22.1.2 二次函数的图象(1)
人教版九年级上册数学 22.1.2 二次函数 y=ax2的图象和性质课件
a<0
1 -5-4-3-2-1 -1o1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 y x2
y
2
y 2 x 2
y x2
总结性质
1.形如二次函数 y=ax2 的图象都是顶点为
（ 0 ， 0） ______ 的抛物线，反之，顶点在（0,0）
2 y = ax 的抛物线的形式是_________.
体验画图
抛物线的定义：
实际上,二次函数的图象是抛物线，
它们开口向上或向下，一般地，二次
函数 y ax bx c 的图象叫做抛
2 2
物线 y ax bx c .
体验画图
3. 拓展与延伸： 3 个点， （1）画二次函数的图象一般需要___
哪些点比较关键？ 抛物线
yx
2
轴 对称图形，对称 是__
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 x
a>0
体验画图
（3）以上都是当a >0时，二次函数 y ax 的图象，
2
那么当 a<0时，试在同一直角坐标系画出二次函数：
1 2 y x ，y x ，y 2 x 2 的图象. 2
2
关于 y 轴对称 原点（0，0）
对称性
顶点
总结提高
2. 二次项系数 a 对形如 y=ax2 的函数值 y 又有
何影响？对图象又有何影响？
y＝ax2
开口
a>0 开口向上
a<0 开口向下
增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
LOGO
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 参考解析
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课前预习1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）.当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，此时抛物线有最低点，即当x=0时，y取得最小值0 ；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时抛物线有最高点，即当x=0时，y取得最大值0 .|a|越大，抛物线的开口越小，|a|相等说明抛物线的开口大小相同.课堂练习知识点1 二次函数y=ax2的图象1.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.2.某同学画二次函数y=ax2的图象时，列下列表格：（1）将表格中的空格补全；（2）这个二次函数的解析式为y=-1x2；2（3）在平面直角坐标系中画出二次函数的图象.解：（3）函数图象如图所示.知识点2 二次函数y=ax2的性质3.已知二次函数y=（m-2）x2的图象开口向上，则m的取值范围是m>2 .4.下列各点在二次函数y=-2x2图象上的是（ B ）A.（-1，2）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，4）5.关于函数y=x2的图象，下列说法错误的是（ C ）A.它的图象是一条抛物线B.它的开口向上，且关于y轴对称C.它的顶点是抛物线的最高点D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）课时作业1.与二次函数y=x2开口大小相同，方向相反的二次函数是y=-x2.2.二次函数y=-0.2x2的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）.当x= 0 时，函数有最大值0 ；当x ＞0时，y随x的增大而减小.3.关于函数y=3x2的性质，下列说法正确的是（ C ）A.无论x为任何实数，y的值总为正B.当x值增大时，y的值也增大C.它的图象关于y轴对称D.它的图象在第一、第三象限内4.已知A （-1，y ₁），B （-2，y ₂）都在二次函数y=x 2上，则y ₁，y ₂之间的大小关系是（ C ）A.y ₁>y ₂B.y ₁=y ₂C.y ₁<y ₂D.不能确定 5.二次函数y=ax 2（a ＞0）的图象经过点（3，4），则其图象一定经过点（ C ） A.（3，-4） B.（-3，-4） C.（-3，4） D.（4，3）6.如图，当ab ＞0时，函数y=ax 2与函数y=bx+a 的大致图象是（ C ）7.二次函数y=2x 2，y=-2x 2，y=12x 2的共同性质是（ B ） A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点 D.y 随x 的增大而增大 8.已知函数y=（m+2）226m m x +-是关于x 的二次函数. （1）求m 的值；（2）当m 为何值时，函数图象的顶点为最低点？ （3）当m 为何值时，函数图象的顶点为最高点？ 解：（1）根据二次函数的定义得22026 2.m m m +≠+-=⎧⎨⎩，解得⎩⎨⎧-==.4,221m m ∴m 的值为2或-4；（2）当m=2时，抛物线的开口向上，函数有最小值，函数图象的顶点为最低点； （3）当m=-4时，抛物线的开口向下，函数有最大值，函数图象的顶点为最高点.9.在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y=x 2；②y=12x 2；③y=-x 2；④y=-12x 2.