新课标[原创]向量的 概念及表示
新课标人教a版高中数学全部知识点
新课标人教a版高中数学全部知识点新课标人教A版高中数学涵盖了丰富的知识点，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。
以下是该版本高中数学的全部知识点概述：1. 集合论- 集合的概念和表示- 集合的运算（交集、并集、补集、差集）- 子集和幂集- 集合恒等式和代数运算2. 函数- 函数的定义和性质- 函数的表示方法（解析式、图象、列表）- 函数的单调性、奇偶性和周期性- 反函数和复合函数- 基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）3. 三角学- 三角函数的定义- 三角函数的图象和性质- 三角恒等式- 解三角形- 三角函数的反函数4. 向量- 向量的基本概念- 向量的运算（加法、减法、数乘、点积、叉积）- 向量的坐标表示- 向量在几何和物理中的应用5. 几何- 平面几何（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线） - 空间几何（立体几何、向量空间）- 几何证明方法- 几何变换（平移、旋转、缩放）6. 概率与统计- 随机事件和概率- 概率的计算- 随机变量及其分布- 统计数据的收集、整理和分析- 统计图表和统计量7. 数列与级数- 数列的概念和性质- 等差数列和等比数列- 数列的求和- 无穷级数的概念和性质8. 微积分- 极限的概念和性质- 导数的概念和运算- 微分的应用- 积分的概念和运算- 积分的应用9. 线性代数- 矩阵的概念和运算- 行列式的概念和性质- 线性方程组的解法- 向量空间和线性变换10. 算法与逻辑- 算法的基本概念- 逻辑运算和逻辑推理- 算法的实现和优化这些知识点构成了高中数学的基础框架，通过系统学习，学生可以掌握数学的基本概念、原理和方法，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
新高一数学向量知识点总结
新高一数学向量知识点总结向量是高中数学中的重要概念之一，也是许多数学分支的基础。
在新高一数学学习中，学生们将会系统地学习和掌握向量的相关知识。
本文将总结一些新高一数学向量知识点，帮助学生们更好地理解和应用向量。
一、向量的定义和表示方法在几何中，向量通常表示为有向线段。
一个向量由大小和方向两部分组成。
在数学中，向量常用字母加箭头，如a→，来表示。
向量的表示方法有多种，包括坐标表示、分量表示和定点表示。
坐标表示法是指用坐标系中的点表示向量的起点和终点。
分量表示法是指将向量分解为在坐标轴上的投影，用坐标表示。
定点表示法是指在平面或空间上确定两个不同点，其中一个点表示向量的起点，另一个点表示向量的终点。
二、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中的基本操作。
向量加法的结果是新的向量，其大小等于两个向量的大小之和，方向沿两个向量的和。
向量减法的结果是新的向量，其大小等于两个向量的大小之差，方向沿两个向量的差。
三、数量积和向量积数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。
数量积也叫点积，表示为a·b，表示两个向量的大小乘积与夹角余弦的乘积。
向量积也叫叉积，表示为a×b，表示两个向量的大小乘积与夹角的正弦的乘积。
数量积有着很多重要的应用。
例如，可以通过数量积计算两个向量的夹角，还可以判断两个向量是否垂直。
向量积则常用于计算平行四边形的面积和判断两个向量是否共线。
四、向量的线性运算在向量的学习中，我们还会遇到向量的线性运算，包括向量的数量乘法和向量的线性组合。
向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘积。
当实数为正数时，向量的方向保持不变，当实数为负数时，向量的方向相反。
向量的线性组合是指若干个向量分别与相应的实数乘积再相加的结果。
线性组合可以用于求解线性方程组、表示平面等。
五、向量的模和单位向量向量的模是指向量的长度，用||a||表示，计算公式为||a|| =√(a1²+a2²+...+an²)。
向量概念课件
点乘的几何意义是两个向量的投影长度乘积减去它们之间的角度余弦值。
几何意义
点乘在物理学、工程学、计算机图形学等领域有广泛应用，如力矩计算、速度和加速度的合成等。
应用
总结词：叉乘是两个向量之间的一种外积运算，结果是一个向量。
VS
混合积是三个向量之间的一种运算，结果是一个标量。
详细描述
混合积是三个向量之间的一种运算，其结果是一个标量。混合积的定义为三个向量的对应坐标相乘后再求和，即a·b·c=∑(a_i*b_j*c_k)。混合积的结果取决于三个向量的长度和它们之间的夹角。当三个向量两两垂直时，混合积的结果为0；当三个向量共线时，混合积的结决于它们的夹角和长度。
向量在汽车工程中的应用
向量可以用来表示和解决与水流方向、速度和水压力相关的问题，例如水轮机的设计和运行。
向量在水利工程中的应用
THANKS
感谢观看
详细描述
向量可以用多种方式表示，包括文字描述、坐标表示和箭头表示。
总结词
文字描述通常使用有向线段的起点和终点来表示，例如“A指向B”。坐标表示则是在二维或三维坐标系中，用起点和终点的坐标来表示向量。箭头表示则是用带箭头的线段来表示向量，箭头的长度代表向量的模，箭头的指向代表向量的方向。
详细描述
总结词
要点一
要点二
详细描述
点乘是两个向量之间的一种内积运算，其结果是一个标量。点乘的定义为两个向量的对应坐标相乘后求和，即a·b=∑(a_i*b_i)。点乘的结果取决于两个向量的长度和它们之间的夹角。当两个向量垂直时，点乘的结果为0；当两个向量同向时，点乘的结果为两向量长度的乘积；当两个向量反向时，点乘的结果为负的两向量长度的乘积。
总结词
向量的应用
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新课标2023版高考数学一轮总复习第6章立体几何第5节空间向量及其运算课件
2
解析：|E→F|2＝
→ EF
2＝(E→C＋C→D＋D→F)2
＝E→C2
＋C→D2＋D→F2＋
→→ 2(EC·CD
＋E→C·D→F＋C→D·D→F
)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos
120°＋0＋
2×1×cos 120°)＝2，所以|E→F|＝ 2，所以 EF 的长为 2．
02
关键能力·研析考点强“四翼”
B 解析：M→N＝O→N－O→M＝12(O→B＋O→C)－23O→A＝－23a＋12b＋12c．
2．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心．若 A→E＝A→A1＋xA→B＋yA→D，则 x，y 的值分别为( )
A．1,1
B．1，12
向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利 用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
考向 2 空间数量积的应用 如图，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD
是边长为 1 的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°． (1)求线段 AC1 的长； (2)求异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD．
空间向量基本定理 空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使得 p＝xa＋yb＋zc
设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对平面 ABC
推论
内任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y， z，使O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，且 x＋y＋z＝1
空间向量基本定理的 3 点注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． (2)由于零与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 故零不能作为基向量． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
向量概念知识点总结
向量概念知识点总结一、向量的概念在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以在空间中的任意位置定义，具有位移、速度、力等物理量的特点。
向量可以简单地用一组有序数字表示，也可以用相关的符号表示。
在实际生活中，向量可以用来描述物体的位置、速度、加速度、力等。
Mathematica的向量记号是在向量上加箭头，例如 a，或者使用粗体斜体字母表示，例如 a。
这里，a可以表示一个向量。
二、向量的定义数学上，向量是一个有方向和大小的物理量。
向量是欧几里得空间中的一个元素，它可以用来表示空间中的位置或方向。
在数学中，向量通常用箭头表示，长度表示大小，箭头方向表示方向。
向量可以放在平面坐标系中，也可以用于描述空间中的方向和位置。
根据向量的定义，我们可以将向量表示为(x, y, z)，也可以表示为< x, y, z>。
在数学上，向量还可以表示一个n维空间中的一个点，也可以表示一个n维空间中的矩阵。
三、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a+b = b+a，(a+b)+c = a+(b+c)。
向量的加法可以表示为a + b = <a1+b1, a2+b2,a3+b3>。
在平面坐标系中，可以使用平行四边形法则来求解向量的加法结果。
2.向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以表示为a -b = <a1-b1, a2-b2, a3-b3>。
通过向量的减法，我们可以求得两个向量之间的差向量，用来表示两个向量之间的相对位置。
3.向量的数量积和内积向量的数量积又称为内积，是指将两个向量进行点乘得到一个数。
向量的数量积可以表示为a • b = |a| |b| cosθ。
其中，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。
通过向量的数量积，我们可以求得两个向量之间的夹角，也可以求得一个向量在另一个向量上的投影。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.1平面向量的概念及线性运算课件理
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B，C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，可得A→B＝D→C.故“A→B＝ D→C”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同；又 b＝c，∴b， c 的长度相等且方向相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．由 a＝b 可得|a|＝|b|且 a∥b；由|a|＝|b|且 a∥b 可得 a ＝b 或 a＝－b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是 必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
第十七页，共33页。
下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A，B，C，D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
第五页，共33页。
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b，
则以第一个向量 a 的起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为 ________的向量O→B就是 a 与 b 的________(如图 1)．
推广：A→1A2＋A→2A3＋…＋An→-1An＝____________.
