课题：21向量的概念及其表示
人教版数学必修四：2.1向量的概念及其表示学案(学生版)
表示向量的大小,表示向量的方向.
思考：向量与有向线段有什么区别？
3. 向量的长度（模）:,记作.
叫做零向量,记作.
单位向量：
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量的终点的轨迹是什么图形？
4.平行向量（共线向量）：,记作.
相等向量：.
相反向量：.
【规定】：1.零向量与任一向量平行.
思考：若上题中小正方形的边长为1，则模等于 的向量共有几个？
与 同向，且模为 的向量共有几个？
四、巩固练习
1．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；（2）与长度相等的向量；（3）与共线的向量.
2．长度相等的向量是相等向量吗？相等的向量是共线向量吗？平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量吗？请举例说明.
教学难点：共线向量
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
1.如图,湖面上有三个景点O、A、B，如图所示.一游艇将游客从景点O
送至景点A，半小时后，游艇再将游客从送至景点B.从景点O到景
点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移，
问题1：位移和距离这两个量有什么不同？
问题2：你还能举出我们生活中和位移相似的一些量吗？
课题：§2.1向量的概念及表示总第____课时
班级_______________姓名_______________【学习目标】
1.了解向量的实际背景,会用字母表示向量,理解向量的几何表示.
2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念.
【重点难点】
教学重点：会用字母表示向量;理解向量的含义.
向量的概念及表示
向量的概念及表示一、知识、能力聚焦1、向量的概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量。
【注：和量与数量的区别，表示向量的大小称为向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）】 向量 的大小称为向量的长度（或称为模），记作│ │。
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 。
（3）单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量 和 相等，则记作 = 。
2、共线向量共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等是一定共线。
平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量分为如下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等。
（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任何向量共线。
例：把平面一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是什么？ 解：因任一单位向量的始点移到同一点O 时，终点一定落在以O 为圆心，半径为1的单位圆上，反过来，单位圆上的任一点P 都对应一个单位向量 ，故构成的图形为一单位圆。
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
例： 向量 、 平行，记作// 。
向量 、 、 平行，记作// // 。
（6）零向量与任一向量平行（7）相反向量：与向量 长度相等且方向相反的向量叫做 的相反向量。
记为- ， 与- 互为相反向量，且规定：零向量的相反向仍是零向量。
例： 在平行四边形ABCD 中，向量 和向量 方向相同O AB a b a b OP a b a b a b c a b c a a a a a AB DC AB且长度相等； = 。
向量 和向量 长度相等但方向相反，是一对相反向量； =- 。
3、向量的表示 几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如 用| |表示长度。
例： 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形；①用有向线段表示与向量 相等的向量； ②用有向线段表示与向量 共线的向量；解：①与 相等的向量是 、 、 。
向量的概念及表示改
现有的向量表示方法及其优缺点
Word2Vec
通过训练神经网络来生成词向 量，优点是计算效率高，缺点 是生成的向量维度较高且不易 解释。
GloVe
基于全局矩阵分解的方法，优 点是生成的向量具有较好的语 义信息，缺点是需要大量的语 料库和计算资源。
BERT
基于预训练语言模型的方法， 优点是生成的向量具有丰富的 语义信息且易于解释，缺点是 需要大量的训练数据和计算资 源。
新的向量表示方法的提出与实现
TuckER
通过引入知识图谱信息来生成向量，优点是生成的向量具有丰富 的语义信息和可解释性，缺点是需要额外的知识图谱数据。
Transformer
基于自注意力机制的方法，优点是计算效率高且生成的向量具有 较好的语义信息，缺点是需要大量的训练数据和计算资源。