从图象上对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？解：列表如下描点、连线，函数图象如图所示a的绝对值相同，抛物线的形状相同；a的绝对值越大，开口越小.10.如图，A，B为抛物线y=x2上的两点，且AB∥x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若2.解：∵AB=22∴BC=122∴点B的横坐标为2代入抛物线的解析式得y=2.∵AB∥x轴，∴点B与点C的纵坐标相同.∴OC=2，即圆的半径为2.由二次函数的对称性得，图中阴影部分的面积等于圆面积的14， 即S 阴影=14π×22=π.11.函数y=ax 2（a ≠0）的图象与直线y=2x-3交于点（1，b ）. （1）求a 和b 的值；（2）x 在什么范围时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而增大？ （3）求抛物线y=ax 2与直线y=-2的两个交点及顶点所围成的三角形的面积. 解：（1）把点（1，b ）代入y=2x-3，得b=-1. ∴交点坐标为（1，-1）. 把（1，-1）代入y=ax 2，得a=-1. ∴a=-1，b=-1；（2）由（1）得y=-x 2，当x ≤0时，y 随x 的增大而增大； （3）根据题意，得2,2.y x y ⎧=-⎨=-⎩解得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴两交点坐标分别为（-2），（-2）.故S △=12×。
22.1.2 二次函数的图象和性质(1)教案
描点，并连线
图略
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质。回忆一下如何研究一次函数的图象和性质的？
2、类比探究二次函数
y＝ax2的图象与性质。
问题1：类比一次函数的研究内容和研究方法，画二次函数y＝x2的图象，你能说说它的图像特征和特性吗？你是如何描点画图的？你打算从哪些角度去观察、概括特征？
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
2．难点、关键：用描点法画二次函数y＝ax2的图象、探索其性质及二次函数y＝ax2的灵活运用
教学准备
教科书、多媒体课件
教学时间
1课时
教学过程
第（2）课时
教学环节
教师活动预设
学生活动预设
设计意图
备注
情境导入
如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5，然后准确落入篮筐内。已知，篮圈中心离地面距离为3.05m
（2）已知抛物线y=-2x2,在对称轴的左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而
通过描点法画出一次函数的图象，观察图象得出图象的特征和特性，如位置、形状、函数随自变量的增大如何变化。
人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图像与性质 课件(21张PPT)
二二次次函函数数y的=图x2象的都图是象抛是物一线条，曲线它，们它的的开形口状或类者似向于上投或篮者球向 时下球．在一空般中地所，经二过次的函路数线y，=只ax是2 +这b条x +曲c线（开a≠口0）向的上图，象这叫条做曲抛 线物叫线做y =抛a物x2线+ byx=+xc2 ，
9 6 3
－3
3
实y轴际是上抛，物每线条y抛= 物x 2线的都对有称对轴称，轴抛，物抛线物y 线= x与2 对与称它轴的的对交称点轴 叫的做交抛点物（线0，的0顶）点叫．做顶抛点物是线抛y =物x线2 的的顶最点低，点它或是最抛高物点线．y = x 2 的最低点．
交点坐标
y
求抛物线与直线的 交点坐标的方法： 两解析式联列方程
组
y=4x2 y=3x+1
O
x
1.若抛物线y=ax²与y=4x²的形状及开口方向 均相同，则a= 4
2.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中，错误 的是（ C ） A.它的图像的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图象的位置；
在x轴的下方
解: (1)依题意，得 (2)2 a 3
解得
a=
3 4
∴ 该函数的解析式为 y
3 4
x2
例3、y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中， 可能是（ B ）
A
B
C
D
例4、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
描点法
列表、描点、连线
以0为中心 选取7个x值
画最简单的二次函数 y = x2 的图象列表
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
x
… -2 -1
0
1
y=2x2 …
y=2x2
…
(2)描点并连线:
2
…
…
…
【思路点拨】 首先列表求出函数图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.注 意连线时一定要用平滑的实线连接.
解:(1)8 2 0 2 8 -8 -2 0 -2 -8 (2)
类型二:二次函数y=ax2图象的性质的应用
例2 已知函数y=ax2的图象过点(1, 1 ).
2
增大而减小.