第二十二页，共33页。
(1)( 2015·福建模拟 ) 在 △ABC
向量概念课件ppt
向量的叉乘
总结词
叉乘是两个向量之间的一种外积运算，结果 是一个向量。
详细描述
叉乘的定义为两个向量$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$的叉乘等于它们的模长之积乘
以它们夹角的正弦值，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。叉乘的结果是一个向 量，该向量垂直于作为运算输入的两个向量 ，并且其模长等于输入向量的模长之积乘以 它们夹角的正弦值。叉乘具有反交换律，即
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$（在二维空间）或$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$（在三维空间）。
详细描述
向量的模也称为向量的长度或大小，用于衡量向量的大小。在二维空间中，向量的模可以通过计算 $sqrt{x^2 + y^2}$得到；在三维空间中，向量的模则是$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。向量的模具有 一些重要的性质，如非负性、传递性和三角不等式等。
$mathbf{A} times mathbf{B} = mathbf{B} times mathbf{A}$。叉乘的结 果可以解释为旋转一个向量绕着另一个向量
向量的混合积
总结词
混合积是三个向量之间的一种运算，结 果是为三个向量$mathbf{A}$、 $mathbf{B}$和$mathbf{C}$的混合积等 于它们的模长之积乘以它们夹角的余弦值 ，记作$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C})$。混合积的结果可以 解释为三个向量在空间中形成的平行六面 体的体积。混合积具有分配律和反交换律 ，即$mathbf{A} cdot (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{A} cdot mathbf{C}$以及$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = -
新课标[原创]向量的加法
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思考
1、利用三角形法则，如何作出共线向量（即平 行向量）的和？
（1）同向
a
（2）反向
a
b b
A B
O
b
O
a
a
OB a b
B
b
A
OB a b
2、 a b 与 a b 的大小关系如何？
ab
O
B
a
A
a
b
O
a
b
A B
OB a b
a b ab
O
a b ab
和是什么？
上海
台北 这些都是向量加法的背景。
例如：一人向东走 3km, 用a表示，
再向北走 3km，用 b表示， ab
那么这个人的位移之和 为
b
a
向东北走了 3 2km
记为a b
一、向量的加法的三角形法则
a
ab
b
O
B
a
A
b
在平面上任取一点 O, 作OA a, 再作AB b, 则向量OB叫做a和b的和，记为 a b. 求两个向量和的运算叫 向量的加法。
B
25
o
12.5
A
练习
（1）一架飞机向西飞行100 km 然后改变方向向南飞行100 km , 则飞机两次位移的和为 向西南方向飞行 100 2 km ．
（2） a b a b 一定成立吗？
不一定
CD CB AD BA ______ （3）在四边形中 ABCD ， ．
思考题
解：（ 1 ） OA OC OB;
（2） BC FE AD
E
D
（3） OA FE 0
人教新课标版数学高一B版必修4课件 向量的概念
思考1 向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？ 答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且 不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段 表示，也可以用字母符号表示. 用表示向量的有向线段的长度表示.向量A→B的大小，也就是向量A→B 的长度(或称模).记作|A→B|，有向线段A→B箭头表示向量A→B的方向.
记作|a|.两个向量 a 和 b 同向且等长，即 a 和 b 相等，记作 a＝b.
3.向量的平行 (1)通过有向线段A→B的直线，叫做向量A→B的 基线 (如图).如果向量的基线互相平行或 重合，则称这些向量 共线 或 平行 .向量 a
平行于 b，记作 a∥b. (2)长度等于零的向量，叫做零向量 ，记作0.零向量的方向不确定， 在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量 平行 .
第二章 平面向量
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 02
记疑点
03 探要点
究所然
当堂测 04
查疑缺
明目标、知重点
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌 握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的 联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量 及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
当堂测·查疑缺
1234
1.下列说法中错误的是( C )
A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D.方向相反的两个非零向量必不相等
解析 长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念
苏教版高三数学复习课件4.1 向量的概念及表示
数量积定义知|a· b|＝|a|· |bcos θ|＝|a|· |cos θ|，只有θ＝0或π时才成立． |b|·
【正确答案】
正确：由以上分析可知正确答案填1.
1．如题图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直
线AB、AC于不同的两点M、N，若 则m＋n的值为________． ，
是共线的，故不正确．④∵
是相反向量，故为平行向量，正
确．⑤由平移概念知，向量可自由平移到任一位置，而方向大小不变， 故不正确． 答案：④
1．用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加 法、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理． 2．在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、 三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性
【例4】 考查下面四个命题：①0· a＝0；②0· a＝0；③0 ④|a· b|＝|a|· |b|，正确的个数为________．
－
＝
；
【答题实录】
【错因分析】
①根据向量数量积的概念，0· a应是一个实数0，而不能是一个向量；②根据实数 与向量的定义，0· a应是一个向量，它的模等于0，方向是任意的；③正确．④由
(5)相等向量：长度 相等 且方向 相同 的向量叫做相等向量． (6)相反向量：与向量a长度 相等 且方向 相反 的向量叫做a的相反向量． 规定零向量的相反向量仍是零向量．
2．向量的加法和减法
(1)加法：①法则：服从三角形法则，平行四边形法则．
②运算性质：a＋b＝ b＋a (交换律)；
(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) (结合律)；a＋0＝ 0＋a ＝ a .