THANK YOU
02
向量的基本性质
向量的模
向量的模是指向量的大 小或长度，用数学符号 表示为|a|，其中a是一 个向量。
向量的模可以通过勾股 定理计算，即向量的大 小等于其分量的平方和 的平方根。
向量的模具有传递性， 即如果|a|=|b|且|b|=|c|， 则|a|=|c|。
向量的模具有非负性， 即向量的模总是非负的 ，向量的模为0当且仅 当该向量是零向量。
05
向量的表示方法改进
改进向量表示方法的必要性
80%
适应新应用场景
随着技术的发展，向量表示方法 需要适应新的应用场景，如自然 语言处理、图像识别等。
100%
提高计算效率
现有的向量表示方法在处理大规 模数据时效率较低，需要更高效 的表示方法来提高计算效率。
80%
增强可解释性
改进向量表示方法可以使其更易 于解释，从而更好地理解数据的 内在含义。
《向量的概念课件》课件
混合积满足分配律和双线性性，即$(lambda mathbf{A}) cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = (lambda mathbf{B}) cdot (mathbf{C} times lambdamathbf{A}) = (lambdamathbf{C}) cdot (lambdamathbf{A} timeslambdamathbf{B})$。
定义
两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的向量积定义为$mathbf{A} times mathbf{B}$， 它是一个向量，垂直于$mathbf{A}$和$mathbf{B}$，其模长为$|mathbf{A}| times |mathbf{B}| times sin theta$，其中$theta$是$mathbf{A}$和$mathbf{B}$之间的夹角 。
向量在几何中的应用
描述方向和角度Biblioteka 向量可以用来表示方向和角度，从而在几何中描述直 线、平面、旋转等基本元素。
解决线性代数问题
向量可以用于解决线性代数问题，如线性方程组、矩 阵运算等。
计算面积和体积
向量可以用于计算几何形状的面积和体积，如平行四 边形、长方体等。
向量在计算机图形学中的应用
描述二维和三维坐标
运算性质
数量积满足交换律和分配律，即 $mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$和 $(lambda mathbf{A}) cdot mathbf{B} = lambda (mathbf{A} cdot mathbf{B})$。
向量的向量积
向量的表示方法
总结词
向量可以用多种方式表示，包括文字描述、坐标表示和箭头表示等。
2.1 向量的概念及表示
2．1． 向 量一、课题：向量二、教学目标：1．理解向量的概念，掌握向量的二要素〔长度、方向〕； 2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模长；3．注意向量的特点：可以平行移动〔长度、方向确定，起点不确定〕。
三、教学重、难点：1．向量、相等向量、共线向量的概念；2．向量的几何表示。
四、教学过程： 〔一〕问题引入：老鼠由A 向西北方向逃窜，如果猫由B 向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？ 〔二〕新课讲解：1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．向量的表示方法：〔1〕用有向线段表示； 〔2〕用字母表示：a说明：〔1〕具有方向的线段叫有向线段。
有向线段的三要素：起点、方向和长度； 〔2〕向量AB 的长度〔或称模〕：线段AB 的长度叫向量AB 的长度，记作||AB ． 3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义： 〔1〕单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即||1AB =； 〔2〕零向量：长度为零的向量叫零向量，记作0；〔3〕平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：////a b c ； 〔4〕相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。
即：a b =； 〔5〕共线向量：平行向量都可移到同一直线上。
平行向量也叫共线向量。
说明：〔1〕规定：零向量与任一向量平行，记作0//a ； 〔2〕零向量与零向量相等，记作00=；〔3〕任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
4．例题分析：例1如图1，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA ，OB ，OC 相等的向量。