(2)在其图象上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1>x2>0,比较y1,y2的大小.
【思路点拨】 (2)二次函数y=ax2的对称轴为y轴,由(1)知a<0,所以在其对称轴 的右侧y随x的增大而减小,又x1>x2>0,故y1<y2. 解:(2)因为x1>x2>0, 所以y1<y2.
(1)简述函数y=ax2的性质;
2
【思路点拨】 (1)把点(1, 1 )代入函数y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函
数的性质.
2
解:由题意得 a=- 1 ,所以 y=- 1 x2.
2
2
(1)函数 y=- 1 x2,开口向下,在 y 轴左侧 y 随 x 的增大而增大,在 y 轴右侧 y 随 x 的
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
1.二次函数y=ax2的图象
二次函数y=ax2的图象是 抛物线 ,对称轴与抛物线的交点叫做 顶点 ,顶点是
(0,0) ,当a>0时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物线的最 低 点;当a<0时, 抛物线的开口 向下 ,顶点是抛物线的最 高 点.对于y=ax2,|a|越 大 ,抛物 线的开口越小.
九年级数学上册二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课件
图22-1-7
解：(1)填表如上，图象略； (2)a 的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口大小.
6．已知 a≠0，在同一直角坐标系中，函数 y＝ax 与 y＝ax2 的图象有可能是 (C )
A
B
C
D
【解析】 A 项，函数 y＝ax 中，a>0，y＝ax2 中，a>0，但当 x＝1 时，两 函数图象应有交点(1，a)，错误；
下列关系式一定正确的是( C )
A．y1>0>y2
B．y2>0>y1
C．y1>y2>0
D．y2>y1>0
3．函数 y＝x2，y＝21x2，y＝2x2 的图象大致如图 22-1-5 所示，则图中从里
到外的三条抛物线对应的函数依次是( D )
A．y＝12x2，y＝x2，y＝2x2
B．y＝x2，y＝21x2，y＝2x2
类型之二 由二次函数 y＝ax2 的图象特征求待定字母的值
已知函数
是关于 x 的二次函数．
(1)求 m 的值；
(2)当 m 为何值时，此函数图象的顶点为最低点？
(3)当 m 为何值时，此函数图象的顶点为最高点？
m＋2≠0， 解：(1)由题意，得m2＋2m－6＝2， 解得 m1＝2，m2＝－4； (2)若函数图象的顶点为最低点，则 m＋2>0， ∴由(1)知，m＝2； (3)若函数图象的顶点为最高点，则 m＋2<0， ∴由(1)知，m＝－4.
分层作业
1．[2016·玉林]抛物线 y＝12x2，y＝x2，y＝－x2 的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点(0,0)为顶点；③都以 y 轴为对称轴；④都关于
x 轴对称．其中说法正确的个数有( B )
2212 二次函数的图象和性质(解析版)
22.1.2二次函数的图象和性质夯实双基，稳中求进二次函数y=ax 2的图象与性质题型一：二次函数y=ax 2的图象与性质【例题1】（2021·湖南九年级二模）已知抛物线2y ax =（0a >）过()12,A y -，()21,B y 两点，则下列关系式一定正确的是（ ） A ．120y y >> B ．210y y >>C ．120y y >>D ．210y y >>【答案】C【详解】∵抛物线2(0),y ax a =>()12,A y ∴-关于y 轴对称点的坐标为)1(2,y ．又0,012,a ><<210y y ∴<<． 故选：C ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．知识点管理 归类探究 1变式训练【变式1-1】（2021·江苏中考真题）已知二次函数2(1)y a x =-，当0x >时，y 随x 增大而增大，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．1a > C ．1a ≠ D ．1a <【答案】B【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数2(1)y a x =-的对称轴为y 轴，当0x >时，y 随x 增大而增大， ∵二次函数2(1)y a x =-的图象开口向上， ∵a -1＞0，即：1a >， 故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 【变式1-2】（2021·古浪县第四中学九年级月考）抛物线y=-x 2的对称轴是 ______________，顶点坐标是_________________． 【答案】y 轴 (0，0)【分析】形如y =ax 2的抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为原点． 【详解】解：抛物线y =-x 2的对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，0）． 故答案为：y 轴；（0，0）．【点睛】本题考查二次函数的性质，对于二次函数()20y ax a =≠，它的对称轴是y 轴，顶点是原点．【变式1-3】（2021·西安高新一中实验中学九年级其他模拟）在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x 的图象如图所示，则123,,a a a 的大小关系为___________（用“>”连接）．【答案】321a a a >>．【分析】抛物线的开口方向由a 的符号决定，开口大小由a 的绝对值决定，绝对值越大，开口越小．【详解】解：∵二次函数y 1=a 1x 2的开口最大，二次函数y 3=a 3x 2的开口最小， 而抛物线的开口都是向上的，则二次项的系数都为正数， ∵321a a a >>，故答案为：321a a a >>．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a 的值决定是解题的关键．二次函数y=ax 2+k 的图象与性质题型二：二次函数y=ax 2+k 的图象与性质【例题2】（黑龙江省哈尔滨市2021年中考数学真题）二次函数232y x =-的最小值为________． 【答案】-2【分析】由二次函数232y x =-可直接求解．