解析：解法一：如图所示，作OD∥AC，DE∥MN，
高三数学新课标总复习立体几何-理科-向量的用法
【新知识梳理与重难点点睛】1．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定量对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa .推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝1.(3)空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.2．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b 则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b 即a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 3．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )，a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 124．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量：可利用方程组求出，设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.5．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2. 6．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角1．设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|. 2．设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.3．求二面角的大小a ．如图①，AB 、CD 是二面角α －l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．b ．如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．考点一 异面直线所成的角|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．[提醒] 注意向量的夹角与异面直线所成角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．[题组练透]1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110 B.25 C.3010D.22解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，设BC ＝2， 则B (0,2,0)，A (2,0,0)，M (1,1,2)， N (1,0,2)，所以BM ＝(1，－1,2)，AN ＝(－1，0,2)，故BM 与AN 所成角θ的余弦值cos θ＝|BM ·AN ||BM |·|AN |＝36×5＝3010. 2．(2015·石家庄模拟)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ＝2，CC 1＝2，则异面直线AB 1和BC 1所成角的正弦值为( )A ．1 B.77 C.12D.32∴可以以1OB ，1OC ，解析：选A 取线段A 1B 1，AB 的中点分别为O ，D ，则OC 1⊥平面ABB 1A 1，OD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz ，如图，则A (－1,0，2)，B 1(1,0,0)，B (1,0，2)，C 1(0，3，0)，∴1AB ＝(2,0，－2)，1BC ＝(－1，3，－2)，因为1AB ·1BC ＝(2,0，－2)·(－1，3，－2)＝0，所以1AB⊥1BC，即异面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1.故选A.[类题通法]1．向量法求异面直线所成的角的方法：(1)基向量法：利用线性运算．(2)坐标法：利用坐标运算．2．注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．考点二直线与平面所成的角|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n·e||n||e|.[提醒]向量法求线面角时是转化方向求向量与平面法向量间的夹角，但它不是线面角，注意联系与区别．[典题例析](2014·陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1.由题设，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．(2)法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0，0)，A(0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，DA ＝(0,0,1)，BC ＝(－2,2,0)，BA ＝(－2,0,1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵EF ∥AD ，FG ∥BC ，∴n ·DA ＝0，n ·BC ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取n ＝(1,1,0)， ∴sin θ＝|cos 〈BA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA ·n |BA ||n |＝25×2＝105.法二：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，∵E 是AB 的中点，∴F ，G 分别为BD ，DC 的中点，得 E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，F (1,0,0)，G (0,1,0)． ∴FE ＝⎝⎛⎭⎫0，0，12，FG ＝(－1,1,0)，BA ＝(－2,0,1)． 设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·FE ＝0，n ·FG ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12z ＝0，－x ＋y ＝0，取n ＝(1,1,0)， ∴sin θ＝|cos 〈BA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA ·n |BA ||n |＝25×2＝105. [类题通法]利用平面的法向量求线面角时注意事项(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1求出其值．不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．[演练冲关]AB ＝1，AA 1＝2，D(2015·郑州一检)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，为AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，CO ⊥侧面ABB 1A 1.(1)证明：BC ⊥AB 1；(2)若OC ＝OA ，求直线C 1D 与平面ABC 所成角的正弦值． 解：(1)证明：由题意tan ∠ABD ＝AD AB ＝22，tan ∠AB 1B ＝AB BB 1＝22，注意到0<∠ABD ，∠AB 1B <π2，所以∠ABD ＝∠AB 1B ，所以∠ABD ＋∠BAB 1＝∠AB 1B ＋∠BAB 1＝π2，所以AB 1⊥BD ，又CO ⊥侧面ABB 1A 1，所以AB 1⊥CO .又BD 与CO 交于点O ，所以AB 1⊥平面CBD ，又BC ⊂平面CBD ，所以BC ⊥AB 1.(2)如图，以O 为原点，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ， 则A ⎝⎛⎭⎫0，－33，0，B ⎝⎛⎭⎫－63，0，0， C ⎝⎛⎭⎫0，0，33，B 1⎝⎛⎭⎫0，233，0，D ⎝⎛⎭⎫66，0，0，又1CC ＝2AD ，所以C 1⎝⎛⎭⎫63，233，33. 所以AB ＝⎝⎛⎭⎫－63，33，0，AC ＝⎝⎛⎭⎫0，33，33， 1DC ＝⎝⎛⎭⎫66，233，33. 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧AB ·n ＝0，AC ·n ＝0，即⎩⎨⎧－63x ＋33y ＝0，33y ＋33z ＝0，令x ＝1，可得n ＝(1，2，－2)是平面ABC 的一个法向量，设直线C 1D 与平面ABC 所成的角为α， 则sin α＝|cos 〈1DC ，n 〉|＝|1DC ·n ||1DC ||n |＝35555.考点三 二面角|(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]二面角的求法(1)如图①，AB ，CD 是二面角α -l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．[提醒] 求二面角时要注意判断其平面角是锐角还是钝角时，若不能判断二面角的平面角是锐角还是钝角时，要利用法向量的方向来判断法向量的夹角与二面角之间的关系是相等还是互补．[一题多变](2014·湖南高考)如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值．[解] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1为矩形，所以CC 1⊥AC ，同理DD 1⊥BD ，因为CC 1∥DD 1，所以CC 1⊥BD ，而AC ∩BD ＝O ，因此CC 1⊥底面ABCD .由题设知，O 1O ∥C 1C ，故O 1O ⊥底面ABCD .(2)法一：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz .不妨设AB ＝2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1.于是相关各点的坐标为：O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2).易知，n 1＝(0,1,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·1OB ＝0，n 2·1OC ＝0，即⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以n 2＝(2,23，－3)，设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角， 于是cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719.法二：如图，过O 1作O 1H ⊥OB 1于H ，连接HC 1.2，y＝2，∴设二面角C1-OB·OM由cos 〈n 1，n 2〉＝12知mm 2＋73＝12，∴34m 2＝712，∴m 2＝79(m >0)，即m ＝73，∴M ⎝⎛⎭⎫0，1，73. 