第八章 假设检验

例 1
如果一个矩形的宽度w与长度l 的比
w / l ( 5 1) / 2 0.618，这样的矩形称为黄金矩形．这种尺
寸的矩形使人们看上去有良好的感觉．现代的建筑构 件、工艺品、商业信用卡等常常采用黄金矩形，现从 某工艺品厂生产的某种矩形形状的工艺品中随机抽取 ２０件 , 测得矩形的宽度与长度的比值为： 0.963 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.993. 设该厂生产的 这种工艺品的宽度与长度的比值服从正态分布，均值 为 ，试检验该批工艺品的宽度与长度的比值是否符合
一个小概率事件 , 在一次试验中是几乎不能
x 0 发生的 . 当样本观察值 x 满足 z /2 时 , / n
小概率事件发生, 故拒绝假设 H 0 ；反之, 接受
H 0.
通常,称假设 H 0 为原假设或零假设, H1为备择假设。 备择假设是指在原假设被拒绝后可供选择的假设 , 假设检验中所用的统计量称为检验统计量. 例 1 的检验法使用了正态统计量及其符号
2
(n ) 1 s
2
或
(n 1) s 2
02
12 (n ) 1 2 /
02
2 /2 ( n 1) 时 , 拒绝原假设 H 0 , 反
(5)判断：故接受 H 0 . 即认为溶液含铜量 没有显著性低于 8.32%.
二. 正态总体方差的假设检验
设 总 体 X ~ N ( , 2 ) , 其 中 , 2 未 知 , X1 , X 2 , , X n 是来自 X 的样本 , 现对 2 提出假 设检验。
对双边检验
2 2 H0 : 2 0 , H1 : 2 0
解：(1) H 0 : 0 32.50, H1 : 0 (2)检验统计量 (3)拒绝域
z /2 1.96
W z
Z
X 0 n
z z 2
，取 0.05 , 则临界点
(4)经计算
Z
x 31.13 32.5 3.05 W 1 .1 6 n
设 H 0 : 0 为真, 构造统计量
X 0 Z ~ N (0,1) / n
给定一个小概率 (称为显著性水平), 取 k z /2 ,得
X 0 P{| Z | z / 2} P z / 2 / n
X 0 由于 是一个小概率 , 因此 z /2 是 / n
对提出的假设检验
H 0 : 0 , H1 : 0
x 0 当 H 0 为真时， 差值 应该较小； 反之, 当 s/ n
H1成立时, 差值表现为较大. 由于
X 0 t ~ t (n 1) S/ n
因此, 可选取t 分布的上分位点t /2 (n 1) ,
x 0 当| | t /2 (n 1) 时, 拒绝假设 H 0 ； s/ n 反之, 接受假设 H 0 .
(4) 根据样本观察值计算t 的值
x 0 t百度文库s/ n
(5) 做出判断 对双边检验, 当| t | t /2 (n 1)时, 拒绝 H 0 ， 反之接受 H 0 ； 对右边检验, 当t t (n 1) 时, 拒绝 H 0 ， 反 之接受 H 0 ； 对左边检验, 当t t (n 1)时, 拒绝 H 0 ， 反之接受 H 0 .
假设检验问题是统计推断的另一类重要问题. 如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 通常借助于直观分析和理 论分析相结合的做法,其基本原 理就是人们在实际问题中经常 采用的所谓实际推断原理:“一 个小概率事件在一次试验中几 乎是不可能发生的”. 下面结合实例来说明假设检验的基本思想.
§1 假设检验的基本概念
(5)判断：故拒绝假设 H 0 , 即认为这批砖的 平均抗断强度不是 32.50 kg / cm2 .
2. t 检验法(适用于 2 未知)
设 总 体 X ~ N ( , 2 ) , 其 中 方 差 2 未 知 , X1 , X 2 , , X n 是来自 X 的一个样本,现对均值 提出假设. t 检验法的原理和检验步骤与 Z 检验法大体 相同, 不同之处在于此时正态总体的方差 2 未知, 因而要用 2 的无偏估计 S 2 代替，从而 检验统计量服从的分布与 Z 检验统计量服从 的分布不同 , 而且拒绝域的临界点也不一 样.
一、假设检验的基本概念
解：以 表示 X 的均值，于是 X ~ N ( ,1.21) ，问题 是要检验：
H0 : 0 32.50, H1 : 0
辛钦大数定律：样本均值 X 取值稳定于总体均值 （n 充分大） 估 计 理 论： X 是 的无偏估计. 因此，当 H 0 (即 0 )成立时，差值| x 0 |应该较小, 或 x 0 x 0 | |较小；反之, 当 H1成立时, | |体现为较大. / n / n 因此 , 可适 当 选 取 一 个 正 数 k , 称为 临界 点 , 当 x 0 x 0 | | k 时, 拒绝假设 H 0 ；反之, 当| | k 时, 接 / n / n 受假设 H 0 .
由于 S 2 是 2 的无偏估计，因此当 H 0 为真时, 2 S 2 与 0 的比值应在 1 周围波动. 由于
2
(n 1) S 2
02
~ 2 (n 1)
因 此 , 可 选 取 2 分 布 的 两 个 上 分 位 点