【详解】解：由二次函数232y x =-可得：开口向上，有最小值， ∵二次函数232y x =-的最小值为-2； 故答案为-2．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 变式训练【变式2-1】（2020·广西南宁市·九年级期中）二次函数y =2x 2﹣x ，当x _____时y 随x 增大而增大，当x _____2时，y 随x 增大而减小． 【答案】x ＞14 x ＜14【分析】首先确定二次函数的对称轴，然后据对称轴及开口方向判断其增减性即可． 【详解】解：∵二次函数y =2x 2﹣x 中对称轴为112224b x a -=-=-=⨯，开口向上， ∵当x ＞14时y 随x 增大而增大，当x ＜14时，y 随x 增大而减小，故答案为：x ＞14，x ＜14．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握求二次函数开口方向，对称轴，顶点坐标的方法是解决问题的关键．【变式2-2】抛物线213y x =-的顶点是（ ） A ．(1,3)- B ．(3,1)-C ．(1,0)D ．(0,1)【答案】D【分析】根据题目中的抛物线解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线y =1-3x 2=-3x 2+1， ∵该抛物线的顶点坐标为（0，1）， 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【变式2-3】（2020·全国九年级课时练习）在同一坐标中，一次函数y ＝﹣kx +2与二次函数y ＝x 2+k 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由二次函数y ＝x 2+k 得抛物线开口向上，排除B ；根据一次函数y ＝﹣kx +2，得直线与y 轴的正半轴相交，排除D ；根据A 、C 可知，k ＜0，故选A. 【详解】由二次函数y ＝x 2+k 得抛物线开口向上，排除B ；根据一次函数y ＝﹣kx +2，得直线与y 轴的正半轴相交，交点为(0，2)，排除D ； 根据A 、C 可知，抛物线交y 轴于负半轴，所以k ＜0，故选A.【点睛】本题为判断一次函数与二次函数图象问题，关键是明确各个系数与二次函数与一次函数图象的关系.二次函数y=a （x -b ）2的图象与性质题型三：二次函数y=a （x -b ）2的图象与性质【例题3】（2021·安徽九年级期中）关于二次函数2(2)y x =--的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向上B ．最高点是（2，0）C ．对称轴是直线x ＝﹣2D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小【答案】B【分析】根据二次函数图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：A 、该二次函数开口向下，故本项说法错误；B 、二次函数开口向下，在2x =处取得最大值0y =，所以本项正确；C 、该二次函数的对称轴是2x =，故本项说法错误；D 、当2x >时y 随x 的增大而减小，故本项说法错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质；熟知二次函数图象的性质与表达式之间的关系式解题的关键． 变式训练3【变式3-1】若点()()()1233,,2,,1,A y B y C y ---三点在抛物线2(1)(0)y a x a =+>的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．213y y y >> B ．213y y y >>C ．312y y y >>D ．231y y y >>【答案】A【分析】先求出二次函数抛物线y =a （x +1）2（a ＞0）的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数y =a （x +1）2中a ＞0， ∵开口向上，对称轴为x =-1， ∵-3＜-2＜-1， ∵y 1＞y 2＞y 3． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式3-2】）关于二次函数2(2)y x =--的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向上B ．最低点是(2,0)C ．可以由2y x =-向左平移2个单位得到D ．当0x <时，y 随x 的增大而增大【答案】D【分析】已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断． 【详解】解：2(2)y x =--中，-1＜0， ∵开口向下，顶点坐标为（2，0），是最高点， 可以由2y x =-向右平移2个单位得到， 当2x <时，y 随x 的增大而增大， ∵说法正确的是D ， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的表达式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等．【变式3-3】（2021·江苏中考真题）在函数2(1)y x =-中,当x ＞1时,y 随x 的增大而 ___．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大【分析】根据其顶点式函数2(1)y x =-可知,抛物线开口向上,对称轴为1x = ,在对称轴右侧y 随x 的增大而增大,可得到答案．【详解】由题意可知: 函数2(1)y x =-,开口向上,在对称轴右侧y 随x 的增大而增大,又∵对称轴为1x =, ∵当1x >时,y 随的增大而增大, 故答案为:增大．【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性,掌握当二次函数开口向上时,在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大,在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小是解题的关键．二次函数y=a （x -h ）2+k 的图象与性质题型四：二次函数y=a （x -h ）2+k 的图象与性质【例题4】（2021·河南）设()12,A y ，()23,B y ，()34,C y -是抛物线()231=-+y x k 图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．321y y y >>B ．