，即 ∫∞−∞f(x)dx=1，其中f(x)是随机变量的概率密 度函数。
在模拟连续型随机变量时，蒙特卡洛方法通过产生大 量随机样本，并计算其统计量，来估计随机变量的分
布函数和概率密度函数。
蒙特卡洛方法的优点是简单易行，适用于各种类型的 分布函数，但缺点是精度取决于样本数量，样本数量
越多，精度越高。
逆变换采样法
逆变换采样法是一种基于概率分布的反向抽样方法，即先从均匀分布的随机数中抽取样本，再通过概 率分布的反函数变换得到所需的随机变量。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
正态分布的实际应用案例
金融领域
正态分布被广泛用于描述金融数据的分布，如股 票价格、收益率等。
自然现象
许多自然现象的分布呈现正态分布特征，如人类 的身高、智商等。
统计学
在统计学中，正态分布是最常用的分布之一，用 于描述数据的集中趋势和离散程度。
§3、连续型随机变量及其分布
综上所述，即得随机变量X的分布函数为
0, 当x 0时 1 F ( x) x 2 , 当0 x 2时 4 1, 当x 2时
对F(x)求导数，可得 x 2时 f ( x) F ( x) 2 0, 其它
P{a X b} F (b) F (a ) b a .
x
x
x 2 a x 2 a x dx a x arcsin C . 2 2 a
2 2
2
8
③当
x x 1 时，
1
F ( x)
f (t )dt
2 0 1 t 2 dt 0 1 1;
注：积分 所以
1
1
1 1 t dt 12 为单位圆面积一半． 2
19
正态分布密度函数 图形曲线的几何性质： (1)概率密度曲线 关于 x =μ为轴对称； (2)密度函数的 最大值为
f max ( x ) f ( )
(3)在点 x±μ处有拐点，凸凹区间为 (, ), ( , ), ( ,); (4)概率密度曲线以 x 轴为水平渐近线． 参数μ (X的数学期望)是其位置参数；参数σ (X的均方差)是其形状参数．
注：分布函数F(x)的不可导点仅两个，……
6
【例1】设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数． 【解】 注意到其概率密度 f(x)是分段函数，因此 根据其分段定义区间(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞)，分段 求其分布函数F(x)． ①当
x
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x) 其它, 0,
随机变量函数的分布解读
X Y 2 1 0
1
1
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
12 12 12
1
2
6
例2 设 X pk
1 1 6
1 2 6
2 3 6
求 Y X 2 5的分布律.
解 Y 的分布律为
Y 4
1
1
1
p
2
2
7
三、连续型随机变量函数的分布
例3 设 随 机 变 量X 的 概 率 密 度 为
f
X
(
x)
x 8
,
0 x 4,
0, 其 他.
求 随 机 变 量Y 2X 8 的 概 率 密 度.
解 先求随机变量Y X 2 分布函数,
FY ( y) P{Y y} P{X 2 y} P{ y X y}
y
y
FX ( y) FX ( y) f X ( x)d x f X ( x)d x.
再由分布函数求概率密度. fY ( y) FY ( y) fX ( y)( y) fX ( y)( y)
证明 X 的概率密度为
fX (x)
1
e
(
x μ)2 2σ2
,
x
.
2πσ
设 y g( x) ax b,
得 x h( y) y b , 知 h( y) 1 0.
a
a
14
由公式
fY
( y)
fX [h( y)]h( y) , y
0,
其它.
,
得 Y aX b 的概率密度为
fY ( y)
16
有一大群人,令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压,并且已知 Z 与 X , Y 的函数关系 Z g( X ,Y ), 如何通过 X ,Y 的 分布确定 Z 的分布.
随机变量函数的分布-连续型情形
休息，休息一下！
随机变量函数的分布
2） 公式法
设 Y = g ( X ) ，当g ( x )单调可导时，可用以下方法求 Y 的概率密度 f Y ( y ). 定理 设X 为连续型随机变量，概率密度为f X ( x ), 函数 y = g(x)处处可导, 且其导函数丌变号（即恒有 g '(x) 0 或 g '(x) 0 ）,记 h(y) 为 g(x)的反函数.
( 2) f (y) [F ( y)] '
Y
Y
y
g(x) y
Note : 变限积分的求导公式
b( y) a( y )
f
(x)dx
' y
f [b( y)]b'( y)
f [a( y)]a '( y)
随机变量函数的分布
例1
已知 X 的概率密度为
f
X
(x)
x 8
,
0.