2 1 /2
当 (n 1) 与 /2 (n 1) ，

解: (1) H 0 : 0 0.618, H1 : 0 (2)检验统计量 (3)拒绝域为
T X 0 s n
x 0 W t t t n 1 s 2 n
查表得 t /2 t0.05/2 (20 1) 2.0930 (4)经计算
拒绝域
置信水平
拒绝域
/2
1-
/2
接受域
临界值
H0真
临界值
样本统计量
抽样分布
拒绝域
置信水平 拒绝域
/2
1- 接受域
/2
H 真 0 临界值 临界值
样本统计量
抽样分布
拒绝域
置信水平
拒绝域
/2
1-
接受域
/2
临界值
H0真
临界值
样本统计量
二、检验中的两类错误
所作判断
真实情况 接受 H0 正确 第II类错误 拒绝 H0 第I类错误
X 0 Z / n
(4) 根据样本观察值计算Z 的值
x 0 z / n
(5) 做出判断 对双边检验, 当| z | z /2 时, 拒绝 H 0 ，反之接受 H 0 ；对右边检验, 当 z z 时, 拒绝 H 0 ，反之接受 H 0 ；对 左边检验, 当 z z 时, 拒绝 H 0 ， 反之接受 H 0 .
检验的类型 研究的问题 假设 双边检验 H0 H1 = 0 ≠ 0 左边检验 0 < 0 右边检验 0 > 0
§2正态总体参数的检验
一. 正态总体 N ( , ) 均值的检验
2
2 1. Z 检验法(适用于 已知)
设总体 X ~ N ( , 2 ), 其中方差 2 已知, X1, X 2 , , X n 是来自 X 的一个 样本,现对均值 提出假设. Z 检验 法的检验步骤如下：
H0 为真 H0 为假
正确
弃真错误又称第I类错误 取伪错误又称第II类错误
弃真错误： H 0 为真时, 根据样本检验后却做 出了拒绝 H 0 的判断. 将 H 0 为真时拒绝 H 0 这一事件记为{拒绝 H 0 | H 0 为真}, 则
P{拒绝 H 0 | H 0 为真} PH 0 {拒绝 H 0 }
解: (1) H 0 : 0 8.32, H1 : 0 (2)检验统计量
X 0 T s n
（3）拒绝域为
W t
t t n 1
查表得t (n 1) t0.05 (3) 2.3534 (4)经计算
x 0 t 1.33 W s n
t 检验法的检验步骤如下：
(1) 提出如下假设之一
H 0 : 0 , H1 : 0 H 0 : 0 , H1 : 0 H0 : 0 , H 1 : 0
(2) 选取t 检验统计量
X 0 t s/ n
(3) 对给定的 , 查表求临界点 对双边检验, 查表求 t 分布的上分位点t /2 ； 对右边检验, 查表求 t 分布的上分位点t ； 对左边检验, 查表求t .
称为显著性水平
取伪错误：H 0 不真时, 根据样本检验后做出 了接受 H 0 的判断, 其概率记为
P{接受 H 0 | H 0 不真} PH1 {接受 H 0 }
当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误 的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大. 若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增 加样本容量.
t x 0 0.677 0.618 2.1592 W s 0.1222 20 n
(5)故拒绝 H 0 ，即认为该批工艺品的宽度与长度 的比值不符合黄金矩形的标准 .
例 2 从某种含铜溶液的四次测定值算得溶 液 含 铜 量 的 平 均 值 为 8.30(%), 标 准 差 s 0.03 (%). 若测定值总体服从正态分布 , 试在 0.05 条件下检验溶液含铜量是否显 著性低于 8.32%？
例 根据长期的经验和资料分析，某 砖瓦厂生产的砖的“抗断强度” X 服从正态 分布，方差 2 1.21，今从该厂生产的一批砖 中，随机抽取 6 块，测得抗断强度( kg / cm2 ) 为：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03， 问可否认为这批砖的平均抗断强度为 32.50 kg / cm2 ?
第八章 假设检验
• 假设检验的基本概念 • 正态总体参数的假设检验
在总体的分布函数完全未知或只知其形式、 但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性质, 提出某些关于总体的假设.
例如, 对于正态总体提出数学 期望等于0 的假设等 .
假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判 断: 是接受, 还是拒绝.
X 0 Z / n
故称为 Z 检验法
当检验统计量的取值落在某个区域W时,根 据检验方法,应该拒绝原假设, 称区域W为拒绝 域. 显然, 例1中的拒绝域为
x 0 z /2 / n
抽样分布
拒绝域
置信水平
拒绝域
/2
1-
接受 域
临界值 H0真 临界值
/2
样本统计量
抽样分布
例 1 根据长期的经验和资料分析，某 砖瓦厂生产的砖的“抗断强度” X 服从正态 分布，方差 2 1.21，今从该厂生产的一批砖 中，随机抽取 6 块，测得抗断强度(kg / cm2 ) 为：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03， 问可否认为这批砖的平均抗断强度为 32.50 2 kg / cm ?
(1) 提出如下假设之一
H 0 : 0 , H1 : 0 H 0 : 0 , H1 : 0 H0 : 0 , H 1 : 0
(2) 选取 Z 检验统计量
(3) 对给定的 , 查表求临界点 对双边检验 , 查表求标准正态分布的上 分位点 z /2 ；对右边检验, 查表求标准正 态分布的上分位点 z ；对左边检验, 查表 求 z .