解：OA CB DO ==EF =；OB DC EO AF ===；OC AB ED FO ===．例2 如图2，梯形ABCD 中，E ，F 分别是腰AB 、DC 的三等分点，且||AD 2=，||5BC =，求||EF ．解：分别取BE ，CF 的中点分别记为M ，N ， 由梯形的中位线定理知：1||(||)2MN EF BC =+ 1111||()(||||)2222EF AD MN AD EF BC =+=++ ∴3159||(2)4224EF =+=∴||3EF =．B 〔终点〕A 〔起点〕1〕2〕例3 在直角坐标系xoy 中，||5OA ，OA 与x 轴正方向所成的角为30，与y 轴正方向所成的角为120，试作出OA ． 解：五、课堂练习：六、课堂小结：1．正确理解向量的概念，并会用数学符号和有向线段表示向量；2．明确向量的长度〔模〕、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等 向量的意义。
向量概念课件
点乘的几何意义是两个向量的投影长度乘积减去它们之间的角度余弦值。
几何意义
点乘在物理学、工程学、计算机图形学等领域有广泛应用，如力矩计算、速度和加速度的合成等。
应用
总结词：叉乘是两个向量之间的一种外积运算，结果是一个向量。
VS
混合积是三个向量之间的一种运算，结果是一个标量。
详细描述
混合积是三个向量之间的一种运算，其结果是一个标量。混合积的定义为三个向量的对应坐标相乘后再求和，即a·b·c=∑(a_i*b_j*c_k)。混合积的结果取决于三个向量的长度和它们之间的夹角。当三个向量两两垂直时，混合积的结果为0；当三个向量共线时，混合积的结决于它们的夹角和长度。
向量在汽车工程中的应用
向量可以用来表示和解决与水流方向、速度和水压力相关的问题，例如水轮机的设计和运行。
向量在水利工程中的应用
THANKS
感谢观看
详细描述
向量可以用多种方式表示，包括文字描述、坐标表示和箭头表示。
总结词
文字描述通常使用有向线段的起点和终点来表示，例如“A指向B”。坐标表示则是在二维或三维坐标系中，用起点和终点的坐标来表示向量。箭头表示则是用带箭头的线段来表示向量，箭头的长度代表向量的模，箭头的指向代表向量的方向。
详细描述
总结词
要点一
要点二
详细描述
点乘是两个向量之间的一种内积运算，其结果是一个标量。点乘的定义为两个向量的对应坐标相乘后求和，即a·b=∑(a_i*b_i)。点乘的结果取决于两个向量的长度和它们之间的夹角。当两个向量垂直时，点乘的结果为0；当两个向量同向时，点乘的结果为两向量长度的乘积；当两个向量反向时，点乘的结果为负的两向量长度的乘积。
总结词
向量的应用
CATALOGUE
向量的基本概念与运算
向量的基本概念与运算在数学中，向量是一种具有大小和方向的量，常用于表示运动、力等概念。
向量的概念和运算是数学中的基础知识，它们在物理、工程、计算机科学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍向量的基本概念和运算，并讨论其在实际问题中的应用。
一、向量的定义与表示向量可以通过有序数对或坐标来表示。
在二维坐标系中，一个向量可以表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
类似地，在三维坐标系中，向量可以表示为 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 为向量在 x 轴、y 轴和 z 轴上的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法定义为相同位置上的分量相加。
设向量 A 的分量为 (A1, A2, A3)，向量 B 的分量为 (B1, B2, B3)，则两个向量的和可以表示为 (A1+B1, A2+B2, A3+B3)。
向量的加法满足交换律和结合律，即 A+B=B+A 和(A+B)+C=A+(B+C)。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法定义为向量的每个分量乘以一个标量。
设向量 A 的分量为 (A1, A2, A3)，标量为 k，则向量 A 乘以标量 k 后的结果可以表示为 (k*A1, k*A2, k*A3)。
3. 向量的减法向量的减法可以看作加法的逆运算。
设向量 A 的分量为 (A1, A2, A3)，向量 B 的分量为 (B1, B2, B3)，则两个向量的差可以表示为 (A1-B1, A2-B2, A3-B3)。
4. 向量的点积向量的点积也称为内积或数量积，表示为 A·B。
设向量 A 的分量为(A1, A2, A3)，向量 B 的分量为 (B1, B2, B3)，则两个向量的点积可以表示为 A1*B1 + A2*B2 + A3*B3。
点积的结果是一个标量。
5. 向量的叉积向量的叉积也称为外积或向量积，表示为 A×B。
设向量 A 的分量为 (A1, A2, A3)，向量 B 的分量为 (B1, B2, B3)，则两个向量的叉积可以表示为 (A2*B3 - A3*B2, A3*B1 - A1*B3, A1*B2 - A2*B1)。
向量的概念及表示(公开课)
向量
向量
向量的表示
向量的大小 (模)
向量的方向
平行向量 共线向量) (共线向量)
零向量
单位向量
课堂小结
向量及向量符号的由来
向量最初被应用于物理学, 向量最初被应用于物理学,被称为矢 很多物理量,如力,速度,位移, 量.很多物理量,如力,速度,位移,电 场强度,磁场强度等都是向量. 场强度,磁场强度等都是向量. 大约公元前350 350年 大约公元前350年,古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 向量一词来自力学, 量.向量一词来自力学,解析几何中的有 向线段 向线段. 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿 学家牛顿. 大科学家牛顿.