即在线段CC 1上存在一点M 且CM ＝73，使二面角M -OB 1-D 的大小为60°.[类题通法]利用法向量求二面角时应注意(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误考点一 空间向量法解决探索性问题|(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]探索存在性问题在立体几何综合考查中是常考的命题角度，也是考生感觉较难，失分较多的问题，归纳起来立体几何中常见的探索性问题有：(1)探索性问题与平行结合； (2)探索性问题与垂直相结合； (3)探索性问题与空间角相结合.角度一：探索性问题与平行相结合1．(2015·北京西城二模)如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出EFEA ；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：取AB 的中点O ，连接EO ，DO . 因为EB ＝EA ，所以EO ⊥AB . 因为四边形ABCD 为直角梯形． AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB ⊥OD . 因为EO ∩DO ＝O ，所以AB ⊥平面EOD ，所以AB ⊥ED .(2)因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO ⊥AB ， 所以EO ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥OD .由OB ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz . 因为三角形EAB 为等腰直角三角形， 所以OA ＝OB ＝OD ＝OE ， 设OB ＝1，所以O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)， D (0,1,0)，E (0,0,1)．所以EC ＝(1,1，－1)， 平面ABE 的一个法向量为OD ＝(0,1,0)． 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ， 所以sin θ＝|cos 〈EC ，OD 〉|＝|EC ·OD ||EC ||OD |＝33，即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33. (3)存在点F ，且EF EA ＝13时，有EC ∥平面FBD .证明如下：由EF ＝13EA ＝⎝⎛⎭⎫－13，0，－13， F ⎝⎛⎭⎫－13，0，23，所以FB ＝⎝⎛⎭⎫43，0，－23，BD ＝(－1,1,0)． 设平面FBD 的法向量为v ＝(a ，b ，c )， 则有⎩⎨⎧v ·BD ＝0，v ·FB ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，43a －23c ＝0，取a ＝1，得v ＝(1,1,2)．因为EC ·v ＝(1,1，－1)·(1,1,2)＝0， 且EC ⊄平面FBD ，所以EC ∥平面FBD ， 即点F 满足EF EA ＝13时，有EC ∥平面FBD .角度二：探索性问题与垂直相结合2．已知正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B .(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E -DF -C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点，得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF ＝(1，3，0)，DE ＝(0，3，1)，DA ＝(0,0,2)．易知平面CDF 的法向量为DA ＝(0,0,2)，设平面EDF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧DF ·n ＝0，DE ·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)，cos 〈DA ，n 〉＝DA ·n | DA ||n |＝217，所以二面角E -DF -C 的余弦值为217. (3)存在．设P (s ，t,0)，则AP ·DE ＝(s ，t ，－2)·(0，3，1)＝3t －2＝0，∴t ＝233， 又BP ＝(s －2，t,0)，PC ＝(－s,23－t,0)， ∵BP ∥PC ，∴(s －2)(23－t )＝－st ， ∴3s ＋t ＝2 3.把t ＝233代入上式得s ＝43，∴BP ＝13BC ，∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE . 此时，BP BC ＝13. 角度三：探索性问题与空间角相结合3．(2015·广东七校联考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，E ，F 分别为PC ，BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PDC ；(3)在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C -PD -G 的余弦值为13？说明理由．解：(1)证明：如图，连接AC ，交BD 于点F ，底面ABCD 为正方形， F 为AC 中点，E 为PC 中点． 所以在△CP A 中，EF ∥P A . 又P A ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .(2)证明：因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD . 底面ABCD 为正方形，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD .又P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A . 又P A ＝PD ＝22AD ，所以△P AD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2，即P A ⊥PD . 又CD ∩PD ＝D ，且CD ，PD ⊂平面PDC ，所以P A ⊥平面PDC . 又P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PDC .(3)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF ，因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .又侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，而O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB ， 又底面ABCD 是正方形，故OF ⊥AD ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O -xyz 如图所示，则有A (1，0,0)，C (－1,2,0)，F (0,1,0)，D (－1,0,0)，P (0,0,1)，若在AB 上存在点G ，使得二面角C -PD -G 的余弦值为13，连接PG ，DG ，设G (1，a,0)(0≤a ≤2)，则DP ＝(1,0,1)，GD ＝(－2，－a,0)，由(2)知平面PDC 的一个法向量为PA ＝(1,0，－1)， 设平面PGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎨⎧n ·DP ＝0，n ·GD ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，－2x －ay ＝0，解得⎩⎨⎧z ＝a2y ，x ＝－a2y .令y ＝－2，得n ＝(a ，－2，－a )，所以|cos 〈n ，PA 〉|＝|n ·PA ||n ||PA |＝2a 2×4＋2a 2＝13，解得a ＝12⎝⎛⎭⎫舍去－12. 所以，在线段AB 上存在点G ⎝⎛⎭⎫1，12，0⎝⎛⎭⎫此时AG ＝14AB ，使得二面角C -PD -G 的余弦值为13. [类题通法]解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在．(2)探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用．考点二 空间向量的综合应用|(重点保分型考点——师生共研)[典题例析](2014·江西高考)如图，四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD . (1)求证：AB ⊥PD ；(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P -ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．解：(1)证明：ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ；又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PD .(2)过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG . 故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG . 在Rt △BPG 中，PG ＝233，GC ＝263，BG ＝63.设AB ＝m ，则OP ＝PG 2－OG 2＝ 43－m 2， 故四棱锥P -ABCD 的体积为 V ＝13·6·m ·43－m 2＝m38－6m 2.因为m 8－6m 2＝8m 2－6m 4＝ －6⎝⎛⎭⎫m 2－232＋83， 故当m ＝63，即AB ＝63时，四棱锥P -ABCD 的体积最大．B⎝⎛⎭⎫63，－63，0，此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为O (0,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫63，263，0，D ⎝⎛⎭⎫0，263，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，63， 故PC ＝⎝⎛⎭⎫63，263，－63，BC ＝(0，6，0)， CD ＝⎝⎛⎭⎫－63，0，0， 设平面BPC 的一个法向量n 1＝(x ，y,1)，则由n 1⊥PC ，n 1⊥BC 得⎩⎪⎨⎪⎧63x ＋263y －63＝0，6y ＝0，解得x ＝1，y ＝0，n 1＝(1,0,1)．同理可求出平面DPC 的一个法向量n 2＝⎝⎛⎭⎫0，12，1.从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为 cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12·14＋1＝105. [类题通法]立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题，处理时常用如下两种方法(1)结合条件与图形恰当分析取得最值的条件； (2)直接建系后，表示出最值函数，转化为求最值问题．