312y y y >>C ．213y y y >>D ．132y y y >>【答案】A【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：∵抛物线()231=-+y x k 的开口向上，对称轴是直线x =1， ∵当x >1时，y 随x 的增大而增大，∵()34,C y -关于直线x =1的对称点是()36,y ， ∵2<3<6，4∵321y y y >>． 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）二次函数y ＝（x ＋3）2﹣5的顶点坐标是（ ） A ．（3，﹣5） B ．（﹣3，﹣5）C ．（﹣3，5）D ．（3，5）【答案】B【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线解析式为y ＝（x ＋3）2﹣5， ∵二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，﹣5）． 故选：B ．【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知顶点式的特点．【变式4-2】点(,)P a b 在抛物线2(1)1y x =--+上，若01a <<，关于a ，b 的数量关系，下列描述正确的是（ ） A ．a b < B ．b a <C ．b a =D ．无法确定【答案】A【分析】将P 代入抛物线表达式，从而得到-a b (1)a a =-，根据a 的范围得到结果的符号，即可比较． 【详解】解：∵(,)P a b 在2(1)1y x =--+上， ∵2(1)1a b --+=，∵-a b 2(1)1a a =+--2a a =-(1)a a =-， ∵01a << ∵10a -<， ∵(1)0a a -<， ∵0a b -<， ∵a b <． 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，不等式的性质，解题的关键是利用作差法，求出a -b 的符号进行比较．【变式4-3】（2020·全国九年级课时练习）抛物线y=2(x -1)2+c 过(-2，y 1)，(0，y 2)， (52，y 3)三点，则122,,y y y 大小关系是( ) A ．231y y y >> B ．123y y y >> C ．213y y y >> D ．132y y y >>【答案】D【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出(52，y 3) 直线x=1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y 1，y 2，y 3的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵y=2(x -1)2+c ，2>0， ∵抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，∵当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；(52，y 3)关于直线x=1的对称点是(12-，y 3)，∵-2<12-<0<1∵y 1＞y 3＞y 2， 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．【真题1】（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）抛物线23(1)8y x =-+的顶点坐标为______________________________． 【答案】(1，8)【分析】根据题意可知，本题考察二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解． 【详解】解：由二次函数性质可知，()2y a x h k =-+的顶点坐标为(h ，k ) ∵23(1)8y x =-+的顶点坐标为(1，8) 故答案为：(1，8)【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标． 【真题2】（2021·浙江中考真题）关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）链接中考A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值6【答案】D【分析】根据二次函数22(4)6y x =-+的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数22(4)6y x =-+中，a =2>0，顶点坐标为（4,6）， ∵函数有最小值为6． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最值．【真题3】（2021·辽宁阜新市中考真题）如图，二次函数2(2)y a x k =++的图象与x 轴交于A ，(), 10B -两点，则下列说法正确的是（ ）A ．0a <B ．点A 的坐标为()4,0-C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴为直线2x =-【答案】D【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断． 【详解】由图可得开口向上，故a ＞0，A 错误；∵解析式为2(2)y a x k =++，故对称轴为直线x =-2，D 正确 ∵(), 10B -∵A 点坐标为（-3，0），故B 错误；由图可知当2x <-时，y 随x 的增大而减小，故C 错误； 故选D ．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．满分冲刺【拓展1】（2020·江苏中考真题）下列关于二次函数22()1y x m m =--++（m 为常数）的结论，∵该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同；∵该函数的图象一定经过点(0,1)；∵当0x >时，y 随x 的增大而减小；∵该函数的图象的顶点在函数21y x =+的图象上，其中所有正确的结论序号是__________．【答案】∵∵∵【分析】∵两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；∵求出当0x =时，y 的值即可得；∵根据二次函数的增减性即可得；∵先求出二次函数22()1y x m m =--++的顶点坐标，再代入函数21y x =+进行验证即可得． 