共线向量: 平行向量也叫做共线向量. 共线向量: 平行向量也叫做共线向量. 相反向量 : 长度相等 且方向相反的向量 叫做相反向量. 记作: 叫做相反向量. 记作: a
思考: 思考:
1,若两个向量相等,则它们的起点和终点 ,若两个向量相等, 分别重合吗? 分别重合吗? 2,向量 AB 与 CD 是共线向量,则A,B, 是共线向量, , , , C,D四点必在一直线上吗 C,D四点必在一直线上吗? 四点必在一直线上吗? 3,平行于同一个向量的两个向量平行吗? ,平行于同一个向量的两个向量平行吗? 4,若四边形 若四边形ABCD是平行四边形,则有 是平行四边形, 是平行四边形 A AB = DC 吗? B
学生活动
a
(1),如上图,设图中小正方形的边长为1,则| a |= ),如上图 设图中小正方形的边长为1 如上图,
.
(2),请在上图中画出与| a |相等的向量(要求所画向量的 请在上图中画出与| |相等的向量 相等的向量( ),请在上图中画出与 起点和终点在方格的格点处,以下要求不变). 起点和终点在方格的格点处,以下要求不变). (3),请在上图中画出模为| a |的2倍的向量. 请在上图中画出模为| |的 倍的向量. ),请在上图中画出模为 思考:观察上图中的向量,我们可将其分为模为 2 和 2 2 思考:观察上图中的向量, 两类;你能否将这些向量按照" 进行分类? 两类;你能否将这些向量按照"方向"进行分类?
向量的基本概念及运算
向量的基本概念及运算向量是数学中常用的表示量的工具，它具有大小和方向两个属性。
在物理学、几何学、工程学等学科中广泛应用。
本文将介绍向量的基本概念以及常见的运算方法。
一、向量的基本概念向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
一般用大写字母加上箭头来表示向量，如A、B等。
向量的起点可以是任意的，终点也可以是任意的，只要保持方向和大小一致即可。
二、向量的表示方法1. 平面向量的表示平面向量由两个有序实数构成，可以表示为A = (x, y)，其中x和y 分别表示向量沿x轴和y轴的分量。
2. 空间向量的表示空间向量由三个有序实数构成，可以表示为A = (x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量沿x轴、y轴和z轴的分量。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相接，用第一个向量的起点和第二个向量的终点构成一个新的向量。
A +B = (x1 + x2, y1 + y2)A +B +C = A + (B + C) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)2. 向量的减法向量的减法表示为A - B，即A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
向量的减法可以转换为向量的加法进行计算。
A -B = (x1 - x2, y1 - y2)3. 向量的数乘向量的数乘指将向量的每个分量都乘以同一个实数。
数乘后的向量与原向量方向相同（当实数大于0时），或反向（当实数小于0时），大小为原向量大小的绝对值与实数的乘积。
kA = (kx, ky)四、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的大小，表示为|A|。
计算公式为：|A| = √(x^2 + y^2) （平面向量）|A| = √(x^2 + y^2 + z^2) （空间向量）2. 零向量零向量是指模为零的向量，用0表示。
零向量的方向可以是任意的，但是定义上无法确定。
3. 单位向量单位向量是指模为1的向量，可以通过将向量除以模得到。
向量的概念及表示(公开课)-PPT
B.3
C.4
D.5
练习 3 .下列说法是否正确 A .若 | a | | b |, 则 a b B .若 | a | 0 , 则 a 0 C .若 | a | | b |, 则 a b或 a b D .若 a // b , 则 a b E .若 a b , 则 | a | | b | F .若 a b , 则 a 与 b 不是共线向量 G .若 a 0 , 则 a 0
◆速度是既有大小又有方向的量。
B
A
建构数学
一．向量的相关概念
１.向量的定义：既有大小又有方向的量。
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
一:向量定义
既有大小又有方向的量叫 向 量