[演练冲关](2015·山西模拟)如图，在几何体ABCDEF 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：平面FBC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cos θ的取值范围．解：(1)证明：在四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，∴AB ＝2， ∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 60°＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴BC ⊥AC .∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE . 又因为BC ⊂平面FBC ，所以平面FBC ⊥平面ACFE .(2)由(1)知可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，M (λ，0,1)，∴AB ＝(－3，1,0)，BM ＝(λ，－1,1)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面MAB 的法向量，由⎩⎨⎧n 1·AB ＝0，n 1·BM ＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，则n 1＝(1，3，3－λ)． ∵n 2＝(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量， ∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝11＋3＋(3－λ)2＝1(3－λ)2＋4.∵0≤λ≤3，∴当λ＝0时，cos θ有最小值77， 当λ＝3时，cos θ有最大值12，∴cos θ∈⎣⎡⎦⎤77，12.【新方法、新技巧练习与巩固】(一)1．(2015·云南模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点．(1)求直线AD和直线B1C所成角的大小；(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD.2．(2014·北京高考)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若P A⊥底面ABCDE，且P A＝AE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值．B卷：增分提能1．(2015·深圳一调)如图所示，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值．2．(2014·山东高考)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．3．(2015·兰州模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P-AC-E的余弦值为63，求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．答案A 卷：夯基保分1．解：不妨设正方体的棱长为2个单位长度，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .根据已知得：D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)．(1)∵DA ＝(2,0,0)，1CB ＝(2,0,2)，∴cos 〈DA ，1CB 〉＝DA ·1CB |DA ||1CB |＝22.∴直线AD 和直线B 1C 所成角为π4.(2)证明：取B 1D 的中点F ，得F (1,1,1)，连接EF . ∵E 为AB 的中点，∴E (2,1,0)， ∴EF ＝(－1,0,1)，DC ＝(0,2,0)， ∴EF ·DC ＝0，EF ·1CB ＝0， ∴EF ⊥DC ，EF ⊥CB 1.∵DC ∩CB 1＝C ，∴EF ⊥平面B 1CD .又∵EF ⊂平面EB 1D ，∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD . 2．解：(1)证明：在正方形AMDE 中， 因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE . 又因为AB ⊄平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .(2)因为P A ⊥底面ABCDE ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .如图建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，BC ＝(1,1,0)． 设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB ＝0，n ·AF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，得y ＝－1，所以n ＝(0，－1,1)． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，BC 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC |n ||BC |＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH ＝λPC (0＜λ＜1)， 即(u ，v ，w －2)＝λ(2,1，－2)， 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ.因为n 是平面ABF 的法向量，所以n ·AH ＝0， 即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0.解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，23，23. 所以PH ＝⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫－432＝2.3．解：(1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO .因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 及BC 1的中点． 又AB ⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面ABO . 由于AO ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AO . 又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1.(2)因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，所以AO ＝CO .又因为AB ＝BC ，所以△BOA ≌△BOC .故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，OB 1两两相互垂直．以O 为坐标原点，OB ，1OB ，OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，|OB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形． 又AB ＝BC ，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，33，B (1,0,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，33，0，C ⎝⎛⎭⎫0，－33，0.1AB ＝⎝⎛⎭⎫0，33，－33，11A B ＝AB ＝⎝⎛⎭⎫1，0，－33， 11B C ＝BC ＝⎝⎛⎭⎫－1，－33，0. 设n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1AB ＝0，n ·11A B ＝0，即⎩⎨⎧33y －33z ＝0，x －33z ＝0.所以可取n ＝(1，3，3)．设m 是平面A 1B 1C 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·11A B ＝0，m ·11B C ＝0.同理可取m ＝(1，－3，3)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝17.所以二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值为17.B 卷：增分提能1．解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (2a ，0,0)，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)∵1AB ＝(－a ，a ，a )，1DD ＝(0,0，a )， ∴|cos 〈1AB ，1DD 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AB ·1DD |1AB |·|1DD |＝33， ∴异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)证明：∵1BB ＝(－a ，－a ，a )，BC ＝(－2a,0,0)，1FB ＝(0，a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1FB ·1BB ＝0，1FB ·BC ＝0，∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面BCC 1B 1.(3)由(2)知，1FB 为平面BCC 1B 1的一个法向量． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的法向量， ∵1CC ＝(0，－a ，a )，FC ＝(－a,2a,0)，∴⎩⎨⎧n ·1CC ＝0，n ·FC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－ay 1＋az 1＝0，－ax 1＋2ay 1＝0.令y 1＝1，则n ＝(2,1,1)， ∴cos 〈1FB ，n 〉＝1FB ·n|1FB |·|n |＝33，∵二面角F -CC 1-B 为锐角， ∴二面角F -CC 1-B 的余弦值为33. 2.解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC ，又由M是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA .连接AD 1，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因此C 1M∥D 1A . 又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.