【详解】当0m >时，将二次函数2y x =-的图象先向右平移m 个单位长度，再向上平移21m +个单位长度即可得到二次函数22()1y x m m =--++的图象；当0m <时，将二次函数2y x =-的图象先向左平移m -个单位长度，再向上平移21m +个单位长度即可得到二次函数22()1y x m m =--++的图象∴该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同，结论∵正确对于22()1y x m m =--++当0x =时，22(0)11y m m =--++=即该函数的图象一定经过点(0,1)，结论∵正确由二次函数的性质可知，当x m ≤时，y 随x 的增大而增大；当x m >时，y 随x 的增大而减小则结论∵错误22()1y x m m =--++的顶点坐标为2(),1m m +对于二次函数21y x =+当x m =时，21y m =+即该函数的图象的顶点2(),1m m +在函数21y x =+的图象上，结论∵正确综上，所有正确的结论序号是∵∵∵故答案为：∵∵∵．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．【拓展2】（2020·宁县南义初级中学九年级月考）已知函数()()22(1)13{(5)13x x y x x --≤=--＞，若使y ＝k 成立的x 值恰好有三个，则k的值为_______．【答案】3【分析】首先在坐标系中画出已知函数22113{513x xyx x--≤=--（）（）（）（＞）的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值．【详解】函数22113{513x xyx x--≤=--（）（）（）（＞）的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∵k=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．。
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质(1)》教学设计
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.1节《二次函数的图象和性质（1）》是本册教材的重要内容，主要介绍二次函数的一般形式、图象特点以及一些基本性质。
通过本节内容的学习，学生可以掌握二次函数的基本知识，为后续学习二次函数的应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，具备一定的函数知识基础。
但二次函数相对复杂，学生对其理解和掌握可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、思考、探索等方式，自主发现和总结二次函数的性质。
三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式和图象特点。
2.掌握二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的概念。
3.能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特点。
2.二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的理解与应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探索等方式自主学习。
2.利用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质。
3.注重数学语言的训练，引导学生规范表达。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来描述这些问题。
例如，抛物线运动、物体抛掷等。
从而引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体课件，呈现二次函数的一般形式和图象特点。
引导学生观察并总结二次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过计算器或者绘图软件，自己动手绘制一些二次函数的图象，并观察其性质。
同时，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用所学的二次函数知识解决问题。
教师及时批改并给予反馈，帮助学生巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，例如抛物线射门、跳水运动等。
九年级数学上册22二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
4．函数y＝ax2与y＝－ax＋b图象可能是(
)
B
第8页
5．下列函数中，当 x>0 时，y 随着 x 的增大而增大的是( D )
A．y＝－x＋1
B．y＝－x－1
C．y＝－x2
D．y＝x2
*6.已知 m 为实数，下列各点中：A(m，－am2)，B(m，－m)，C(m2，
－m)，D(－m，am2)，抛物线 y＝－ax2 一定不经过的点是____D_______．
22.1 二次函数图象和性质
22.1.2 二次函数y＝ax2图象和性质
第1页
1．二次函数y＝ax2图象 二次函数y＝ax2图象是一条抛物线，它含有以下特点： (1)顶点在__原__点___、对称轴为__y_轴____； (2)当a＞0时，抛物线开口____向__上_，a越大，抛物线开口越______小； 当a＜0时，抛物线开口____向__下_，a越小，抛物线开口越_______小_． 2．二次函数y＝ax2性质 (1)假如a＞0，则： 当x＜0时，y随x增大而_____减__小_； 当x＞0时，y随x增大而_____增__大_； 当x＝0时，y取最___小___值0，即y最小＝__0____． (2)假如a＜0，则： 当x＜0时，y随x增大而_____增__大_； 当x＞0时，y随x增大而_____减__小_； 当x＝0时，y取最___大___值0，即y最大＝__0__．
*7.如图，正方形的边长为 4，以正方形中心为原点建立平面直角 坐标系，作出函数 y＝13x2 与 y＝－13x2 的图象，则阴影部分的面积是
__8____．
*8.已知 a<－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数 y
＝x2 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是_y_1_1＞__y_2_＞__y__3__.