0 x 4, 求 Y = 2X + 8 的概率密度.
其它.
解：
FY( y) PY y P{ X
y8 } 2
y8 2
fX (x) dx
( 变限积分的求导 )
fY ( y)
FY
(
y)
' y
fX
y
2
8
y8 2 y
1 2
f X
y 8 2
f X
y 8 2
0
0
y
8 2
4
8
y
16
f Y(
y)
y 32
8
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8 y 16,
0.
其他.
2. 设F ( x )为某连续型随机变量 的分布函数 ，且存在反函数F -1 ( x )，
连续型随机变量的函数的分布思政
一、概述连续型随机变量的函数的分布是概率论与数理统计领域一个重要的研究课题。
在实际应用中，我们经常需要分析具有一定概率分布的随机变量经过某种函数变换后的分布情况。
这不仅对于了解随机变量的性质和规律具有重要意义，还在实际问题的求解中起到了关键作用。
在本文中，我们将首先对连续型随机变量和随机变量的函数进行简要介绍，然后深入探讨连续型随机变量的函数的分布，并总结相关的分布思政。
二、连续型随机变量的基本概念1. 连续型随机变量的定义连续型随机变量是指一个随机变量在其取值范围内任意取值的概率分布是连续分布的随机变量。
具体来说，如果一个随机变量取值范围为无限区间，那么我们称其为连续型随机变量。
2. 连续型随机变量的密度函数对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)定义为在任意实数x 上有f(x)≥0，并且在整个实数轴上的积分等于1，即∫f(x)dx=1。
三、随机变量的函数随机变量的函数是指对于一个已知的随机变量X，我们可以利用某个函数Y=g(X)来构造一个新的随机变量Y。
其中，g(X)即为随机变量X 的函数。
四、连续型随机变量的函数的分布1. 变量变换法则对于连续型随机变量X，其函数Y=g(X)的密度函数fY(y)的计算可以利用变量变换法则进行。
变量变换法则的基本思想是对Y的一个小区间与X的一个小区间之间的关系建立对应关系，然后通过变量代换计算概率密度函数fY(y)。
2. 实例分析通过一个实例来分析连续型随机变量的函数的分布。
假设X～U(0,1)表示在[0,1]上均匀分布的连续型随机变量，求Y=X^2的概率密度函数。
我们可以利用变量变换法则来计算Y的概率密度函数。
五、连续型随机变量的函数的分布思政在实际应用中，连续型随机变量的函数的分布思政具有重要的意义。
我们可以通过对分布思政的深入理解，更好地应用在现实问题的分析与求解过程中。
六、总结本文主要对连续型随机变量的函数的分布进行了介绍和分析，并总结了相关的分布思政。
概率论分布函数
概率论分布函数概率论分布函数是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的概率分布情况。
它可以帮助我们理解随机事件的发生概率，并在实际问题中进行概率计算和统计推断。
一、离散型随机变量的分布函数对于离散型随机变量，概率分布函数通常用累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）来表示。
CDF可以简单理解为随机变量小于等于某个取值的概率。
例如，假设有一个离散型随机变量X，它的取值范围为{1, 2, 3, 4, 5}，对应的概率分别为{0.1, 0.2, 0.3, 0.2, 0.2}。
那么，X小于等于2的概率就是0.1+0.2=0.3，X小于等于4的概率就是0.1+0.2+0.3+0.2=0.8。
二、连续型随机变量的分布函数对于连续型随机变量，概率分布函数通常用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来表示。
PDF描述了随机变量在某个取值附近的概率密度。
以正态分布为例，其PDF可以用数学公式表示，但是在这里我们避免输出公式。
简单来说，正态分布是一种常见的连续型随机变量分布，它的形状呈钟形曲线。
正态分布的分布函数可以帮助我们计算出随机变量落在某个区间内的概率。
三、概率论分布函数的应用概率论分布函数在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 风险评估：通过概率论分布函数，可以对某种风险事件发生的概率进行评估。
例如，在金融领域中，可以利用概率分布函数来评估股票价格的波动性，帮助投资者进行风险管理和决策。
2. 假设检验：在统计学中，假设检验是一种常用的统计推断方法。
通过概率论分布函数，可以计算出在某个假设成立的条件下，观察到某个样本结果的概率。
从而判断该假设是否成立。
3. 可靠性分析：在工程学中，可靠性分析是评估某个系统是否能够在一定时间内正常运行的方法。
通过概率论分布函数，可以计算出系统在不同时间点发生故障的概率，从而评估系统的可靠性。
《概率论与数理统计》课件3-6两个随机变量的函数的分布
1
2
0.2
0.1
0.2
.