(2)法一：连接AC ，MC ，由(1)知CD ∥AM 且CD ＝AM ， 所以四边形AMCD 为平行四边形． 可得BC ＝AD ＝MC ，由题意知∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系C -xyz . 所以A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)． 因此M ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以1MD ＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，11D C ＝MB ＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的法向量n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·11D C ＝0，n ·1MD ＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －23z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)． 又1CD ＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量． 因此cos 〈1CD ，n 〉＝1CD ·n |1CD ||n |＝55.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 法二：由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，过C 向AB 引垂线交AB 于N ，连接D 1N .由CD 1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1-AB -C 的平面角．在Rt △BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°， 可得CN ＝32.所以ND 1＝CD 21＋CN 2＝152. 在Rt △D 1CN 中，cos ∠D 1NC ＝CN D 1N ＝32152＝55.所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 3．解：(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥AC ， ∵底面ABCD 是直角梯形，且AB ＝2AD ＝2CD ＝2， ∴AC ＝2，BC ＝ 2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴AC ⊥BC ，∵PC ∩BC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ， ∵AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC .C (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，32，a 2，(2)建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .设PC ＝a ，则A (0,0,0)，P (1,1，a )，B (0,2,0)．∴AC ＝(1,1,0)，AE ＝⎝⎛⎭⎫12，32，a 2，AP ＝(1,1，a )，BC ＝(1，－1,0)．设平面EAC 的法向量为v ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧v ·AC ＝0，v ·AE ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋3y ＋az ＝0，令x ＝1，则v ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，2a ， ∵BC ⊥平面P AC ，∴平面P AC 的一个法向量为u ＝BC ＝(1，－1,0)， 设二面角P -AC -E 的大小θ，则cos θ＝v ·u |v |·|u |＝1×1＋(－1)×(－1)＋0×2a 2× 2＋4a 2＝63，解得a ＝2，∴直线P A 与平面EAC 所成角的正弦值为 cos 〈v ，AP 〉＝v ·AP |v |·|AP |＝1×1＋1×(－1)＋2×13×6＝23。
向量的概念及表示-新课标苏教版
$|vec{a}| = |vec{b}|$当且仅当$vec{a}$与$vec{b}$方向相同或相反；$|vec{a}| > |vec{b}|$当且仅当$vec{a}$的长度大于$vec{b}$的长度；$|vec{a}| = 0$当且仅当
$vec{a} = vec{0}$。
向量模的性质
1 2
向量的模具有传递性
若$vec{a} = vec{b}$，则$|vec{a}| = |vec{b}|$； 若$|vec{a}| = |vec{b}|$，则$vec{a} = pmvec{b}$。
向量的模具有非负性
$|vec{a}| geq 0$，且当$vec{a} = vec{0}$时， $|vec{a}| = 0$。
量的大小和方向由移动的距离和方向决定。
数乘的几何意义
02
表示向量在数轴上按比例放大或缩小，其结果向量的大小和方
向都发生变化。
向量加法和数乘的综合应用
03
在实际问题中，常常需要将向量进行加法和数乘运算，以解决
实际问题，如力的合成与分解、速度和加速度的计算等。
03 向量的减法与向量的模
向量的减法
向量的减法可以通过平行四边形法则或三角形法则进行。在平行四边形法则中，从一个向量出发，作另一个向量平行且方向 相反的向量，所得到的向量即为两向量的差。在三角形法则中，从一个向量出发，连接另两个向量的端点，所得到的向量即 为两向量的差。
向量的概念及表示-新课标苏教版
目 录
• 向量的定义与表示 • 向量的加法与数乘 • 向量的减法与向量的模 • 向量的数量积 • 向量的向量积
01 向量的定义与表示
向量的定义
向量是有大小和方向 的量，表示为 $overrightarrow{A B}$或 $overrightarrow{a} $。
《向量的概念与表》课件
目录
• 向量的基本概念 • 向量的加法与数乘 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积
01
向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，表 示为有向线段。
详细描述
向量是数学中一个基本概念，表示为 有向线段，由起点、终点和方向确定 。向量的大小或模表示其长度或大小 ，而方向则由起点指向终点。
05
向量的混合积
混合积的定义
混合积
三个向量的有序实数乘积，记作$a cdot b cdot c$，其中$a, b, c$是三个向量。
定义公式
$a cdot b cdot c = |a||b||c| cos theta$， 其中$theta$为向量$a, b, c$之间的夹角。
混合积的几何意义
01
混合积的几何意义：表示三个向 量围成的平行六面体的体积。
02
当混合积为正时，三个向量围成 的平行六面体体积为正；当混合 积为负时，体积为负；当混合积 为零时，三个向量共线。
混合积的运算律
交换律
$a cdot b cdot c = b cdot a cdot c$
结合律
$(a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c$
几何意义
向量加法在几何上表示为 平行四边形的对角线，或 者三角形的一条边。
数乘
定义
数乘是标量与向量的乘积 ，结果仍为向量。
性质
数乘满足结合律和分配律 ，即λ(μa)=μ(λa)和 λ(a+b)=λa+λb。
几何意义
数乘在几何上表示为将向 量按比例放大或缩小。
向量加法和数乘的几何意义
高中数学新课标必背
高中数学新课标必背高中数学新课标必背的内容涵盖了高中数学的基础知识和核心概念，这些内容是学生必须掌握的，以便于在高考中取得良好的成绩。
以下是一些重要的必背知识点：1. 集合与简易逻辑：- 集合的概念、表示法、子集、并集、交集、补集。
- 逻辑联结词：非、且、或、蕴含。
- 命题的真假判断。
2. 函数：- 函数的概念、定义域、值域、函数的单调性、奇偶性。
- 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的图像和性质。
- 函数的复合、反函数。
3. 导数与微分：- 导数的概念、几何意义、物理意义。
- 基本初等函数的求导公式。
- 导数的应用：求切线方程、单调区间、极值、最值。
4. 积分：- 不定积分和定积分的概念、性质、计算方法。
- 定积分在几何和物理中的应用。
5. 三角函数与三角恒等变换：- 三角函数的定义、图像、性质。
- 三角恒等式：和差公式、倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差。
6. 平面向量：- 向量的概念、表示法、向量的加减、数乘、点积、叉积。
- 向量的应用：表示平面几何问题、解决物理问题。
7. 数列：- 数列的概念、通项公式、求和公式。
- 等差数列和等比数列的性质和求和公式。
- 数列的极限概念。
8. 不等式：- 不等式的性质、解法。
- 绝对值不等式、一元二次不等式的解法。
- 基本不等式：算术平均数-几何平均数不等式、柯西不等式。
9. 解析几何：- 直线的方程、圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程。
- 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系。
- 圆锥曲线的应用。
10. 立体几何：- 空间直线、平面的位置关系。
- 多面体、旋转体的体积和表面积的计算。
- 空间向量在立体几何中的应用。
11. 概率与统计：- 随机事件、概率的计算。
- 离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布。
- 统计图表、数据的描述性统计。
12. 复数：- 复数的概念、表示法、复数的四则运算。
- 复数的几何意义、复数的模和辐角。
阅读与思考向量概念的推广与应用课件人教新课标2
n
1
(a
b
c
d
e
f)
(4.5,4.8,4.0,3.4,4.1)
6
“两点（欧式）距离”的应用
最小距离分类法是分类器里面最基本的一种分类方法，它是通过求出未 知类别向量X到事先已知的各类别（如A，B，C等等）中心向量的距离 D，然后将待分类的向量X归结为这些距离中最小的那一类的分类方法。
欧氏距离(EuclideanDistance)是最易于理解的一种距离计算方法，源自 欧氏空间中两点间的距离公式。
选址方便
咖啡热度
员工热情
咖啡价值
偏爱去处
19年2月
4.7
4.9
3.6
4.3
3.9
19年3月
4.6
4.9
4.1
3.9
4.2
19年4月
4.7
4.7
4.2
3.7
3.7
19年5月
4.2
4.9
3.9
3.5
4.3
19年6月
4.8
4.7
3.5
3.0
4.3
19年7月
4.2
4.9
4.6
2.1
3.9
问题1：每个月调查的维度有几个？可用几维向量表示？
因为 DA1 DA2，可知A属于红 隼；DB1 DB2, 可知B属于燕隼.
“两点（欧式）距离”的应用