向量 现实生活中还有哪些量既有大 小又有方向？
建构数学 三、向量的关系
平行向量： 方向相同 或相反 的非零向量
叫做平行向量。 记作： a//b.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量： 长度相等 且方向相同 的向量
叫做相等向量 。 记作： ab. 共线向量： 平行向量也叫做共线向量。
相反向量 ： 长度相等 且方向相反的向量
叫做相反向量。 记作： a
B
（2）FB、AF、MC
（3）BD、DC、EM
D
C
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边 形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量
中：
（1）与 A O 相等的向量为
；A
B
（2）与A O 共线的向量为 （3）与 A O 的模相等的向量为
向量的概念及向量的表示
向量模的计算
定义
向量$vec{a}$的模定义为 $|vec{a}| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$，其中$n$是向量的维 数，$a_i$是向量的分量。
向量坐标的运算
总结词
向量的坐标运算包括加法、数乘、向量的模等基本运算。
详细描述
设两个平面向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和 $overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$，则它们的和向量 $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$；数乘运算中， $koverset{longrightarrow}{a} = (kx_{1}, ky_{1})$；向量 $overset{longrightarrow}{a}$的模为$left| overset{longrightarrow}{a} right| = sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$。
计算方法
根据定义，可以通过计算向量 的分量平方和，然后取平方根 得到向量的模。
特殊情况
当向量模为0时，表示该向量 是零向量；当向量模为无穷大 时，表示该向量不存在。
向量模的应用
80%
向量长度
向量的模可以用来表示向量的长 度或大小。
向量的概念及向量的表示
空间向量基本定理及应用
空间向量基本定理
如果三个向量 a、b、c 不共面，则对 空间任一向量 p，存在一个唯一的有 序实数组 x、y、z，使得 p = xa + yb + zc。
应用
空间向量基本定理是空间向量坐标表 示的基础，它说明空间中的任一向量 都可以表示为其他三个不共面向量的 线性组合。
向量在解析几何中作用
线性组合与线性方程组的解
线性方程组可以表示为一系列向量的线性组合等于零向量的形式。线性方程组的解与这些 向量的线性相关性密切相关。当且仅当这些向量线性无关时，方程组有唯一解；否则，方 程组有无穷多解或无解。
04 向量运算及应用
加法运算及物理意义
向量加法的定义
两个向量相加，即将它们的对应 分量相加得到新的向量。
磁场强度
磁场强度是描述磁场中某点磁场力作用强弱和方向的物理量，也是一个矢量。在电磁学中，磁场强度 用向量表示，其大小等于单位电流元在该点所受磁场力的大小与电流元方向之间的夹角的正弦值的乘 积，方向遵循右手定则。
波动现象中波矢描述
• 波矢：波矢是描述波动现象中波的传播方向和波长的物理量， 是一个矢量。在波动现象中，波矢用向量表示，其大小等于波 的角频率与光速的比值，方向指向波的传播方向。波矢在波动 现象的研究中具有重要意义，例如在光的干涉、衍射等现象中 需要用到波矢的概念。
到新的向量。
几何意义
02
数乘运算在几何上表现为向量的缩放，即改变向量的长度而不
改变其方向。
物理意义
03
在物理学中，数乘运算用于描述力的缩放或速度的变化，如一
个力的大小可以通过数乘运算进行调整。
点积、叉积运算及应用
点积运算的定义
两个向量的点积是将它们的对应分量相乘后相加 得到的标量。
向量基本概念
向量基本概念
向量是最基本的数学工具之一，它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍向量的基本定义、表示方法以及相加、相减、数量积、向量积等运算。
一、向量的定义
向量是空间中具有大小和方向的量，一般用箭头表示。
它由两个端点确定，可以表示为有序的数对或坐标。