2 0.1 0.3 0.1
(2) Z2 = XY可能的取值为0, 1, 2, 4，相应的概率为P {Z = 0} = P {X = 1, Y = 0}+ P {X = 2, Y = 0} = 0.2 + 0.1 = 0.3P {Z = 1} = P {X = 1, Y = 1} = 0.1P {Z = 2} = P {X = 2, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} = 0.3 + 0.2 = 0.5
上服从均匀分布.求以X和Y为边长的矩形面积S 的概率密度f (s 1.
思路先求戶(s)
SharVHng Nonrtf Unmnly
解由题设知，二维随机变量(x, Y)的概率密度为若(x,y)g G,f (x, y ) = p i 丿、0,若(x, y )w G.设S = XW,E(s) = P{S < s}为S的分布函数，则:当 s < 0 时，F(s) = P{XY < s} = 0,当 s > 2 时，F (s) = P {XY < s} = 1,当0 < s < 2时，曲线xy = s与矩形G的上边交于点(s,1)，于是
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7
设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下,
单选题1分
◎设置
则 P{min {X, Y} = 0}().A) 0.2 B) 0. 3 C) 0.4 D)0. 5
STHnVangi Nonni UnMnCy
单选题1分
问题设(X, D为连续型随机向量,联合概率密度为/ (x,尹), g (x,尹)为平面舟上的实值函数，求Z = g (X, Y )的概率密度.
连续型随机变量的分布函数的计算方法
山西大 同大学学报（ 自然科 学版） Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｄａ ｔ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｆ 。 ） ｓＦ ： ） ；
Ｆ ∽＝
一
１ ２ ＋
一
１ ，１
＜２ １ 。
１ 。
（ ２ ）０ ５Ｆ ∽５ １， 且Ｆ （ － ｏ 。 ） ＝ ０ ， Ｆ （ ＋ 。 。 ） ＝１； （ ３ ）Ｆ ∽ 右 连续 ， 即Ｆ ） ＝ Ｆ 。 ） 。
方法 ２ ： 求厂 ∽ 的一个原函数 ） ， 先给出下面两个简单的定理。
作者简介： 王仲梅（ １ ９ ８ ０ 一 ） ， 女， 山西大同人 ， 硕士 ， 讲师 ， 研 究方向 ： 图论及其应用 。
２ ０ １ ７ 年
王 仲梅等 ： 连 续型 随机变量 的分 布函数 的计 算方 法
Ｃ。 ， Ｓ ０
则它的分布函数为
Ｃ。 ， ａ １
∽， ａ ｌ ＜ｘ － ｓａ ２
所以． 随机 变量 的分布 函数
０ ． １ ＜０ ０冬 ＜１
Ｚ订
简单 ； 第二种是 厂 ㈨ 是分段函数 ， 这类 问题在本科 学习阶段 比较多 ， 而且部分学生会觉得 比较难 。下 面我们主要讨论 厂 ） 是分段 函数的情形 。
定 义 １设 是 一 个 随 机 变 量 ， ∈ Ｒ， 则 称 Ｆ ） ＝ Ｊ Ｐ 为 随机变 量 的分布 函数 。 由定义 １ ， 分布 函数 Ｆ ㈤ 显 然满 足 ： （ １ ）单 调 不 减 ，即 若 ， ， ： ∈ Ｒ， 且 。 ｓ ， 则
连续型随机变量的函数的分布 知乎
连续型随机变量的函数的分布知乎
连续型随机变量的函数的分布是指，对于连续型随机变量X，其函数g(X)的取值分布。
具体来说，假设X的概率密度函数为f(x)，g 为一个可求导函数，则g(X)的概率密度函数为：
h(y) = f(g^{-1}(y)) |g^{-1}(y)|
其中，g^{-1}(y)表示g的反函数，|g^{-1}(y)|表示其导数的绝对值。
这个公式其实可以理解为，h(y)表示g(X)=y的概率密度，即在y处的概率密度，而g^{-1}(y)则表示X=g^{-1}(y)的取值，所以
f(g^{-1}(y))表示X取g^{-1}(y)处的概率密度，而|g^{-1}(y)|则表示g^{-1}(y)的导数绝对值，表示了X在该点的密度与y点的密度之间的比例关系。
需要注意的是，由于g的取值范围可能不同于X，所以在计算h(y)时需要对g^{-1}(y)的取值范围进行限制。
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