鸢尾属花卉属于鸢尾科, 是一类具有较高观赏价值的多年生草本植 物。根据变色鸢尾 virginica 和 和维吉尼亚鸢尾versicolor 亚属中典型 个体的不同性状特征（花萼和花瓣的长度和宽度），对未知鸢尾花个 体进行所属类型的判别分析，以探究距离判别法在鸢尾属的分类中应 用。通过抽样检测已知变色鸢尾 virginica 的花萼长度为6.67，花萼宽 度为3.01，花瓣长度为5.58，花瓣宽度为2.05; 维吉尼亚鸢尾versicolor的花萼长度为6.05，花萼宽度为2.82，花瓣长 度为4.33，花瓣宽度为1.34；
新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖第一章空间向量与立体几何章整体解读〗
第一章空间向量与立体几何在必修课程学习平面向量的基础上，本章将平面向量推广到空间，学习空间向量及其运算、空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示，并运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，本章的研究对象是几何图形，所用的研究方法是向量方法．通过本章学习，侧重提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养．一、本章内容安排本章属于《课程标准（2021年版）》中“几何与代数”主线的内容．学生将在必修（第二册）“平面向量”和“立体几何初步”的基础上学习空间向量及其运算、空间向量基本定理，并利用空间向量解决立体几何问题，对于用空间向量解决立体几何问题，教科书“先分散、后集中”，即在学习空间向量及其运算、空间向量基本定理时“随学随用、学以致用”，同时在解决立体几何问题中巩固空间向量的知识．最后再利用空间向量描述空间直线，平面间的平行，垂直关系，用空间向量解决空间距离、夹角问题，让学生进一步体会用空间向量解决立体几何问题的思想和方法．本章共分为四部分：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示、空间向量的应用．“空间向量及其运算”是本章的基础，主要包括空间向量的基本概念和基本运算．由于空间向量的概念和运算与平面向量的概念和运算具有一致性，因此，教科书注意引导学生与平面向量及其运算作类比．让学生经历向量由平面向空间推广的过程．在展开空间向量及其运算内容时，教科书同步安排了利用空间向量解决相关的简单立体几何问题的实例“空间向量基本定理”揭示出空间任何一个向量都可以用三个不共面的向量唯一表示，因此空间中三个不共面的向量就构成了三维空间的一个“基底”．这为几何问题代数化奠定了基础．为了突出空间向量基本定理的基础地位，教科书将这一内容单设一节，不仅学习空间向量基本定现，还应用向量方法解决立体几何中的一些问题．这种安排不仅可以突出空间向量基本定理在本章内容中承上启下的作用，而且可以使学生更好地掌握用空间向量解决立体几何问题的基本方法—“基底法”，为后续学习空间向量及其运算的坐标表示奠定坚实基础．“空间向量及其运算的坐标表示”主要包括空间直角坐标系和空间向量运算的坐标表示．其中，空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础，对于空间直角坐标系的编排，基于使本章内容逻辑主线更加清晰的考虑，教科书选择了利用空间任意给定的一点和一个单位正交基底建立空间直角坐标系的方法，这与原教科书从立体几何知识出发建立空间直角坐标系相比有较大不同．由于空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示类似，因此，对于空间向量运算的坐标表示的编排，教科书采用类比方法，引导学生经历由平面推广到空间的过程．“空间向量的应用”主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，证明直线、平面位置关系的判定定理，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，向量方法是这部分的重点．为了使学生掌握向量方法，教科书注意以典型的立体几何问题为例，让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”，同时，教科书还注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点，根据具体问题的特点选择合适的方法．为了拓展学生的知识面，本章还安排了“阅读与思考向量概念的推广与应用”，把二维、三维向量推广为高维向量，并通过例子说明高维向量的应用．学有余力的学生可以学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质推广到，维向量空间，并解决一些简单的实际问题．根据以上分析，本章知识结构如下：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示和立体几何中的向量方法是本章的重点．用向量方法解决立体几何中的问题，需要综合运用向量知识和其他数学知识，通过建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题，这对学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养要求较高，是教学的难点．对于立体几何中的向量方法，要让学生在解决具体问题的基础上，归纳概括出用空间向量解决立体几何中的问题的一三步曲”，并在解决立体几何中的问题时不断体会、理解进而掌握向量方法，从而突破难点．二、本章编写思考1．关注内容的联系性和整体性，构建本章的研究框架与必修“平面向量及其应用”一样，本章也是《课程标准（2021年版）》中几何与代数主线的内容．空间向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象，是沟通几何与代数的桥梁．本章的内容安排充分考虑空间向量的这种联系性、突出几何直观与代数运算之间的融合，通过形与数的结合．感情数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，与平面向量一样，空间向量研究的“暗线”也是向量空间理论．空间向量的概念、速度等为背景，抽象空间向量的概念，定义空间向量的加法、数乘等线性运算，并给出线性运算满足的运算性质，这时空间中的向量所组成的集合就构成了一个实数域上的向量空间，进一步地，如果在这个向量空间里定义“数量积”运算并给出其性质，那么这个向量空间就是一个有度量概念的欧氏向量空间，欧氏空间中空间向量的加法、数乘、数量积等运算建立了空间向量与立体几何中的位置关系与度量问题之间的联系．一般地，在构建一个向量空间后，通常会研究这个向量空间的一般规律．具体到空间向量，就是研究空间向量基本定理、根据空间向量基本定理，这个向量空间可以由三个线性无关的向量生成．这为空间向量的运算化归为数的运算奠定了基础．这样，空间任意一个向量都可以表示成三个不共面向量的线性运算，在用空间向量解决立体几何问题的过程中，这种表示发挥了“基本”作用．从空间向量基本定理出发，选定空间中的任意一个定点O，并给定一个单位正交基底{i．．}，分别过点O作平行于向量i．．的数轴，就可以建立由{O：i，，}确定的空间直角坐标系．在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以将几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”．立体几何中的向量方法表现为如下的“三步曲”：为了用空间向量解决立体几何问题，首先要把点、直线、平面等组成立体图形的要素用向量表示，使其成为可以运算的对象，将几何问题转化为向量问题；进而利用空间向量的运算，研究空间直线，平面间的平行，垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最后再利用向量运算的几何意义，将运算结果“翻译”成相应的几何结论，从而得到几何问题的解决．基于以上分析，教科书构建了“空间向量与立体几何”的如下研究框架：背景一空间向量的概念一空间向量的运算及其性质空间向量基本定理、空间直角坐标系一空间向量及其运算的坐标表示一应用2．类比平面向量研究空间向量的概念及其运算，关注其中维数带来的变化平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系．空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在概念，运算及其几何意义，坐标表示等方面具有一致性；平面向量基本定理与空间向量基本定理在形式上也具有一致性；利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展，主要变化是维数的增加，讨论对象由二维图形变为三维图形，基本方法都是将几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论．由于平面向量和空间向量具有相同的线性运算性质．在构建空间向量及其线性运算的结构体系时，我们把空间向量及其线性运算的内容进行了集中处理，相关概念和线性运算性质通过类比平面向量的方式呈现．这样．即使教科书在局部范围内整体性更强，也使知识的纵向联系更加紧密．同样，空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算具有类似的运算法则．因此，教科书通过问题“有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？”引出空间向量运算的坐标表示，空间向量与平面向量的差异主要由其维数引起，对此教科书也给予了充分关注．例如，在证明空间向量线性运算的结合律时，通过问题“证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？”引导学生思考向量从平面推广到空间时，研究对象维数的变化对运算律的证明带来的影响，这样处理，也使学生在平面向量的基础上进一步深入理解空间向量．3．关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决．因此，我们说空间向量与立体几何间有着天然的联系．“空间向量与立体几何”属于“几何与代数”内容主线，课程标准设计这条主线的一个基点是：让学生知道如何用代数运算解决几何问题，这是现代数学的重要研究手法．例如，教科书在定义共面向量时，通过画出向量与平面平行的立体图形帮助学生建立概念；在研究如何确定点的坐标和向量的坐标时，注意引导学生借助几何直观进行研究，并根据直线和平面垂直的判定定理解释其中的道理，等等这些安排都凸显教科书在构建向量体系时对立体几何的基本知识的重视．又如，在空间向量的数量积运算后，教科书安排了证明直线与平面垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题；在空间向量基本定理后，安排了证明直线与直线垂直或平行以及求两条直线所成角的余弦值等简单立体几何问题；在完成空间向量体系的构建后，安排了运用空间向量研究空间直线、平面的位置关系和距离、夹角等度量的问题，这些安排都体现了“让学生知道如何用代数运算解决几何问题”的设计意图，为学生后续学习打下了基础．4．突出用向量方法解决立体几何问题向量方法是解决几何问题的常用方法．平面几何讨论的是平面上的点、直线等元素，它们可以与平面向量建立联系．由于平面向量可以表示平面上直线之间的平行，垂直关系以及两条直线夹角的大小，因此许多平面几何问题可以转化为平面向量问题，通过平面向量的运算得出几何结论．类似地，立体几何所讨论的是三维空间中的点、直线、平面等元素，由于它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过空间向量的运算得出几何结论，解决这些问题，主要运用向量方法．。
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.1.1平面向量的背景及其基本概念》课件