二、向量的表示方法
1. 点表示法：将一个向量的起点放在坐标原点O，将终点放在坐标系内的某个点，然后用有向线段或箭头表示向量。
2. 坐标表示法：将向量的起点放在坐标原点O，终点坐标用有序数对(x,y,z)表示。
三、向量的运算
1. 向量相加：将两个向量的末端相接，以它们的起点作为相加后向量的起点，终点作为相加后向量的终点。
2. 向量相减：将一个向量的相反向量加到另一个向量上，即将相反向量变为相应向量再相加。
3. 数量积：两个向量的数量积也叫点积，记为a·b，其结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值乘以两个向量的模长之积。
4. 向量积：两个向量的向量积也叫叉积，记为a×b，其结果是一个向量，垂直于两个向量所在的平面，并且符合右手法则。
四、小结
向量是数学学科中最基础的概念之一。
通过点表示法和坐标表示法，可以表示向量的大小、方向和位置。
向量的相加、相减、数量积和向量积是向量最基本的运算，它们在物理、工程、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
《2.1向量的概念》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一上册
《向量的概念》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：理解向量的概念，掌握向量加、减法的概念及其几何意义，了解向量数乘的概念及运算律。
2. 过程与方法：通过观察、比较、归纳得出向量加、减法的运算法则，培养学生的观察能力和归纳能力。
3. 情感态度与价值观：通过学习，培养学生的空间想象能力，激发学生对数学的兴趣。
二、教学重难点1. 教学重点：向量加、减法的运算法则及其几何意义。
2. 教学难点：理解向量的概念，正确表示向量。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、纸张等。
2. 准备教学视频：向量的概念、加法、减法及数乘的运算法则。
3. 准备练习题：针对本节课内容的练习题，用于学生巩固所学知识。
4. 制定教学计划：根据教学内容和学生实际情况，制定详细的教学计划。
四、教学过程：（一）导入新课1. 复习：请学生回顾初中所学过的关于“数”与“式”的内容，并举例说明。
2. 提问：这些内容是否还能继续学习下去？3. 导入：我们将在中职数学课程中学习向量，它是既有大小又有方向的量。
（二）新课教学1. 向量的概念（1）教师介绍向量在物理中的意义，如速度、力等。
（2）教师介绍向量在生活中的应用，如位移、距离等。
（3）教师给出向量的定义：既有大小又有方向的量。
（4）学生思考：如何用数学符号表示向量？（5）教师给出向量的表示方法：几何表示法和代数表示法。
2. 向量的分类（1）按照方向相同或相反，可以将向量分为同向向量和反向向量。
（2）按照大小是否相等，可以将向量分为相等向量和不相等向量。
（3）教师引导学生归纳总结向量的基本性质。
3. 向量的加法与减法（1）教师介绍向量的加法与减法的几何意义和代数表示方法。
（2）学生尝试用几何和代数两种方法进行向量的加法和减法的运算。
（3）教师总结向量的加法和减法的运算法则，并进行举例说明。
4. 向量的数乘（1）教师介绍数乘向量的意义和运算法则。
（2）学生尝试进行数乘运算，并总结数乘的运算法则。
向量的概念及表示
汇报人：
单击输入目录标题 向量的定义 向量的基本性质 向量的运算 向量的应用
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向量的定义
向量的概念
向量是数学中的一个基本概念表示一个量或一个方向
向量可以用一个箭头表示箭头的长度表示向量的大小箭头的方向表示向量的方向
向量可以表示为(x, y)的形式其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量 向量的加法和减法遵循平行四边形法则即两个向量的和或差等于这两个向量的平行四边形的对 角线向量
向量的数乘是指将向量的每个分量分别乘以一个常数得到一个新的向量 数乘不改变向量的方向只改变向量的长度 数乘的运算法则：(k * v) = (k * v1, k * v2, ..., k * vn) 数乘的性质：(k1 * k2) * v = k1 * (k2 * v)
向量的减法
向量减法的定义：将两个向量的相应分量进行减法运算得到新的向量 向量减法的表示：用向量符号表示减法如-B表示向量与向量B的减法 向量减法的性质：满足交换律、结合律和分配律 向量减法的应用：在物理、工程等领域广泛应用如力、速度、加速度等向量的减法运算
