考点29 梯形

1（2008年•广安市）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点，连接AE 并延长AE交BC 的延长线于点F ． （1）求证：CF =AD ；（2）若AD =2，AB =8，当BC 为多少时，点B 在线段AF 的垂直平分线上，为什么？【解析】(1)由AD ∥BC ，∠F=∠DAE ，点E 是CD 的中点可证得△FEC ≌△AED ，得到结论；（2）由点E 是 AF 的中点，若AB=BF,则点B 在AF 的垂直平分线上，所以，需要BC=6即可。

【标准解答】（1）证明：∵AD ∥BC ,∴∠F=∠DAE , 又∵∠FEC=∠AED,CE=DE, ∴△FEC ≌△AED,∴CF=AD.(2)当BC=6时，点B 在线段AF 的垂直平分线上， 其理由是：∵BC=6,AD=2,AB=8,∴AB=BC+CF=BC+AD=8=BF, ∴点B 在AF 的垂直平分线上。

2 (2008年•四川巴中)已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ． （1）求证：△BCE ≌△FDE（2）连结BD CF ，，判断四边形BCFD 的形状，并证明你的结论．【解析】（1）由AD ∥BC,点E 是DC 的中点，可证△BCE ≌△FDE;(2)由△BCE ≌△FDE 得到BE=EF,CE=ED,于是四边形BCFD 是平行四边形。

【标准解答】（1）证明： 点E 是DC 中点 DE CE ∴=又AD BC ∥，F 在AD 延长线上， DFE EBC ∴∠=∠，FDE ECB ∠=∠A EB CF D 图7 A D BC FE在BCE △与FDE △中EBC DFE ECB FDE CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)BCE FDE ∴△≌△（2）四边形BCFD 是平行四边形．理由如下： BCE FDE △≌△ DE CE ∴=，FE BE =∴四边形BCFD 是平行四边形．3（2008年•福建宁德）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．（1）求证：CE ＝CF ；（2）在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，求DE 的长．【解析】（1）由正方形边相等角相等，BE=DF 可证△CBE ≌△CDF ，得CE ＝CF ；（2）由上面的结论及∠GCE ＝45°，再证出△ECG ≌△FCG 即可证得GE ＝BE ＋GD ； （3）进行补形，过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，利用前面的经验可知，ED ＝BE ＋DG ，设DE ＝x ，则DG ＝x －4，根据勾股定理可解出BE 的长。

【标准解答】（1）证明：在正方形ABCD 中， ∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ， ∴△CBE ≌△CDF ． ∴CE ＝CF ．（2）解：GE ＝BE ＋GD 成立． 理由是：∵△CBE ≌△CDF ， ∴∠BCE ＝∠DCF ．∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD 即∠ECF ＝∠BCD ＝90°，又∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°． ∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ， ∴△ECG ≌△FCG ．图1 图2 B C A D E∴GE ＝GF ．∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD ．（3）解：过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ． 在直角梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠B ＝90°， 又∠CGA ＝90°，AB ＝BC ， ∴四边形ABCD 为正方形． ∴AG ＝BC ＝12． 已知∠DCE ＝45°， 根据（1）（2）可知，ED ＝BE ＋DG ． 设DE ＝x ，则DG ＝x －4， ∴AD ＝16－x ．在Rt △AED 中， ∵222AE AD DE +=，即()222816+-=x x ．解这个方程，得：x ＝10． ∴DE ＝10．1 (2008年•南京)如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形， 这个新的图形可以是下列图形中的（ ） A ．三角形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．正方形【解析】把剪下来的上面部分翻折后使得上下底在一条直线上，根据梯形中位线等于上下底的一半可知是平行四边形。

【标准解答】B2（2008年•泰安）若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60，则该等腰梯形的面积为 （结果保留根号的形式）．【解析】要考虑两对角线所夹锐角60，一是与底边相对，一是与腰相对两种情况。