22.1.2 二次函数图像和性质(共15张PPT)
观评记录课题二次函数y=ax2的图象与性质课型新授时间2015.4.22 授课人李艳玲观课人李秀珍观课记录在本课时教学中，李老师坚持以学生发展为本，面向全体学生，教书育人。
她着眼于学生的全面发展，根据教材特点，在不同环节采用多样的教、学方式，满足不同层次学生发展的需要，促进学生个性发展；她尊重学生的主体地位，注意调动学生学习的主动性和积极性，学生能讲的老师不讲，学生能画的教师不画，学生思维积极活跃，有认知冲突，有精彩观念，有不同的问题解决方法；注重培养学生的创新精神和实践能力，坚持启发式教学，鼓励学生实施自主、合作、探究学习，形成民主和谐、相互尊重、合作探究的教学氛围。
教学目标达成度高，不同层次的学生均有收获，反映出浓厚的课堂文化。
观评记录课题二次函数y=ax2的图象与性质课型新授时间2015.4.22 授课人李艳玲观课人程爱民观课记录李老师在研究课程标准、研究学情的基础上，科学、精准定位“三维”教学目标，实现“三维”教学目标的有机统一，教学目标可观测，可评价；她有效整合人教版、北师大版等不同版本的教材，将“关于x轴对称的抛物线”的特点融合到现行教学内容中；在课堂教学过程中，注意到学生分析y随x变化而增减的规律时遇到了问题，她灵活、及时的调整教学重难点目标，通过板演证明过程突破了这一难点，使得课堂目标真正成为“生成的目标”，教学难点真正基于“学生的难点”，课堂真正成为“生成的课堂”。
这反映出李老师具有深厚的专业功底和灵活的教育机智。
观评记录课题二次函数y=ax2的图象与性质课型新授时间2015.4.22 授课人李艳玲观课人王荣峥观课记录从课堂教学过程可以看出，李老师充分考虑教学目标、教学内容以及学生心理、学习特点的一致性设计教学，她不把自己作为教室的中心，而是鼓励学生自己寻求帮助和答案。
她善于对学生的进步以及出现的问题进行监控，在必要的时候采取纠正的补救措施。
她并不热衷于“教”而热衷于为学生的学习提供辅助。
22.1《二次函数的图象和性质》课件(共5课时)
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
归纳： 一般地，当 a＞0 时，抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最 低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大．
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是__S_=__4_π_r_2_； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
这三个函数关系式有什么共同点？
y 6x2 m 1 n2 1 n
2
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）抛物线 y = ax2 + k 与抛物线 y = ax2 的区别与联 系是什么？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 5 题（1）.