向量可以用来表 示平面的方向和 长度
向量可以用来表 示空间中的方向 和长度
向量在物理学中的应用
力学：描述力和位移等物理量 电磁学：描述电场和磁场等物理量 光学：描述光的传播方向和强度等物理量 量子力学：描述粒子的状态和运动轨迹等物理量
向量在工程学中的应用
电子学：描述电流和电压分 析电路和电子设备的工作原 理
向量的混合积
定义：向量的混合积是三个向量的 乘积
几何意义：表示三个向量所构成的 平行六面体的体积
添加标题
添加标题
运算法则：×b×c=·(b×c)
向量的概念与表
CONTENTS 目录
• 向量的定义与表示 • 向量的基本性质 • 向量的运算 • 向量的应用
CHAPTER 01
向量的定义与表示
向量的定义
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是几何学中一个基本概念，它不仅表示一个点或一个位置，还表示一个方向和大小。在二维空间中，向量通 常用有向线段表示，起点在原点，终点在平面内的一个点。在三维空间中，向量则用有向线段加上一个垂直于该 线段的单位向量表示。
CHAPTER 02
向量的基本性质
向量的加法
总结词
向量加法是向量空间中的一种基本运算 ，它满足结合律、交换律和单位元性质 。
VS
详细描述
向量加法是将两个向量首尾相接，形成一 个新的向量，其长度和方向由这两个向量 的相对位置决定。向量加法满足结合律， 即(a+b)+c=a+(b+c)，同时满足交换律， 即a+b=b+a。单位元性质指的是存在一个 零向量，使得任何向量与它相加都等于原 向量，即a+0=a。
度等。通过向量的运算，可以计算出物体在运动过程中的位置、速度和
加速度等参数。
03
电磁学中的向量表示
在电磁学中，向量常被用来表示电场、磁场等物理量。通过向量的运算，
可以描述电场和磁场的方向、大小和作用力等参数。
向量在几何中的应用
向量在平面几何中的应用
在平面几何中，向量可以用来表示点、线段、角等几何元素。通过向量的运算， 可以描述点与点之间的距离、线段的长度和角度的大小等参数。
点乘是两个向量之间的一种内积运算，结果是一个标量 。
详细描述
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课题：2.1向量的概念及其表示
海安县南莫中学黄顺华
教学目的：
1、知识与技能：
（1）了解向量产生的物理背景，理解位移的概念；
（2）理解向量的概念，向量的几何意义，能用向量表示点的位置；
（3）初步理解零向量、单位向量、相等向量，共线向量的意义。
2、方法与过程：
（1）通过向量概念的形成过程体会由实例引入概念的方法；
（2）由实例体验用向量表示点的位置的方法。
3、情感态度与价值观：
通过本节的学习，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，从而激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示
教学难点：向量概念的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教法设计：讲授为辅，学生探究为主，讲练结合
教学过程：
一﹑问题情境：
情境1：
同学们：你们知道成语“南辕北辙”的故事吗？
（请学生回答）
情境2：
甲在B处以每秒6米的速度向正东奔跑，乙由A处以每秒6米的速度向正西奔跑，丙在A处以每秒5米的速度向正东奔跑，
问：甲和乙能否相遇？甲和丙能否相遇？为什么？（请学生回答）
情境3：
湖面上有三个景点O,A,B，一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后，游艇再将游客送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移。
探究：1、位移和距离的区别
2、生活中还有哪些量既有大小又有方向？
答：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．
（让学生举例说明生活中有没有其他的既有大小又有方向的例子）
在生活中，我们会遇到这样的量，例如，
飞机从东向西位移10000，
飞机每小时向西北方向飞行900，
提起某物体需要300向上的力，
……
2.引入向量的概念：刚才我们研究的这些量有什么特征呢？（学生回答）
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.