其做法是平移一条对角线使两对角线出现在同一个三角形中，把梯形面积转化为三角形的面积。

【标准解答】3（2008年•北京）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=，AD =，BC =DC 的长．ABCDB CA D EG【解析】分别自A 、D 作BC 的垂线，利用矩形的性质,等腰直角三角形的性质及勾股定理即可求出DC 的长.【标准解答】解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ， DF BC ⊥于点F ．∴AE DF ∥．又AD BC ∥，∴四边形AEFD 是矩形．EF AD ∴==AB AC ⊥ ，45B ∠=，BC = AB AC ∴=．12AE EC BC ∴===DF AE ∴==CF EC EF =-=在Rt DFC △中，90DFC ∠=，DC ∴===解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，． AB AC ⊥ ，90AED BAC ∴∠=∠= ． AD BC ∥，18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠= ．在Rt ABC △中，90BAC ∠=，45B ∠=，BC =sin 454AC BC ∴=== 在Rt ADE △中，90AED ∠=，45DAE ∠=，AD ，1DE AE ∴==．3CE AC AE ∴=-=．在Rt DEC △中，90CED ∠=，DC ∴==ABCDFE图2A BCD FE 图1图5D CB A 4（2008年•广州市）如图7，在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，过点C 作CE ⊥AC 且与AB 的延长线交于点E ，求证：四边形AECD 是等腰梯形【解析】由菱形对对角线平分一组对角知03021=∠=∠DAB CAE , 由菱形的四边都相等知BC=BA, CBE=060,由CE ⊥AC 得∠E=060, 即CE=CB=DA , 再由DC//AE,AD 不平行CE 可得到四边形AECD 是等腰梯形 【标准解答】03021=∠=∠DAB CAE 得DAB E ∠==∠060，由DC//AE,AD 不平行CE 得证5（2008年•深圳）如图5，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ， DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，且∠C ＝2∠E ． （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形．（2）若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．【解析】(1)由DB 平分∠ADC , AE ∥BD 得∠ADC=2∠E , 由∠C ＝2∠E ．得梯形ABCD 是等腰梯形. 由∠BDC ＝30°, ∠=BDC=∠E , ∠C ＝2∠E 可知△DBC 是含有30°的直角三角形 ,由此得 DC ＝2BC ＝10 . 【标准解答】（1）证明：∵AE ∥BD, ∴∠E ＝∠BDC ∵DB 平分∠ADC ∴∠ADC ＝2∠BDC 又∵∠C ＝2∠E ∴∠ADC ＝∠BCD∴梯形ABCD 是等腰梯形（2）解：由第（1）问，得∠C ＝2∠E ＝2∠BDC ＝60°，且BC ＝AD ＝5 ∵ 在△BCD 中，∠C ＝60°, ∠BDC ＝30° ∴∠DBC ＝90°∴DC ＝2BC ＝106（2008年•山东）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， AB =2，BC =3，CD =1，E 是AD 中点．求证：CE ⊥BE ．【解析】从点C 作AB 的垂线, 利用矩形的性质和勾股定理计算出CFR 的长,由点E 是AD 的中点可知DE 和EA 的长,用勾股定理分别求出BE 和CE 的长,最后用勾股定理的逆定理可以得到△BEC 是直角三角形,结论得证.【标准解答】证明: 过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ． ∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， ∴ ∠D ＝∠A ＝∠CF A ＝90°． ∴四边形AFCD 是矩形．AD=CF , BF=AB -AF=1． 在R t △BCF 中， CF 2=BC 2-BF 2=8， ∴ CF=22． ∴ AD=CF=22． ∵ E 是AD 中点， ∴ DE=AE=21AD=2． 在R t △ABE 和 R t △DEC 中， EB 2=AE 2+AB 2=6， EC 2= DE 2+CD 2=3， EB 2+ EC 2=9=BC 2． ∴ ∠CEB ＝90°． ∴ EB ⊥EC ．7（2008年•威海）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ． （1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能，求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．A C BD E AC DE FC D A BE F NM【解析】(1)自上底的两个端点分别向下底作垂线,利用两个直角三角形全等及勾股定理等知识求出高,而后计算出梯形的面积.(2)设AE=x 根据相似三角形写出比例用x 表示ME ，然后写出矩形面积关于x 的函数关系式，求出面积的最值。

（3）利用（2）中所设的x ，当ME=EF 时便可求出x 的值，即AE 取此值时四边形MEFN 为正方形，易求出其面积。

【标准解答】解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ．∵ AB ∥CD ， ∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°， ∴ △AGD ≌△BHC （HL ）．∴ AG ＝BH ＝2172-=-GH AB ＝3． ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5，∴ DG ＝4．∴ ()174162ABCD S +⨯==梯形．（2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ． ∴ 四边形MEFN 为矩形． ∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°，∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）． ∴ AE ＝BF ． 设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ．∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．∴ DGME AG AE =． ∴ ME ＝x 34．∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN 矩形．当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．（3）能．由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34．若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．即 =34x 7－2x ．解，得 1021=x ．A B E FGH A B E F G H∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4． ∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫ ⎝⎛=MEFNS 正方形．8（2008年•连云港）如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB DC ∥，90A ∠=，CD AD >，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片． （1）求证：四边形ADEF 是正方形；（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG CD =，试说明四边形GBCE 是等腰梯形．【解析】（1）利用折叠的不变性知AD DE =，90DEF ∠=，四边形ADEF 是矩形，且邻边AD AE ，相等，所以四边形ADEF 是正方形．（2）先证明 △AGD FGE ∴△≌△得 DGA EGB ∴∠=∠ ，再由BG=CD , BG CD ∥四边形BCDG 是平行四边形, DGA B ∴∠=∠ EGB B ∴∠=∠ ,便可得出四边形GBCE 是等腰梯形．【标准解答】证明：（1）90A ∠=，AB DC ∥，90ADE ∴∠=．由沿DF 折叠后DAF △与DEF △重合，知AD DE =，90DEF ∠=．∴四边形ADEF 是矩形，且邻边AD AE ，相等．∴四边形ADEF 是正方形．（2）CE BG ∥，且CE BG ≠，∴四边形GBCE 是梯形．四边形A D E F 是正方形，AD FE ∴=，90A GFE ∠=∠= ．又点G 为AF 的中点，AG FG ∴=．连接DG ．在AGD △与FGE △中，A D F E = ，A GFE ∠=∠，AG FG =，AGD FGE ∴△≌△，DGA EGB ∴∠=∠．BG CD = ，BG CD ∥，∴四边形BCDG 是平行四边形．E C B DAG FECBDA GFDG CD ∴∥．DGA B ∴∠=∠．EGB B ∴∠=∠． ∴四边形GBCE 是等腰梯形．9（2008年•白银）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC=34． （1）求点D 到BC 边的距离； （2）求点B 到CD 边的距离．【解析】（1）作垂线构直角三角形，利用三角函数求出点D 到BC 边的距离。