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第4课时）
• 本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax2，y = ax2+ k 的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函 数图象和性质研究的延续．
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
(1) 列表 (2) 描点 (3) 连线
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
y = 2x2 y
10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y = x2 y = ▁21 x2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
二次函数 y = x2的图 象是轴对称图形， 对称轴是 y 轴
10 y
9 8
7 6 5 4 3 2 1
y = x2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
从左到右：上升 y随x：增大而增大
抛物线 y = x2与它的对称轴的 交点(0,0)叫做抛物线 y = x2的 顶点 它是抛物线 y = x2的最低点．
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
(3) 连线
-1
y 1 x2
-2
2
-3
y x2
-4
-5 y 2 x2
22.1.2 二次函数 y=ax²的图象和性质
函数 y=- 1 x2（橘黄线）, y=-2x2（绿线）的图象与
2
函数 y=-x2(蓝线)的图象相比,有什么共同点和不同点?
y
相同点：开口：向下， 顶点：原点（0,0）——最高点
实际上, 二次函数的图象都是抛物线，
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0） 的图象叫做抛物线 y = ax2 + bx + c
y 10
9
8 7
y = x2
6
5
4
3
2
1
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)， ∴当m=2时，抛物线有最小值为0，这时当x>0时，y
随x的增大而增大.
典型例题精析
(3)m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ 这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和 性质
典型例题精析
例1 已知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数. (1)求满足条件的m值；
解： (1)根据题意，得 解得
∴当m=2或m=-3时，原函数为二次函数.
典型例题精析
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低 点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
2．下列说法中错误的是( C ) A．在函数y=-3x2中，当x=0时，y有最大值0 B．在函数y=4x2中，当x＞0时，y随x的增大而增 大
C．抛物线y=2x2,y=-x2,y=- x2中，抛物线
y=2x2的开口最小，抛物线y=-x2的开口最大 D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2的顶点 都是坐标原点
3．若a＜-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=3x2 的图象上,则y1、y2、y3的大小关系为( A )
A．y1＞y2＞y3
B．y3＞y1＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y2＞y1＞y3
4．已知二次函数y=mxm2+1,当m= -1 时，它 的图象是开口向下的抛物线，并且当x ＜0 时， y随x的增大而增大，此时图象有最 高 点，对应 的y有最 大 值.
7．若函数y=
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3) 1 2 y x 3
(2) y=-3x2
2．已知正方形周长为C cm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
课堂小结：
n 2 n
的开口向下，求n的值。
3、若m>0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、
1 2 (m+3，y3)在抛物线 y x 上，则 4
y1、 y2、y3的大小关系是
。
二次函数 的图象形 如物体抛 射时所经 过的路线, 我们把它 叫做抛物 线
y=2x2
y=-2x²
观察图象,回答问题：
(1) y=2x2图象是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?请 你找出几对对称点？y=-2x² 呢？？
y=2x2
y=-2x²
(2)抛物线与对称轴有交点吗？如果有,交点坐标是 什么?这个点叫做抛物线的 。 (3)当x取什么值时,y的值最小（最大）?最小值 （最大值）是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
二次函数y=ax²的图像及其性质
抛物线 a的 开口方向 符号 与大小
开口向上 a值越大， a>0 开口越小， a值越小， 开口越大 开口向下 a<0 y轴 (0,0)
对称轴
顶点 最大（小） 增减性 坐标 值
用描点法画出二次函数
yx
2
的图象。
自学指导：
1.列表时自变量如何合理选值？
2.以什么数为中心？
3.当x取互为相反数的值时，y的值如何？
4.观察函数y 么结论？
x
2
的图象，你能得出什
探究新知：
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它 们有何共同点？有何不同点？
（1）y=2x2
（2）y=-2x²
在对称轴左侧， 当X=0时 y随x增大而减 小;在对称轴 y有最小 右侧， 值， y随x 增大而 y最小=0 增大 在对称轴左侧， 当X=0时 y随x增大而增 大;在对称轴 y有最大 右侧， 值， y随x 增大而 y最大=0 减小
a值越大，
开口越大， a值越小， 开口越小
y轴
(0,0)
练一练 1、说出下列函数图象的性质：
谈谈这节课你的收获。
当堂检测： 1.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中，错误 的是（ C ） A.它的图像的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值 C.a越大，图像开口越小；a越小，图像开口越大 D.当a＞0，在x＞0时，y随x的增大而增大
2、若抛物线 y (n 1) x
22.1.2 二次函数y=ax²的图象
董 印 锋
学习目标： 会用描点法画出二次函
数的 y
ax 图象，概括出图
2
象的特点及函y 2 x 1，反比例函 数
3 y x
的图象分别是
、
2
？
那么二次函数
么呢？
y x
图象是什
2.你还记得画函数图象的步骤吗？