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规律方法 要充分理解与向量有关的概念， 明白它们各自所表示 的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关 键．
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【变式 1】 下列说法正确的是(
)．
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，∴A
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解析 (1)错误．由|a|＝|b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它 们方向的关系． (2)错误.0 的模|0| ＝0. (3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意 移动的． (4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可， → 、CD → 必须在同一直线上． 并不要求两个向量AB 答案 (3)
不能漏掉“→”．
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2．共线向量 (1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相 同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中 “共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义． (2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不 等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也就找到 了共线向量与相等向量的关系， 即共线向量不一定是相等向量， 而相等向量一定是共线向量． (3)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行 向量．
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【变式 3】 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E、F、D 分 别是 AC、AB、BC 的中点． → (1)写出与EF共线的向量； → (2)写出与EF的模相等的向量； → 相等的向量． (3)写出与EF
高中数学中的向量概念详解
高中数学中的向量概念详解向量是高中数学中的重要概念之一，它在几何和代数中都有广泛的应用。
了解向量的概念，不仅有助于我们理解数学知识体系，也能帮助我们解决实际问题。
本文将详细介绍高中数学中的向量概念，包括向量的定义、表示、运算以及向量的性质等内容。
首先，我们来看一下向量的定义。
在高中数学中，向量通常用有向线段来表示。
有向线段具有方向和长度两个要素，其中方向表示向量的方向，长度表示向量的大小。
我们可以用一个有序对来表示一个向量，比如(a, b)，其中a是向量的横坐标，b是向量的纵坐标。
在向量的表示方面，有三种常见的方法：初等向量表示法、分量表示法和单位向量表示法。
初等向量表示法是将向量的起点放在坐标原点，终点放在对应的点上，用有向线段表示。
分量表示法是将向量的横纵坐标表示出来，比如(a, b)。
而单位向量表示法则是将向量的长度表示为1，这样可以简化向量的运算。
单位向量表示法中，我们通常用字母i和j来表示单位向量，其中i表示向量在x轴上的单位向量，j表示向量在y轴上的单位向量。
在向量的运算方面，有加法和数乘两种。
向量的加法是指两个向量相加得到第三个向量的运算。
向量的加法满足交换律、结合律和对称律，即向量的加法不受加法成分的顺序影响。
数乘是指一个标量与一个向量相乘的运算。
数乘的结果是一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正数）或相反（若标量为负数），长度为原向量长度与标量的乘积。
除此之外，向量还有一些重要的性质。
首先是向量的共线性与平行性。
若两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；若两个向量的方向平行，但长度不相等，则它们是平行的。
其次是向量的模长。
向量的模长等于向量的长度，用两点之间的距离来计算。
模长为0的向量称为零向量。
最后是向量的夹角。
两个向量的夹角可以通过向量的点乘来计算。
若两个向量的夹角为0度，则它们是共线的；若两个向量的夹角为90度，则它们是垂直的。
在高中数学中，向量的应用非常广泛。
在几何中，向量用于计算线段的长度、判断线段的垂直性和平行性、计算面积和体积等。
新课标[原创]平面向量的坐标表示
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4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =（1，0），j =（0，1）
例１ 已知O是坐标原点，点A在第一象限
OA 4 3, xOA 60, 求向量OA的坐标。
பைடு நூலகம்
平面向量可以用坐标表示，向量 探索3：
的运算可以用坐标来运算吗？ 如何计算？ （1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ， 求a + b , a – b . （2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
一一对应
P（x ，y）
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
y a
o
x
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的平移， 将向量的起点移到坐 标的原点O处.
yA a a x o
归纳总结 定义：
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y轴方 向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量a， 由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
-6 -8
例２ 如图，已知
y A
A(1,3), B(1, 3)，C (4,1)， D(3, 4)，求向量OA, OB, AO, CD的坐标。
D
C O x
B
例3 已知P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )，P是直线
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（1）错 （4）对
（2）错 （5）对
（3）错
例2：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中 所标出的向量中：
（ 1 ）试找出与FE共线的向量；
（2）确定与FE相等的向量；
（3） OA与BC相等吗？
解：（ 1 ） OA, BC (2) BC (3)因为方向相反，所以不 相等。
E
D
F A
O
B
C
例3：在4 5达到方格中有一个向量 AB,以图中 的格点为起点和终点作 向量，其中与AB相等的
1.向量的概念: 2.向量的表示: 3.零向量: 仅对向量的大小明确规定，而 没有对向量的方向明确规定 4.单位向量: 5.平行向量: 仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定 6.共线向量: 7. 相等向量: 对向量的大小和方向都明确规定
练习:
1.下列说法正确的是 ( B ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
数量：距离、身高、质量、时间、面积等 向量：位移、力、速度、加速度、电场强度等 数量可比较大小，可纯代数运算 向量不可比较大小，不可纯代数进行运算
向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量
本书中我们研究平面向量，在立体几何中我们将研究空间向量
二、向量的几何表示
用有向线段表示向量，长度表示向量的大 小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量有多少个？与 AB长度相等的共线向量有 多少个？
B
相等的有 7个
长度相等 的有15个
例4：思考下列问题：
1、向量就是有向线段吗？ 2、下列命题正确的是 （1）共线向量都相等
（2）单位向量都相等
（3）平行向量不一定是共线向量 （4）零向量与任一向量平行
作业：P61 习题9.1 3、4
小结：
a
ab
（5）与a长度相等，方向相反的向量叫a相反向量， 记为 a
a
（ a) a
比如作用力与反作用力
a
四、例题
例1：判断下列各命题是否正确？ （） 1 a b , 则a b; (2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； （3）若 AB CD, 则四边形ABCD是平行四边形； （4）若a b, b c, 则a c; (5)若a // c, b // c, 则a // b
（3）长度为 1的向量叫单位向量。
思考：把所有单位向量 的起点集中于一点o， 问它们终点的轨迹是什 么？ 答：如图：轨迹是以o 为圆心，半径为1的圆。
（4）如图、方向相同或 相反的非零向量叫平行 向量（也叫共线向量）。 再规定零向量与任何向 量平行。
a
b
c
d
（5）相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。 b
9.１ 平面向量的概念及表示
一、向量的定义 二、向量的几何表示 三、相关概念
C
A
B
引例
例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向正东追去。
A
B
问：猫能否追到老鼠？为什么？
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 请各举出几个只有大小和既有大小又有方向的量
一、向量的定义
请举出物理中的数量（也叫标量）和向量（也叫 矢量）的实例，并进行比较。
2.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. 其中是向量a与b平行的充分不必要条件是①③④ _____.
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量 1.有向线段 2.字母 2.向量的表示: 3.有向线段起点和终点字母 3.零向量: 长度为零的向量 4.单位向量: 长度为1个单位的向量 1.方向相同或相反的非零向量 5.平行向量: 2.零向量与任一向量平行 6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量 7.共线向量: 平行向量就是共线向量
A
a
B
上面的向量记为AB, A为向量的起点， B为向量的终点； 也可记为a
特别注意：把有向线段（即向量）任意 平移，向量不变，即看作同一向量，因 为向量的大小和方向没有改变。
三、相关概念
（）向量 1 AB大小称为向量的长度（也叫模），记为 AB
（2）长度为0的向量叫零向量，记为0 ，它的方向是任意的。