二、构建数学：
研读课本P55－56完成下列问题:
1.什么是向量?
2.怎么表示向量?
3.怎么表示向量的大小?
4.有哪些特殊向量?
5.向量间有什么特殊关系?
概念辨析：
（1）.
模相等的两个平行向量是相等的向量
（2）.
a b a b
=
若和都是单位向量，则
（3）.
任一向量与它的相反向量都不相等
（4）.
共线的向量，若起点不同，则终点也不同
（5）//,//.
AB CD AB CD
若则
（6）//,//.
AB CD AB CD
若则
（7）,.
a b b c a c
与共线与共线，则与也共线
（8）.
a b a b
向量与不共线，则与都不是非零向量
三、例题精讲：
例1. 已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中:
(1)试找出与FE共线的向量；
(2)确定与FE相等的向量；
(3)OA与BC相等吗？若不相等，则它们之间有什么关系？
变题1:以图中A,B,C,D,E,F,O七点中的任一点为始点，与始点
不同的另一点为终点的所有向量中，与向量OA相等的向量有几个？
变题2:OA的相反向量有几个？共线呢？
例2.在图中的5
4⨯方格纸中有一个向量AB，
分别以图中的格点为起点和终点作向量，其
中与AB相等的向量有多少个？与AB长度
相等的共线向量有多少个？（AB除外）
例3.一人从O点出发向西走了100米，到达A点，然后改变方向向西北方向走了200米到达B点，然后又改变方向向东走了100米到达C点，
（1）作出向量、、
（2
A B
C
D
E
F
O
四、演练反馈：
（1）下列各量中是向量的是（ B F G ）
A ．时间
B ．速度 C.面积 D.长度 E.质量 F.重力 G.加速度 H.身高
（2）等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且
EF//AB ，则下列等式正确的是（ D ）
A ．=
B ．=
C ．=
D ． = （3） 如图是单位正方形组成的网络，则：
|| = 5
（4）下列说法正确的是 ( B )
A 、方向相同或相反的向量是平行向量
B 、零向量是
C 、长度相等的向量叫做相等向量
D 、共线向量是在一条直线上的向量
E 、向量就是有向线段
（5）已知、是任意两个向量,下列条件: ①=；=；③与的方向相反；④=或=；
⑤与都是单位向量。
能判定向量与平行的是 ① ③ ④
五、总结提炼：向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量
六、课后作业：
七、板书设计（略）
向量的概念及其表示
1．向量的定义 5．相等向量
2．表示方法 6．例题精讲 3．零向量和单位向量 7．演练反馈 4．平行向量（共线向量） 8．总结提炼
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨
⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧平行(共线）
相等特殊关系单位向量零向量特殊向量AB :大写字母）有向线段的起点终点（符号几何表示符号表示概念长度（模）概念
向量向量。